Појели сте љуту паприку и тражите спас

ИМА ЛЕКА

Најбољи  лек да спасете уста и језик, често сам га користио,  је багремов мед или мед од сунцокрета.

Чим се ољутите(заљутите) одмах узмите пуну кафену кашичицу правог, густог, меда. Трљајте језиком усну дупљу(уста) све док се не истопи. Можете то поновити још једном са мање меда. Воду не смете пити! И то је све.

Након десет до двадесет секунди“жар“ нестаје.
Будите опрезни када дајете сув мед малој, уплаканој деци која вриште! Њима дајете мед по мало и непрекидно, и пратите да ли су растопила мед у устима.

Узимање сувог шећера, уместо меда, не помаже- по томе се може препознати и да ли је мед прави или се ради о неком сирупу.

Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Advertisements

Љуту српску паприку претворите у љуткасту

Поступак одузимања“ љутине“ од љуте паприке механичким путем

Расеците уздуж љуту. Узмите нож осредње ширине, још боље закривљени, и по дужини полутке, са унутрашње стране, стружите паприку.

Притисак ножем на паприку подесите да са горњег слоја и са унутрашње стране паприке  стружете(скидате) „слузокожу“ и воду- течност из жарних ћелија паприке.

Увежбаном мајстору кухиње треба три до пет сигурних стругарских покрета, што зависи од љутине паприке. Паприку исперите водом.

Љута паприка је здравија од слатке паприке. У природи се, сама без хемијске заштите, одупире труљењу и другим болестима. У кухињи додајте јој и… бели лук.

Слика је узета са https://www.boljazemlja.com/. Ако не одобравате да буде на овом месту уклониће се.

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Извођење формуле површине троугла – базни израз

                      Извођење формуле површине троугла – базни израз

Извођење формуле површине троугла у облику производа простих чинилаца- разлика апсциса темена троугла и разлике коефицијената правца две странице троугла

                                                      УВОД

Mетод рада-коефицијенти праве

 Базна формула површине троугла 2P_∆ABC =(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃), троугла унутар три непаралелне праве,  је производ  разлика (x₂-x₁)( x₂-x₃)  апсциса темена троугла и разлике( k₁₂-k₂₃) коефицијената правца две странице троугла- права странице AB и странице BC  ∆АBC:
-једначине правих су:
f₁₂(x)=k₁₂x+ n₁₂ ,  f₂₃(x)=k₂₃x+ n₂₃ ,   f₃₁(x)=k₃₁x+ n₃₁ ;
-ознаке апсциса су:  x₁=x_A , x₂=x_B , x₃=x_C .

-Формула површине троугла је базна јер се из ње изводи јединствена формула за површину троугла на свакој кривој лини;
-Формула је базна и због базног израза B(x₂)= (x₂-x₁)( x₂-x₃): површина тоугла унутар три праве има у формули површине базни израз, израз је присутан и у формули површине троугла на произвољној кривој .

                                              ИЗВОЂЕЊЕ

Предуслови:
Да би извели формулу за површину морамо доказати  да је, од апсциса и коефицијената правца правих,
израз ( k₁₂-k₂₃)x₂ + ( k₂₃-k₃₁)x₃ + ( k₃₁-k₁₂)x₁ =0  ……..  (3) ;
израз јенак нули се лако добија из услова пресека трију непаралелних правих изједначавањем једначина суседних правих:
( k₁₂-k₂₃)x₂ =( n₂₃-n₁₂) ,
( k₂₃-k₃₁)x₃ =( n₃₁-n₂₃) ,
( k₃₁-k₁₂)x₁ =( n₁₂-n₃₁) – изрази су под редним бројем (2).

Дакле , саберимо све три једнакости-  сабирамо три израза са леве и три са десне стране једнакости.  Збир са десне стране је нула и то је обележено под редним бројем (3).
Новим груписањем израза датог под редним  бројем (3), груписање уз иксеве, добија се да је
(x₃-x₁) k₃₁ =(x₃-x₂)k₂₃ + (x₂-x₁) k₁₂ ………………………… (3.1).

Израз дат под редним бројем (3.1) може се добити, као и горе, сабирањем левих и десних страна израза:
f₂₃(x₂)-f₂₃(x₃) = – (x₃-x₂)k₂₃ ,
f₃₁(x₃)-f₃₁(x₂)]= (x₃-x₁) k₃₁  i  f₁₂(x₁)-f₁₂(x₂) = – (x₂-x₁) k₁₂ ….. (1.1).

Базна формула површине троугла се изводи из класичне формуле за поврину троугла
2P_∆ABC = x₁( y₂-y₃)+ x₂ ( y₃-y₁)+ x₃ ( y₁-y₂)=
x₁[ f₂₃(x₂)-f₂₃(x₃)]+ x₂[ f₃₁(x₃)-f₃₁(x₁)]+ x₃[ f₁₂(x₁)-f₁₂(x₂)] ——- (1), заменом њених делова у заградама подударним изразима из једнакости дате под редним бројем  (1.1),  затим заменом и израза под редним бројем (3.1).

Замењивање:
Dakle, 2P_∆ABC = x₁[- (x₃-x₂)k₂₃]+ x₂[(x₃-x₁) k₃₁]+ x₃[- (x₂-x₁) k₁₂]=
x₁[- (x₃-x₂)k₂₃]+ x₂[(x₃-x₂)k₂₃ + (x₂-x₁) k₁₂]+ x₃[- (x₂-x₁) k₁₂]=
(x₃-x₂)(- x₁+x₂) k₂₃ + (x₂-x₁)(x₂-x₃) k₁₂= (x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃).
2P_∆ABC =(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃).

                                                ДОДАТАК

Из услова пресека  k₁₂x+ n₁₂=f₁₂(x) = f₂₃(x)=k₂₃x+ n₂₃ 
имамо да је ( k₁₂-k₂₃) x₂=( n₂₃-n₁₂) , a површина троугла, веома брзо , је :
2P_∆ABC =(x₂-x₁)( x₂-x₃)( n₂₃-n₁₂)/x₂ .

                                                ЗАКЉУЧАК

Задатак је био да се изведе формула површине троугла у облику производа простих чинилаца- разлика апсциса темена троугла и разлике коефицијената правца из класичне формуле за површину троугла: 2P_∆ABC = x₁( y₂-y₃)+ x₂ ( y₃-y₁)+ x₃ ( y₁-y₂).
Изведени су докази да је:
( k₁₂-k₂₃)x₂ + ( k₂₃-k₃₁)x₃ + ( k₃₁-k₁₂)x₁ =0,
-(x₃-x₁) k₃₁ +(x₃-x₂)k₂₃ + (x₂-x₁) k₁₂ =0
 и да је тражена формула за површину троугла 2P_∆ABC =(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃).
Добили смо и да је B(x₂)= (x₂-x₁)( x₂-x₃)=x₂²– (x₁+x₃)x₂ + x₁x₃ базни израз површине троугла.

Aутор извођења:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Limes koeficijenata prave i L Hospital-Bernoulli

Limes koeficijenata prave i L^| Hospital-Bernoulli
Za limes koeficijenata prave na krivoj i njen prelazak u tangentu primenljivo je
L^| Hospital-BernouIlijevo pravilo izvoda na neodređeni oblik izraza 0/0

Metod rada – koeficijenti prave.
Zahvaljujući obliku brojioca i imenioca koeficijenata jednačine prave moguće im je, i ima smisla, pravilom L^| Hospital-BernouIlija naći izvode.

Temom https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/02/limes-koeficijenata-prave-prelaz-prave-u-tangentu/ pokazano je da se koeficijenti tangente dobijaju limesom koeficijenata prave na krivoj:
– jednačina krive F(x) ;
– jednačina prave f(x)=kx +n i koeficijenti prave :

Nakon provere limesa za k i n, uz uslov da x₂ → x₁ , uočićemo sledeće limese:

Jasno je da se na izraze koeficijenata prave [ψ(x₂)/ ϕ(x₂)] i [ ω(x₂)/ ϕ(x₂)],   u postupku određivanja limasa, može uvek primeniti L^|Hospital-Bernoullijevo pravilo izvoda:

Zadatak
Data je logaritamska kriva F(x)=ln(x).
Odrediti jednačinu tangente na krivoj primenjujući L^|Hospital-Bernoullijevo pravilo na koeficijente jednačine prave f(x).

Izrada:
– jednačina krive F(x)=ln(x);
– jednačna prave:

– jednačina tangente f_T(x)=k_T x +n_T:

Jednačina tangente:

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
Autor ivođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Limes koeficijenata prave-Prelaz prave u tangentu

         Limes koeficijenata prave-Prelaz prave u tangentu
Limes koeficijenata jednačine prave su koeficijenti jednačine druge prave, tj. prelaz jednačine prave, prava na krivoj, u jednačinu druge prave pri prelasku  apscise jedne presečne tačke u  apscisu druge

Metod rada-koeficijenti prave.

    Pojam limesa koeficijenata prave

Limes koeficijenata jednačine prave daje koeficijente jednačine druge prave na istoj krivoj.
Da bi dobili koeficijente druge prave limesom koeficijenata prve moramo u imeniocu koeficijenata prve prave ukloniti razliku apscisa (x₂ – x₁),
jer je (x₁ – x₁)=0.

Treba prihvatiti da limes koeficijenata jednačine prave utiče na jednačinu i položaj nove prave ; k i n su k(x₂) i n(x₂), tj.   funkcije su promenljive x₂. Tangenta je samo jedan od položaja prave f(x). Predmet razmatranja nije određivanje vrednosti jednačine prave f(x₁)=kx₁+n, ni vrednosti f(x₂)=kx₂+n:

Primeri primene jednačine prave za izvođenje jednačine tangente na krivoj    

Prava i tangeta na paraboli:
F_a(x)=a₀x²+a₀x+a₂ – jednačina  parabole;
f(x)=kx+n=[a₀ (x₁+x₂)+a₁]x+a₂-a₀x₁x₂ –prava na paraboli;
– apscise  x₁ i x₂ presečnih tačaka prave i parabole i koeficijenti prave:
k= a₀ (x₁+x₂)+a₁ , n= a₂-a₀x₁x₂.
-Apscisa x₂ je “parcijalna”tekuća koordinata koeficijenata prave, a promenljiva x  prave  f(x)  miruje.

Jednačina tangente: 


[a₀ (x₁+x₁)+a₁]x+a₂-a₀x₁x₁= (2a₀ x₁+a₁)x+a₂-a₀x₁² – jednačina tangente
na paraboli u tački sa apscisom x₁.

Prava i tangeta na kubnoj:
F_b(x)=b₀x³+b₁x²+b₂x+b₃ – jednačina kubne;
f(x)=[ b₀(x₁²+ x₁x₂+ x₂²)+ b₁(x₁+x₂)+b₂]x+b₃-x₁x₂ [ b₀(x₁+ x₂)+ b₁]–prava na kubnoj.
Jednačina tangente:
-Limesi koeficijenata jednačine prave na kubnoj se prosto dobijaju  zamenom x₂  sa x₁ , dakle isti  postupak daje jednačinu tangente:
f_T(x)=[ b₀(x₁²+ x₁x₁+ x₁²)+ b₁ (x₁+x₁)+b₂]x+b₃-x₁x₁ [b₀(x₁+ x₁)+ b₁]=
(3b₀x₁²+ 2b₁x₁+b₂)x+a₃-x₁² (2b₀x₁+ b₁), dakle
f_T(x)= (3b₀x₁²+ 2b₁x₁+b₂)x+a₃-x₁² (2b₀x₁+ b₁)  je jednačina tangente na kubnoj.

Prava i tangeta na razlomljenoj funkciji:

-jednačina prave f_R(x) na krivoj R(x) je:

– jednačina tangente f_T(x), f_T(x₁) i f_T(x₂), se ivodi iz limesa koeficijenata prave f_R(x):

Jednačina tangete:

-jednačina tangente na razlomljenoj R(x) je:

Prava i tangeta na krugu:

-klasičan Izraz za koeficijent pravca prave na krugu je:
k(x₂-x₁)= F_K(x₂)-F_K(x₁)=

  ………………… (1).

-Potrebno je od klasičnog izraza koeficijenta pravca prave k, datog pod rednim brojem (1),  izvesti novi  izraz za k u kome neće biti (x₂ – x₁):

Tokom izvođenja izrazi sa korenima  dovoljno i tačno je uzeti znak plus ispred oba korena:
za jednačinu prave i tangete znak je bitan, ali za limes koeficijenata nije.
Proširujemo izraz dat pod rednim brojem (1) zbirom korena:

Kao što je proširen izraz za k isto proširimo i izraz za n:
n(x₂-x₁)= x₂ F_K(x₁)-x₁ F_K(x₂)=

Razliku korena  proširujemo zbirom  korena… izvlačimo i skraćujemo razliku (x₂-x₁) i  na kraju sve završava izrazom datim pod rednim brojem (2):


 ……………. (2).

Novi oblici izraza k i n su spremni za limese.

Jednačina tangente

a)– Koeficijent pravca tangente f_T1(x₁):

b)-Koefiijent  n_T1 (x₁) tangente:
– da ne bi stalno pisali lim…, limes koeficijenta n(x₂) prave na krugu  računamo zamenom x₂  sa x₁ , dakle prosta zamena apscisa u izrazu datom pod rednim brojem(2) daće  limese za n, kao što smo dobili i limesa koeficijenta pravca k_T1 (x₂) tangente; na kraju će obrazac za koefiijent  n_T1 (x₁) tangente biti:

– Jednačina tangente f_T1(x) na krugu F_K(x) je:

Napomena za znak ispred korena u jednačini prave i jednačini tangente:
– ako je F_K(x₁)<q<F_K(x₂), ili je F_K(x₂)<q<F_K(x₁), tada ispred odgovarajućih korena treba staviti suprotni znak;
– znak minus se stavlja ispred korena za vrednosti F_K(x)<q.

Zadatak:
Date su apscise x₁= -1  i x₂=2, apcise prve i druge tačke preseka prave  f(x) i kruga F_K(x). Centar kruga je tačka Q(1,-2), a poluprečnik kruga R²=5.
Kroz tačke preseka, apcisa x₁ i x₂ , napisati jednačinu prave f(x) i jednačine tangenti f_T1(x₁) i f_T2(x₂).

Potrebne vrednosti:
p=1, q=-2;   R²– p²=5-1²=4; x₂-p=2-1=1, p-x₁=1-(-1)=2;
bazni izrazi: x₁+x₂=-1+2=1,  x₁x₂=(-1)(2)=-2;

Jednačina prave na krugu:
f_K (x)=kx+n;    F_K (x₁)<q:

Jednačine tangenti na krugu:
a) f_T1(x₂)= k_T1 x+n_T1 ;  F_K (x₁)<q:



b) f_T2(x₂)= k_T2 x+n_T2 ;  F_K (x₂)>q:

-Sa druge slike primećujemo da se mogu napisati još tri prave i njihove tangente; tokom rada samo menjamo znake korena, a apscise i formule ostaju iste.
-Prilagođeni koeficijenti jednačine prave i njihovi limesi se slično nalaze i za  krive: hiperbolu,elipsu…

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave

Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave
Rešenje određenog integrala polinoma n. stepena proizvodom razlika apscisa –granica integraljenja, i koeficijenta pravca prave na krivoj polinoma n+1. stepena

Metod rada-koeficijenti jednačine prave.
-Za rešene određenog integrala polinoma uzima se koeficijent pravca jednačine prave na krivoj, prvoj krivoj višeg stepena, tj. na polinomu za stepen viši od polinoma integraljenja-integranda. Koeficijenti prave su dati u tabeli br.1 članka: https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/

                                 Određeni integral prave
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina prave, polinom stepena n=1:  f(x)=a₀x+a₁.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=2:
F_A(x)=A₀x²+A₁x+A₂    ……………………………………….. (1).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_A(x) stepena p=2  su:

– Koeficijent pravca prave f_A(x) na usvojenom polinomu F_A(x):
………. (1.1).

Određeni integral prave f(x) u granicama x₁ i x₂ je:
.

               Određeni integral polinoma drugog stepena- parabola
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=2:  F_a(x)=a₀x²+a₁x+a₂.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=3:
  F_B(x)=B₀x³+B₁x²+B₂x+B₃  ………………………………..  (2).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_B(x) stepena p=3  su:

– Koeficijent pravca prave f_B(x) na polinomu F_B(x):
k_B =B₀ (x₁²+ x₁x₂+x₂²)+B₁(x₁+x₂)+B₂ = …………… (2.1).

Određeni integral parabole F_a(x) u granicama x₁ i x₂ je:

         Određeni integral polinoma trećeg stepena- kubna
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=3:  F_b(x)=b₀x³+ b₁x²+b₂x+b₃.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=4:
F_C(x)=C₀x⁴+ C₁x³+C₂x²+C₃x+C₄  …………………………….. (3).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_C(x) stepena p=4  su:

– Koeficijent pravca prave f_C(x) na polinomu F_C(x):
……..  (3.1)

Određeni integral kubne F_b(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Po istom principu koristimo koeficijent pravca prave na polinomu F(x) stepena
p = n+1 i pišemo rešenje određenog integrala polinoma stepena n.
Bazne izraze (x₁+x₂), (x₁²+ x₁x₂+x₂²), (x₁³+ x₁² x₂ +x₁x₂²+x₂³)… pamtimo još od osmogodišnje škole, kada smo učili rastavljanje na faktore razliku dva monoma istog stepena: binom od dva monoma parnog i neparnog stepena: x₁^2p-x₂^2p, x₁^2p-1-x₂^2p-1.

   Zdatak
Data je apscisa x₁=-(3/2) i x₂=(3/2) – granica integraljenja polinoma

Odrediti određene integrale polinoma.

Potrebne veličine:
a) -Za pravu f(x) =-(5/4) x+3:
a₀=-(5/4)  , a₁=3;
– koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_A(x) stepena p=2:

-usvojen polinom višeg stepena  F_A(x)=A₀x²+A₁x+A₂:
F_A(x)=-(5/8)x²+3x+A₂;
– razlika i zbir apscisa i koeficijent k_A pravca prave f_A(x) na usvojenom polinomu F_A(x):
(x₂– x₁)= (3/2)-(-3/2) =3,    (x₁+ x₂)=-(3/2) + (3/2)=0,
k_A =A₀ (x₁+x₂)+A₁=(-5/8)(0)+3=3,     k_A = 3  …………………………… (1,2).

Integral prave f(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Grafički prikaz:

b) -Za parabolu F_a(x)=(1/2)x²-5x+2:
a₀=(1/2)  , a₁=-5,  a₂=2 ;
 – koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_A(x) stepena p=3:


-usvojen polinom višeg stepena  F_B(x)=B₀x³+B₁x²+B₂x+B₃;
– bazni izrazi i koeficijent k_B pravca prave f_B(x) na usvojenom polinomu F_B(x):

k_B=B₀ (x₁²+ x₁x₂+x₂²)+B₁(x₁+x₂)+B₂=

k_B =(19/8) ……………..  (2,2).

Integral parabole F_a(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Grafički prikaz:

c) -Za kubnu F_b(x)=(1/2) x²-3x+5x-2:
b₀=(1/2) , b₁=-3,  b₂=5,  b₃=-2;
– koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_C(x) stepena p=4:

– bazni izrazi i koeficijent k_C pravca prave f_C(x) na usvojenom polinomu F_C(x):
[x₁³+ x₁x₂(x₁+x₂)+x₂³]=[(-3/2)³+(-3/2)(3/2)[-3/2+3/2]+(3/2)³]=0;

k_C=C₀[x₁³+ x₁x₂(x₁+x₂)+x₂³]+C₁(x₁²+ x₁x₂+x₂²)+C₂(x₁+x₂)+C₃=

k_C =(-17/4)   ………………………………  (3,2).
Integral parabole F_a(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Grafički prikaz:

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen Popović

Граф. поступак замене правоугаоника површином троугла

Графoaналитички  поступак замене правоугаоника  површином троугла
Графоаналитичка конструкција троугла између две праве помоћу правоугаоника исте површине – поступак замене површине правоугаоника  површином троугла

Метод  рада: коефицијенти праве.
Техника рада: графичко- аналитичка техника рада.

Задатак
– Дата је површина P_ABCD = аb =1 правоугаоника ABCD, затим,паралелно x оси, страница правоугаоника а=AB=(1/2) и произвољно изабрано теме правоугаоника А(1,-1).
– Дата је једначина праве f_EF(X) =-(5/4)x+4  основне странице g  ∆ ЕFG површине P_∆ЕFG .

Графоаналитичким поступком на правој f_EF(X) конструиши ∆ ЕFG једнаке површине површини правоугаоника ABCD:  P_∆ЕFG  = P_{ABCD .}
Поступак прилагоди  облику  формуле површине троугла између праве f_EF(X) и f_FG(X):
P_∆ЕFG  = (1/2)(x_Е-x_F)[f_EF(x_G) – f_FG(x_G)] = (1/2)(x₁-x₂)[f_EF(x₃₎ – f_FG(x₃₎].
Графички приказ – сл.1:

Из услова једнакости површине троугла и правоуганика у задатку имамо једнакост израза:
P_∆ЕFG  = P_ABCD ;   (1/2)(x₁-x₂)[f_EF(x₃₎ – f_FG(x₃₎]=аb. Очигледна је веза:
а=(1/2)(x₁-x₂),  b=[f_EF(x₃₎ – f_FG(x₃₎],
x_А =(1/2)x₁ ,  x_B =(1/2)x₂;  x_А и x_B су апсцисе темена А и В правоугаоника(погледај сл.1).

Одређивање потребних вредности:
-Одређивање апсциса темена Е и F  ∆ ЕFG:
x₁=2(x₁/2)=2(1)=2,   x₂=2(x₂/2)=2(3/2)=3.
– Oдређивање странице b правоугаоника ABCD:
P_ABCD = аb;   P_ABCD  =1, а=AB=1/2:    1 = (1/2) b   →   b=2.

Потребни кораци:
– Са јединичног  ∆ О₁К_ЕFТ правац О₁К_ЕF паралелно преносимо до одсечка n_EF на у оси; тиме цртамо  праву f_EF(X) .
– На х оси дуплирањем x_А =(1/2)x₁  и  x_B =(1/2)x₂  добијамо апсцису x_Е = x₁  и  x_F = x₂.
– Наносимо вертикале апсциса x₁ и x₂  до пресека са правом f_EF(X)  и дефинишемо темена Е и F  ∆ ЕFG.
Тренутни изглед је:

Преостали кораци су:
– На страницу а=AB вертикално наносимо страницу b=2 и тиме добијамо теме С, а затим и теме D правоугаоника ABCD.
– Повлачимо хоризонталу дуж странице АВ правоугаоника ABCD до пресека са правом f_EF(X)  и дефинишемо тачку пресека G₁.
– Из тачке G₁ вертикално наносимо дуж дужине b=2 и добијамо теме G траженог ∆ ЕFG.

Графички приказ коначног решења:

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Mладен Поповић

Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

Koeficijenti  pravca i rešavanje kosouglog trougla
Određivanje stranica kosouglog trougla koeficijentima pravca jednačina stranica- Uprošćavanje Mallweide-ove formule i formula ostalih teorema trougla u oblasti analitičke geometrije

Metod rada- koeficijenti jednačine prave.
Oblast –analitička geometrija.

Predmet razmatranja:
-kosougli ∆ABC stranica a,b i c na pravama: f₁₂(x), f₂₃(x), f₃₁(x);
– koeficijenti pravca, k₁₂=tg α₁₂ , k₂₃=tg α₂₃ , k₃₁=tg α₁₂ , jednačina pravih;
– uglovi nagiba pravih prema x osi: α₁₂ , α ₂₃ , α ₃₁;
– formule: određivanje stranica a,b i c koeficijentima k₁₂ , k₂₃  i k₃₁.

Predlog formula:
 .………… (1);
  ………….. (2).

                                Izvođenje formula

a) –Izvođenje formule koja sadrži koeficijente pravca pravih i stranice trougla:
 – Površina trougla 2P_∆ABC =(x₂-x₁)(x₂-x₃)(k₁₂-k₂₃) …………… (3);

  – razlike apscisa
(dva izrazi za rastojanje između dve tačke) zamenjujemo u formulu pod rednim brojem (3) :
  ………………….. (3.1);

c=d₁₂=AB – dužina stranice ∆ABC,   a=d₂₃=BC – dužina druge stranice ∆ABC.

– Od površine trougla P_∆BCA =(x₃-x₂)(x₃-x₁)(k₂₃-k₃₁)  ………….. (4), na isti način, dobija se oblik:
  …………………… (4.1);

b=d₃₁=CA – dužina stranice ∆ABC.

– Iz P_∆CAB =(x₁-x₃)(x₁-x₂)(k₃₁-k₁₂)  …………………………………. (5) dobija se oblik:
  ……………………. (5.1).

b) –Jednačenjem  izraza   P_∆ABC = P_∆CAB , datih pod rednim brojem (3.1) i (5.1) ,  tj. od istih, jednakih površina ∆ABC dobija se :

-iste su površine, ali različito je obeležavanje zbog  matematičkog smera i izbora početnog temena u formuli površine ∆ABC.
Naravno, nakon skraćivanja dobijamo već viđenu formulu pod rednim
brojem (1):
 .

P_∆ABC = P_∆BCA ;

. – Nakon skraćivanja imamo formulu datu pod rednim brojem (2):

Zadatak

sa koeficijentom pravca k₂₃ =(3/2). Dati su koeficijenti pravca ostalih dveju stranica ∆ABC: k₁₂ = -3,  k₃₁ =(1/2).
Odrediti stranice  ∆ABC.
Grafički prikaz:

-Potrebne formule su već date pod rednim brojem (1) i (2).
-Potrebne vrednosti veličina za formule:

 

Izrada:
 ,

 ,

Grafički prikaz rezultata:

Potpuno i preglednije urađen zadatak je u dokumentu:
Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

Napomena autora:
–Ako se ne izvrši potpuno skraćivanje na jednakostima  P_∆ABC = P_∆CAB
i  P_∆ABC = P_∆BCA , tada idemo ka sinusnoj teoremi: asin(β)= bsin(α)… ;
α, β,γ su unutrašnji uglovi ∆ABC. Cilj ovog članka nije izvođenje klasične sinusne teoreme, cilj su prve dve formule – računanje stranica trougla koeficijentima pravca jednačine prave: k₁₂=tg α₁₂ , k₂₃=tg α₂₃ , k₃₁=tg α₁₂ , kao i ostanak u analičkoj geometriji..

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen   Popović

Графоаналитичко цртање праве-Kоефицијенти праве

Графоаналитичко цртање праве-Kоефицијенти праве
Графички начин цртања праве коефицијентима једначине праве

Mетод  рада-коефицијенти праве.
Техника рада -графоаналитикa;
потребнa величинa: jeдначина праве f(x)=kx +n.

Да би нацртали праву познате једначине у координатном систему xOy прво се графички одреди правац једначине праве(k), а затим одредити  и вредност слободног члана  n једначине праве на y oси. Да би то урадили, најпре, нацртати помоћни правоугли  ∆ABC  јединичне странице AB:

∆ABC –помоћни троугао:  основна страница AB=1 и наспрамна страница BC=K. Бројну вредност коефицијента k=BC  одређује ордината тачке
C( x_B ,k) и произвољна апсциса x_B, a  страницу AB=1  цртамо на х оси:

 Zadatak
Графоаналитичком методом нацртати праву f₁₂(x)=-2x+3,  f₂₃(x)=3x-1
i  f₃₁(x)=(3/4)x +(23/4)  у равни координатног система xOy.

Израда
-На х оси се црта јединични правоугли троугао за сваки коефицијент правца праве, a на y оси наноси  вредност  n:  n₁₂ , n₂₃ , n₃₁  једначина правих. Следи слика:

– У следећем кораку правац АK₁₂ , АK₂₃  и АK₃₁  паралелно преносимо до одговарајућих тачака: N₁₂ , N₂₃ , N₃₁ , претходно нанетих на у осу.
Следи коначно решење:

Контрола способности ока при опажању:
-На задњој слици око нам је преварено: изгледа да правац АK₂₃  није паралелан са правом f₂₃(x), а јесте.

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Mладен Поповић

Razlika jednačina dveju pravih – Površina trougla

                  Razlika jednačina dveju pravih – Površina trougla
Proizvod razlika ordinata jednačina dveju neparalelnih pravih iznad iste apscise x i razlike  apcisa drugih dveju tačaka ∆ABC daje površinu ∆ABC.  ∆ABC nastaje presekom tri neparalelne prave

Formule za površinu trougla su:
2P_∆ABC = (x₁ – x₂)[f₁₂ (x₃)-f₂₃(x₃)]  —————- (1);
2P_∆BCA = (x₂ – x₃)[f₂₃ (x₁)-f₃₁(x₁)]  —————- (2);
2P_∆CAB = (x₃ – x₁)[f₃₁ (x₂)-f₁₂(x₂)]. —————- (3);
-redosled  ispisivanja indeksa pri obeležavanju apscisa  i pravih je matematički pozitivan smer na ∆ABC.
Sve tri formule Ilustrujemo  slikama:

– Slika za oblik formule date pod rednim brojem(2):
,

– Slika za oblik formule date pod rednim brojem(3):
.

Zadatak

Dat je ∆ABC presekom prave
f₁₂(x)=-2x+3  i  f₂₃(x)=3x-1,  apscisom x₁ = x_A=-1 i apscisom  x₃ = x_c=3.
Odredi površinu P_∆ABC  i koristi prvu sliku.

Potrebne veličine:
-Apscisa x₂  se određuje presekom f₁₂(x)=-2x+3 = f₂₃(x)=3x-1 →  x₂= 4/5;
-vrednosti jednačina pravih za x= x₃=3:
f₁₂(x₃)=-2x₃ +3 =-2(3) +3=-3,
f₂₃(x₃)=3x₃ -1 =3(3)-1=8.

Razlike veličina:
f₁₂(x₃)- f₂₃(x₃)=-3-8= -11;
(x₁ – x₂)= -1-(4/5)= – 9/5.

Izrada
-Formula P_∆ABC  data pod rednim brojem (1) je:
2P_∆ABC = (x₁ – x₂)[f₁₂ (x₃)-f₂₃(x₃)] = (-9/5)[-11] =99/5,
→  P_∆ABC =99:10=9,9.

Provera
-Potrebne veličine: (x₂ – x₃)=[(4/5)-3] =-11/5;   (k₁₂-k₂₃) =(-2-3)=-5.
-Formula:
2P_∆ABC = (x₂–x₁) (x₂–x₃)(k₁₂-k₂₃)=(9/5)(-11/5)(-5)= 99/5,
→ P_∆ABC =99:10=9,9.

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Proizvodi razlika jednačina pravih: Površina trougla u koeficijentima kubne jednačine

Proizvodi razlika jednačina pravih: Površina trougla u koeficijentima kubne jednačine

Rezultat proizvoda uzastopnih razlika triju jednačina neparalelnih pravih je polinom trećeg stepena. U koeficijentima polinoma trećeg stepena nalazimo formulu za površinu trougla.

Oblast-analitička geometrija.
Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –kubna.

Presek tri neperalelne prave grade trougao.
Tvrdnja:
Proizvod  uzastopnih razlika triju jednačina neparalelnih pravih, f_12(x) , f_23(x) , f_31(x) , jednak je polinomu Ax³+Bx²+Cx+D.  Svaki koeficijent polinoma sadrži formulu za površinu trougla.

                                Proizvod razlika jednačina pravih  

Tri neparalelne prave u ravni xOy mogu imati proizvoljan položaj, ili se uslovno mogu vezati za krivu nekog polinoma. Razmotrimo ta dva slučaja:

1)Proizvoljni položaj  tri neparalelne prave:
– Neparalelne prave, f_12(x) = k₁₂x+n₁₂ ,  f_23(x) = k₁₂x+n₁₂ i f_23(x) = k₁₂x+n₁₂ , grade tri tačke preseka.
Iz uslova preseka pravih, f_12(x)=f_23(x) , f_12(x)=f_23(x) , f_12(x)=f_23(x), slede odnosi:
(k₁₂-k₂₃)x₂=n₂₃-n₁₂ ; (k₂₃-k₃₁)x₃=n₃₁-n₂₃ ; (k₃₁-k₁₂)x₁=n₁₂-n₃₁ ——– (1).

-Tačke preseka grade ∆ABC, apscise temena trougla su:
x_A = x₁ ,  x_B = x₂ , x_C = x_3.
Koeficijenti pravca proizvoljnih pravih su: k₁₂, k₂₃, k₃₁, a odsečci pravih na y osi su: n₁₂ , n₂₃ , n₃₁ .

Proizvodi razlika triju jednačina proizvoljnih pravih:
(f_12(x) -f_23(x))(f_23(x) –f_31(x))(f_31(x) –f_12(x))=
[(k₁₂x+n₁₂ )–(k₂₃x+n₂₃)][(k₂₃x+n₂₃ )–(k₃₁x+n₃₁)][(k₃₁x+n₃₁)–(k₁₂x+n₁₂)]=

(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)X³–[(n₂₃-n₃₁)(k₃₁-k₁₂)(k₁₂-k₂₃)+(n₁₂-n₂₃)(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)+(n₁₂-n₂₃)(k₃₁-k₁₂)(k₂₃-k₃₁)]X²-[(n₂₃-n₃₁)(n₃₁-n₁₂)(k₁₂-k₂₃)+(n₁₂-n₂₃)(n₁₂-n₂₃)(k₂₃-k₃₁)+(n₁₂-n₂₃)(n₁₂-n₂₃)(k₂₃-k₃₁)]X+(n₁₂-n₂₃)(n₂₃-n₃₁)(n₃₁-n₁₂) ——————————————————————- (7).

Zamenom izraza datih pod rednim brojem (1) u izraz pod rednim brojem (7) dolazi se do konačnih oblika:

(f_12(x) -f_23(x))(f_23(x) –f_31(x))(f_31(x) –f_12(x))=
(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃) —————————   (2);

(f_12(x) -f_23(x))(f_23(x) –f_31(x))(f_31(x) –f_12(x))=
(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[x³–(x₁+x₂+x₃)x²+
(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)x-x₁x₂x₃] ———————————————-  (2.1);

(f_12(x) -f_23(x))(f_23(x) –f_31(x))(f_31(x) –f_12(x))= Ax³+Bx²+Cx+D —- (2.2);

A=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂),   B=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[-(x₁+x₂+x₃)],
C=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃],
D=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[-x₁x₂x₃] ———————————- (2.3).

-Vezu imeđu (k₁₂-k₂₃), (k₂₃-k₃₁), (k₃₁-k₁₂) I površine P_∆ABC imamo u izrazu
8P³_∆ABC R_(X) = (k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)  —————————– (10).
Naravno, uvek se može iskoristiti jednakost:
(n₁₂-n₂₃)(n₂₃–n₃₁)(n₃₁–n₁₂)= (k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)(x₁x₂x₃).

2)Slučaj preseka tri prave sa tačkama preseka na krivoj polinoma:
– U ovoj situaciji gornji izrazi za koeficijente pravca pravih, k₁₂, k₂₃, k₃₁ , i odsečci pravih na y osi, n₁₂ , n₂₃ , n₃₁ , pojavljuju se u konkretnijem obliku, lako se pamte(osmogodišnje i srednjoškolsko gradivo), i nalaze se u članku https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/ i tabeli br.1 . Razmotrimo proizvode razlika jednačina pravih za prve dve krive polinoma:

Parabola:
-Prave na paraboli, tri prave sa koeficijentima pravca: k₁₂= a₀(x₁+x₂)+a₁ , k₂₃=a₀(x₂+x₃)+a₁,     k₃₁=a₀(x₃+x₁)+a₁.

– Razlike koeficijenata pravca pravih na paraboli:
k₁₂-k₂₃= a₀(x₁+x₂)+a₁ –[ a₀(x₂+x₃)+a₁] = a₀(x₁-x₃)——————–    (3),
k₂₃-k₃₁= a₀(x₂+x₃)+a₁ –[ a₀(x₁+x₃)+a₁] = a₀(x₂-x₁)——————–  (3.1),
k₃₁-k₁₂= a₀(x₁+x₃)+a₁ –[ a₀(x₁+x₂)+a₁] = a₀(x₃-x₂)——————–  (3.2).

– Odsečci pravih na y osi:
n₁₂ = a₂-a₀x₁x₂ , n₂₃ = a₂-a₀x₂x₃ , n₃₁ = a₂-a₀x₃x₁ .
– Razlike odsečaka pravih na y osi:
n₁₂-n₂₃=a₀(x₃-x₁)x₂ , n₂₃-n₃₁= a₀(x₁-x₂)x₃ ,   n₃₁-n₁₂=a₀(x₃-x₂)x₁ — (4).

Kubna:
– Prave na kubnoj, tri prave sa koeficijentima pravca:
k₁₂=b₀(x₁²+x₁x₂+x₂²)+b₁(x₁+x₂)+b₂ ,
k₂₃ =b₀(x₂²+x₂x₃+x₃²)+b₁(x₂+x₃)+b₂ ,
k₃₁=b₀(x₁²+x₁x₃+x₃²)+b₁(x₁+x₃)+b₂ .

– Razlike koeficijenata pravca pravih na kubnoj:
k₁₂– k₂₃=[b₀(x₁²+x₁x₂+x₂²)+b₁(x₁+x₂)+b₂ ]-[b₀(x₂²+x₂x₃+x₃²)+b₁(x₂+x₃)+b₂] =
(x₁-x₃)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁] ————————————————-   (5);
k₂₃– k₃₁=(x₂-x₁)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁] —- ———————————-(5.1);
k₃₁– k₁₂ =(x₃-x₂)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]. ————————————- (5.2).

– Odsečci pravih na y osi:
n₁₂=b₃-x₁x₂[b₀(x₁+x₂)+b₁],  n₂₃=b₃-x₂x₃[b₀(x₂+x₃)+b₁],  n₃₁=b₃-x₃x₁[ b₀(x₁+x₃)+b₁].

– Razlike odsečaka pravih na y osi za kubnu:
n₁₂-n₂₃={ b₃-x₁x₂[b₀(x₁+x₂)+b₁]}-{ b₃-x₂x₃[b₀(x₂+x₃)+b₁]} = [- x₁b₀(x₁+x₂)-b₁x₁+ x₃b₀(x₁+x₂)+b₁x₃]x₂=[b₀(x₃² – x₁²)+b₀(x₃-x₁)x₂+b₁(x₃-x₁)]x₂=
(x₃-x₁)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]x₂ ————————————————-(6);

n₂₃-n₃₁ =(x₂-x₁)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]x₃ ———————————— (6.1);
n₃₁-n₁₂ =(x₃-x₂)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]x₁ ———————————— (6.1).

Sada smo u stanju da dovršimo izraze date pod rednim brojem(2.1) i (2.3); dobiće se kubna jednačina, a koeficijenti, A,B,C,D, kubne jednačine(date pod rednim brojem 2.2) sadrže formulu površine trougla.
Pokažimo to za prave na paraboli, zatim i za prave na kubnoj:

                                                     Za parabolu

a)–  Za parabolu izrazi razlika koeficijenata pravca pravih dati su pod rednim brojevima: (3),(3.1),(3.2), zbog čega će koeficijenti jednačine date pod rednim brojem(2.3) biti:

A=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)=[a₀(x₁-x₃)][a₀(x₂-x₁)][a₀(x₃-x₂)]=
a₀²[a₀(x₁–x₃)(x₂–x₁)(x₃–x₂)]=a₀² [2 P_∆ABC ].
Dakle, izraz unutar srednje zagrade – proizvod a₀ i razlika apscisa, je izraz za površinu  ∆ABC (https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2017/09/09/grupa-formula-za-povrsinu-trougla-na-paraboli-koef-prave/):

A=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)= a₀²[2 P_∆ABC ] —————————-(8.1),
B=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[-(x₁+x₂+x₃)]=2a₀²[P_∆ABC][-(x₁+x₂+
x₃)] ————————————————————————— (8.2),

C=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃]=2a₀²[P_∆ABC][x₁x₂+
x₂x₃+x₁x₃] ——————————————————————- (8.3).
D=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[-x₁x₂x₃]=2a₀²[P_∆ABC][-x₁x₂x₃] ——- (8.4).

Jednačenjem koeficijenata kubne, kubne date pod rednim brojem (7), sa koeficijentima B,C,D, datih na  izrazima (8.2), (8.3) i (8.4) za parabolu, dobija se:
[(n₂₃-n₃₁)(k₃₁-k₁₂)(k₁₂-k₂₃)+(n₁₂-n₂₃)(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)+(n₁₂-n₂₃)(k₃₁-k₁₂)(k₂₃-k₃₁)]=[ P_∆ABC ][-2a₀²(x₁+x₂+x₃)] ————————— (8.2.2);

[(n₂₃-n₃₁)(n₃₁-n₁₂)(k₁₂-k₂₃)+(n₁₂-n₂₃)(n₁₂-n₂₃)(k₂₃-k₃₁)+(n₁₂-n₂₃)(n₁₂-n₂₃)(k₂₃-k₃₁)]=[P_∆ABC][2a₀²(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)]———————- (8.3.3);

(n₁₂-n₂₃)(n₂₃-n₃₁)(n₃₁-n₁₂) =[P_∆ABC][2a₀²(-x₁x₂x₃)] ————— (8.4.4).

                                                Za kubnu

b)-Za trougao na grafiku kubne izrazi razlika koeficijenata pravca pravih dati su pod rednim brojem (5),(5.1) i (5.2):
A=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)=
{(x₁-x₃)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]}{ (x₂-x₁)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]}{(x₃-x₂)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]}= (x₁–x₃)(x₂–x₁)(x₃–x₂)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁][b₀(x₁+
x₂+x₃)+b₁]²=[2 P_∆ABC][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]².

Dakle, i ovde, sve što je  obojeno crveno unutar zagrada je izraz za površinu  ∆ABC
(  https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2017/11/15/grupa-formula-povrsine-trougla-na-kubnoj-koefic-pravca/ ):

A=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)= [2 P_∆ABC ][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]² ——–(9.1),
B=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[-(x₁+x₂+x₃)]=2[P_∆ABC][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]²[-(x₁+x₂+x₃)] —————————————————————– (9.2),

C=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃]=2[P_∆ABC][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]²(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)———————————— (9.3),
D=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[-x₁x₂x₃]=2[P_∆ABC][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]²(–x₁x₂x₃)  ———————————————————————- (9.4).

Jednačenjem koeficijenata kubne, datih u izrazu kubne pod rednim brojem (7), sa koeficijentima B,C,D, datih  u izrazima (9.2), (9.3) i (9.4), dobiće se:

[(n₂₃-n₃₁)(k₃₁-k₁₂)(k₁₂-k₂₃)+(n₁₂-n₂₃)(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)+(n₁₂-n₂₃)(k₃₁-k₁₂)(k₂₃-k₃₁)] =
2[ P_∆ABC ][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]²[-(x₁+x₂+x₃)] ————————– (9.2.2);

[(n₂₃-n₃₁)(n₃₁-n₁₂)(k₁₂-k₂₃)+(n₁₂-n₂₃)(n₁₂-n₂₃)(k₂₃-k₃₁)+(n₁₂-n₂₃)(n₁₂-n₂₃)(k₂₃-k₃₁)] =
2[ P_∆ABC ][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]²[ (x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)] —————— (9.3.3);

(n₁₂-n₂₃)(n₂₃-n₃₁)(n₃₁-n₁₂) =
2[ P_∆ABC ][b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]²[-(x₁x₂x₃)] —————————– (9.4.4)

                                                    Zaključak

1) Proizvodi razlika koeficijenata pravca tri proizvoljne prave jednak je:
(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)= 8P³_∆ABC R_(X) =—————- (10)

2) Proizvodi razlika koeficijenata pravca pravih, prave na krivoj polinoma,
jednak je:
(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)= [(x₁–x₃)(x₂–x₁)(x₃–x₂)P]P²=[2P_∆ABC ]P²;
P_∆ABC je površina trougla, a veličina P svakog polinoma ima drugu vrednost:
– za trougao na paraboli P= a₀;
– za trougao na kubnoj, b_o x³+ b₁ x²+ b₂ x+ b₃ ,  P=[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁];
– za trougao na polinomu četvrtog stepena, c_o x⁴+ c₁ x³+ c₂ x²+ c₃ x +c₄,
 P=[c₀(x₁+x₂+x₃)²+c₁(x₁+x₂+x₃)+c₂– c₀(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)]…

Primenjujući isti postupak  i na ostale polinome višeg stepena potvrdiće se postojanje izraza  P_∆ABC  u koeficijentima, A, B,C,D, jednačine  Ax³+Bx²+Cx+D.

3) Takođe, proizvodi razlika jednačina pravih daće formulu površine
trougla P_∆ABC u koeficijentima, A,B,C,D, kubne  Ax³+Bx²+Cx+D:
(f_12(x) -f_23(x))(f_23(x) –f_31(x))(f_31(x) –f_12(x))=
(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)[x³–(x₁+x₂+x₃)x²+
(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)x-x₁x₂x₃]    ——————————————– (2.1).

Konačno je:
(f_12(x) -f_23(x))(f_23(x) –f_31(x))(f_31(x) –f_12(x))= Ax³+Bx²+Cx+D —- (2.2).

Autor:
-Pišite ako vas zanima objašnjenje formule  date pod rednim brojem (10). 

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović