Grupa formula površine trougla na kubnoj-koeficijenti prave

GRUPA FORMULA  POVRŠINE TROUGLA NA KUBNOJ- KOEFICijENTI PRAVE
Kubna i njene prave: Formule za površinu trougla na kubnoj- Proizvod prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i kubne

 Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –kubna.
Oblast-analitička geometrija.

Pretpostavke:
aTri prave, f12(x) , f23(x) , f31(x) , međusobno se seku na krivoj
Fb(x) = box3 + b1x2 + b2x + b3  u tački A, B i C.

b) Tačke preseka grade ∆ABC. Apscise temena trougla su:
xA = x1 ,  xB = x2 , xC = x3.

c) Jednačine pravih između tačaka A, B i C su:
f12(x) = k12x + n12 = [b0(x12+x1x2+x12)+b1(x1+x2)+b2]x + b3-x1x2 [b0(x1+x2)+b1],
f23(x) = k23x + n23 = [b0(x22+x2x3+x32)+b1(x2+x3)+b2]x + b3–x2x3 [b0(x2+x3)+ b1],
f31(x) = k31x + n31 = [b0(x12+x1x3+x32)+b1(x1+x3)+b2]x + b3-x1x3 [b0(x1+x3)+b1].

Tvrdnja
Formule za računanje površine ∆ABC na kubnoj mogu se napisati u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i kubne, tj. funkcionalno zavise od:

1) bo , b1 – koeficijenata kubne,
x1 , x2 , x3 –apscisa tačaka temena trougla:
P ABC =(1/2)(x1 – x2 )(x2 – x3 )(x3 – x1 )[ b0(x1+x2+x3 )+ b1]   — (1);

2) bo , b1 – koeficijenata kubne,
x1 , x2 , x3 –apscisa tačaka temena trougla,
k12 , k23 , k31 -koeficijenata pravca pravih:
————- (2);

3) bo , b1 – koeficijenata kubne; n12 , n23 , n31 – odsečaka pravih na y osi,
x1 , x2 , x3 –apscisa tačaka temena trougla:
———— (3).

Sve formule su izvedene istim postukom, postupkom koji primenjujem radi izvođenja izraza za površinu trougla na polinomima: “Šablon za izvođenje oblika formule-a površine trougla na krivoj polinoma n-tog stepena“; izrazi su u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i polinoma.

Zadatak:
Tri prave, f12(x) , f23(x) , f31(x) , međusobno se seku na krivoj
Fb(x) = box3+b1x2+b2x+b3 u tački A, B i  C. Tačke preseka grade ∆ABC.

Poznate veličine:
a) n12 =151/16 ,  n31 = -15/48   -odsečci pravih na y osi;
b) x2 = xB =3    –apscisa tačke B.

Na slici ispod je grafički prikaz veličina zadatih u zadatku:

Izračunati:
1) Apscise presečnih tačaka trougla.
2) Izrčaunati površinu trougla ABC na kubnoj Fb(x) =(1/3)x3 -3x2 +5x +1 po formuli datoj pod rednim rojem (3).

                                                   Izrada

Potrebne formule za oba zadatka
a)Površina trougla:
.

b)Odsečci pravih na y osi:
n
12 =b3-x1x2 [b0(x1+x2)+b1] →  b3n12x1x2 [b0(x1+x2)+b1] =0→
0(x2)x12 +(b­0x22 +b1x2)x1+n12b3 =0 —————-  (5);

n31 =b3-x1x3 [b0(x1+x3)+b1]
0(x1)x32 +(b­0x12 +b1x1)x3+n31b3 =0 —————-  (6);

n23 =b3–x2x3 [b0(x2+x3)+b1]
0(x3)x22 +(b­0x32 +b1x3)x2+ n23b3 =0 —————- (7).

1)Određivanje apscisa temena trougla:
– Potrebne vrednosti veličina:
Fb(x) =(1/3) x3 -3x2 +5x +1,
.

Određivanje apscisa temena A i D:
0(x2)x12 +(b­0x22 +b1x2)x1+n12b3 =0.
Zamenom vradnosti x2 sa x2=3,
 ,
daje jednačinu 16x12-96x1+135=0.
Rešenja su:
.

Određivanje apscisa temena C i E:
0(x1)x32 +(b­0x12 +b1x1)x3+ n31b3 =0
Zamenom vradnosti x1 sa x1=9/4 ,
,
daje jednačinu 4x32-27x3 -7=0.
Rešenja su:
.

Određivanje apscisa temena C i F:
a) Određivanje n23:
n23 =b3–x2x3 [b0(x2+x3)+b1]=1–(3)(7)[ (3+7)-3]=-6.

b) Određivanje apscise:
0(x2)x32 +(b­0x22 + b1x2)x3+ n23b3=0.
Zamenom vradnosti x2 sa x2=3,
,
daje jednačinu x32-6x3 -7=0.
Rešenja su:
.

Slika grafika Fb(x) – kubne, trougla ABC , jednačine pravih i njihovih odsečaka- n12 , n23 , n31 na y osi:

2) Određivanje površine:
– Potrebne vrednosti veličina za formulu:
;
x1=9/4x2=3,  X3=7;
;
,
.


-Površina:

;
-površina P DEF je duplo veća od P ABC, odnosno, njihov odnos je (1:2).

Prema uslovima zadatka rešenja su: P ABC, P AEB. i P KDB.  Rešenja za  P AEB i P KDB. ostavljam čitaocu:

Detalje izrade zadatka videti u dokumentu:
GRUPA FORMULA POVRŠINE TROUGLA NA KUBNOJ- KOEFIC. PRAVE

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

Advertisements

Grupa formula za površinu trougla na paraboli-koef.prave

GRUPA FORMULA ZA POVRŠINU TROUGLA NA PARABOLI- KOEF. PRAVE
Parabola i njene prave: Formule za površinu trougla na paraboli u oblku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i parabole

Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –parabola.
Oblast-analitička geometrija.

Pretpostavke:
a)
Tri prave- f12(x) , f23(x) , f31(x) , seku parabolu
Fa(x) = aox2 + a1x + a2 u tački A, tački B i tački C.
b) Preseci  pravih grade ∆ABC. Apscise temena trougla su:
xA = x1 ,  xB = x2 , xC = x3.
c) Jednačina prave između tačke A i B:
f12(x) = k12x + n12 = [a0(x1 + x2) + a1]x + a2  – a0x1x2 .
d
) Jednačina prave između tačke B i C:
f23(x) = k23x + n23 = [a0(x2 + x3) + a1]x + a2  – a0x2x3 .                
e) Jednačina prave između tačke C i A:
f31(x) = k31x + n31 = [a0(x3 + x1) + a1]x + a2  – a0x3x1 .                       

Tvrdnja
Formule za računanje površine ∆ABC na paraboli mogu  se napisati u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i parabole, tj. funkcionalno će zavisiti od:

1)
koeficijenta parabole ao i apscisa, x1 , x2 , x3 , tačaka temena trougla– puna zavisnost površine od apscisa:

    ——– (1)

2) koeficijenta parabole ao i koeficijenata, k12 , k23 , k31 , pravca pravih – puna zavisnost površine od koeficijenta parabole i koeficijenata pravca pravih na paraboli:
;  —— (2)

3) koeficijenata parabole ao i a2 , odsečaka, n12 , n23 , n31 , pravih na y osi  i apscise x2 jednog temena trougla – delimična zavisnost površine od sva tri analitička elementa:
,
  ——– (3)

4) koeficijenata parabole ao , a2 i odsečaka, n12 , n23 , n31 , pravih na y osi- puna zavisnost površine od koeficijenata parabole i odsečaka pravih na у оsi:
——— (4)

Zadnja formula površine trougla, pod rednim brojem (4), funkcionalno zavisi samo od:
a) ao , a2 – koeficijenata parabole Fa(x) = aox2 + a1x + a2;
b)odsečaka n12 , n23 , n31 pravih na y osi.

Sve formule su izvedene istim postukom, postupkom koji primenjujem radi izvođenja izraza za površinu trougla na polinomima: “Šablon za izvođenje oblika formule-a površine trougla na krivoj polinoma n-tog stepena“; izrazi su u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i polinoma.

Zadatak:
1) Izračunati površinu trougla ABC- trougao od tri prave na parabol
i

ako su poznati odsečci pravih, n12 , n23 , n31, na y osi;
brojne vrednosti odsečaka su : n12 = 1/2 ,   n23 = -13,   n31 = -3.

2) Odrediti apscise presečnih tačaka, A,B,C, pravih i napisati jednačine sve tri prave.

Na slici ispod je grafički prikaz veličina zadatih u zadatku:

                                               Izrada
Potrebne formule za oba zadatka:

a)Površina trougla:
  .

b)Odsečci pravih na y osi:
n12 =  a2  – a0x1x2 —– (5);   n23 = a2  – a0x2x3 —— (6);
n31 = a2  – a0x3x1 ——– — (7).
c) Koeficijenti pravca pravih:
k12 = a0(x1+ x2 ) + a1 ;     k23 = a0(x2+ x3 ) + a1;
k31 = a0(x3+ x1 ) + a1 ——- (8).

1) Potrebne vrednosti veličina:

a0 =(1/2),  a1 =-5,  a2 =2;    n12 =(1/2) , n23 = -13, n31 = -3;
– potrebne razlike veličina:

2) Zbog dužine članka izrada drugog zadatka je postavljena u dokument:
grupa-formula-za-povrc5a1inu-trougla-na-paraboli-koef-prave9

Slika grafika Fa(x) parabole, trougla ABC , jednačine pravih i njihovih odsečaka- n12 , n23 , n31 na y osi:

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

Presek poznate i “nepoznate prave” – Prave na parabolama

                ODREĐIVANJE PRESEKA PRAVE fa(x) I PRAVE fb(x)

Metod koeficijenata prave: Prava fa(x) na paraboli Fa(x)  i prava fb(x) na paraboli Fb(x) . Određivanje preseka prave  fa(x) i prave fb(x)

                 Presek dve prave bez određivanja jednačine druge prave

Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –parabola.

 Pretpostavke:
a)
Prava fa(x) seče svoju parabolu Fa(x) u tački A i tački C. Apscise preseka su: xA = x1 i  xC = x2 .
b) Prava fb(x) seče svoju parabolu Fb(x) u tački D i tački E. Apscise preseka su: xD = x1 i  xE = x2.
Odnosno,  xA = xD = x1  i  xC = xE = x2
c) Poznate su jednačine parabole Fa(x) i Fb(x) i jednačina prave fa(x) .
Jednačina prave fb(x) nije poznata.

Grafik dve parabole Fa(x) i Fb(x) , dve prave i njihov presek P:

Da bi se odredio presek poznate prave fa(x) i “nepoznate prave” fb(x) potrebo je uspostaviti potrebne odnose između apscise xp preseka pravih, koeficijenata jednačina parabola i koeficijenta jednačine poznate prave.

Potrebne formule:
a) Fa(x) = a0x2 + a1x +a– parabola,
fa(x) = [a0(x1 + x2) + a1]x + a2  – a0x1x2  = kx +n – prava na paraboli Fa(x) ;
b) Fb(x) = b0x2 +b1x + b2 ,
fb(x) = [b0(x1 + x2) + b1]x + b2 – b0x1x2  – prava na paraboli Fb(x) .

Potrebni odnosi:
c) Potrebna je smena za eliminaciju apscisa x1 i x2 iz izraza za xp , izraza pod rednim brojem (3):
k = [a0(x1 + x2) + a1]  je koeficijent pravca prave fa(x) , pa je:

n2 = a2  – a0x1x2 slobodan član prave fa(x) , pa je:

d) uslov preseka fa(x) i fb(x) :
[a0(x1 + x2) + a1]x + a2  – a0x1x2  =  [b0(x1 + x2) + b1]x + b2  – b0x1x2 .
Rešavajući uslov preseka po x  sledi:

Izvođenje izraza za presek dve prave preko koeficijenata jednačine poznate prave i koeficijenata parabola

Transformacijom izraza (3) za xp ; zamenom x1 + x2 i  x1x2 vrednostima iz izraza (1) i (2) imamo:

U uzrazu pod rednim brojem(4) apcisa xp zavisi samo od koeficijenata jednačine prave i koeficijenata jednačina baznih krivih Fa(x) i Fb(x) –što i jeste cilj metode :
a0 , a1 , a2  -koeficijenti jednačine parabole Fa(x) ;
b0 , b1 , b2  -koeficijenti jednačine parabole Fb(x) ;
k, n su koeficijenti iz fa(x) = kx +n – poznate jednačine prave na paraboli Fa(x).

Zadatak
10) Dati su izrazi:
– Parabola Fa(x) = x2 + x -2  i njena presečna prava fa(x) = 2x +1.

čiji izraz nije poznata, ali se zna da su apscise presečnih tačaka nje i njene parabole iste, kao i apscise presečnih tačaka prave fa(x) i njene parabole Fa(x) – uslov pri izvođenju formule za presek dve prave.

Odrediti presek poznate prave fa(x) i nepoznate prave fb(x), bez određivanja nepoznate prave.

Poznate vrednosti:
Fa(x) = x2 + x -2  → a0 =1,  a1 =1,  a2 = -2;

fa(x) = 2x +1→  k =2,  n=1;

Izrada:
Koristimo obrazac pod rednim brojem (4)-formulu za računanje apscise preseka xp :

Izračunata ascisa preseka prave fa(x) = 2x +1 i nepoznate prave
fb(x) = [b0(x1 + x2) + b1]x + b2  – b0x1x2  l

Isti zadatak i dokaz tačnosti traženih vrednosti možete videti u  dokumentu:
presek-poznate-i-e2809cnepoznate-pravee2809d-e28093-prave-na-parabolama2

Proces dokazivanja je duži nego sam zadatak; proces je duži jer se dokaz izvodi po ustaljenom postupku računanja  presečnih tačaka prave i krive… Na kraju dokaza  napisana je jednačina nepoznate prave fb(x) .

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
Autor metode:
dip. maš. inž. Mladen Popović

Površina trougla na kubnoj i primer urađenog zadatka

Površina trougla na kubnoj i primer urađenog zadatka

Oblik formule za površinu trougla na kubnoj-grafiku polinoma trećeg stepena i  primer urađenog zadatka

U članku: ” https://gradiuinflaciji.wordpress.com/category/matematika/povrsina-trougla-na-krivama/ “ prilagodio sam oblik površine trougla metodu  koeficijenata jednačine prave na krivama.

Formula glasi:
P= (1/2)[ (x2 – x1 )n12 + (x3 – x2 )n23 + (x1 – x3 )n13 ].
Trougao je dobijen presekom triju proizvoljnih pravih.
Apscise x1,  x2,  x3,  su apscise temena ∆ ABC.
Odsečci pravih na y osi su: n12, n23,  n13 .
Formula važi za svaki trougao u ravni xOy.

Površina trougla na kubnoj:
Ako  presečne tačke triju pravih leže na grafiku kubne
F3(X) = a0x3 + a1x2   a2x  + a2 ,  dobiće se ∆ ABC. Površina trougla će biti:

Apscise x1,  x2,  x3,  su apscise temena ∆ ABC.
Odsečci pravih na y osi su: n12, n23,  n13 .

Zadatak:
-101. Data je kubna:

Na grafiku kubne je ∆ ABC. Temena trougla imaju  apscise:

Odrediti površinu trougla.

Na slici ispod je dat grafik kubne i tražena površina trogla.

Izrada:
Potrebne formule:

-Date, poznate vrednosti:

Nastavak zadatka videti u dokumentu:
povrc5a1ina-trougla-na-kubnoj-i-primer-urac491enog-zadatka (1)

Pomoćna sredstva:

-Korišćen program“GeoGebra“.

Autor,
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

Formule za površinu trougla na hiperbolama

                           Formule za površinu trougla na hiperbolama

Oblik formule za površinu trougla na prostoj hiperboli- H1(x) = C1 /x ,  kvadratnoj hiperboli- H2(x) = C2 /x2  i  primer urađenog zadatka

U članku:
trougla”https://gradiuinflaciji.wordpress.com/category/matematika/povrsina–na-krivama/ “ dao sam opšti oblik formule za površinu trougla, prilagođen metodu  koeficijenata jednačine prave na krivama.

Formula glasi:
P= (1/2)[ (x2 – x1 )n12 + (x3 – x2 )n23 + (x1 – x3 )n13 ]
.
Apscise x1,  x2,  x3,  su apscise temena ∆ ABC; trougao je dobijen presekom triju pravih.
Odsečci pomenutih pravih na y osi su: n12, n23,  n13 .
Formula bilo koji važi za biti:trougao, čija su temena tačke preseka pomenutih pravih.

U slučaju da su presečne tačke pravih tačke koje leže na hiperbolama, površina trougla će biti :

1) Površina trougla na prostoj hiperboli:

2) Površina trougla na kvadratnoj hiperboli:

Zadatak
90. Date su dve hiperbole:
H1(x) = 28 /x ,   
H2(x) = 42/x2  
Na svakoj hiperboli postavljen je po jedan trougao, ali tako da odgovarajuća temena trouglova imaju iste apscise:  x1 = xA1 = xA2 = -7,
x2 = xB1 = xB2 = -4,
x3 = xC1 = xC2 =   4 .
Odrediti površine trouglova

Na slici ispod su dati grafici hiprbola i traženi troglovi.

Rešenje zadatka videti u dokumentu:
Formule za površinu trougla na hiperbolama i primer urađenog zadatka .

Pomoćna sredstva:
-Korišćen program“GeoGebra“.

Autor,
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

Uloga pravca Grčka-Srbija za tržište sever Afrike- Evropa

ULOGA PRAVCA GRČKA-SRBIJA ZA TRŽIŠTE SEVER AFRIKE-EVROPA
Povoljan trenutak za razvoj ekonomija zemalja: Poljske, Češke,Slovačke, Mađarske, Srbije, Makedonije, Grčke, Libije- dobra saradnja premijera Mađarske,Srbije i Grčke.

U budućnosti, za ekonomiju planete Zemlje, važno mesto imaće železnike pruge sa jednog na drugi kraj planete. Zeleznica po vertikali i horizontali kontinenta biće podrazumevani šablon za međunarodni saobraćaj. Pored železnice, važno mesto u ekonomiji zemalja zauzima vodeni-pomorski saobraćaj.

Po kom principu urediti saobraćajnice budućnosti? Po principu i zahtevima koji postoje i kod urbanističkih planova novih naselja, gradova: funkcionalnost gradova i njihova ekološka održivost. Po tom principu valjalo bi urediti i pravce železničkih pruga evroazijskog i drugih kontinenata; dobro analizirati sve argumente privrednog i društvenog života različitih podneblja, prirode i dručtva, analizirati argumente budućeg opstanka naroda i očuvanje prirode, i na osnovu toga povući liniju meridijana za železničke pruge i vodene puteve.

Kako ja vidim, jedan od meridijana za buduću železnicu je pravac na kome se nalaze pomenute zemlje. Za ekonomije tih zemalja veoma bitan je unutrašnji i međunarodni saobraćaj.

Sa geografske karte Balkana vidi se da  vodeni tranzit Sredozemlja ide vertikalno ka severu, obilazi Italiju, nastavlja kopnom, pravcem: Grčka , Makedonija, Srbija, Mađarska…, a od njega lepezasto na sever i severoistok Evrope.
Pravac od Libije, Egipta, ka Grčkoj ide vertikalom na sever.

Pomenuti putevi su pravci prvog prioriteta
za  saobraćajnice budućnosti; -Sredozemlje- sever Afrike, preko Grčke i Srbije, za severoistok Evrope, Baltičko more; najkraći putevi, sa najmanjom potrošnjom energije-goriva.
-Najkraći putevi između mesta razmene materijalnih dobara, sirovina, reciklažnog materijala, industrijske robe… Severa i Juga.

Trgovački putevi iz prošlosti, potražnja za robom sa različitih meridijana-podneblja su i danas potrebni. Putevi trgovine opstaju, ne gase se, sve dok je nabavna cena robe i transporta niska; put će ići i zaobilazno, ukoliko je nabavna cena niska.

Problemi današnjice: zagađenje okoline, zagrevanje planete.
Zbog zagađenja i zagravanja zivotne sredine,
zbog zahteva smanjenja zagađenja i zagrevanja, moraju se birati najkraći transportni putevi: železnički i morski. Najkraći putevi daju najmanju potrošnju goriva- najmanju količinu produkata sagorevanja, najkraće zagrevanje. Svaki motor koji duže radi duže proizvodi toplotu. Najekonomičniji i najčistiji transport velikih tereta, sa jednog kraja kontinenta na drugi kraj, je brzim železničkim prugama.

Sve vlade sveta bi morale definisati pomenute pravce trgovine: trgovina najkraćim transportnim putem, putem najmanjeg zagađivanja, pa to postaviti kao prioritet. Valjda, ni UN neće sedeti skrštenih ruku?
Sve potrebne bočne kratke pravce iz susednih zemalja, ka istoku i zapadu, treba priključti na ovaj pravac sever- jug. Primer brze pruge, nedavno otvorene, je: http://www.novimagazin.rs/svet/otvorena-najduza-brza-pruga-na-svetu-foto/#comments

Sa geografske karte vidi se da je pravac istok-zapad pretrpan sa interesima ogromnog broja zemalja. Jasno je da u tom skupu postoje prvi, a postoje i zadnji, koji vrlo malo uspevaju da sa tog tranzita nešto robe istovare i na svoju teritotiju… U stvarnosti se najviše vrši ustaljena razmena roba i usluga. Međutim, vrlo teško se realizuju nove razmene roba i usluga. Svakako da je potrebna promena po širini.

Današnji glavni pravci ekonomskih interesa Istoka i Zapada su: Rusija, Turska- zemlje EU. To je najznačajniji pravac razmene energije, roba i tehnologija. Svi računaju na taj pravac. Do sada, najveći i najznačajniji transportni putevi železnicom povezuju istočnu Aziju(Vladivostok i Šangaj) sa zapadnom Evropom, tj Atlanski okean i Kinesko more. Vidi te puteve na mapi:
transsib_serb
Prikazana mapa je autorsko delo Кира Калињина, uzeta sa linka: http://ruskarec.ru/economics/2017/01/13/ruska-zeleznica-spojila-kinu-sa-velikom-britanijom_680716

Međutim, kao da je sav ekonomski život moguć samo na njemu.
Već tri decenije postoje  priče:“ Da nam je uvoz-izvoz u Evropu“, “Evropa nema alternativu“…Hvata nas strah da samo Evropa treba nama i mi njoj, i da nigde, ni 1% potreba ne možemo rešiti u drugim zemljama, na drugim pravcima, i da su svakom živom stvoru potrebni samo proizvodi iz Evrope, a njoj naši. Nema potrebe za ovakvim grčem; neke robe iz Srbije teško idu ovim pravcem- veoma je zasićen, ponuda je velika, a potražnja se ne menja.

Skoro je zabrinjavajuća patologija stanja i shvatanja da se isplati poslovati sa jakim, da se ulaznice dobijaju džabe, a  da je poslovanje sa ravnima,  gde su proizvodi i jeftiniji, kočnica za napredak. Zaboravlja se pri tome da veliki-bogati grade postrojenja kod nas zbog jeftinih sirovina i radne snage, a da kod svojih bogatih suseda ne grade svoje fabrike: Mercedes ne gradi svoja postrojenja u Francuskoj ili Engleskoj.

Dakle, postoje dva pravca ekonomske saradnje: severjug, istokzapad. Nekima, u ekonomijama oko Balkana,  odgovara pravac istok-zapad, a nekima ne.

Za pravac sever- jug predlažem četiri meridijana-pravca brzih železnica:
Baltičko more severne Nemačke, Nemačkom, pored zapadnih granica Poljsle, Češke, preko Austrije do severne Italije.
– Poljska, Slovačka, Mađarska, Srbija, Makedonija, Grčka.
– Rusija, Belorusija, Ukrajina, tromeđa Ukrajine, Moldavije i Rumunije, i tromeđa Bugarske, Grčke i Turske.
Rusija, Gruzija, Jermenija, Iran, Irak, Saudijska Arabija, ili nešto zapadnije preko istočne Turske, Sirije.

Nama je Crna Gora interesantna samo za pravac Italije. Preko nje ka Sardiniji, Alžiru, Maroku… pravac  bi imao velike energetske gubitke zbog dužeg puta i zbog pretovara roba, Kad tad će se postaviti svetsko ekološko pitanje o prevelikoj potrošnji goriva za tranport roba. Hrvatska ima svoj pravac Jadranom i na njemu mi nemamo nikakav interes.

Putevi ka Bosni i Hercegovini imaju planetarni značaj na pravcu istok -zapad.
Putevi iz Srbije ka Bosni i Hercegovini, Crnoj Gori
su putevi značajni za narode Balkana. Zajedno sa Srbijom, na istim su meridijanu od Poljske, Slovačke do istočnog kraka Italije, zapadnog priobalja Albanije i jugozapadnog dela grčkih ostrva. Dalje, ka severu Afrike, bliža je Sicilija, Tunis i zapadna Libija, što predstavlja važan trgovaški krak puta pri skretanju na severizapad Sredozemlja.

Na sledećoj mapi sam označio žutom debelom linijom buduće pravce brzih železnica  sever-jug:
predlozeni-pravci-zeleznice-sever-jug

Za Srbiju glavni drumski, železnički, elektrodistributivni pravci su Mađarska, Srbija, Makedonija, Grčka. Ovaj pravaac je deo mog predloga kontinentalane brze pruge na meridijanu: Baltičko more,Poljska- Libija. Kopneni deo puta kroz Makedoniju i Grčku je duži od kopnenog dela puta Srbija – Crna Gora. Potrošnja goriva za transport vodenim putem je veća od potrošnje za transport kopnenim putem-brzim železnicama, pa se linija puteva prvo povlači na kopnenom delu.
Mapa drugog predloga železnica sever-jug; Beograd-L’viv-Minsk kao centralne račve:
drugi-predlog-karte-zelenice-bmp
Povučeni pravci na kartama
su pravci već postojećih važnih zelezničkih pruga, osim na dva i tri mesta gde sam povukao pravce gde železnice nema; postojeći pravci povezuju glavne gradove i predele sa najpovoljnijim geografskim reljefom, pa taj uslov preneti i na novu železnicu.Naravno, kad god je moguće seći krivine i skraćivati put.

Na drugoj karti se stvarno vidi značaj Beograda, čak za dva predložena pravca brzih pruga; Beograd je čvorno mesto za prevoz iz Crne Gore, ili Makedonije, zapadne i centralne Grčke, zapadnog dela Bugarske i Rumunije. za Budimpeštu, Ostravu i Krakov, a za istočni pravac: L’viv-Minsk, i dalje na sever Baltika Rusije ili na istok ka Moskvi.

Stara priča da je“Srbija raskrsnica puteva Istoka i Zapada“ je i grafički potvrđena, to sam odmah uočio posle povlačenja linija pruga na karti; Beograd je centralno-čvorno mesto za pravac sever – jug na karti istočne Evrope, Egejskog mora i Mediterana

Narod severa Afrike i usputna ostrva uvozi flaširanu vodu za piće, sokove…, povrće , kukuruz, drvo.., narod Evrope uvozi proizvode mora, ribu.., masline i maslinovo ulje, urme, naftu… , tj. proizvode koji  poboljšavaju način života, ishranu… uvoze se proizvodi koje nemamo u svojoj sredini, a navikli smo da ih koristimo. Kod  naroda Severa i Juga postoje specifični proizvodi- brendovi datih  podneblja, korisni u svakodnevnom životu i jednim i drugim.

Međusobna trgovina, razmena materijalnih dobara biće i između zemalja na kopneneom delu pomenutog železničkog pravca. Bočni železnički idu ka susednim zemljama, popunjavaju regione kod nas i kod njih. Time želenica postaje značajna za privredu regiona i cele zemlje; realizuju se projekti koji bi bili neekonomični da nije železnice.

1.primer:
Pre godinu, ili dve, inžinjeri Rakovice su dali predlog za pokretanje proizvodnje u fabrici traktora; pokrenuti fabrički remont-potpunu reciklažu starih traktora: motor, limariju, opremu, signalizaciju… Postoji znanje, iskustvo, postoji fabrika, mašine i 100 000 traktora u Srbiji i Bosni i Hercegovini, stari preko trideset godina. Kako sakupiti sve ove traktora? Prelažem sledeće:
Stari železnički pravci su:
– Sombor, Bogojevo, Novi Sad…
– Šid, Ruma, Zemun, Beograd.
– Zvornik iz Republike Srpske, Loznica, Šabac, Ruma…
– Beograd, Valjevo, Požega…, prugom Beograd-Bar.
– Beograd  i svi pravci ka severu i istoku Vojvodine, do istočne, centralne i južne Srbije.

Traktore, lokalnim putem, dovesti do najbližih železničkih stanica i utovariti  u vagone: jedini način da se oni dovezu do Beograda od udaljenih mesta: sto, dvesta…kilimetara, traktori do Beograda ne mogu ići autoputem, ili kroz Beograd…Potpuno nove traktore vratiti istim železničkim putem do svog odredišta.
Predložena organizacija da se, u budućnosti, primeni za transport svih reciklažnih materijala; traktori su bili samo jedan primer reciklaže i transporta takvog materijala.

2. primer:
Prednosti prevoza železnicom reciklažnog materija, tj. prevoz
stare plastike, papira…
Transport reciklažnih materijala železnicom je ekološki nejbezbedniji, najjeftiniji…
U budućnosti će se 30% industrijske proizvodnje zasnivati na sakupljanu i reciklaži sekundarnih sirovina.- otpada.(link). U velikim gradovima nije problem sakupljanje reciklažnog materiala, jer je broj stanovnika veći od 200 000. U manjim gradovima sakupljanje je neekonomično, nerentabilno.

U seoskim domaćinstvima veoma veliki i zabranjivajući problem je otpad.
Taj prostor je u neposrednom dodiru sa obradivim zemljištem, potocima, rekom, vodom…Vrlo lako se otrovne materije izlučuju na taj prostor dejstvom sunca, kiše-snega, vetra i mikroorganizama. Stanje u selima preko hiljadu stanovnika, koja su postala moderna potrošačka društva(nažalost), je vrlo loše.

Zeleznica može jedinstveno rešiti problem sakupljanja i transporta reciklažnih sirovina iz seoskih naselja, manjih i većih gradova.
Potrebni ekonomski, ekološki elementi i prednosti prevoza železnicom:

– Graditi fabrike reciklažnog materijala pored(u blizini) železničkih pruga. Prihvatiti globalno planiranje gradnje fabrika po vrstama materijala i po prostornom-geografskom raporedu fabrika; fabrike istog reciklažnog materijala moraju biti što dalje jedna od druge.

– Unificirati postupke i sredstva za sakupljene i transport sirovine u većim i manjim gradovima: na lokalnom stovarištu  priprema se reciklažni material, manjim prevoznim sredstvom i manja količina pripremljenog recikl. materijala odvozi se do železnice; transport ne ide drumskim putem od grada do grada, ne ide vozilom velike tonaže magistralnim putem do fabrike za reciklažu.

Moguća je standardizacija postupka sakupljanja, pripreme za transport i prevoza sirovine do železnice i fabrike za reciklažu.

– Vagoni voza na železničkim stanicama ne zavise od vozača-železničara i voza; vagoni se otkačuju od voza, ostaju na železničkoj stanici i utovar traje po nekoliko dana.
– Prevoz železnicom smanjuje broj vozila za prevoz reciklažnog materijala na drumskim putevima-magistralnim i regionalnim. Manje vozila čeka pred semaforom, manje zagađenje vazduha na putevima. Zeleznica ima manje semafora, kraća stajanja su retka- u slučaju dužeg stajanja motor se isključuje.

– Stovarišta recikl. materijala-otpada su bez troška za nabavku većeg specijalizovanog vozila za transport robe do odredišne fabrike, veća je rentabilnost prevoza…
-Povećanje opšte zaposlenosti…

– Mogućnost susednih država da zajednički planiraju gradnju faabrike reciklaznog materijala na graničnim  železničkim prelazima(u blizini gran. prelaza) i sakupljanje reciklažnih sirovina sa obe strane granice.

3. primer:
Predloženi poslovi i odgovarajuća infrastruktura
zahteva fabriku vagona, sposobnu da prati potrebe tržišta; proizvede nove oblike vagona, vagonske šasije i armaturu za svetske proizvođače vagona, naročito sve oblike kontejnera, prilagođene transportu reciklažnog materijala, industrijskog materijala, kontejnere i vagone hladnjače za prevoz poljoprivrednih proizvoda: povrće(maline), meso… kontejnerske vagone za utovar-istovar roba u lukama, centralnim magacinima, zelezničkim stanicama…, snažno-funkcionalno poveže morski-vodeni i drumski saobraćaj.

Naša fabrika vagona u Kraljevu mogla bi lakše naći finasijere i kupce za izradu novih oblika vagona.Povezujući se sa domaćim  proizvođačima rashladnih uređaja i elekronske opreme mogu bez problema izgurati finalni proizvod u obliku vagona hladnjača. Među našim radnicima: inžinjerima, majstorima, postoje pravi umetnici- treba im samo dati šansu…

4. primer:
Pored pruge  se mogu graditi skladišta, stovarišta, sajmišta, centralni magacini-veleprodaja svih vrsta roba, naročito na mestima gde brze pruge ulaze u velike gradove. Može se vršiti istovar-utovar u centralni magacin, ili direkno preuzimati robu iz vagona i odvoziti je do odredišnih mesta.

4.1 primer:
Osvrnuo bih se na zadruge. Zašto zadruge i brze pruge?
Poljoprivredne zadruge treba pod hitno obnoviti u Srbiji.
Neko bi mogao naći  dokumenta o poslovanju zadruga u bivšoj SFRJ; ima još živih ljudi koji znaju kako su zadruge u jednom periodu dobro radile:

Znamo da su se poljoprivredne zadruge bavile-starale, pored otkupa poljoprivrednih proizvoda, nabavkom repromaterijala za poljoprivredu: sadnica, đubriva, zaštitnih sredstava…Danas bi brze pruge omogućile transport pomenutih roba u toku jedne noći  na daljinu od 1000 do 2000 km. Proširivanjem prostora(2000km) za nabavku i plasman pomenutih roba, otvara se mogućnost za bolji izbor kvalitetnijih sadnica, đubriva…

Zadruge omogućavaju i:
-Zadrugarsko udruživanje finalnog kapitala
– Zajedničko korišćenje mehanizacuje i njeno servisiranje…
– Organizacija sezonskih poslova, zapošljavanje…Zadruge su u SFRJ uvek zapošljavale od 20 do 50 sezonskih seoskih radnika, koji su živeli u selu,  sa kućom i okućnicom, ali bez mogućnosti da se bave ozbiljnijom poljoprivrednom proizvodnjom.
– Jedini način ukrupnjavanja kapitala, bez raslojavanja drustva               omogućavaju zadruge. Sakupljena veća količina robe na jednom mestu-u zadrugama omočućava transport zeleznicom, dobru konkurenciju i vrlo razložno pojavljivanje na tržištu
– I td….
Pogledati neka mišljenja o današnjim zadrugama na:
Kod nas- http://bif.rs/2016/01/zadrugarstvo-u-srbiji-pogled-iz-eu-vise-od-alternative/
Kod Hrvata- http://lupiga.com/vijesti/zadrugarstvo-kao-izlaz-iz-krize-zadruge-u-svijetu-zaradjuju-miljarde-a-u-hrvatskoj-ih-drzava-gusi

Nabrojane usluge bi bile jeftinije jer je rad, nabavka i prodaja na veliko, a uz pošten rad, bez prevare i lopovluka, zadruge bi dobro rade i u uslovima inflacije; u SFRJ sve je išlo dobro dok se  istovremeno preuzimala  roba i vršila isplata. Kada se prešlo na preuzimanje robe i isplatu posle pola godine, zadrugarstvo je propalo.

Naročito interesantne zadruge bi bile one koje bi vršile otkup-plasman brzo kvarljivih voćnih vrsta: maline, kupine, trešnje, breskve, kajsije…, utovar na stanicama brzih pruga i njihov plasman na sever, u gradove koji su udaljeni dve do tri hiljade kilometara.

U vagonima-hladnjačama , gde je temperatura od plus četiri do plus šest stepeni, nezamrznute – u prirodnom stanju bi se, od 10h naveče do 10h ujutro, prevezle na pijace Krakova, Ostrave, Minska… Brzim prugama od dvesta, pa i više, kilometara na sat bi se za jednu noć završio pomenuti prevoz.

Nakon dvadesetak dana, zbog kasnije vegetacije voćaka, isti proizvodi bi se transportovali ka jugu i time bi se sezona prodaje pomenute osetljive robe na pijacama severa i juga  proširila na dva meseca. Ne vrši se duboko zamrzavanje voća u hladnjačama, manje bi se trošila el. energija, manje zagađenje vazduha, manji nepotrebni troškovi…

Svaki dan, narod u svojoj potrošačkoj korpi ima poneki proizvod koji će prolaziti pravcem sever- jug, istok-zapad
Svima je jasno da svakodnevne namirnice ne možemo naći samo u zapadnoj Evropi- preskupe su, nemamo iste plate- standard; ostaje nam  da se okrećemo gde moramo. Moraju se graditi dodatni i dopunski trgovački pravci, kako bismo došli do onoga do čega na drugoj strani nismo mogli naći. Sve zajedno je prilika za snažno akcionarsrstvo, pogotovo zadrugarstvo, svih pomenutih naroda.

Pogledajmo ilustracije mesta kontejnerskog pretovara i neke oblike kontejnera :
Slika br. 15 : Lokacija kontejnerskih luka u području severnog Sredozemnog mora
kontejnerske-luke-bmp
Izvor: Blue Plan Notes N0 14 – March 2010

SL.br. 8 Kontejnerska luka:
kontejnerska-luka-bmp
Izvor: zagubio sam adresu…

SL.br. 9 i SL. br.10 preuzete su sa: Singidunum, diplomski rad-Milan Dragojević:
SL. br. 9 Kontejneri na železnici
kontejneri-na-zeleznici-bmp

SL. br. 10. Kontejner – cisterna
kontejner-cisterna-bmp

Šta je sa Sredozemljem i severom Afrike?

Brodovima Srdozemljem bi se vozili proizvodi do Grčke, a vraćali bi se puni robom ; vršila bi se robna razmena, a ne novčana razmena. Dobit ne bi bila velika , ali bi se nadoknadila većim tržištem, većom proizvodnjom, ponudom i potražnjom.

Šta se u budućnosti može očekivati na severu Afrike? Šta će biti traženo i zbog čega bi se uspostavljao trgovački put razmene roba i usluga, tehnologija, kao i pratećih poslova koji se u budućnosti mogu očekivati?

Najznačajnije tehnologije budućnosti planete Zemlje su energetska postrojenja i postrojenja za proizvodnju i obezbeđenje vode na svakoj tački planete i za svakog stanovnika; energija i voda omogućuje svakom stanovniku da zasnuje svoju ekonomiju u mestu gde živi, i u opštem slučaju, spreči migracije stanovništva zbog nedostatka vode.

Predlog tehnologija:
– Severnoj Africi, na saharskom delu, mogu se ponuditi tehnologije za proizvodnju el. energije na bazi toplote sunčeve svetlosti, vazdušnih-gasnih turbina i vertikalnog strujanja toplog vazduha.
-Za proizvodnju slatke vode mogla bi se plasirati tehnologija na bazi toplotnih pumpi, toplote sunčeve svetlosti, prirodnog isparavanja…, pored već primenjenih: VVD, RO i drugigih metoda desalinizacije.
Budućnost živog sveta:
Sve što se izgradi na severu Afrike biće praktična provera sposobnosti postojeće tehnologije, da u surovim uslovima za život, kakvi nas čekaju u budućnosti na širem delu planete Zemlje, možemo da stvorimo normalne uslove za biljni i životinjski svet.

Sva mesta, sa pomenutim problemom, su tržišta za tehnologije budućnosti pratećih grana privrede. Današnje tržište nije zasićeno ovom vrstom tehnologije, što se za ostale tehnologije ne može reći. Šta susedi mogu jedan drugom prodati? Samo ono što drugi nema. Najvažnije je: otkriti koja tržišta nisu zasićena nekom robom.

Na sledećem linku mogu se videti mesta gde se već primenjuju postrojenja za proizvodnju slatke vode iz morske, tj. tržište za najznačajniju robu budućnosti-vodu: http://www.planeta.rs/45/04_tehnologije.htm .
Grafička ilustracija desalinizacije vode u svetu:
desalinizacia-vode-u-svetu-bmp

Izvor: https://www.google.rs/search?q=desalinizacija+vode&ie=utf-8&oe=utf-8&client=firefox-b-ab&gws_rd=cr&ei=X5OpWJ3RJMPbU8yShfgK

U svom članku pokušavam ukazati
na jedno i na drugo, na poslove severa i poslove juga. Zajedničim nastupom pomenute grupe zemalja, ili bilo koje druge grupe, lako se  može realizovati ova priča.

Nedavna poseta grčkog premijera Aleksis Ciprasa Srbiji je možda prilika da se plasira pitanje tržišta na pomenutom pravcu sever-jug, pitanje za robe i usluge koje će neposredno obuhvatiti zemlje: Poljsku, Češku, Slovačku, Mađarsku, Srbiju, Makedoniju, Grčku, Libiju. Sasvim dovoljan broj zemalja za funkcioniisanje tržišta pomenutih zemalja, dovoljno likvidno, stabilno i van uticaja svetskih zbivanja

Tri sadašnja premijera:
Premijer Viktor Orban,
orban

premijer Aleksandar Vućić,
Arbeitsbesuch Serbien, VK Michael Spindelegger trifft den serbischen Vizepremier Aleksandar Vucic, Belgrad, 29.11.2012, FOTO: Dragan TATIC

i premijer  Aleksis Cipras
tsipras15-2yhts97ektp49wyfepu70g_big

možda imaju priliku, možda mogu stvoriti i nešto uraditi od ovoga o čemu sam govorio u gornjim redovima članka; između ostalog- mogu dati predlog  za formiranje liste zajedničkih interesa na tržištu tehnologija solarne energije, nafte, vode i tehnologija, koja obezbeđuju zdravu sredinu, zdravu hranu i dostojan život naroda svih zemalja na pomenutom pravcu; posebno su bitna postrojenja koja mogu obezbediti poljoprivrednu proizvodnju u afričkim klimatskim uslovima, a koji, u skoroj budućnosti i nas čekaju.

Može se na planeti Zemlji živeti i od sopstvenog rada, normalnom razmenom roba i tehnologija, bez ratova i otimanja tuđih dobara radi obezbeđenja lične budućnosti?

Nikada u istoriji pomenutih država nije postojao visok stepen razmene dobara i usluga na pravcu i potezu Libija- Poljska. Imam neki predosećaj da je došlo vreme za to.

Napomena:
Svaki članak se uvek ažurira, dopunjava, pojašnjava i ispravlja. Međutim, zamisli i ideje u člancima su suština i ne menjaju se. Pošaljite vaše ideje, konkretne dobre primere, ili ukažete na teškoće u realizaciji projekta. Biće objavljeno.

Od autora:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs

Власинско језеро

„Власинско језеро је акумулационо језеро на југоистоку Србије са површином од 15 km² и дубином до 35 m. Језеро се налази на подручју општине Сурдулица. Језеро се налази на 1.204 m (средњи нив…

Извор: Власинско језеро

Slobodan stih- Vidokaz jezera Zaovine

                                 Видоказ језера Заовине

Препорука:
Пре опште друштвене и економске глобализације сваки дан погледати и прочитати Видоказ језера Заовине

Одушевљен сам језерцетом Заовине. Фотографију сам нашао на: “Jezero u Zaovinama na Tari. Jun 2016.“; од господина Nenad Maric <neshomare@gmail.com> i na twiteru: „taradrina Jun 10“

Više podataka o jezeru videti na: http://zivetisaprirodom.rs/zaovine-jezero-ocaravajuce-lepote/ ,
http://www.telegraf.rs/vesti/2753691-ovo-nije-kanada-aljaska-ni-novi-zeland-skriveni-kutak-srbije-dokle-se-kolima-brzo-stize-odakle-god-da-idete-foto

Један део мојих утисака,осећања…написао сам u obliku pesme испод Marićeve слике:
cknco0kwyaaawxs-jpg-large-zaovina
                 Видоказ језера Заовинe

Дуж белих облака у води
жути камен обале води.
и све се у даљини своди.

Зелене груди, мајка природа…
све ме на нешто наводи,
утихла стрелица мисао у прошлост води.

Душу своју сам добро разумео:
траг је мој на крају воде,
тајанствен сумрак у светлост оде.

Аутор песмице
дип. маш. инж. Младен Поповић
mladenpopo@open.telekom.rs

 

Šema za pisanje jednačine prave na polinomu n-tog stepena

Šema za pisanje jednačine prave na polinomu n-tog stepena
Šema pisanja koeficijenata jednačine prave na polinomu n-tog stepena pomoću razlika kvadrata x22 – x21 apscisa tačaka, razlika kubova, razlike četvrtih stepena…n-tih stepena

Metod rada – koeficijenti prave
Bazni izrazi – binomne razlike

Šema br.1- binomi razlika apscisa:
x12 – x11 = (x2 – x1 )(1);
x22 – x21 = (x2 – x1 )( x1+x2) – bazni izraz polinoma F2(x) drugog stepena;
x32 – x31 = (x2 – x1 )( x12 +x1x2+x22 ) – bazni izraz polinoma F3(x);
x42 – x41 = (x2 – x1 )[ x13+x1x2(x1+ x2 ) +x23 ] – bazni izraz polinoma F4(x);
x52 – x51 = (x2 – x1 )[ x14+x1x2(x12 +x1x2+x22)+x24 ] – bazni izraz polinoma F5(x) ;
.
.
xn2 – xn1 = (x2 – x1 )[ x1n-1 +……………………  +x2n-1] – bazni izraz polinoma n-tog stepena Fn(x) .
Množenjem ovih izraza koeficijentima a0, a1, a2, a3, a4, a5, . . . . , an-1 i njihovim sabiranjem dobija se formula za koeficijent pravca kn jednačine prave fn(x). Jednačina prave fn(x) je prava polinoma Fn(x).

Šema pisanja koeficijenata prave na polinomu četvrtog, petog i n-tog stepena

Čevrti stepen:
F4(x) = a0x4 +a1x3 +a2x2 + a3x + a4;
f4(x). = k4x +n4 – jednačina prave na polinomu F4(x) ;

k4
= a0[x13+x1x2(x1+ x2 ) +x23 ]+a1[x12 +x1x2+x22 ]+a2(x1+x2 )+ a3(1)
– koeficijent pravca prave;
n4 = a4 – x1x2 k3 – slobodni član prave,
k3 – koeficijent pravca prave na polinomu F3(x) = a0x3 +a1x2 +a2x + a3.

Peti stepen:
F5(x) = a0x5 +a1x4 +a2x3 + a3x2 + a4x + a5;
f5(x). = k5x +n5 – jednačina prave na polinomu F4(x) ;

k5 = a0[x14+x1x2(x12 +x1x2+x22)+x24]+a1[x13+x1x2(x1+x2 )+x23 ]+a2[x12 +x1x2+x22 ]+a3(x1+x2 )+ a4 (1)– koeficijent pravca prave;
n5 = a5 – x1x2 k4 – slobodni član prave,

Šema pisanja jednačine prave na polinomu n-tog stepena.bmp

N-ti stepen: Fn(x) = a0xn +a1xn-1 +a2xn-2 +……..+an;
fn(x). = knx +nnjednačina prave na polinomu Fn(x) ;
kn = a0[x1n-1 +….+x2n-1]+a1[x1n-2 +…..+x2n-2]+a2[x1n-3 +…..+x2n-3]+….+an-2(x1+x2 )+an-1 (1)koeficijent pravca prave na polinomu n-tog stepena;
nn = an – x1x2 kn-1slobodni član prave na polinomu n-tog stepena.

Za pisanje vrednosti koeficijenata prave koriste se bazni izrazi iz binomnih razlika. Objašnjene šeme za pisanje formula nije potrebno; boja baznih izraza pokazuje po kom redu se oni postavljaju u formulu za koeficijent pravca prave.

Primer primene šeme za pisanje jednačine prave na polinomu četvrtog i petog stepena videti u zadatku:
Šema za pisanja jedn.prave na polinomu četvrtog i petog stepena

Autor metode i formula:
maš. inž. Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs

Računanje određ. integrala pomoću odsečka prave na y osi

RAČUNANJE ODREĐ. INTEGRALA POMOĆU ODSEČKA PRAVE NA Y OSI

Pravilo integraljenja hiperbola pomoću koeficijenta pravca prave i odsečka prave na y osi
Interval određenog integrala čine presečne tačke prave i krive.
Kriva je hiperbola, a apscise presečnih tačaka su: x1 , x2

Metod rada – koeficijenti prave
Bazne funkcije – hiperbole
Kategorija – odnosi između funkcija

                                    Određeni integral na hiperbolama

Formula za određeni integral hiperbole sadrži: koeficijent pravca
prave kh,1, odsečak nh,1 prave na y osi, razliku x1 – x2 apscisa – donje i gornje granice integraljenja.
Računanje određ. integrala pomoću odsečka prave na y osi.bmp

Vrednost određenog integrala se dobija množenjem: razlike apscisa, koeficijenta pravca prave kh,1  i odsečaka nh,1 prave na y osi.

Izbor zavisi od stepena hiperbole, razlike (x1 – x2) množimo brojevima opadajućeg niza:
, – , (1/1)(x1 – x2), (1/2)(x1 – x2), (1/3)(x1 – x2), (1/4)(x1 – x2), ………. ,(1/n) (x1 – x2).

Nakon ztoga, članove niza množimo : kh,1 – koeficijentom pravca prave h1(x) = kh,1 x + nh,1 na hiperboli H1(x),
nh,1 – odsečkom prave na y osi, ali, na hiperboli dva stepena niže od stepena hiperbole koju integralimo.

Formulu određenog integrala hiperbole Hn(x) i urađeni zadatak videti u dokumentu:
Računanje određ. integrala pomoću odsečka prave na y osi

Autor,
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Apscise tačaka, odsečci pravih na y osi – površina trougla

APSCISE TAČAKA , ODSEČCI PRAVIH NA Y OSI – POVRŠINA TROUGLA
Razlike odsečaka pravih na y osI, razlike koeficijenata pravca pravih  i razlika apscisa temena trougla- površina trougla

Klasične formule površine trougla izražavaju se preko koordinata temena trougla:
1) P∆ABC = (1/2)[ x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)];
2) P∆ABC = (1/2)[ (x2– x1)(y2 + y1) +(x3– x2)(y3 + y2) + (x1– x3)(y1 + y3) ].
Kako izgledaju formule površine trougla kada se površina izražava koeficijentima prave i apscisama temena trougla?

Metod rada-Koeficijenti prave.
Principi:
-Presek dve prave je tačka.
-Trougao je geometrijski oblik dobijen presekom triju pravih.

Ubacivanjem jednačina pravih u izraraz za površinu trougla, pod rednim br.1, ili rednim br. 2, dobija se nova formula za površinu trougla; formula je prilagođena zadacima(metodu rada koeficijentima prave) u kojima su poznati koeficijenti pravih i apscise temena trougla:
3)
  ————- (3);

važan oblik formule- služi mi za definisanje površine trougla na graficima krivih linija. Pogledajmo, kroz primer, kako se neposredno koristi formula pod rednim br.(3).

Zadatak br.1:
Data je apscisa x1=xA=-1 tačke A na pravoj f12(x) = -2x +3 i apscisa x3=xC=3 tačke C na pravoj f23(x) = 3x -1; tačka B data je presekom f12(x) = f23(x) .
Odrediti površinu ∆ABC.
Izrada
-Potrebna formula:
.

-Potrebne vrednosi:
  k12 =-2,   k32 =3;  n12  =3  , n23 = – 1;
apscisa x2=xB se dobija rešenjem jednakosti:
f12(x) = -2x +3 = f23(x) = 3x -1
-2x +3 = 3x -1  →    x=x2=4/5  , x1=-1,  x3=xC=3;

-Površina:
,

→                                        P∆ABC = = 9,9 . 

3.1) Moja omiljena formula površine trougla na paraboli izvedena je pomoću formule za površinu trougla date pod rednim brojem (3) :
PABC =(1/2) a0(x3 – x1)(x1 – x2)(x2 – x3). ————————- 3.1.

4) Primer primene formule površine bilo kog trougla, gde se za potrebe formule koriste  odsečci pravih na y osi i  razlike apscisa temena trougla- preseci triju pravih:
P∆ABC =(1/2) [ (x2– x1)n12 + (x3– x2)n32 + (x1– x3)n31] ———–  4.1, ili:
P∆ABC =(1/2) [ x1(n31– n12 ) + x2(n12 – n32 )+ x3(n32 – n31)] —–  4.2.

Primer primene formule pod rednim bojem 4.1:

Apscise tačaka, odsečci pravih na y osi - površina trougla

Zadatak br.2: Data je parabola i tri prave:

Tri prave se seku, i u ovom zadatku sasvim slučajno seku se na paraboli gradeći ∆ ABC. Odrediti položaj i površinu ∆ ABC koristeći formulu:
P∆ABC =(1/2 ) [ (x2 – x1)n12 + (x3 – x2)n32 + (x3 – x1)n31].

Izrada
-Apscise temena trougla:
a) Presek prve i treće prave:

b) Presek prve i druge prave:

c)Presek druge i treće prave:

-Odsečci pravih na y osi su:   n12  =1/2  ,     n13 = -3 ,     n23 = – 13.

Kada je trougao na grafiku parabole odsečke računamo po formulama:
n12 = a2 – a0 x1x2 = 2 – (1/2)(1)(3) = 1/2                         n21 = 1/2 ,
n32 = a2 – a0 x2x3 = 2 – (1/2)(3)(10) = -13                       n32 = -13 ,
n13 = a2 – a0 x1x3 = 2 – (1/2)(1)(10) = – 3                        n13 = -3 ;
Zadatak se može reši i kada nisu date vrednosti odsečaka pravih na y osi;
x1 , x2 , x3  su , po opisanom postupku, dobijeni iz:
k12 = -3,   k32 = 3/2,  k13 = 1/2
Primenu formula u izradi zadatka videti u članku:  Apscise tačaka, odsečci pravih na y osi – površina trougla

Na slici ispod je grafički prikaz sabiraka iz formule površine trougla, formule date pod rednim bojem 4,1; apscise i odsečci pravih na y osi:

Grafičko tumačenje formule površine trougla.bmp

5) Primer jednog oblika formule za površinu trougla dobijen iz uslova jednakosti koeficijenata dveju kubnih jednačina(biće obrađen posebno):
P∆ABC = – [1/2(a0)2](k1 – k2)(k2 – k3)(k3 – k1)  –  formula za računanje površine trougla  proizvodom razlika koeficijenata pravca pravih.
Prave su paralelne sa stranicama trougla, a temena trougla su na paraboli .

Proizvod razlika koef. pravaca pravih – površina trougla
Primenu formule videti u dokumentu: Proizvod razlika koef. pravaca pravih – površina trougla


Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs