Limes koeficijenata prave i L Hospital-Bernoulli

Limes koeficijenata prave i L^| Hospital-BernouIli
Za limes koeficijenata prave na krivoj i njen prelazak u tangentu primenljivo je
L^| Hospital-BernouIlijevo pravilo izvoda na neodređeni oblik izraza 0/0

Metod rada – koeficijenti prave.
Zahvaljujući obliku brojioca i imenioca koeficijenata jednačine prave moguće je, i ima smisla, pravilom L^| Hospital-BernouIlija naći njihove izvode.

Temom https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/02/limes-koeficijenata-prave-prelaz-prave-u-tangentu/ pokazano je da se koeficijenti tangente dobijaju limesom koeficijenata prave na krivoj:
– jednačina krive F(x) ;
– jednačina prave f(x)=kx +n i koeficijenti prave :

Nakon provere limesa za k i n, uz uslov da x₂ → x₁ , uočićemo sledeće limese:

Jasno je da se na izraze koeficijenata prave [ψ(x₂)/ ϕ(x₂)] i [ ω(x₂)/ ϕ(x₂)], u postupku određivanja limasa, može uvek primeniti L^|Hospital-Bernoullijevo pravilo izvoda:

Zadatak
Data je logaritamska kriva F(x)=ln(x).
Odrediti jednačinu tangente na krivoj primenjujući L^|Hospital-Bernoullijevo pravilo na koeficijente jednačine prave f(x).

Izrada:
– jednačina krive F(x)=ln(x);
– jednačna prave:

– jednačina tangente f_T(x)=k_T x +n_T:

Jednačina tangente:

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
Autor ivođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Advertisements

Limes koeficijenata prave-Prelaz prave u tangentu

         Limes koeficijenata prave-Prelaz prave u tangentu
Limes koeficijenata jednačine prave su koeficijenti jednačine druge prave, tj. prelaz jednačine prave, prava na krivoj, u jednačinu druge prave pri prelasku  apscise jedne presečne tačke u  apscisu druge

Metod rada-koeficijenti prave.

    Pojam limesa koeficijenata prave

Limes koeficijenata jednačine prave daje koeficijente jednačine druge prave na istoj krivoj.
Da bi dobili koeficijente druge prave limesom koeficijenata prve moramo u imeniocu koeficijenata prve prave ukloniti razliku apscisa (x₂ – x₁),
jer je (x₁ – x₁)=0.

Treba prihvatiti da limes koeficijenata jednačine prave utiče na jednačinu i položaj nove prave ; k i n su k(x₂) i n(x₂), tj.   funkcije su promenljive x₂. Tangenta je samo jedan od položaja prave f(x). Predmet razmatranja nije određivanje vrednosti jednačine prave f(x₁)=kx₁+n, ni vrednosti f(x₂)=kx₂+n:

Primeri primene jednačine prave za izvođenje jednačine tangente na krivoj    

Prava i tangeta na paraboli:
F_a(x)=a₀x²+a₀x+a₂ – jednačina  parabole;
f(x)=kx+n=[a₀ (x₁+x₂)+a₁]x+a₂-a₀x₁x₂ –prava na paraboli;
– apscise  x₁ i x₂ presečnih tačaka prave i parabole i koeficijenti prave:
k= a₀ (x₁+x₂)+a₁ , n= a₂-a₀x₁x₂.
-Apscisa x₂ je “parcijalna”tekuća koordinata koeficijenata prave, a promenljiva x  prave  f(x)  miruje.

Jednačina tangente: 


[a₀ (x₁+x₁)+a₁]x+a₂-a₀x₁x₁= (2a₀ x₁+a₁)x+a₂-a₀x₁² – jednačina tangente
na paraboli u tački sa apscisom x₁.

Prava i tangeta na kubnoj:
F_b(x)=b₀x³+b₁x²+b₂x+b₃ – jednačina kubne;
f(x)=[ b₀(x₁²+ x₁x₂+ x₂²)+ b₁(x₁+x₂)+b₂]x+b₃-x₁x₂ [ b₀(x₁+ x₂)+ b₁]–prava na kubnoj.
Jednačina tangente:
-Limesi koeficijenata jednačine prave na kubnoj se prosto dobijaju  zamenom x₂  sa x₁ , dakle isti  postupak daje jednačinu tangente:
f_T(x)=[ b₀(x₁²+ x₁x₁+ x₁²)+ b₁ (x₁+x₁)+b₂]x+b₃-x₁x₁ [b₀(x₁+ x₁)+ b₁]=
(3b₀x₁²+ 2b₁x₁+b₂)x+a₃-x₁² (2b₀x₁+ b₁), dakle
f_T(x)= (3b₀x₁²+ 2b₁x₁+b₂)x+a₃-x₁² (2b₀x₁+ b₁)  je jednačina tangente na kubnoj.

Prava i tangeta na razlomljenoj funkciji:

-jednačina prave f_R(x) na krivoj R(x) je:

– jednačina tangente f_T(x), f_T(x₁) i f_T(x₂), se ivodi iz limesa koeficijenata prave f_R(x):

Jednačina tangete:

-jednačina tangente na razlomljenoj R(x) je:

Prava i tangeta na krugu:

-klasičan Izraz za koeficijent pravca prave na krugu je:
k(x₂-x₁)= F_K(x₂)-F_K(x₁)=

  ………………… (1).

-Potrebno je od klasičnog izraza koeficijenta pravca prave k, datog pod rednim brojem (1),  izvesti novi  izraz za k u kome neće biti (x₂ – x₁):

Tokom izvođenja izrazi sa korenima  dovoljno i tačno je uzeti znak plus ispred oba korena:
za jednačinu prave i tangete znak je bitan, ali za limes koeficijenata nije.
Proširujemo izraz dat pod rednim brojem (1) zbirom korena:

Kao što je proširen izraz za k isto proširimo i izraz za n:
n(x₂-x₁)= x₂ F_K(x₁)-x₁ F_K(x₂)=

Razliku korena  proširujemo zbirom  korena… izvlačimo i skraćujemo razliku (x₂-x₁) i  na kraju sve završava izrazom datim pod rednim brojem (2):


 ……………. (2).

Novi oblici izraza k i n su spremni za limese.

Jednačina tangente

a)– Koeficijent pravca tangente f_T1(x₁):

b)-Koefiijent  n_T1 (x₁) tangente:
– da ne bi stalno pisali lim…, limes koeficijenta n(x₂) prave na krugu  računamo zamenom x₂  sa x₁ , dakle prosta zamena apscisa u izrazu datom pod rednim brojem(2) daće  limese za n, kao što smo dobili i limesa koeficijenta pravca k_T1 (x₂) tangente; na kraju će obrazac za koefiijent  n_T1 (x₁) tangente biti:

– Jednačina tangente f_T1(x) na krugu F_K(x) je:

Napomena za znak ispred korena u jednačini prave i jednačini tangente:
– ako je F_K(x₁)<q<F_K(x₂), ili je F_K(x₂)<q<F_K(x₁), tada ispred odgovarajućih korena treba staviti suprotni znak;
– znak minus se stavlja ispred korena za vrednosti F_K(x)<q.

Zadatak:
Date su apscise x₁= -1  i x₂=2, apcise prve i druge tačke preseka prave  f(x) i kruga F_K(x). Centar kruga je tačka Q(1,-2), a poluprečnik kruga R²=5.
Kroz tačke preseka, apcisa x₁ i x₂ , napisati jednačinu prave f(x) i jednačine tangenti f_T1(x₁) i f_T2(x₂).

Potrebne vrednosti:
p=1, q=-2;   R²– p²=5-1²=4; x₂-p=2-1=1, p-x₁=1-(-1)=2;
bazni izrazi: x₁+x₂=-1+2=1,  x₁x₂=(-1)(2)=-2;

Jednačina prave na krugu:
f_K (x)=kx+n;    F_K (x₁)<q:

Jednačine tangenti na krugu:
a) f_T1(x₂)= k_T1 x+n_T1 ;  F_K (x₁)<q:



b) f_T2(x₂)= k_T2 x+n_T2 ;  F_K (x₂)>q:

-Sa druge slike primećujemo da se mogu napisati još tri prave i njihove tangente; tokom rada samo menjamo znake korena, a apscise i formule ostaju iste.
-Prilagođeni koeficijenti jednačine prave i njihovi limesi se slično nalaze i za  krive: hiperbolu,elipsu…

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave

Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave
Rešenje određenog integrala polinoma n. stepena proizvodom razlika apscisa –granica integraljenja, i koeficijenta pravca prave na krivoj polinoma n+1. stepena

Metod rada-koeficijenti jednačine prave.
-Za rešene određenog integrala polinoma uzima se koeficijent pravca jednačine prave na krivoj, prvoj krivoj višeg stepena, tj. na polinomu za stepen viši od polinoma integraljenja-integranda. Koeficijenti prave su dati u tabeli br.1 članka: https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/

                                 Određeni integral prave
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina prave, polinom stepena n=1:  f(x)=a₀x+a₁.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=2:
F_A(x)=A₀x²+A₁x+A₂    ……………………………………….. (1).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_A(x) stepena p=2  su:

– Koeficijent pravca prave f_A(x) na usvojenom polinomu F_A(x):
………. (1.1).

Određeni integral prave f(x) u granicama x₁ i x₂ je:
.

               Određeni integral polinoma drugog stepena- parabola
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=2:  F_a(x)=a₀x²+a₁x+a₂.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=3:
  F_B(x)=B₀x³+B₁x²+B₂x+B₃  ………………………………..  (2).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_B(x) stepena p=3  su:

– Koeficijent pravca prave f_B(x) na polinomu F_B(x):
k_B =B₀ (x₁²+ x₁x₂+x₂²)+B₁(x₁+x₂)+B₂ = …………… (2.1).

Određeni integral parabole F_a(x) u granicama x₁ i x₂ je:

         Određeni integral polinoma trećeg stepena- kubna
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=3:  F_b(x)=b₀x³+ b₁x²+b₂x+b₃.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=4:
F_C(x)=C₀x⁴+ C₁x³+C₂x²+C₃x+C₄  …………………………….. (3).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_C(x) stepena p=4  su:

– Koeficijent pravca prave f_C(x) na polinomu F_C(x):
……..  (3.1)

Određeni integral kubne F_b(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Po istom principu koristimo koeficijent pravca prave na polinomu F(x) stepena
p = n+1 i pišemo rešenje određenog integrala polinoma stepena n.
Bazne izraze (x₁+x₂), (x₁²+ x₁x₂+x₂²), (x₁³+ x₁² x₂ +x₁x₂²+x₂³)… pamtimo još od osmogodišnje škole, kada smo učili rastavljanje na faktore razliku dva monoma istog stepena: binom od dva monoma parnog i neparnog stepena: x₁^2p-x₂^2p, x₁^2p-1-x₂^2p-1.

   Zdatak
Data je apscisa x₁=-(3/2) i x₂=(3/2) – granica integraljenja polinoma

Odrediti određene integrale polinoma.

Potrebne veličine:
a) -Za pravu f(x) =-(5/4) x+3:
a₀=-(5/4)  , a₁=3;
– koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_A(x) stepena p=2:

-usvojen polinom višeg stepena  F_A(x)=A₀x²+A₁x+A₂:
F_A(x)=-(5/8)x²+3x+A₂;
– razlika i zbir apscisa i koeficijent k_A pravca prave f_A(x) na usvojenom polinomu F_A(x):
(x₂– x₁)= (3/2)-(-3/2) =3,    (x₁+ x₂)=-(3/2) + (3/2)=0,
k_A =A₀ (x₁+x₂)+A₁=(-5/8)(0)+3=3,     k_A = 3  …………………………… (1,2).

Integral prave f(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Grafički prikaz:

b) -Za parabolu F_a(x)=(1/2)x²-5x+2:
a₀=(1/2)  , a₁=-5,  a₂=2 ;
 – koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_A(x) stepena p=3:


-usvojen polinom višeg stepena  F_B(x)=B₀x³+B₁x²+B₂x+B₃;
– bazni izrazi i koeficijent k_B pravca prave f_B(x) na usvojenom polinomu F_B(x):

k_B=B₀ (x₁²+ x₁x₂+x₂²)+B₁(x₁+x₂)+B₂=

k_B =(19/8) ……………..  (2,2).

Integral parabole F_a(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Grafički prikaz:

c) -Za kubnu F_b(x)=(1/2) x²-3x+5x-2:
b₀=(1/2) , b₁=-3,  b₂=5,  b₃=-2;
– koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_C(x) stepena p=4:

– bazni izrazi i koeficijent k_C pravca prave f_C(x) na usvojenom polinomu F_C(x):
[x₁³+ x₁x₂(x₁+x₂)+x₂³]=[(-3/2)³+(-3/2)(3/2)[-3/2+3/2]+(3/2)³]=0;

k_C=C₀[x₁³+ x₁x₂(x₁+x₂)+x₂³]+C₁(x₁²+ x₁x₂+x₂²)+C₂(x₁+x₂)+C₃=

k_C =(-17/4)   ………………………………  (3,2).
Integral parabole F_a(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Grafički prikaz:

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen Popović

Граф. поступак замене правоугаоника површином троугла

Графoaналитички  поступак замене правоугаоника  површином троугла
Графоаналитичка конструкција троугла између две праве помоћу правоугаоника исте површине – поступак замене површине правоугаоника  површином троугла

Метод  рада: коефицијенти праве.
Техника рада: графичко- аналитичка техника рада.

Задатак
– Дата је површина P_ABCD = аb =1 правоугаоника ABCD, затим,паралелно x оси, страница правоугаоника а=AB=(1/2) и произвољно изабрано теме правоугаоника А(1,-1).
– Дата је једначина праве f_EF(X) =-(5/4)x+4  основне странице g  ∆ ЕFG површине P_∆ЕFG .

Графоаналитичким поступком на правој f_EF(X) конструиши ∆ ЕFG једнаке површине површини правоугаоника ABCD:  P_∆ЕFG  = P_{ABCD .}
Поступак прилагоди  облику  формуле површине троугла између праве f_EF(X) и f_FG(X):
P_∆ЕFG  = (1/2)(x_Е-x_F)[f_EF(x_G) – f_FG(x_G)] = (1/2)(x₁-x₂)[f_EF(x₃₎ – f_FG(x₃₎].
Графички приказ – сл.1:

Из услова једнакости површине троугла и правоуганика у задатку имамо једнакост израза:
P_∆ЕFG  = P_ABCD ;   (1/2)(x₁-x₂)[f_EF(x₃₎ – f_FG(x₃₎]=аb. Очигледна је веза:
а=(1/2)(x₁-x₂),  b=[f_EF(x₃₎ – f_FG(x₃₎],
x_А =(1/2)x₁ ,  x_B =(1/2)x₂;  x_А и x_B су апсцисе темена А и В правоугаоника(погледај сл.1).

Одређивање потребних вредности:
-Одређивање апсциса темена Е и F  ∆ ЕFG:
x₁=2(x₁/2)=2(1)=2,   x₂=2(x₂/2)=2(3/2)=3.
– Oдређивање странице b правоугаоника ABCD:
P_ABCD = аb;   P_ABCD  =1, а=AB=1/2:    1 = (1/2) b   →   b=2.

Потребни кораци:
– Са јединичног  ∆ О₁К_ЕFТ правац О₁К_ЕF паралелно преносимо до одсечка n_EF на у оси; тиме цртамо  праву f_EF(X) .
– На х оси дуплирањем x_А =(1/2)x₁  и  x_B =(1/2)x₂  добијамо апсцису x_Е = x₁  и  x_F = x₂.
– Наносимо вертикале апсциса x₁ и x₂  до пресека са правом f_EF(X)  и дефинишемо темена Е и F  ∆ ЕFG.
Тренутни изглед је:

Преостали кораци су:
– На страницу а=AB вертикално наносимо страницу b=2 и тиме добијамо теме С, а затим и теме D правоугаоника ABCD.
– Повлачимо хоризонталу дуж странице АВ правоугаоника ABCD до пресека са правом f_EF(X)  и дефинишемо тачку пресека G₁.
– Из тачке G₁ вертикално наносимо дуж дужине b=2 и добијамо теме G траженог ∆ ЕFG.

Графички приказ коначног решења:

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Mладен Поповић

Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

Koeficijenti  pravca i rešavanje kosouglog trougla
Određivanje stranica kosouglog trougla koeficijentima pravca jednačina stranica- Uprošćavanje Mallweide-ove formule i formula ostalih teorema trougla u oblasti analitičke geometrije

Metod rada- koeficijenti jednačine prave.
Oblast –analitička geometrija.

Predmet razmatranja:
-kosougli ∆ABC stranica a,b i c na pravama: f₁₂(x), f₂₃(x), f₃₁(x);
– koeficijenti pravca, k₁₂=tg α₁₂ , k₂₃=tg α₂₃ , k₃₁=tg α₁₂ , jednačina pravih;
– uglovi nagiba pravih prema x osi: α₁₂ , α ₂₃ , α ₃₁;
– formule: određivanje stranica a,b i c koeficijentima k₁₂ , k₂₃  i k₃₁.

Predlog formula:
 .………… (1);
  ………….. (2).

                                Izvođenje formula

a) –Izvođenje formule koja sadrži koeficijente pravca pravih i stranice trougla:
 – Površina trougla 2P_∆ABC =(x₂-x₁)(x₂-x₃)(k₁₂-k₂₃) …………… (3);

  – razlike apscisa
(dva izrazi za rastojanje između dve tačke) zamenjujemo u formulu pod rednim brojem (3) :
  ………………….. (3.1);

c=d₁₂=AB – dužina stranice ∆ABC,   a=d₂₃=BC – dužina druge stranice ∆ABC.

– Od površine trougla P_∆BCA =(x₃-x₂)(x₃-x₁)(k₂₃-k₃₁)  ………….. (4), na isti način, dobija se oblik:
  …………………… (4.1);

b=d₃₁=CA – dužina stranice ∆ABC.

– Iz P_∆CAB =(x₁-x₃)(x₁-x₂)(k₃₁-k₁₂)  …………………………………. (5) dobija se oblik:
  ……………………. (5.1).

b) –Jednačenjem  izraza   P_∆ABC = P_∆CAB , datih pod rednim brojem (3.1) i (5.1) ,  tj. od istih, jednakih površina ∆ABC dobija se :

-iste su površine, ali različito je obeležavanje zbog  matematičkog smera i izbora početnog temena u formuli površine ∆ABC.
Naravno, nakon skraćivanja dobijamo već viđenu formulu pod rednim
brojem (1):
 .

P_∆ABC = P_∆BCA ;

. – Nakon skraćivanja imamo formulu datu pod rednim brojem (2):

Zadatak

sa koeficijentom pravca k₂₃ =(3/2). Dati su koeficijenti pravca ostalih dveju stranica ∆ABC: k₁₂ = -3,  k₃₁ =(1/2).
Odrediti stranice  ∆ABC.
Grafički prikaz:

-Potrebne formule su već date pod rednim brojem (1) i (2).
-Potrebne vrednosti veličina za formule:

 

Izrada:
 ,

 ,

Grafički prikaz rezultata:

Potpuno i preglednije urađen zadatak je u dokumentu:
Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

Napomena autora:
–Ako se ne izvrši potpuno skraćivanje na jednakostima  P_∆ABC = P_∆CAB
i  P_∆ABC = P_∆BCA , tada idemo ka sinusnoj teoremi: asin(β)= bsin(α)… ;
α, β,γ su unutrašnji uglovi ∆ABC. Cilj ovog članka nije izvođenje klasične sinusne teoreme, cilj su prve dve formule – računanje stranica trougla koeficijentima pravca jednačine prave: k₁₂=tg α₁₂ , k₂₃=tg α₂₃ , k₃₁=tg α₁₂ , kao i ostanak u analičkoj geometriji..

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen   Popović

Графоаналитичко цртање праве-Kоефицијенти праве

Графоаналитичко цртање праве-Kоефицијенти праве
Графички начин цртања праве коефицијентима једначине праве

Mетод  рада-коефицијенти праве.
Техника рада -графоаналитикa;
потребнa величинa: jeдначина праве f(x)=kx +n.

Да би нацртали праву познате једначине у координатном систему xOy прво се графички одреди правац једначине праве(k), а затим одредити  и вредност слободног члана  n једначине праве на y oси. Да би то урадили, најпре, нацртати помоћни правоугли  ∆ABC  јединичне странице AB:

∆ABC –помоћни троугао:  основна страница AB=1 и наспрамна страница BC=K. Бројну вредност коефицијента k=BC  одређује ордината тачке
C( x_B ,k) и произвољна апсциса x_B, a  страницу AB=1  цртамо на х оси:

 Zadatak
Графоаналитичком методом нацртати праву f₁₂(x)=-2x+3,  f₂₃(x)=3x-1
i  f₃₁(x)=(3/4)x +(23/4)  у равни координатног система xOy.

Израда
-На х оси се црта јединични правоугли троугао за сваки коефицијент правца праве, a на y оси наноси  вредност  n:  n₁₂ , n₂₃ , n₃₁  једначина правих. Следи слика:

– У следећем кораку правац АK₁₂ , АK₂₃  и АK₃₁  паралелно преносимо до одговарајућих тачака: N₁₂ , N₂₃ , N₃₁ , претходно нанетих на у осу.
Следи коначно решење:

Контрола способности ока при опажању:
-На задњој слици око нам је преварено: изгледа да правац АK₂₃  није паралелан са правом f₂₃(x), а јесте.

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Mладен Поповић

Razlika jednačina dveju pravih – Površina trougla

                  Razlika jednačina dveju pravih – Površina trougla
Proizvod razlika ordinata jednačina dveju neparalelnih pravih iznad iste apscise x i razlike  apcisa drugih dveju tačaka ∆ABC daje površinu ∆ABC.  ∆ABC nastaje presekom tri neparalelne prave

Formule za površinu trougla su:
2P_∆ABC = (x₁ – x₂)[f₁₂ (x₃)-f₂₃(x₃)]  —————- (1);
2P_∆BCA = (x₂ – x₃)[f₂₃ (x₁)-f₃₁(x₁)]  —————- (2);
2P_∆CAB = (x₃ – x₁)[f₃₁ (x₂)-f₁₂(x₂)]. —————- (3);
-redosled  ispisivanja indeksa pri obeležavanju apscisa  i pravih je matematički pozitivan smer na ∆ABC.
Sve tri formule Ilustrujemo  slikama:

– Slika za oblik formule date pod rednim brojem(2):
,

– Slika za oblik formule date pod rednim brojem(3):
.

Zadatak

Dat je ∆ABC presekom prave
f₁₂(x)=-2x+3  i  f₂₃(x)=3x-1,  apscisom x₁ = x_A=-1 i apscisom  x₃ = x_c=3.
Odredi površinu P_∆ABC  i koristi prvu sliku.

Potrebne veličine:
-Apscisa x₂  se određuje presekom f₁₂(x)=-2x+3 = f₂₃(x)=3x-1 →  x₂= 4/5;
-vrednosti jednačina pravih za x= x₃=3:
f₁₂(x₃)=-2x₃ +3 =-2(3) +3=-3,
f₂₃(x₃)=3x₃ -1 =3(3)-1=8.

Razlike veličina:
f₁₂(x₃)- f₂₃(x₃)=-3-8= -11;
(x₁ – x₂)= -1-(4/5)= – 9/5.

Izrada
-Formula P_∆ABC  data pod rednim brojem (1) je:
2P_∆ABC = (x₁ – x₂)[f₁₂ (x₃)-f₂₃(x₃)] = (-9/5)[-11] =99/5,
→  P_∆ABC =99:10=9,9.

Provera
-Potrebne veličine: (x₂ – x₃)=[(4/5)-3] =-11/5;   (k₁₂-k₂₃) =(-2-3)=-5.
-Formula:
2P_∆ABC = (x₂–x₁) (x₂–x₃)(k₁₂-k₂₃)=(9/5)(-11/5)(-5)= 99/5,
→ P_∆ABC =99:10=9,9.

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Proizvodi razlika jednačina pravih: Površina trougla u koeficijentima kubne jednačine

Proizvodi razlika jednačina pravih: Površina trougla u koeficijentima kubne jednačine

Rezultat proizvoda uzastopnih razlika triju jednačina neparalelnih pravih je polinom trećeg stepena. U koeficijentima polinoma trećeg stepena nalazimo formulu za površinu trougla.

Oblast-analitička geometrija.
Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –kubna.

Presek tri neperalelne prave grade trougao.
Tvrdnja:
Proizvod  uzastopnih razlika triju jednačina neparalelnih pravih, f_12(x) , f_23(x) , f_31(x) , jednak je polinomu Ax³+Bx²+Cx+D.  Svaki koeficijent polinoma sadrži formulu za površinu trougla.

                                Proizvod razlika jednačina pravih  

Tri neparalelne prave u ravni xOy mogu imati proizvoljan položaj, ili se uslovno mogu vezati za krivu nekog polinoma. Razmotrimo ta dva slučaja:

1)Proizvoljni položaj  tri neparalelne prave:
– Neparalelne prave, f_12(x) = k₁₂x+n₁₂ ,  f_23(x) = k₁₂x+n₁₂ i f_23(x) = k₁₂x+n₁₂ , grade tri tačke preseka.
Iz uslova preseka pravih, f_12(x)=f_23(x) , f_12(x)=f_23(x) , f_12(x)=f_23(x), slede odnosi:
(k₁₂-k₂₃)x₂=n₂₃-n₁₂ ; (k₂₃-k₃₁)x₃=n₃₁-n₂₃ ; (k₃₁-k₁₂)x₁=n₁₂-n₃₁ ——– (1).

-Tačke preseka grade ∆ABC, apscise temena trougla su:
x_A = x₁ ,  x_B = x₂ , x_C = x_3.
Koeficijenti pravca proizvoljnih pravih su: k₁₂, k₂₃, k₃₁, a odsečci pravih na y osi su: n₁₂ , n₂₃ , n₃₁ .

Proizvodi razlika triju jednačina proizvoljnih pravih:
(f_12(x) -f_23(x))(f_23(x) –f_31(x))(f_31(x) –f_12(x))=
[(k₁₂x+n₁₂ )–(k₂₃x+n₂₃)][(k₂₃x+n₂₃ )–(k₃₁x+n₃₁)][(k₃₁x+n₃₁)–(k₁₂x+n₁₂)]=

(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)X³–[(n₂₃-n₃₁)(k₃₁-k₁₂)(k₁₂-k₂₃)+(n₁₂-n₂₃)(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)+(n₁₂-n₂₃)(k₃₁-k₁₂)(k₂₃-k₃₁)]X²-[(n₂₃-n₃₁)(n₃₁-n₁₂)(k₁₂-k₂₃)+(n₁₂-n₂₃)(n₁₂-n₂₃)(k₂₃-k₃₁)+(n₁₂-n₂₃)(n₁₂-n₂₃)(k₂₃-k₃₁)]X+(n₁₂-n₂₃)(n₂₃-n₃₁)(n₃₁-n₁₂) ——————————————————————- (7).

Zamenom izraza datih pod rednim brojem (1) u izraz pod rednim brojem (7) dolazi se do konačnih oblika:

(f_12(x) -f_23(x))(f_23(x) –f_31(x))(f_31(x) –f_12(x))=
(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃) —————————   (2);

(f_12(x) -f_23(x))(f_23(x) –f_31(x))(f_31(x) –f_12(x))=
(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[x³–(x₁+x₂+x₃)x²+
(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)x-x₁x₂x₃] ———————————————-  (2.1);

(f_12(x) -f_23(x))(f_23(x) –f_31(x))(f_31(x) –f_12(x))= Ax³+Bx²+Cx+D —- (2.2);

A=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂),   B=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[-(x₁+x₂+x₃)],
C=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃],
D=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[-x₁x₂x₃] ———————————- (2.3).

-Vezu imeđu (k₁₂-k₂₃), (k₂₃-k₃₁), (k₃₁-k₁₂) I površine P_∆ABC imamo u izrazu
8P³_∆ABC R_(X) = (k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)  —————————– (10).
Naravno, uvek se može iskoristiti jednakost:
(n₁₂-n₂₃)(n₂₃–n₃₁)(n₃₁–n₁₂)= (k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)(x₁x₂x₃).

2)Slučaj preseka tri prave sa tačkama preseka na krivoj polinoma:
– U ovoj situaciji gornji izrazi za koeficijente pravca pravih, k₁₂, k₂₃, k₃₁ , i odsečci pravih na y osi, n₁₂ , n₂₃ , n₃₁ , pojavljuju se u konkretnijem obliku, lako se pamte(osmogodišnje i srednjoškolsko gradivo), i nalaze se u članku https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/ i tabeli br.1 . Razmotrimo proizvode razlika jednačina pravih za prve dve krive polinoma:

Parabola:
-Prave na paraboli, tri prave sa koeficijentima pravca: k₁₂= a₀(x₁+x₂)+a₁ , k₂₃=a₀(x₂+x₃)+a₁,     k₃₁=a₀(x₃+x₁)+a₁.

– Razlike koeficijenata pravca pravih na paraboli:
k₁₂-k₂₃= a₀(x₁+x₂)+a₁ –[ a₀(x₂+x₃)+a₁] = a₀(x₁-x₃)——————–    (3),
k₂₃-k₃₁= a₀(x₂+x₃)+a₁ –[ a₀(x₁+x₃)+a₁] = a₀(x₂-x₁)——————–  (3.1),
k₃₁-k₁₂= a₀(x₁+x₃)+a₁ –[ a₀(x₁+x₂)+a₁] = a₀(x₃-x₂)——————–  (3.2).

– Odsečci pravih na y osi:
n₁₂ = a₂-a₀x₁x₂ , n₂₃ = a₂-a₀x₂x₃ , n₃₁ = a₂-a₀x₃x₁ .
– Razlike odsečaka pravih na y osi:
n₁₂-n₂₃=a₀(x₃-x₁)x₂ , n₂₃-n₃₁= a₀(x₁-x₂)x₃ ,   n₃₁-n₁₂=a₀(x₃-x₂)x₁ — (4).

Kubna:
– Prave na kubnoj, tri prave sa koeficijentima pravca:
k₁₂=b₀(x₁²+x₁x₂+x₂²)+b₁(x₁+x₂)+b₂ ,
k₂₃ =b₀(x₂²+x₂x₃+x₃²)+b₁(x₂+x₃)+b₂ ,
k₃₁=b₀(x₁²+x₁x₃+x₃²)+b₁(x₁+x₃)+b₂ .

– Razlike koeficijenata pravca pravih na kubnoj:
k₁₂– k₂₃=[b₀(x₁²+x₁x₂+x₂²)+b₁(x₁+x₂)+b₂ ]-[b₀(x₂²+x₂x₃+x₃²)+b₁(x₂+x₃)+b₂] =
(x₁-x₃)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁] ————————————————-   (5);
k₂₃– k₃₁=(x₂-x₁)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁] —- ———————————-(5.1);
k₃₁– k₁₂ =(x₃-x₂)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]. ————————————- (5.2).

– Odsečci pravih na y osi:
n₁₂=b₃-x₁x₂[b₀(x₁+x₂)+b₁],  n₂₃=b₃-x₂x₃[b₀(x₂+x₃)+b₁],  n₃₁=b₃-x₃x₁[ b₀(x₁+x₃)+b₁].

– Razlike odsečaka pravih na y osi za kubnu:
n₁₂-n₂₃={ b₃-x₁x₂[b₀(x₁+x₂)+b₁]}-{ b₃-x₂x₃[b₀(x₂+x₃)+b₁]} = [- x₁b₀(x₁+x₂)-b₁x₁+ x₃b₀(x₁+x₂)+b₁x₃]x₂=[b₀(x₃² – x₁²)+b₀(x₃-x₁)x₂+b₁(x₃-x₁)]x₂=
(x₃-x₁)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]x₂ ————————————————-(6);

n₂₃-n₃₁ =(x₂-x₁)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]x₃ ———————————— (6.1);
n₃₁-n₁₂ =(x₃-x₂)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]x₁ ———————————— (6.1).

Sada smo u stanju da dovršimo izraze date pod rednim brojem(2.1) i (2.3); dobiće se kubna jednačina, a koeficijenti, A,B,C,D, kubne jednačine(date pod rednim brojem 2.2) sadrže formulu površine trougla.
Pokažimo to za prave na paraboli, zatim i za prave na kubnoj:

                                                     Za parabolu

a)–  Za parabolu izrazi razlika koeficijenata pravca pravih dati su pod rednim brojevima: (3),(3.1),(3.2), zbog čega će koeficijenti jednačine date pod rednim brojem(2.3) biti:

A=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)=[a₀(x₁-x₃)][a₀(x₂-x₁)][a₀(x₃-x₂)]=
a₀²[a₀(x₁–x₃)(x₂–x₁)(x₃–x₂)]=a₀² [2 P_∆ABC ].
Dakle, izraz unutar srednje zagrade – proizvod a₀ i razlika apscisa, je izraz za površinu  ∆ABC (https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2017/09/09/grupa-formula-za-povrsinu-trougla-na-paraboli-koef-prave/):

A=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)= a₀²[2 P_∆ABC ] —————————-(8.1),
B=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[-(x₁+x₂+x₃)]=2a₀²[P_∆ABC][-(x₁+x₂+
x₃)] ————————————————————————— (8.2),

C=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃]=2a₀²[P_∆ABC][x₁x₂+
x₂x₃+x₁x₃] ——————————————————————- (8.3).
D=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[-x₁x₂x₃]=2a₀²[P_∆ABC][-x₁x₂x₃] ——- (8.4).

Jednačenjem koeficijenata kubne, kubne date pod rednim brojem (7), sa koeficijentima B,C,D, datih na  izrazima (8.2), (8.3) i (8.4) za parabolu, dobija se:
[(n₂₃-n₃₁)(k₃₁-k₁₂)(k₁₂-k₂₃)+(n₁₂-n₂₃)(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)+(n₁₂-n₂₃)(k₃₁-k₁₂)(k₂₃-k₃₁)]=[ P_∆ABC ][-2a₀²(x₁+x₂+x₃)] ————————— (8.2.2);

[(n₂₃-n₃₁)(n₃₁-n₁₂)(k₁₂-k₂₃)+(n₁₂-n₂₃)(n₁₂-n₂₃)(k₂₃-k₃₁)+(n₁₂-n₂₃)(n₁₂-n₂₃)(k₂₃-k₃₁)]=[P_∆ABC][2a₀²(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)]———————- (8.3.3);

(n₁₂-n₂₃)(n₂₃-n₃₁)(n₃₁-n₁₂) =[P_∆ABC][2a₀²(-x₁x₂x₃)] ————— (8.4.4).

                                                Za kubnu

b)-Za trougao na grafiku kubne izrazi razlika koeficijenata pravca pravih dati su pod rednim brojem (5),(5.1) i (5.2):
A=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)=
{(x₁-x₃)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]}{ (x₂-x₁)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]}{(x₃-x₂)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]}= (x₁–x₃)(x₂–x₁)(x₃–x₂)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁][b₀(x₁+
x₂+x₃)+b₁]²=[2 P_∆ABC][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]².

Dakle, i ovde, sve što je  obojeno crveno unutar zagrada je izraz za površinu  ∆ABC
(  https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2017/11/15/grupa-formula-povrsine-trougla-na-kubnoj-koefic-pravca/ ):

A=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)= [2 P_∆ABC ][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]² ——–(9.1),
B=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[-(x₁+x₂+x₃)]=2[P_∆ABC][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]²[-(x₁+x₂+x₃)] —————————————————————– (9.2),

C=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃]=2[P_∆ABC][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]²(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)———————————— (9.3),
D=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[-x₁x₂x₃]=2[P_∆ABC][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]²(–x₁x₂x₃)  ———————————————————————- (9.4).

Jednačenjem koeficijenata kubne, datih u izrazu kubne pod rednim brojem (7), sa koeficijentima B,C,D, datih  u izrazima (9.2), (9.3) i (9.4), dobiće se:

[(n₂₃-n₃₁)(k₃₁-k₁₂)(k₁₂-k₂₃)+(n₁₂-n₂₃)(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)+(n₁₂-n₂₃)(k₃₁-k₁₂)(k₂₃-k₃₁)] =
2[ P_∆ABC ][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]²[-(x₁+x₂+x₃)] ————————– (9.2.2);

[(n₂₃-n₃₁)(n₃₁-n₁₂)(k₁₂-k₂₃)+(n₁₂-n₂₃)(n₁₂-n₂₃)(k₂₃-k₃₁)+(n₁₂-n₂₃)(n₁₂-n₂₃)(k₂₃-k₃₁)] =
2[ P_∆ABC ][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]²[ (x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)] —————— (9.3.3);

(n₁₂-n₂₃)(n₂₃-n₃₁)(n₃₁-n₁₂) =
2[ P_∆ABC ][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]²[-(x₁x₂x₃)] —————————– (9.4.4)

                                                    Zaključak

1) Proizvodi razlika koeficijenata pravca tri proizvoljne prave jednak je:
(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)= 8P³_∆ABC R_(X) =—————- (10)

2) Proizvodi razlika koeficijenata pravca pravih, prave na krivoj polinoma,
jednak je:
(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)= [(x₁–x₃)(x₂–x₁)(x₃–x₂)P]P²=[2P_∆ABC ]P²;
P_∆ABC je površina trougla, a veličina P svakog polinoma ima drugu vrednost:
– za trougao na paraboli P= a₀;
– za trougao na kubnoj, b_o x³+ b₁ x²+ b₂ x+ b₃ ,  P=[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁];
– za trougao na polinomu četvrtog stepena, c_o x⁴+ c₁ x³+ c₂ x²+ c₃ x +c₄,
 P=[c₀(x₁+x₂+x₃)²+c₁(x₁+x₂+x₃)+c₂– c₀(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)]…

Primenjujući isti postupak  i na ostale polinome višeg stepena potvrdiće se postojanje izraza  P_∆ABC  u koeficijentima, A, B,C,D, jednačine  Ax³+Bx²+Cx+D.

3) Takođe, proizvodi razlika jednačina pravih daće formulu površine
trougla P_∆ABC u koeficijentima, A,B,C,D, kubne  Ax³+Bx²+Cx+D:
(f_12(x) -f_23(x))(f_23(x) –f_31(x))(f_31(x) –f_12(x))=
(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[x³–(x₁+x₂+x₃)x²+
(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)x-x₁x₂x₃]    ——————————————– (2.1).

Konačno je:
(f_12(x) -f_23(x))(f_23(x) –f_31(x))(f_31(x) –f_12(x))= Ax³+Bx²+Cx+D —- (2.2).

Autor:
-Pišite ako vas zanima objašnjenje formule  date pod rednim brojem (10). 

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Grupa formula površine trougla na kubnoj-koeficijenti prave

GRUPA FORMULA  POVRŠINE TROUGLA NA KUBNOJ- KOEFICijENTI PRAVE
Kubna i njene prave: Formule za površinu trougla na kubnoj- Proizvod prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i kubne

 Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –kubna.
Oblast-analitička geometrija.

Pretpostavke:
a) Tri prave, f_12(x) , f_23(x) , f_31(x) , međusobno se seku na krivoj
F_b(x) = b_ox³ + b₁x² + b₂x + b₃  u tački A, B i C.

b) Tačke preseka grade ∆ABC. Apscise temena trougla su:
x_A = x₁ ,  x_B = x₂ , x_C = x_3.

c) Jednačine pravih između tačaka A, B i C su:
f_12(x) = k₁₂x + n₁₂ = [b₀(x₁²+x₁x₂+x₁²)+b₁(x₁+x₂)+b₂]x + b₃-x₁x₂ [b₀(x₁+x₂)+b₁],
f_23(x) = k₂₃x + n₂₃ = [b₀(x₂²+x₂x₃+x₃²)+b₁(x₂+x₃)+b₂]x + b₃–x₂x₃ [b₀(x₂+x₃)+ b₁],
f_31(x) = k₃₁x + n₃₁ = [b₀(x₁²+x₁x₃+x₃²)+b₁(x₁+x₃)+b₂]x + b₃-x₁x₃ [b₀(x₁+x₃)+b₁].

Tvrdnja
Formule za računanje površine ∆ABC na kubnoj mogu se napisati u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i kubne, tj. funkcionalno zavise od:

1) b_o , b₁ – koeficijenata kubne,
x₁ , x₂ , x₃ –apscisa tačaka temena trougla:
P _ABC =(1/2)(x₁ – x₂ )(x₂ – x₃ )(x₃ – x₁ )[ b₀(x₁+x₂+x₃ )+ b₁]   — (1);

2) b_o , b₁ – koeficijenata kubne,
x₁ , x₂ , x₃ –apscisa tačaka temena trougla,
k₁₂ , k₂₃ , k₃₁ -koeficijenata pravca pravih:
————- (2);

3) b_o , b₁ – koeficijenata kubne; n₁₂ , n₂₃ , n₃₁ – odsečaka pravih na y osi,
x₁ , x₂ , x₃ –apscisa tačaka temena trougla:
———— (3).

Sve formule su izvedene istim postukom, postupkom koji primenjujem radi izvođenja izraza za površinu trougla na polinomima: “Šablon za izvođenje oblika formule-a površine trougla na krivoj polinoma n-tog stepena“; izrazi su u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i polinoma.

Zadatak:
Tri prave, f_12(x) , f_23(x) , f_31(x) , međusobno se seku na krivoj
F_b(x) = b_ox³+b₁x²+b₂x+b₃ u tački A, B i  C. Tačke preseka grade ∆ABC.

Poznate veličine:
a) n₁₂ =151/16 ,  n₃₁ = -15/48   -odsečci pravih na y osi;
b) x₂ = x_B =3    –apscisa tačke B.

Na slici ispod je grafički prikaz veličina zadatih u zadatku:

Izračunati:
1) Apscise presečnih tačaka trougla.
2) Izrčaunati površinu trougla ABC na kubnoj F_b(x) =(1/3)x³ -3x² +5x +1 po formuli datoj pod rednim rojem (3).

                                                   Izrada

Potrebne formule za oba zadatka
a)Površina trougla:
.

b)Odsečci pravih na y osi:
n₁₂ =b₃-x₁x₂ [b₀(x₁+x₂)+b₁] →  b₃–n₁₂–x₁x₂ [b₀(x₁+x₂)+b₁] =0→
b­₀(x₂)x₁² +(b­₀x₂² +b₁x₂)x₁+n₁₂–b₃ =0 —————-  (5);

n₃₁ =b₃-x₁x₃ [b₀(x₁+x₃)+b₁]
b­₀(x₁)x₃² +(b­₀x₁² +b₁x₁)x₃+n₃₁–b₃ =0 —————-  (6);

n₂₃ =b₃–x₂x₃ [b₀(x₂+x₃)+b₁]
b­₀(x₃)x₂² +(b­₀x₃² +b₁x₃)x₂+ n₂₃–b₃ =0 —————- (7).

1)Određivanje apscisa temena trougla:
– Potrebne vrednosti veličina:
F_b(x) =(1/3) x³ -3x² +5x +1,
.

–Određivanje apscisa temena A i D:
b­₀(x₂)x₁² +(b­₀x₂² +b₁x₂)x₁+n₁₂–b₃ =0.
Zamenom vradnosti x₂ sa x₂=3,
 ,
daje jednačinu 16x₁²-96x₁+135=0.
Rešenja su:
.

–Određivanje apscisa temena C i E:
b­₀(x₁)x₃² +(b­₀x₁² +b₁x₁)x₃+ n₃₁–b₃ =0
Zamenom vradnosti x₁ sa x₁=9/4 ,
,
daje jednačinu 4x₃²-27x₃ -7=0.
Rešenja su:
.

–Određivanje apscisa temena C i F:
a) Određivanje n₂₃:
n₂₃ =b₃–x₂x₃ [b₀(x₂+x₃)+b₁]=1–(3)(7)[ (3+7)-3]=-6.

b) Određivanje apscise:
b­₀(x₂)x₃² +(b­₀x₂² + b₁x₂)x₃+ n₂₃–b₃=0.
Zamenom vradnosti x₂ sa x₂=3,
,
daje jednačinu x₃²-6x₃ -7=0.
Rešenja su:
.

Slika grafika F_b(x) – kubne, trougla ABC , jednačine pravih i njihovih odsečaka- n₁₂ , n₂₃ , n₃₁ na y osi:

2) Određivanje površine:
– Potrebne vrednosti veličina za formulu:
;
x₁=9/4 ,  x₂=3,  X₃=7;
;
,
.

-Površina:
; 

, ;
-površina P _DEF je duplo veća od P _ABC, odnosno, njihov odnos je (1:2).

Prema uslovima zadatka rešenja su: P _ABC, P _AEB. i P _KDB.  Rešenja za  P _AEB i P _KDB. ostavljam čitaocu:

Detalje izrade zadatka videti u dokumentu:
GRUPA FORMULA POVRŠINE TROUGLA NA KUBNOJ- KOEFIC. PRAVE

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

Grupa formula za površinu trougla na paraboli-koef.prave

GRUPA FORMULA ZA POVRŠINU TROUGLA NA PARABOLI- KOEF. PRAVE
Parabola i njene prave: Formule za površinu trougla na paraboli u oblku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i parabole

Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –parabola.
Oblast-analitička geometrija.

Pretpostavke:
a) Tri prave- f_12(x) , f_23(x) , f_31(x) , seku parabolu
F_a(x) = a_ox² + a₁x + a₂ u tački A, tački B i tački C.
b) Preseci  pravih grade ∆ABC. Apscise temena trougla su:
x_A = x₁ ,  x_B = x₂ , x_C = x_3.
c) Jednačina prave između tačke A i B:
f_12(x) = k₁₂x + n₁₂ = [a₀(x₁ + x₂) + a₁]x + a₂  – a₀x₁x_{2 .
d}) Jednačina prave između tačke B i C:
f_23(x) = k₂₃x + n₂₃ = [a₀(x₂ + x₃) + a₁]x + a₂  – a₀x₂x_{3 .}                
e) Jednačina prave između tačke C i A:
f_31(x) = k₃₁x + n₃₁ = [a₀(x₃ + x₁) + a₁]x + a₂  – a₀x₃x_{1 .}                       

Tvrdnja
Formule za računanje površine ∆ABC na paraboli mogu  se napisati u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i parabole, tj. funkcionalno će zavisiti od:

1) koeficijenta parabole a_o i apscisa, x₁ , x₂ , x₃ , tačaka temena trougla– puna zavisnost površine od apscisa:

    ——– (1)

2) koeficijenta parabole a_o i koeficijenata, k₁₂ , k₂₃ , k₃₁ , pravca pravih – puna zavisnost površine od koeficijenta parabole i koeficijenata pravca pravih na paraboli:
;  —— (2)

3) koeficijenata parabole a_o i a₂ , odsečaka, n₁₂ , n₂₃ , n₃₁ , pravih na y osi  i apscise x₂ jednog temena trougla – delimična zavisnost površine od sva tri analitička elementa:
,
  ——– (3)

4) koeficijenata parabole a_o , a₂ i odsečaka, n₁₂ , n₂₃ , n₃₁ , pravih na y osi- puna zavisnost površine od koeficijenata parabole i odsečaka pravih na у оsi:
——— (4)

Zadnja formula površine trougla, pod rednim brojem (4), funkcionalno zavisi samo od:
a) a_o , a₂ – koeficijenata parabole F_a(x) = a_ox² + a₁x + a₂;
b)odsečaka n₁₂ , n₂₃ , n₃₁ pravih na y osi.

Sve formule su izvedene istim postukom, postupkom koji primenjujem radi izvođenja izraza za površinu trougla na polinomima: “Šablon za izvođenje oblika formule-a površine trougla na krivoj polinoma n-tog stepena“; izrazi su u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i polinoma.

Zadatak:
1) Izračunati površinu trougla ABC- trougao od tri prave na paraboli

ako su poznati odsečci pravih, n₁₂ , n₂₃ , n₃₁, na y osi;
brojne vrednosti odsečaka su : n₁₂ = 1/2 ,   n₂₃ = -13,   n₃₁ = -3.

2) Odrediti apscise presečnih tačaka, A,B,C, pravih i napisati jednačine sve tri prave.

Na slici ispod je grafički prikaz veličina zadatih u zadatku:

                                               Izrada
Potrebne formule za oba zadatka:

a)Površina trougla:
  .

b)Odsečci pravih na y osi:
n₁₂ =  a₂  – a₀x₁x_{2 —–} (5);   n₂₃ = a₂  – a₀x₂x_{3 ——} (6);
n₃₁ = a₂  – a₀x₃x_{1 ——– —} (7).
c) Koeficijenti pravca pravih:
k₁₂ = a₀(x₁+ x₂ ) + a₁ ;     k₂₃ = a₀(x₂+ x₃ ) + a₁;
k₃₁ = a₀(x₃+ x₁ ) + a₁ ——- (8).

1) – Potrebne vrednosti veličina:

a₀ =(1/2),  a₁ =-5,  a₂ =2;    n₁₂ =(1/2) , n₂₃ = -13, n₃₁ = -3;
– potrebne razlike veličina:

2) Zbog dužine članka izrada drugog zadatka je postavljena u dokument:
grupa-formula-za-povrc5a1inu-trougla-na-paraboli-koef-prave9

Slika grafika F_a(x) – parabole, trougla ABC , jednačine pravih i njihovih odsečaka- n₁₂ , n₂₃ , n₃₁ na y osi:

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

Presek poznate i “nepoznate prave” – Prave na parabolama

                ODREĐIVANJE PRESEKA PRAVE f_a(x) I PRAVE f_b(x)

Metod koeficijenata prave: Prava f_a(x) na paraboli F_a(x)  i prava f_b(x) na paraboli F_b(x) . Određivanje preseka prave  f_a(x) i prave f_b(x)

                 Presek dve prave bez određivanja jednačine druge prave

Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –parabola.

 Pretpostavke:
a) Prava f_a(x) seče svoju parabolu F_a(x) u tački A i tački C. Apscise preseka su: x_A = x₁ i  x_C = x₂ .
b) Prava f_b(x) seče svoju parabolu F_b(x) u tački D i tački E. Apscise preseka su: x_D = x₁ i  x_E = x₂.
Odnosno,  x_A = x_D = x₁  i  x_C = x_E = x₂
c) Poznate su jednačine parabole F_a(x) i F_b(x) i jednačina prave f_a(x) .
Jednačina prave f_b(x) nije poznata.

Grafik dve parabole F_a(x) i F_b(x) , dve prave i njihov presek P:

Da bi se odredio presek poznate prave f_a(x) i “nepoznate prave” f_b(x) potrebo je uspostaviti potrebne odnose između apscise x_p preseka pravih, koeficijenata  parabola i koeficijenata poznatih pravih.

Potrebne formule:
a) F_a(x) = a₀x² + a₁x +a₂  – parabola,
f_a(x) = [a₀(x₁ + x₂) + a₁]x + a₂  – a₀x₁x₂  = kx +n – prava na paraboli F_a(x) ;
b) F_b(x) = b₀x² +b₁x + b₂ ,
f_b(x) = [b₀(x₁ + x₂) + b₁]x + b₂ – b₀x₁x₂  – prava na paraboli F_b(x) .

Potrebni odnosi:
c) Potrebna je smena za eliminaciju apscisa x₁ i x₂ iz izraza za x_p , izraza pod rednim brojem (3):
k = [a₀(x₁ + x₂) + a₁]  je koeficijent pravca prave f_a(x) , pa je:

n₂ = a₂  – a₀x₁x₂ – slobodan član prave f_a(x) , pa je:

d) uslov preseka f_a(x) i f_b(x) :
[a₀(x₁ + x₂) + a₁]x + a₂  – a₀x₁x₂  =  [b₀(x₁ + x₂) + b₁]x + b₂  – b₀x₁x₂ .
Rešavajući uslov preseka po x  sledi:

Izvođenje izraza za presek dve prave preko koeficijenata jednačine poznate prave i koeficijenata parabola

Transformacijom izraza (3) za x_p ; zamenom x₁ + x₂ i  x₁x₂ vrednostima iz izraza (1) i (2) imamo:

U uzrazu pod rednim brojem(4) apcisa x_p zavisi samo od koeficijenata jednačine prave i koeficijenata jednačina baznih krivih F_a(x) i F_b(x) –što i jeste cilj metode :
a₀ , a₁ , a₂  -koeficijenti jednačine parabole F_a(x) ;
b₀ , b₁ , b₂  -koeficijenti jednačine parabole F_b(x) ;
k, n su koeficijenti iz f_a(x) = kx +n – poznate jednačine prave na paraboli F_a(x).

Zadatak
10) Dati su izrazi:
– Parabola F_a(x) = x² + x -2  i njena presečna prava f_a(x) = 2x +1.

čiji izraz nije poznata, ali se zna da su apscise presečnih tačaka nje i njene parabole iste, kao i apscise presečnih tačaka prave f_a(x) i njene parabole F_a(x) – uslov pri izvođenju formule za presek dve prave.

Odrediti presek poznate prave f_a(x) i nepoznate prave f_b(x), bez određivanja nepoznate prave.

Poznate vrednosti:
F_a(x) = x² + x -2  → a₀ =1,  a₁ =1,  a₂ = -2;

f_a(x) = 2x +1→  k =2,  n=1;

Izrada:
Koristimo obrazac pod rednim brojem (4)-formulu za računanje apscise preseka x_p :

– Izračunata apscisa preseka prave f_a(x) = 2x +1 i nepoznate prave
f_b(x) = [b₀(x₁ + x₂) + b₁]x + b₂  – b₀x₁x₂  l

Isti zadatak i dokaz tačnosti traženih vrednosti možete videti u  dokumentu:
presek-poznate-i-e2809cnepoznate-pravee2809d-e28093-prave-na-parabolama2

Proces dokazivanja je duži nego sam zadatak; proces je duži jer se dokaz izvodi po ustaljenom postupku računanja  presečnih tačaka prave i krive… Na kraju dokaza  napisana je jednačina nepoznate prave f_b(x) .

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
Autor metode:
dip. maš. inž. Mladen Popović