(x+p)2=(у+q)2=m – Једначина квадрата

Једначина(е)  четири темена квадрата, центра квадрата,  дијагонала квадрата ; математичка веза тачке А помоћног координатног система џМф и свих елемената квадрата у xOy систему

Метод рада- Коефицијенти и апсцисе једначине праве.

Задатак:
Одреди једначину квадрата ако је страница квадрата а=4, центар квадрата Т(1,4).
Потребни обрасци :

Решењa:

Једначина квадрата
(х+р)²=(у+q)²=m
(х-1)²=(у-3)²=4.
Уносом једначине (х-1)²=(у-3)²= 4 квадрата у линију уноса (input)  ГеоГебра, на графику се појављују четири тачке(темена) квадрата:

Математичко извођење и израчунавање елемената квадрата из једначине
(х+р)²=(у+q)²=m  квадрата

1. Једначине дијагонала квадрата
(х+p)²=(у+q)²,
±(х+р)= ±(y+q):
a) +(х+р)= +(y+q),  y_ЦE= х+р-q= x+(-1)-(-3)=x+2,
y_ЦE=x+2 ;
б) -(х+р)= +(y+q),  y_БД=-х-р-q=-x-(-1)-(-3)=-x + 4,
y_БД=-x+4 .

Уносом једначине (х-1)²=(у-3)² дијагонале квадрата у линију уноса (input)  ГеоГебра, смештају се праве дијагонала квадрата на  супротна темена квадрата :

2. Тежиште, центар квадрата
y_ЦE(x)= y_БД(x):
х+р-q= -х-р-q,  x=x_T=-p=-(-1),  x_T=1 ;
y_ЦE(x_T)= х_T+р-q=-p+p-q=-q    y_ДE(x_T)=-q     y_ДE(-1)=-(-3)=3.
Т(x_T+, y_T)= Т(-p,- q)= Т(1,3).
Збирни приказ  квадрата,  дијагонала  квадрата и тачке А у систему хОy и џМф:

3. Aпсцисе темена квадрата

4. Oрдинате темена квадрата

5. Страница квадрата

6. Површина квадрата
P=4m.
7. Темена квадрата

Аутор-деда из Лознице, срдачан поздрав.
инж. Младен Поповић

Једначина x+p=у+q=m тачке A и дијагонале квадрата

-Једначина х+p=у+q=m тачке A(m-p,m-q) прамена prave  или тачке М(-p, -q) прамена у помоћном координатном систему џМф.
– Једначина једне дијагонале квадрата..

Метод рада- Коефицијенти и апсцисе једначине праве.

Тачка А се на графику ГеоГебре добија уносом једначине x+p=у+q=m са конкретним коефицијентима  х+1=у+3=7. Резултат је:

Наравно, да би посетилац лакше видео шта је главна тема, график сам допунио потребним вредностима које даје једначина х+1=у+3=7 тачке А:

Математичко извођење
x+p=у+q=m:
x+p=m,   х=m-р;
у+q =m,  у=m-q.

За р=1,  q=3, m=7,
х=m-р =7-1=6:   х=х_А=6;
у=m- q =7-3=4:   у=у_А=4.

Дакле:
A(m-p,m-q)= A(6,4).
A(-p,-q)=A(-1,-3) у помоћном координатном систему џМф.

Једначина прамена и дијагонале квадрата
x+p=у+q=m:
x+p=у+q,
у=х+q-р.
у=х+3-1=х-2,    у=у_DE=х-2.

График једначине дијагонале квадрата и тачке прамена А:

Вишеструко значење:
Био ми је проблем како да назовем једначину, одлучио сам за назив који користим у овом чланку.

Једначину четири темена квадрата Б, Д,Ц,Е  ћу обрадити у наредном чланку.

Срдачан поздрав и добро здравље од деде из Лознице!
инж.Младен Поповић

Ако признамо државу Косово ..

Метод рада- Коефицијенти једначине праве.

Ако признамо државу Косово и ако некад Србија буде јача од Американаца или Руса и крене ли на силу да га врати, потомци Србије ће бити оптужени за агресоре.

-Нек се Они учлањују где хоће, Устав се по овом питању не сме мењати.

-Нека нас прати срећа и храброст!
инж. Младен Поповић.

Дужина дужи на параболи и дужина дуж праве – график птице

 

ф_А0,М1 (х) – права,
Ф_ПАР. (х) – парабола.
Графици функција  су неисцрпан извор врло лепих графичких облика.

Срдачан поздрав!
инж. Младен Поповић

Богатство моје и твоје

Срећо моја, зоро моја, подне моје, ноћи моје, Сунце моје, Месец мој,
плаветнило, пурпур и руменило моје..
Шумо моја, ливадо моја, башто моја, цветови баште, цветови трешње моје..
Улица моја, двориште моје, другари моји; „ко ће пре да стигне, ко ће пре да ухвати?“ ..
Песмо моја, славуја мог, гугутке моје..
И твоје…

Време писања-седам минута.
инж. Младен Поповић

Затвореном петљом нађи апсцису Xж Талесове пропорције

Задатак:
Знајући апсцисе х₁, х₂ и х₃ темена ∆ А,Б,Ц  наћи апсцису х_Ж темена Талесове пропорције и праве које дефинише затворена петља ∆ А,Ц₁,Ж апсцисом х_Ж.

Метод рада-Коефицијенти и апсцисе једначине праве.

Вредности апсциса темена произвољног ∆ А,Б,Ц :

х₁=-1:2,  х₂=3:2 и х₃=3;
требаће и њихове разлике
х₃-х₂=3-(3:2)=(3:2),   х₂-х₁=(3:2)-(-1:2)=2 и   (х₃-х₂)-(х₂-х₁)=(3:2)-(2) = -1:2 –

За К(х₃-х₂)=(k₃₁-k₁₂)  требаће k₃₁ и k₁₂ :

График произвољног ∆ А,Б,Ц  и теме Ж(х_Ж , – ) Талесове пропорције:

Наравно, као што наведох, за графике се знају само апсцисе х₁, х₂ и х₃ , мада додајем и вредност k₃₁ и k₁₂ .

Одређивање апсцисе х_Ж :

Затвореној петљи карактеристике К_АЦ1Ж ,
(k₁₂-k_А1,Ц1)x₃+( k_Ц1,Ж-k₃₁)х_Ж+(k₃₁-k₁₂)х₁= 0, додајем
k_А1,Ц1= k_Ц1,Ж = -k₃₁ + (k₁₂+k₂₃) и имам
[(k₃₁-k₁₂)-(k₂₃-k₃₁)]x_Ж-(k₃₁-k₁₂)х₁-(k₃₁-k₂₃)х₃ = 0.

Сада замењујем, карактеристикoм К  ∆ А,Б,Ц,
разлике коефицијената правца правих разликама задатих апсциса,
(k₃₁-k₁₂)=К(х₃-х₂),  (k₂₃-k₃₁)=К(х₂-х₁) и добијам
К[(х₃-х₂)-(х₂-х₁)]x_Ж-К(х₃-х₂)x₁+К(х₂-х₁)x₃ = 0.
Ако узмем да је x_Ж = x, задњи облик петље даје две различите једначине праве:

Напомена:
Веома ретко употребљавам Карактеристику К са коефицијентима
n₃₁ , n₂₃ и n₁₂  једначине праве-много је времена потребно, ne uvek, али je метод исти.
За ∆ А,Б,Ц:
К(х₃-х₂)=(k₃₁-k₁₂),  К(х₂-х₁)=(k₂₃-k₃₁);
К(х₃-х₂)х₁=(n₁₂-k₃₁),   К(х₂-х₁)х₃=(n₃₁-n₂₃),
(n₁₂-n₂₃)x₁x₃+(n₂₃–n₃₁)x₂x₁+(n₃₁–n₁₂)x₃x₂=0 —— (11.1).

Срдачан поздрав од деде!
инж. Младен Поповић

 

Затворена петља К – непосредна последица дефиниције ∆ АБЦ

Затворена петља карактеристике К_{∆ АБЦ} , К_{∆ БЦА} и К_{∆ ЦАБ}   је непосредна последица дефиниције ∆ АБЦ

Метод рада –Коефицијенти једначине праве.

1. Дефиниција троугла:
-Геометријски облик настао пресеком три праве.
2. Теме А, теме Б и теме Ц , ∆ АБЦ. настаје пресеком правих:
ф₁₂(х)=ф₂₃(х) ,  х_прес.= х₂ ;
ф₂₃(х)=ф₃₁(х) ,  х_прес.= х₃ ;
ф₃₁(х)=ф₁₂(х) ,  х_прес.= х₁ .
– Вредност једначина правих у тачкама пресека су исте:
ф₁₂(х₂)=ф₂₃(х₂) ,
ф₂₃(х₃)=ф₃₁(х₃) ,
ф₃₁(х₁)=ф₁₂(х₁) ,

3. Својство једначине праве ф₁₂(х) је коефицијент правца праве к₁₂.
Коефицијент правца između две тачке, тачке пресека, је
самосталан.
Коефицијенти правца три праве су:

к₁₂(х₂-х₁)= ф₁₂(х₂)-ф₁₂(х₁),
к₂₃(х₃-х₂)= ф₂₃(х₃)-ф₂₃(х₂),
к₃₁(х₁-х₃)= ф₃₁(х₁)-ф₃₁(х₃).

Збир
к₁₂(х₂-х₁)+к₂₃(х₃-х₂)+к₃₁(х₁-х₃)=
ф₁₂(х₂)-ф₁₂(х₁)+ф₂₃(х₃)-ф₂₃(х₂)+ф₃₁(х₁)-ф₃₁(х₃) = 0  због истих вредности  једначина правих у тачкама пресека;

к₁₂(х₂-х₁)+к₂₃(х₃-х₂)+к₃₁(х₁-х₃) = 0  —– (10).

Вредност затворене петље карактеристике К_{∆ АБЦ} , израз под редним бр. (10), је нула.

ДАКЛЕ:
-Затворена петља је једнака нули због једнаких вредности
једначина правих у тачкама међусобних пресека.

-Затворена петља је параметарска једначина троугла; параметри
су коефицијенти правца правих, односно, коефицијенти правца
страница троугла.

Иначе, затворена петља је само сређен израз једнакости три карактеристике К  ∆ АБЦ, коју сам дефинисао пре неколико година:

К_{∆ АБЦ} – К_{∆ БЦА}=0 или К_{∆ БЦА} – К_{∆ ЦАБ}=0.

Срдачан поздрав и добро здравље од деде уз Лознице!
инж. Младен Поповић

Поклањам две одгојене трогодишње биљке ананаса

Биљке су високе  шестдесетак сантиметара, већи листови су до једног метра.
Саксије биљака су пречника 36 цм и свака биљка је у својој саксији.

Ако су биљке током зиме у кући,  сасвим је довољно светло поред прозора.
При одржавању не траже никакве посебне услове, врло су самосталне.

Даље.. тражиће већи животни простор, мањи стан је недовољан.

Поздрав и добро здравље,
Младен Поповић

Odnos vrednosti “Talesa“ i karakteristike KABC

Talesova  proporcija duž prave ф₃₁(х) i za teme A ima analitičku vrednost T :

А(х₁ , -), Б₂(х₂ , -), Б(х₂ , -), Ц(х₃ , -).

Кarakteristika K_{∆ Б,Ц,А}(х₂ – х₁) = (k₂₃ – k₃₁),
Кarakteristika K_{∆ Ц,Б,А}(х₃ – х₁)=(k₂₃ – k₁₂).
Naravno,
K_{∆ Б,Ц,А} = K_{∆ Б,Ц,А}  .

Dakle, veza(odnos) Talesove proporcije i karakteristike K_ABC je:

– Zadnji izraz je izraz za nerazvijenu zatvorenu petlju karakteristika
K_ABC – K_BCA = 0 ili K_ABC = K_BCA .

Ako se apscisama izraze temena ∆ABC, vrednost Talesove proporcije za taćku A je:
T(x₃-x₁)-(x₂-x₁)=0, svakako i T(k₂₃-k₁₂)-(k₂₃-k₃₁)=0,
a  K_∆БЦА (x₂-x₁) – (k₂₃-k₃₁) j=0 je proporcija karakteristike K_{∆ Б,Ц,А} .

T- brojna vrednost Talesove proporcije je napisana za teme A   ∆ АBC
K_ABC – brojna vrednost karakteristike preseka dve prave, dakle: karakteristiku K čine apscise tačke A i tačke B na pravama i koeficijenati pravca  pravih.

Metod rada – Koeficijenti jednačine prave.

Autor:
inž. Mladen Popović

Zatvorena petlja za Talesovu proporciju

Zatvorena petlja za Talesovu proporciju

Metod rada- koeficijenti i apscise jednačine prave.

Karakteristika K za  ∆ A,Б,Ц je
K(x₃-x₂)=(k₃₁-k₁₂) i K(x₂-x₁)=(k₂₃-k₃₁).

Ako upotrebimo izraze pod rednim brojem (1) i (2), naićete na njih kasnije, Таlesova proporcija je
T[k₂₃-k₃₁]-[k₃₁-k₁₂]=0  i T(x₂-x₁)-(x₃-x₂)=0.

U prvoj prporciji indeksi  koeficijenta k su:
T[₂₃(-)₃₁]-[₃₁(-)₁₂]=0;
T je  brojna vrednost Talesove proporcije.

Sada, kad sklonim T,
  ,
(k₃₁-k₁₂)(x₂-x₁)-(k₂₃-k₃₁)(x₃-x₂)=0,
k₁₂(x₂-x₁)+k₂₃(x₃-x₂)+k₃₁(x₂-x₁)=0.
Sve veličine u petlji su veličine  ∆ A,Б,Ц.

Uopšte:
-Talesova proporcija je odnos dužina duži između tačaka preseka dve paralelne prave i dve prave u preseku.
-Zatvorena petlja se dobija od tačaka preseka tri prve, dakle, ispisuje se duž obima trougla.

Karakteristika K vrlo lako menja izraz Talesove propoorcije i proporcije sličnih trouglova:

-Talesova proporcija (ЦЦ₁):(АА₁), na grafiku je za tačku Ж – presek prave  ф_АЦ(х) и ф_А1,Ц1(х);
– proporcija  (ЦЦ₁):(АА₁) je za stranice sličnih trouglova БЦ₁Ц и БАА₁.

ЦЦ₁=ф₃₁(х₃)-ф₁₂(х₃) = (k₃₁-k₁₂)x₃+(n₃₁-n₁₂) =
(k₃₁-k₁₂)x₃+(k₁₂-k₃₁)x₁=
(k₃₁-k₁₂)(x₃-x₁) = (k₃₁-k₁₂)(x₃-x₁) ……….. !1),

АА₁=ф₃₁(х₁)-ф₂₃(х₁)=(k₂₃-k₃₁)(x₃-x₁)  ….. (2).

Talesova proporcija i proporcija sličnih trouglova su jednake:
  ,

Zbog
ЦЦ₁=(k₃₁-k₁₂)(x₃-x₁) i
АА₁=(k₂₃-k₃₁)(x₃-x₁) ,

Ako u ovaj izraz ubacim jednakost karakteristike K_{∆ Ц,A,B} i K_{∆ B,C,А}
, imaaću da je
.

Dakle,
(k₂₃-k₃₁)(x₃-x₂)=(k₃₁-k₁₂)(x₂-x₁)=0,
k₂₃(x₃-x₂)-k₃₁(x₃-x₂)=
k₃₁(x₂-x₁)-k₁₂(x₂-x₁).

Zadnjа jednakost је zatvorena petlja
k₁₂(x₂-x₁)+k₂₃(x₃-x₂)+k₃₁(x₂-x₁)=0  —- (10).

Sve veličine u petlji su veličine  petlja za ∆ A,Б,Ц.

Zatvorena petlja sa Talesovom tačkom Ж van ∆ AБЦ:


(x_Ж-x₃)(k₂₃-k₃₁)=(x_Ж-x₁)(k₃₁-k₁₂),
[(k₃₁-k₁₂)-(k₂₃-k₃₁)]х_Ж-(k₃₁-k₁₂)х₁+(k₂₃-k₃₁)х₃=0.

Indeksi uz k i x petlje su:
[31,12,23,31]х_Ж (-) [31,12]х₁ (+) [23,31]х₃ (=) 0.

Zatvorenu petlju možemo direktno ispisati sa grafika ∆ AБЦ  i
∆ AA₁Ж:

Petlja ∆ АЦ₁Ж sa grafika je:
(k₃₁-k₁₂)х₁+(k₁₂-k_A1Ц1)х₃+(k_A1Ц1-k₃₁)х_Ж=0. Zamenom k_A1Ц1 = -k₃₁ + k₁₂ + k₃₁  dobiće se konačan izraz zatvorene petlje za ∆ АЦ₁Ж.

Druga jednakost proporcija je sa Talesovom tačkom Ж

(x_Ж-x₃)(х₂-х₁)=(x_Ж-x₁)(х₃-х₂),
[(х₂-х₁)-(х₃-х₂)]х_Ж-(х₂-х₁)х₃+(х₃-х₂)х₁=0.

Indeksi u petlji su:
([2,1,3,2]x_Ж (-) [2,1]x₃ (+) [3,2] (=) 0.

Metod rada – Koeficijenti jednačine prave.
Autor:
inž. Mladen Popović

Zatvorena petlja k31+kDE – (k12+k23)=0

Zatvorenu petlju k₃₁+k_DE – (k₁₂+k₂₃)=0,
samo od koeficijenata pravca pravih, zovem Veličko.

Metod rada-Koeficijenti jednačine prave.

Zatvorena petlja, oko tačke B(presek dve prave) zatvorena je, omeđena s leve i s desne strane apscisom x₁ i x₃ .
Za tačku B se ne nože napisati karakteristika K  ∆ ADB i ∆ CBE zbog

može se napisati za trougao ABC i trougao BDE:
(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃-k₃₁)x₃+(k₃₁-k₁₂)x₁=0,
(k_DE-k₁₂)x₃+(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃-k_DE)x₁=0.

Rešenje ove dve jednačine je
k₃₁+k_DE-(k₁₂+k₂₃)=0  …… (12).

Do rešenja se može doći uz bolje razumevanje što nudi karakteristika K:
Za ∆ EBD i ∆ ABC karakteristika K_{∆ EBD}=K_{∆ BDE}=-K_{∆ АBC} , (x₂-X₃)=-K_{∆ CAB}.
Dakle:

(k₂₃-k_DE)(x₁-X₃)=-(k₁₂-k₂₃)(x₂-X₃),
(k₂₃-k_DE)(x₁-X₃)=K_{∆ ABC}(x₁-X₃)(x₃-X₂)=
K_{∆ ABC}(x₁-X₃)[(k₃₁-k₁₂):K_{∆ CAB}];

(k₂₃-k_DE)(x₃-X₁)=(x₁-X₃)(k₃₁-k₁₂),
k₃₁+k_DE=k₁₂+k₂₃ .

Pravcem k_DE i k₃₁ se određuje i Talesova tačka T za oba trougla.

Ko hoće dalje.. do Bogojavljenja?

Prave:
f₁₂(x)= k₁₂x+ n₁₂ ,
f₂₃(x)= k₂₃x+ n₂₃ ,
f₃₁(x)= k₃₁x+ n₃₁ ,
f_DE(x)= k_DEx+ n_DE ;

Dužine duži:
1) d_AD=f₃₁(x₁)-f₂₃(x₁)=(k₃₁-k₂₃)x₁+n₃₁-n₂₃=(k₃₁-k₂₃)x₁+
(k₂₃-k₃₁)x₃=(k₂₃-k₃₁)(x₃-x₁),
d_AD=(k₂₃-k₃₁)(x₃-x₁);

2) d_AD=f₁₂(x₁)-f_DE(x₁)=(k₁₂-k_DE)x₁+n₁₂-n_DE=(k₁₂-k_DE)x₁+
(k_DE-k₁₂)x₃=(k_DE-k₁₂)(x₃-x₁),
d_AD=(k_DE-k₁₂)(x₃-x₁).

Dakle:
d_AD=d_AD ,
(k₂₃-k₃₁)(x₃-x₁)=(k_DE-k₁₂)(x₃-x₁);
k₃₁+k_DE–(k₁₂+k₂₃)=0.

Jednačine za proveru:
1) d_CE=f₃₁(x₃)-f₁₂(x₃)=(k₃₁-k₁₂)x₃+n₃₁-n₁₂=(k₃₁-k₁₂)x₃+
(k₁₂-k₃₁)x₁=(k₃₁-k₁₂)(x₃-x₁),
d_CE=(k₃₁-k₁₂)(x₃-x₁).

2) d_CE=f₂₃(x₃)-f_DE(x₃)=(k₂₃-k_DE)x₃+n₂₃-n_DE=(k₂₃-k_DE)x₃+
(k_DE-k₂₃)x₁=(k₂₃-k_DE)(x₃-x₁),
d_CE=(k₂₃-k_DE)(x₃-x₁).

Dakle:
d_CE=d_CE ,
(k₃₁-k₁₂)(x₃-x₁)=(k₂₃-k_DE)(x₃-x₁).;
k₃₁+k_DE–(k₁₂+k₂₃)=0.

Naziv “Zatvorena petlja“ uzimam po ugledu na zatvoreno petlju  Omovog zakona- zatvoreno kolo električne energije(struje).

Preporuka:
Logičan tok pisanja zatvorene petlje je:
k₁₂– k_DE + k₃₂ – k₃₁= 0

Imam petlju i za
(n₁₂-n₃₁):x₁-(n₂₃-n_DE):x₁=0,
(n₁₂+n₂₃)-(n₃₁+n_DE)=0 …… (13).

Zadatak br.1:
Poznat je koeficijent pravca

Odredi koeficijent pravca k_DE.

Izrada:
k₃₁+k_DE–(k₁₂+k₂₃)=0,

Zadatak br.2:
Poznati su

Odredi koeficijent  n_DE.
Izrada:
n₃₁+n_DE–(n₁₂+n₂₃)=0,

Napomena:
Gornji grafik sam uradio pomoću brojnih vrednosti iz oba zadatka.

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
inž.Mladen Popović