Limes koeficijenata prave i L Hospital-Bernoulli

Limes koeficijenata prave i L| Hospital-BernouIli
Za limes koeficijenata prave na krivoj i njen prelazak u tangentu primenljivo je
L| Hospital-BernouIlijevo pravilo izvoda na neodređeni oblik izraza 0/0

Metod rada – koeficijenti prave.
Zahvaljujući obliku brojioca i imenioca koeficijenata jednačine prave moguće je, i ima smisla, pravilom L| Hospital-BernouIlija naći njihove izvode.

Temom https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/02/limes-koeficijenata-prave-prelaz-prave-u-tangentu/ pokazano je da se koeficijenti tangente dobijaju limesom koeficijenata prave na krivoj:
– jednačina krive F(x) ;
– jednačina prave f(x)=kx +n i koeficijenti prave :

Nakon provere limesa za k i n, uz uslov da x2 → x1 , uočićemo sledeće limese:

Jasno je da se na izraze koeficijenata prave [ψ(x2)/ ϕ(x2)] i [ ω(x2)/ ϕ(x2)], u postupku određivanja limasa, može uvek primeniti L|Hospital-Bernoullijevo pravilo izvoda:

Zadatak
Data je logaritamska kriva F(x)=ln(x).
Odrediti jednačinu tangente na krivoj primenjujući L|Hospital-Bernoullijevo pravilo na koeficijente jednačine prave f(x).

Izrada:
– jednačina krive F(x)=ln(x);
– jednačna prave:

– jednačina tangente fT(x)=kT x +nT:


Jednačina tangente:

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
Autor ivođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Advertisements

Limes koeficijenata prave-Prelaz prave u tangentu

         Limes koeficijenata prave-Prelaz prave u tangentu
Limes koeficijenata jednačine prave su koeficijenti jednačine druge prave, tj. prelaz jednačine prave, prava na krivoj, u jednačinu druge prave pri prelasku  apscise jedne presečne tačke u  apscisu druge

Metod rada-koeficijenti prave.

    Pojam limesa koeficijenata prave

Limes koeficijenata jednačine prave daje koeficijente jednačine druge prave na istoj krivoj.
Da bi dobili koeficijente druge prave limesom koeficijenata prve moramo u imeniocu koeficijenata prve prave ukloniti razliku apscisa (x2 – x1),
jer je (x1 – x1)=0.

Treba prihvatiti da limes koeficijenata jednačine prave utiče na jednačinu i položaj nove prave ; k i n su k(x2) i n(x2), tj.   funkcije su promenljive x2. Tangenta je samo jedan od položaja prave f(x). Predmet razmatranja nije određivanje vrednosti jednačine prave f(x1)=kx1+n, ni vrednosti f(x2)=kx2+n:

Primeri primene jednačine prave za izvođenje jednačine tangente na krivoj    

Prava i tangeta na paraboli:
Fa(x)=a0x2+a0x+a2 – jednačina  parabole;
f(x)=kx+n=[a0 (x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2 –prava na paraboli;
– apscise  x1 i x2 presečnih tačaka prave i parabole i koeficijenti prave:
k= a0 (x1+x2)+a1 , n= a2-a0x1x2.
-Apscisa x2 je “parcijalna”tekuća koordinata koeficijenata prave, a promenljiva x  prave  f(x)  miruje.

Jednačina tangente: 


[a0 (x1+x1)+a1]x+a2-a0x1x1= (2a0 x1+a1)x+a2-a0x12 – jednačina tangente
na paraboli u tački sa apscisom x1.

Prava i tangeta na kubnoj:
Fb(x)=b0x3+b1x2+b2x+b3 – jednačina kubne;
f(x)=[ b0(x12+ x1x2+ x22)+ b1(x1+x2)+b2]x+b3-x1x2 [ b0(x1+ x2)+ b1]–prava na kubnoj.
Jednačina tangente:
-Limesi koeficijenata jednačine prave na kubnoj se prosto dobijaju  zamenom x2  sa x1 , dakle isti  postupak daje jednačinu tangente:
fT(x)=[ b0(x12+ x1x1+ x12)+ b1 (x1+x1)+b2]x+b3-x1x1 [b0(x1+ x1)+ b1]=
(3b0x12+ 2b1x1+b2)x+a3-x12 (2b0x1+ b1), dakle
fT(x)= (3b0x12+ 2b1x1+b2)x+a3-x12 (2b0x1+ b1)  je jednačina tangente na kubnoj.

Prava i tangeta na razlomljenoj funkciji:

-jednačina prave fR(x) na krivoj R(x) je:

– jednačina tangente fT(x), fT(x1) i fT(x2), se ivodi iz limesa koeficijenata prave fR(x):

Jednačina tangete:




-jednačina tangente na razlomljenoj R(x) je:


Prava i tangeta na krugu:

-klasičan Izraz za koeficijent pravca prave na krugu je:
k(x2-x1)= FK(x2)-FK(x1)=

  ………………… (1).

-Potrebno je od klasičnog izraza koeficijenta pravca prave k, datog pod rednim brojem (1),  izvesti novi  izraz za k u kome neće biti (x2 – x1):

Tokom izvođenja izrazi sa korenima  dovoljno i tačno je uzeti znak plus ispred oba korena:
za jednačinu prave i tangete znak je bitan, ali za limes koeficijenata nije.
Proširujemo izraz dat pod rednim brojem (1) zbirom korena:


Kao što je proširen izraz za k isto proširimo i izraz za n:
n(x2-x1)= x2 FK(x1)-x1 FK(x2)=

Razliku korena  proširujemo zbirom  korena… izvlačimo i skraćujemo razliku (x2-x1) i  na kraju sve završava izrazom datim pod rednim brojem (2):


 ……………. (2).

Novi oblici izraza k i n su spremni za limese.

Jednačina tangente

a)– Koeficijent pravca tangente fT1(x1):

b)-Koefiijent  nT1 (x1) tangente:
– da ne bi stalno pisali lim…, limes koeficijenta n(x2) prave na krugu  računamo zamenom x2  sa x1 , dakle prosta zamena apscisa u izrazu datom pod rednim brojem(2) daće  limese za n, kao što smo dobili i limesa koeficijenta pravca kT1 (x2) tangente; na kraju će obrazac za koefiijent  nT1 (x1) tangente biti:



– Jednačina tangente fT1(x) na krugu FK(x) je:

Napomena za znak ispred korena u jednačini prave i jednačini tangente:
– ako je FK(x1)<q<FK(x2), ili je FK(x2)<q<FK(x1), tada ispred odgovarajućih korena treba staviti suprotni znak;
– znak minus se stavlja ispred korena za vrednosti FK(x)<q.

Zadatak:
Date su apscise x1= -1  i x2=2, apcise prve i druge tačke preseka prave  f(x) i kruga FK(x). Centar kruga je tačka Q(1,-2), a poluprečnik kruga R2=5.
Kroz tačke preseka, apcisa x1 i x2 , napisati jednačinu prave f(x) i jednačine tangenti fT1(x1) i fT2(x2).

Potrebne vrednosti:
p=1, q=-2;   R2– p2=5-12=4; x2-p=2-1=1, p-x1=1-(-1)=2;
bazni izrazi: x1+x2=-1+2=1,  x1x2=(-1)(2)=-2;


Jednačina prave na krugu:
fK (x)=kx+n;    FK (x1)<q:

Jednačine tangenti na krugu:
a) fT1(x2)= kT1 x+nT1 ;  FK (x1)<q:



b)
fT2(x2)= kT2 x+nT2 ;  FK (x2)>q:

-Sa druge slike primećujemo da se mogu napisati još tri prave i njihove tangente; tokom rada samo menjamo znake korena, a apscise i formule ostaju iste.
-Prilagođeni koeficijenti jednačine prave i njihovi limesi se slično nalaze i za  krive: hiperbolu,elipsu…

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave

Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave
Rešenje određenog integrala polinoma n. stepena proizvodom razlika apscisa –granica integraljenja, i koeficijenta pravca prave na krivoj polinoma n+1. stepena

Metod rada-koeficijenti jednačine prave.
-Za rešene određenog integrala polinoma uzima se koeficijent pravca jednačine prave na krivoj, prvoj krivoj višeg stepena, tj. na polinomu za stepen viši od polinoma integraljenja-integranda. Koeficijenti prave su dati u tabeli br.1 članka: https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/

                                 Određeni integral prave
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina prave, polinom stepena n=1:  f(x)=a0x+a1.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=2:
FA(x)=A0x2+A1x+A2    ……………………………………….. (1).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma FA(x) stepena p=2  su:

– Koeficijent pravca prave fA(x) na usvojenom polinomu FA(x):
………. (1.1).

Određeni integral prave f(x) u granicama x1 i x2 je:
.

               Određeni integral polinoma drugog stepena- parabola
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=2:  Fa(x)=a0x2+a1x+a2.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=3:
  FB(x)=B0x3+B1x2+B2x+B3  ………………………………..  (2).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma FB(x) stepena p=3  su:

– Koeficijent pravca prave fB(x) na polinomu FB(x):
kB =B0 (x12+ x1x2+x22)+B1(x1+x2)+B2 = …………… (2.1).

Određeni integral parabole Fa(x) u granicama x1 i x2 je:

         Određeni integral polinoma trećeg stepena- kubna
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=3:  Fb(x)=b0x3+ b1x2+b2x+b3.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=4:
FC(x)=C0x4+ C1x3+C2x2+C3x+C4  …………………………….. (3).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma FC(x) stepena p=4  su:

– Koeficijent pravca prave fC(x) na polinomu FC(x):
……..  (3.1)

Određeni integral kubne Fb(x) u granicama x1 i x2 je:

Po istom principu koristimo koeficijent pravca prave na polinomu F(x) stepena
p = n+1 i pišemo rešenje određenog integrala polinoma stepena n.
Bazne izraze (x1+x2), (x12+ x1x2+x22), (x13+ x12 x2 +x1x22+x23)… pamtimo još od osmogodišnje škole, kada smo učili rastavljanje na faktore razliku dva monoma istog stepena: binom od dva monoma parnog i neparnog stepena: x12p-x22p, x12p-1-x22p-1.

   Zdatak
Data je apscisa x1=-(3/2) i x2=(3/2) – granica integraljenja polinoma

Odrediti određene integrale polinoma.

Potrebne veličine:
a) -Za pravu f(x) =-(5/4) x+3:
a0=-(5/4)  , a1=3;

– koeficijenti usvojenog oblika polinoma FA(x) stepena p=2:

-usvojen polinom višeg stepena  FA(x)=A0x2+A1x+A2:
FA(x)=-(5/8)x2+3x+A2;

– razlika i zbir apscisa i koeficijent kA pravca prave fA(x) na usvojenom polinomu FA(x):
(x2– x1)= (3/2)-(-3/2) =3,    (x1+ x2)=-(3/2) + (3/2)=0,
kA =A0 (x1+x2)+A1=(-5/8)(0)+3=3,     kA = 3  …………………………… (1,2).

Integral prave f(x) u granicama x1 i x2 je:

Grafički prikaz:

b) -Za parabolu Fa(x)=(1/2)x2-5x+2:
a0=(1/2)  , a1=-5,  a2=2
;

 – koeficijenti usvojenog oblika polinoma FA(x) stepena p=3:


-usvojen polinom višeg stepena  FB(x)=B0x3+B1x2+B2x+B3;
– bazni izrazi i koeficijent kB pravca prave fB(x) na usvojenom polinomu FB(x):

kB=B0 (x12+ x1x2+x22)+B1(x1+x2)+B2=

kB =(19/8) ……………..  (2,2).

Integral parabole Fa(x) u granicama x1 i x2 je:

Grafički prikaz:

c) -Za kubnu Fb(x)=(1/2) x2-3x+5x-2:
b0=(1/2) , b1=-3,  b2=5,  b3=-2;

– koeficijenti usvojenog oblika polinoma FC(x) stepena p=4:

– bazni izrazi i koeficijent kC pravca prave fC(x) na usvojenom polinomu FC(x):
[x13+ x1x2(x1+x2)+x23]=[(-3/2)3+(-3/2)(3/2)[-3/2+3/2]+(3/2)3]=0;

kC=C0[x13+ x1x2(x1+x2)+x23]+C1(x12+ x1x2+x22)+C2(x1+x2)+C3=

kC =(-17/4)   ………………………………  (3,2).
Integral parabole Fa(x) u granicama x1 i x2 je:

Grafički prikaz:

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen Popović

Граф. поступак замене правоугаоника површином троугла

Графoaналитички  поступак замене правоугаоника  површином троугла
Графоаналитичка конструкција троугла између две праве помоћу правоугаоника исте површине – поступак замене површине правоугаоника  површином троугла

Метод  рада: коефицијенти праве.
Техника рада: графичко- аналитичка техника рада.

Задатак
– Дата је површина PABCD = аb =1 правоугаоника ABCD, затим,паралелно x оси, страница правоугаоника а=AB=(1/2) и произвољно изабрано теме правоугаоника А(1,-1).
– Дата је једначина праве fEF(X) =-(5/4)x+4  основне странице g  ∆ ЕFG површине PЕFG .

Графоаналитичким поступком на правој fEF(X) конструиши ∆ ЕFG једнаке површине површини правоугаоника ABCD:  PЕFG  = PABCD .
Поступак прилагоди  облику  формуле површине троугла између праве fEF(X) и fFG(X):
PЕFG  = (1/2)(xЕ-xF)[fEF(xG) – fFG(xG)] = (1/2)(x1-x2)[fEF(x3) – fFG(x3)].
Графички приказ – сл.1:

Из услова једнакости површине троугла и правоуганика у задатку имамо једнакост израза:
PЕFG  = PABCD ;   (1/2)(x1-x2)[fEF(x3) – fFG(x3)]=аb. Очигледна је веза:
а=(1/2)(x1-x2),  b=[fEF(x3) – fFG(x3)],
xА =(1/2)x1 ,  xB =(1/2)x2;  xА и xB су апсцисе темена А и В правоугаоника(погледај сл.1).

Одређивање потребних вредности:

-Одређивање апсциса темена Е и F  ∆ ЕFG:
x1=2(x1/2)=2(1)=2,   x2=2(x2/2)=2(3/2)=3.
– Oдређивање странице b правоугаоника ABCD:
PABCD = аb;   PABCD  =1, а=AB=1/2:    1 = (1/2) b   →   b=2.

Потребни кораци:
– Са јединичног  ∆ О1КЕFТ правац О1КЕF паралелно преносимо до одсечка nEF на у оси; тиме цртамо  праву fEF(X) .
– На х оси дуплирањем xА =(1/2)x1  и  xB =(1/2)x2  добијамо апсцису xЕ = x1  и  xF = x2.
– Наносимо вертикале апсциса x1 и x2  до пресека са правом fEF(X)  и дефинишемо темена Е и F  ∆ ЕFG.
Тренутни изглед је:

Преостали кораци су:
– На страницу а=AB вертикално наносимо страницу b=2 и тиме добијамо теме С, а затим и теме D правоугаоника ABCD.
– Повлачимо хоризонталу дуж странице АВ правоугаоника ABCD до пресека са правом fEF(X)  и дефинишемо тачку пресека G1.
– Из тачке G1 вертикално наносимо дуж дужине b=2 и добијамо теме G траженог ∆ ЕFG.

Графички приказ коначног решења:

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Mладен Поповић

Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

Koeficijenti  pravca i rešavanje kosouglog trougla
Određivanje stranica kosouglog trougla koeficijentima pravca jednačina stranica- Uprošćavanje Mallweide-ove formule i formula ostalih teorema trougla u oblasti analitičke geometrije

Metod rada- koeficijenti jednačine prave.
Oblast –analitička geometrija.

Predmet razmatranja:
-kosougli ∆ABC stranica a,b i c na pravama: f12(x), f23(x), f31(x);
– koeficijenti pravca, k12=tg α12 , k23=tg α23 , k31=tg α12 , jednačina pravih;
– uglovi nagiba pravih prema x osi: α12 , α 23 , α 31;
– formule: određivanje stranica a,b i c koeficijentima k12 , k23  i k31.

Predlog formula:
 .
………… (1);
  ………….. (2).

                                Izvođenje formula

a) Izvođenje formule koja sadrži koeficijente pravca pravih i stranice trougla:
 –
Površina trougla 2P∆ABC =(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23) …………… (3);

  –
razlike apscisa
(dva izrazi za rastojanje između dve tačke) zamenjujemo u formulu pod rednim brojem (3) :
  ………………….. (3.1);

c=d12=AB – dužina stranice ∆ABC,   a=d23=BC – dužina druge stranice ∆ABC.

Od površine trougla P∆BCA =(x3-x2)(x3-x1)(k23-k31)  ………….. (4), na isti način, dobija se oblik:
  …………………… (4.1);

b=d31=CA – dužina stranice ∆ABC.

Iz P∆CAB =(x1-x3)(x1-x2)(k31-k12)  …………………………………. (5) dobija se oblik:
  ……………………. (5.1).

b) –Jednačenjem  izraza   PABC = PCAB , datih pod rednim brojem (3.1) i (5.1) ,  tj. od istih, jednakih površina ∆ABC dobija se :

-iste su površine, ali različito je obeležavanje zbog  matematičkog smera i izbora početnog temena u formuli površine ∆ABC.
Naravno, nakon skraćivanja dobijamo već viđenu formulu pod rednim
brojem (1):
 .

PABC = PBCA ;

. – Nakon skraćivanja imamo formulu datu pod rednim brojem (2):


Zadatak


sa koeficijentom pravca k23 =(3/2). Dati su koeficijenti pravca ostalih dveju stranica ∆ABC: k12 = -3,  k31 =(1/2).
Odrediti stranice  ∆ABC.
Grafički prikaz:

-Potrebne formule su već date pod rednim brojem (1) i (2).
-Potrebne vrednosti veličina za formule:

 



Izrada:
 ,

 ,

Grafički prikaz rezultata:

Potpuno i preglednije urađen zadatak je u dokumentu:
Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

Napomena autora:
–Ako se ne izvrši potpuno skraćivanje na jednakostima  PABC = PCAB
i  PABC = PBCA , tada idemo ka sinusnoj teoremi: asin(β)= bsin(α)… ;
α, β,γ su unutrašnji uglovi ∆ABC. Cilj ovog članka nije izvođenje klasične sinusne teoreme, cilj su prve dve formule – računanje stranica trougla koeficijentima pravca jednačine prave: k12=tg α12 , k23=tg α23 , k31=tg α12 , kao i ostanak u analičkoj geometriji..

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen   Popović

Графоаналитичко цртање праве-Kоефицијенти праве

Графоаналитичко цртање праве-Kоефицијенти праве
Графички начин цртања праве коефицијентима једначине праве

Mетод  рада-коефицијенти праве.
Техника рада -графоаналитикa;
потребнa величинa: jeдначина праве f(x)=kx +n.

Да би нацртали праву познате једначине у координатном систему xOy прво се графички одреди правац једначине праве(k), а затим одредити  и вредност слободног члана  n једначине праве на y oси. Да би то урадили, најпре, нацртати помоћни правоугли  ∆ABC  јединичне странице AB:

∆ABC –помоћни троугао:  основна страница AB=1 и наспрамна страница BC=K. Бројну вредност коефицијента k=BC  одређује ордината тачке
C( xB ,k) и произвољна апсциса xB, a  страницу AB=1  цртамо на х оси:

 Zadatak
Графоаналитичком методом нацртати праву f12(x)=-2x+3,  f23(x)=3x-1
i  f31(x)=(3/4)x +(23/4)  у равни координатног система xOy.

Израда
-На х оси се црта јединични правоугли троугао за сваки коефицијент правца праве, a на y оси наноси  вредност  n:  n12 , n23 , n31  једначина правих. Следи слика:

У следећем кораку правац АK12 , АK23  и АK31  паралелно преносимо до одговарајућих тачака: N12 , N23 , N31 , претходно нанетих на у осу.
Следи коначно решење:

Контрола способности ока при опажању:
-На задњој слици око нам је преварено: изгледа да правац АK23  није паралелан са правом f23(x), а јесте.

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Mладен Поповић

Razlika jednačina dveju pravih – Površina trougla

                  Razlika jednačina dveju pravih – Površina trougla
Proizvod razlika ordinata jednačina dveju neparalelnih pravih iznad iste apscise x i razlike  apcisa drugih dveju tačaka ∆ABC daje površinu ∆ABC.  ∆ABC nastaje presekom tri neparalelne prave

Formule za površinu trougla su:
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-f23(x3)]  —————- (1);
2P∆BCA = (x2 – x3)[f23 (x1)-f31(x1)]  —————- (2);
2P∆CAB = (x3 – x1)[f31 (x2)-f12(x2)]. —————- (3);
-redosled  ispisivanja indeksa pri obeležavanju apscisa  i pravih je matematički pozitivan smer na ∆ABC.
Sve tri formule Ilustrujemo  slikama:

– Slika za oblik formule date pod rednim brojem(2):
,

– Slika za oblik formule date pod rednim brojem(3):
.


Zadatak

Dat je ∆ABC presekom prave
f12(x)=-2x+3  i  f23(x)=3x-1,  apscisom x1 = xA=-1 i apscisom  x3 = xc=3.
Odredi površinu P∆ABC  i koristi prvu sliku.

Potrebne veličine:
-Apscisa x2  se određuje presekom f12(x)=-2x+3 = f23(x)=3x-1 →  x2= 4/5;
-vrednosti jednačina pravih za x= x3=3:
f12(x3)=-2x3 +3 =-2(3) +3=-3,
f23(x3)=3x3 -1 =3(3)-1=8.

Razlike veličina:
f12(x3)- f23(x3)=-3-8= -11;
(x1 – x2)= -1-(4/5)= – 9/5.

Izrada
-Formula P∆ABC  data pod rednim brojem (1) je:
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-f23(x3)] = (-9/5)[-11] =99/5,
→  P∆ABC =99:10=9,9.

Provera
-Potrebne veličine: (x2 – x3)=[(4/5)-3] =-11/5;   (k12-k23) =(-2-3)=-5.
-Formula:
2P∆ABC = (x2–x1) (x2–x3)(k12-k23)=(9/5)(-11/5)(-5)= 99/5,
P∆ABC =99:10=9,9.

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Proizvodi razlika jednačina pravih: Površina trougla u koeficijentima kubne jednačine

Proizvodi razlika jednačina pravih: Površina trougla u koeficijentima kubne jednačine

Rezultat proizvoda uzastopnih razlika triju jednačina neparalelnih pravih je polinom trećeg stepena. U koeficijentima polinoma trećeg stepena nalazimo formulu za površinu trougla.

Oblast-
analitička geometrija.
Metod rada-
koeficijenti prave.
Bazna funkcija –kubna.

Presek tri neperalelne prave grade trougao.
Tvrdnja:
Proizvod  uzastopnih razlika triju jednačina neparalelnih pravih, f12(x) , f23(x) , f31(x) , jednak je polinomu Ax3+Bx2+Cx+D.  Svaki koeficijent polinoma sadrži formulu za površinu trougla.

                                Proizvod razlika jednačina pravih  

Tri neparalelne prave u ravni xOy mogu imati proizvoljan položaj, ili se uslovno mogu vezati za krivu nekog polinoma. Razmotrimo ta dva slučaja:

1)Proizvoljni položaj  tri neparalelne prave:
Neparalelne prave, f12(x) = k12x+n12 ,  f23(x) = k12x+n12 i f23(x) = k12x+n12 , grade tri tačke preseka.
Iz uslova preseka pravih, f12(x)=f23(x) , f12(x)=f23(x) , f12(x)=f23(x), slede odnosi:
(k12-k23)x2=n23-n12 ; (k23-k31)x3=n31-n23 ; (k31-k12)x1=n12-n31 ——– (1).

-Tačke preseka grade ∆ABC, apscise temena trougla su:
xA = x1 ,  xB = x2 , xC = x3.
Koeficijenti pravca proizvoljnih pravih su: k12, k23, k31, a odsečci pravih na y osi su: n12 , n23 , n31 .

Proizvodi razlika triju jednačina proizvoljnih pravih
:
(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))=
[(k12x+n12 )–(k23x+n23)][(k23x+n23 )–(k31x+n31)][(k31x+n31)–(k12x+n12)]=

(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)X3[(n23-n31)(k31-k12)(k12-k23)+(n12-n23)(k12-k23)(k23-k31)+(n12-n23)(k31-k12)(k23-k31)]X2-[(n23-n31)(n31-n12)(k12-k23)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)]X+(n12-n23)(n23-n31)(n31-n12) ——————————————————————- (7).

Zamenom izraza datih pod rednim brojem (1) u izraz pod rednim brojem (7) dolazi se do konačnih oblika:

(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))=
(k
12-k23)(k23-k31)(k31-k12)(x-x1)(x-x2)(x-x3) —————————   (2);

(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))=
(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x3(x1+x2+x3)x2+
(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3] ———————————————-  (2.1);

(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))= Ax3+Bx2+Cx+D —- (2.2);

A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12),   B=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-(x1+x2+x3)],
C=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x1x2+x2x3+x1x3],
D=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-x1x2x3] ———————————- (2.3).

-Vezu imeđu (k12-k23), (k23-k31), (k31-k12) I površine P∆ABC imamo u izrazu
8P3∆ABC R(X) = (k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)  —————————– (10).
Naravno, uvek se može iskoristiti jednakost:
(n12-n23)(n23–n31)(n31–n12)= (k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)(x1x2x3).

2)Slučaj preseka tri prave sa tačkama preseka na krivoj polinoma:
– U ovoj situaciji gornji izrazi za koeficijente pravca pravih, k12, k23, k31 , i odsečci pravih na y osi, n12 , n23 , n31 , pojavljuju se u konkretnijem obliku, lako se pamte(osmogodišnje i srednjoškolsko gradivo), i nalaze se u članku https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/ i tabeli br.1 . Razmotrimo proizvode razlika jednačina pravih za prve dve krive polinoma:

Parabola:
-Prave na paraboli, tri prave sa koeficijentima pravca: k12= a0(x1+x2)+a1 , k23=a0(x2+x3)+a1,     k31=a0(x3+x1)+a1.

Razlike koeficijenata pravca pravih na paraboli:
k12-k23= a0(x1+x2)+a1 –[ a0(x2+x3)+a1] = a0(x1-x3)——————–    (3),
k23-k31= a0(x2+x3)+a1 –[ a0(x1+x3)+a1] = a0(x2-x1)——————–  (3.1),
k31-k12= a0(x1+x3)+a1 –[ a0(x1+x2)+a1] = a0(x3-x2)——————–  (3.2).

– Odsečci pravih na y osi:
n12 = a2-a0x1x2 , n23 = a2-a0x2x3 , n31 = a2-a0x3x1 .
Razlike odsečaka pravih na y osi:
n12-n23=a0(x3-x1)x2 , n23-n31= a0(x1-x2)x3 ,   n31-n12=a0(x3-x2)x1 — (4).

Kubna:
– Prave na kubnoj, tri prave sa koeficijentima pravca:
k12=b0(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2 ,
k23 =b0(x22+x2x3+x32)+b1(x2+x3)+b2 ,
k31=b0(x12+x1x3+x32)+b1(x1+x3)+b2 .

Razlike koeficijenata pravca pravih na kubnoj:
k12– k23=[b0(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2 ]-[b0(x22+x2x3+x32)+b1(x2+x3)+b2] =
(x1-x3)[b0(x1+x2+x3)+b1] ————————————————-   (5);
k23– k31=(x2-x1)[b0(x1+x2+x3)+b1] —- ———————————-(5.1);
k31– k12 =(x3-x2)[b0(x1+x2+x3)+b1]. ————————————- (5.2).

– Odsečci pravih na y osi:
n12=b3-x1x2[b0(x1+x2)+b1],  n23=b3-x2x3[b0(x2+x3)+b1],  n31=b3-x3x1[ b0(x1+x3)+b1].

Razlike odsečaka pravih na y osi za kubnu:
n12-n23={ b3-x1x2[b0(x1+x2)+b1]}-{ b3-x2x3[b0(x2+x3)+b1]} = [- x1b0(x1+x2)-b1x1+ x3b0(x1+x2)+b1x3]x2=[b0(x32 – x12)+b0(x3-x1)x2+b1(x3-x1)]x2=
(x3-x1)[b0(x1+x2+x3)+b1]x2 ————————————————-(6);

n23-n31 =(x2-x1)[b0(x1+x2+x3)+b1]x3 ———————————— (6.1);
n31-n12 =(x3-x2)[b0(x1+x2+x3)+b1]x1 ———————————— (6.1).

Sada smo u stanju da dovršimo izraze date pod rednim brojem(2.1) i (2.3); dobiće se kubna jednačina, a koeficijenti, A,B,C,D, kubne jednačine(date pod rednim brojem 2.2) sadrže formulu površine trougla.
Pokažimo to za prave na paraboli, zatim i za prave na kubnoj:

                                                     Za parabolu

a)–  Za parabolu izrazi razlika koeficijenata pravca pravih dati su pod rednim brojevima: (3),(3.1),(3.2), zbog čega će koeficijenti jednačine date pod rednim brojem(2.3) biti:

A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)=[a0(x1-x3)][a0(x2-x1)][a0(x3-x2)]=
a02[a0(x1x3)(x2x1)(x3x2)]=a02 [2 P∆ABC ].
Dakle, izraz unutar srednje zagrade – proizvod a0 i razlika apscisa, je izraz za površinu  ∆ABC (https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2017/09/09/grupa-formula-za-povrsinu-trougla-na-paraboli-koef-prave/):

A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)= a02[2 P∆ABC ] —————————-(8.1),
B=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-(x1+x2+x3)]=2a02[P∆ABC][-(x1+x2+
x3)] ————————————————————————— (8.2),

C=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x1x2+x2x3+x1x3]=2a02[P∆ABC][x1x2+
x2x3+x1x3] ——————————————————————- (8.3).
D=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-x1x2x3]=2a02[P∆ABC][-x1x2x3] ——- (8.4).

Jednačenjem koeficijenata kubne, kubne date pod rednim brojem (7), sa koeficijentima B,C,D, datih na  izrazima (8.2), (8.3) i (8.4) za parabolu, dobija se:
[(n23-n31)(k31-k12)(k12-k23)+(n12-n23)(k12-k23)(k23-k31)+(n12-n23)(k31-k12)(k23-k31)]=[ P∆ABC ][-2a02(x1+x2+x3)] ————————— (8.2.2);

[(n23-n31)(n31-n12)(k12-k23)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)]=[P∆ABC][2a02(x1x2+x2x3+x1x3)]———————- (8.3.3);

(n12-n23)(n23-n31)(n31-n12) =[P∆ABC][2a02(-x1x2x3)] ————— (8.4.4).

                                                Za kubnu

b)-Za trougao na grafiku kubne izrazi razlika koeficijenata pravca pravih dati su pod rednim brojem (5),(5.1) i (5.2):
A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)=
{(x1-x3)[b0(x1+x2+x3)+b1]}{ (x2-x1)[b0(x1+x2+x3)+b1]}{(x3-x2)[b0(x1+x2+x3)+b1]}= (x1x3)(x2x1)(x3x2)[b0(x1+x2+x3)+b1][b0(x1+
x2+x3)+b1]2=[2 P∆ABC][b0(x1+x2+x3)+b1]2.

Dakle, i ovde, sve što je  obojeno crveno unutar zagrada je izraz za površinu  ∆ABC
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2017/11/15/grupa-formula-povrsine-trougla-na-kubnoj-koefic-pravca/ ):

A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)= [2 P∆ABC ][b0(x1+x2+x3)+b1]2 ——–(9.1),
B=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-(x1+x2+x3)]=2[P∆ABC][b0(x1+x2+x3)+b1]2[-(x1+x2+x3)] —————————————————————– (9.2),

C=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x1x2+x2x3+x1x3]=2[P∆ABC][b0(x1+x2+x3)+b1]2(x1x2+x2x3+x1x3)———————————— (9.3),
D=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-x1x2x3]=2[P∆ABC][b0(x1+x2+x3)+b1]2(x1x2x3)  ———————————————————————- (9.4).

Jednačenjem koeficijenata kubne, datih u izrazu kubne pod rednim brojem (7), sa koeficijentima B,C,D, datih  u izrazima (9.2), (9.3) i (9.4), dobiće se:

[(n23-n31)(k31-k12)(k12-k23)+(n12-n23)(k12-k23)(k23-k31)+(n12-n23)(k31-k12)(k23-k31)] =
2[ P∆ABC ][b0(x1+x2+x3)+b1]2[-(x1+x2+x3)] ————————– (9.2.2);

[(n23-n31)(n31-n12)(k12-k23)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)] =
2[ P∆ABC ][b0(x1+x2+x3)+b1]2[ (x1x2+x2x3+x1x3)] —————— (9.3.3);

(n12-n23)(n23-n31)(n31-n12) =
2[ P∆ABC ][b0(x1+x2+x3)+b1]2[-(x1x2x3)] —————————– (9.4.4)

                                                    Zaključak

1) Proizvodi razlika koeficijenata pravca tri proizvoljne prave jednak je:
(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)= 8P3∆ABC R(X) =—————- (10)

2) Proizvodi razlika koeficijenata pravca pravih, prave na krivoj polinoma,
jednak je:
(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)= [(x1x3)(x2x1)(x3x2)P]P2=[2PABC ]P2;
P∆ABC je površina trougla, a veličina P svakog polinoma ima drugu vrednost:
– za trougao na paraboli P= a0;
– za trougao na kubnoj, bo x3+ b1 x2+ b2 x+ b3 ,  P=[b0(x1+x2+x3)+b1];
– za trougao na polinomu četvrtog stepena, co x4+ c1 x3+ c2 x2+ c3 x +c4,
 P=[c0(x1+x2+x3)2+c1(x1+x2+x3)+c2– c0(x1x2+x2x3+x1x3)]…

Primenjujući isti postupak  i na ostale polinome višeg stepena potvrdiće se postojanje izraza  P∆ABC  u koeficijentima, A, B,C,D, jednačine  Ax3+Bx2+Cx+D.

3) Takođe, proizvodi razlika jednačina pravih daće formulu površine
trougla P∆ABC u koeficijentima, A,B,C,D, kubne  Ax3+Bx2+Cx+D:
(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))=
(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x3(x1+x2+x3)x2+
(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3]    ——————————————– (2.1).

Konačno je:
(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))= Ax3+Bx2+Cx+D —- (2.2).

Autor:
-Pišite ako vas zanima objašnjenje formule  date pod rednim brojem (10). 

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Grupa formula površine trougla na kubnoj-koeficijenti prave

GRUPA FORMULA  POVRŠINE TROUGLA NA KUBNOJ- KOEFICijENTI PRAVE
Kubna i njene prave: Formule za površinu trougla na kubnoj- Proizvod prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i kubne

 Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –kubna.
Oblast-analitička geometrija.

Pretpostavke:
aTri prave, f12(x) , f23(x) , f31(x) , međusobno se seku na krivoj
Fb(x) = box3 + b1x2 + b2x + b3  u tački A, B i C.

b) Tačke preseka grade ∆ABC. Apscise temena trougla su:
xA = x1 ,  xB = x2 , xC = x3.

c) Jednačine pravih između tačaka A, B i C su:
f12(x) = k12x + n12 = [b0(x12+x1x2+x12)+b1(x1+x2)+b2]x + b3-x1x2 [b0(x1+x2)+b1],
f23(x) = k23x + n23 = [b0(x22+x2x3+x32)+b1(x2+x3)+b2]x + b3–x2x3 [b0(x2+x3)+ b1],
f31(x) = k31x + n31 = [b0(x12+x1x3+x32)+b1(x1+x3)+b2]x + b3-x1x3 [b0(x1+x3)+b1].

Tvrdnja
Formule za računanje površine ∆ABC na kubnoj mogu se napisati u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i kubne, tj. funkcionalno zavise od:

1) bo , b1 – koeficijenata kubne,
x1 , x2 , x3 –apscisa tačaka temena trougla:
P ABC =(1/2)(x1 – x2 )(x2 – x3 )(x3 – x1 )[ b0(x1+x2+x3 )+ b1]   — (1);

2) bo , b1 – koeficijenata kubne,
x1 , x2 , x3 –apscisa tačaka temena trougla,
k12 , k23 , k31 -koeficijenata pravca pravih:
————- (2);

3) bo , b1 – koeficijenata kubne; n12 , n23 , n31 – odsečaka pravih na y osi,
x1 , x2 , x3 –apscisa tačaka temena trougla:
———— (3).

Sve formule su izvedene istim postukom, postupkom koji primenjujem radi izvođenja izraza za površinu trougla na polinomima: “Šablon za izvođenje oblika formule-a površine trougla na krivoj polinoma n-tog stepena“; izrazi su u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i polinoma.

Zadatak:
Tri prave, f12(x) , f23(x) , f31(x) , međusobno se seku na krivoj
Fb(x) = box3+b1x2+b2x+b3 u tački A, B i  C. Tačke preseka grade ∆ABC.

Poznate veličine:
a) n12 =151/16 ,  n31 = -15/48   -odsečci pravih na y osi;
b) x2 = xB =3    –apscisa tačke B.

Na slici ispod je grafički prikaz veličina zadatih u zadatku:

Izračunati:
1) Apscise presečnih tačaka trougla.
2) Izrčaunati površinu trougla ABC na kubnoj Fb(x) =(1/3)x3 -3x2 +5x +1 po formuli datoj pod rednim rojem (3).

                                                   Izrada

Potrebne formule za oba zadatka
a)Površina trougla:
.

b)Odsečci pravih na y osi:
n
12 =b3-x1x2 [b0(x1+x2)+b1] →  b3n12x1x2 [b0(x1+x2)+b1] =0→
0(x2)x12 +(b­0x22 +b1x2)x1+n12b3 =0 —————-  (5);

n31 =b3-x1x3 [b0(x1+x3)+b1]
0(x1)x32 +(b­0x12 +b1x1)x3+n31b3 =0 —————-  (6);

n23 =b3–x2x3 [b0(x2+x3)+b1]
0(x3)x22 +(b­0x32 +b1x3)x2+ n23b3 =0 —————- (7).

1)Određivanje apscisa temena trougla:
– Potrebne vrednosti veličina:
Fb(x) =(1/3) x3 -3x2 +5x +1,
.

Određivanje apscisa temena A i D:
0(x2)x12 +(b­0x22 +b1x2)x1+n12b3 =0.
Zamenom vradnosti x2 sa x2=3,
 ,
daje jednačinu 16x12-96x1+135=0.
Rešenja su:
.

Određivanje apscisa temena C i E:
0(x1)x32 +(b­0x12 +b1x1)x3+ n31b3 =0
Zamenom vradnosti x1 sa x1=9/4 ,
,
daje jednačinu 4x32-27x3 -7=0.
Rešenja su:
.

Određivanje apscisa temena C i F:
a) Određivanje n23:
n23 =b3–x2x3 [b0(x2+x3)+b1]=1–(3)(7)[ (3+7)-3]=-6.

b) Određivanje apscise:
0(x2)x32 +(b­0x22 + b1x2)x3+ n23b3=0.
Zamenom vradnosti x2 sa x2=3,
,
daje jednačinu x32-6x3 -7=0.
Rešenja su:
.

Slika grafika Fb(x) – kubne, trougla ABC , jednačine pravih i njihovih odsečaka- n12 , n23 , n31 na y osi:

2) Određivanje površine:
– Potrebne vrednosti veličina za formulu:
;
x1=9/4x2=3,  X3=7;
;
,
.


-Površina:

;
-površina P DEF je duplo veća od P ABC, odnosno, njihov odnos je (1:2).

Prema uslovima zadatka rešenja su: P ABC, P AEB. i P KDB.  Rešenja za  P AEB i P KDB. ostavljam čitaocu:

Detalje izrade zadatka videti u dokumentu:
GRUPA FORMULA POVRŠINE TROUGLA NA KUBNOJ- KOEFIC. PRAVE

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

Grupa formula za površinu trougla na paraboli-koef.prave

GRUPA FORMULA ZA POVRŠINU TROUGLA NA PARABOLI- KOEF. PRAVE
Parabola i njene prave: Formule za površinu trougla na paraboli u oblku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i parabole

Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –parabola.
Oblast-analitička geometrija.

Pretpostavke:
a)
Tri prave- f12(x) , f23(x) , f31(x) , seku parabolu
Fa(x) = aox2 + a1x + a2 u tački A, tački B i tački C.
b) Preseci  pravih grade ∆ABC. Apscise temena trougla su:
xA = x1 ,  xB = x2 , xC = x3.
c) Jednačina prave između tačke A i B:
f12(x) = k12x + n12 = [a0(x1 + x2) + a1]x + a2  – a0x1x2 .
d
) Jednačina prave između tačke B i C:
f23(x) = k23x + n23 = [a0(x2 + x3) + a1]x + a2  – a0x2x3 .                
e) Jednačina prave između tačke C i A:
f31(x) = k31x + n31 = [a0(x3 + x1) + a1]x + a2  – a0x3x1 .                       

Tvrdnja
Formule za računanje površine ∆ABC na paraboli mogu  se napisati u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i parabole, tj. funkcionalno će zavisiti od:

1)
koeficijenta parabole ao i apscisa, x1 , x2 , x3 , tačaka temena trougla– puna zavisnost površine od apscisa:

    ——– (1)

2) koeficijenta parabole ao i koeficijenata, k12 , k23 , k31 , pravca pravih – puna zavisnost površine od koeficijenta parabole i koeficijenata pravca pravih na paraboli:
;  —— (2)

3) koeficijenata parabole ao i a2 , odsečaka, n12 , n23 , n31 , pravih na y osi  i apscise x2 jednog temena trougla – delimična zavisnost površine od sva tri analitička elementa:
,
  ——– (3)

4) koeficijenata parabole ao , a2 i odsečaka, n12 , n23 , n31 , pravih na y osi- puna zavisnost površine od koeficijenata parabole i odsečaka pravih na у оsi:
——— (4)

Zadnja formula površine trougla, pod rednim brojem (4), funkcionalno zavisi samo od:
a) ao , a2 – koeficijenata parabole Fa(x) = aox2 + a1x + a2;
b)odsečaka n12 , n23 , n31 pravih na y osi.

Sve formule su izvedene istim postukom, postupkom koji primenjujem radi izvođenja izraza za površinu trougla na polinomima: “Šablon za izvođenje oblika formule-a površine trougla na krivoj polinoma n-tog stepena“; izrazi su u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i polinoma.

Zadatak:
1) Izračunati površinu trougla ABC- trougao od tri prave na parabol
i

ako su poznati odsečci pravih, n12 , n23 , n31, na y osi;
brojne vrednosti odsečaka su : n12 = 1/2 ,   n23 = -13,   n31 = -3.

2) Odrediti apscise presečnih tačaka, A,B,C, pravih i napisati jednačine sve tri prave.

Na slici ispod je grafički prikaz veličina zadatih u zadatku:

                                               Izrada
Potrebne formule za oba zadatka:

a)Površina trougla:
  .

b)Odsečci pravih na y osi:
n12 =  a2  – a0x1x2 —– (5);   n23 = a2  – a0x2x3 —— (6);
n31 = a2  – a0x3x1 ——– — (7).
c) Koeficijenti pravca pravih:
k12 = a0(x1+ x2 ) + a1 ;     k23 = a0(x2+ x3 ) + a1;
k31 = a0(x3+ x1 ) + a1 ——- (8).

1) Potrebne vrednosti veličina:

a0 =(1/2),  a1 =-5,  a2 =2;    n12 =(1/2) , n23 = -13, n31 = -3;
– potrebne razlike veličina:

2) Zbog dužine članka izrada drugog zadatka je postavljena u dokument:
grupa-formula-za-povrc5a1inu-trougla-na-paraboli-koef-prave9

Slika grafika Fa(x) parabole, trougla ABC , jednačine pravih i njihovih odsečaka- n12 , n23 , n31 na y osi:

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

Presek poznate i “nepoznate prave” – Prave na parabolama

                ODREĐIVANJE PRESEKA PRAVE fa(x) I PRAVE fb(x)

Metod koeficijenata prave: Prava fa(x) na paraboli Fa(x)  i prava fb(x) na paraboli Fb(x) . Određivanje preseka prave  fa(x) i prave fb(x)

                 Presek dve prave bez određivanja jednačine druge prave

Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –parabola.

 Pretpostavke:
a)
Prava fa(x) seče svoju parabolu Fa(x) u tački A i tački C. Apscise preseka su: xA = x1 i  xC = x2 .
b) Prava fb(x) seče svoju parabolu Fb(x) u tački D i tački E. Apscise preseka su: xD = x1 i  xE = x2.
Odnosno,  xA = xD = x1  i  xC = xE = x2
c) Poznate su jednačine parabole Fa(x) i Fb(x) i jednačina prave fa(x) .
Jednačina prave fb(x) nije poznata.

Grafik dve parabole Fa(x) i Fb(x) , dve prave i njihov presek P:

Da bi se odredio presek poznate prave fa(x) i “nepoznate prave” fb(x) potrebo je uspostaviti potrebne odnose između apscise xp preseka pravih, koeficijenata  parabola i koeficijenata poznatih pravih.

Potrebne formule:
a) Fa(x) = a0x2 + a1x +a– parabola,
fa(x) = [a0(x1 + x2) + a1]x + a2  – a0x1x2  = kx +n – prava na paraboli Fa(x) ;
b) Fb(x) = b0x2 +b1x + b2 ,
fb(x) = [b0(x1 + x2) + b1]x + b2 – b0x1x2  – prava na paraboli Fb(x) .

Potrebni odnosi:
c) Potrebna je smena za eliminaciju apscisa x1 i x2 iz izraza za xp , izraza pod rednim brojem (3):
k = [a0(x1 + x2) + a1]  je koeficijent pravca prave fa(x) , pa je:

n2 = a2  – a0x1x2 slobodan član prave fa(x) , pa je:

d) uslov preseka fa(x) i fb(x) :
[a0(x1 + x2) + a1]x + a2  – a0x1x2  =  [b0(x1 + x2) + b1]x + b2  – b0x1x2 .
Rešavajući uslov preseka po x  sledi:

Izvođenje izraza za presek dve prave preko koeficijenata jednačine poznate prave i koeficijenata parabola

Transformacijom izraza (3) za xp ; zamenom x1 + x2 i  x1x2 vrednostima iz izraza (1) i (2) imamo:

U uzrazu pod rednim brojem(4) apcisa xp zavisi samo od koeficijenata jednačine prave i koeficijenata jednačina baznih krivih Fa(x) i Fb(x) –što i jeste cilj metode :
a0 , a1 , a2  -koeficijenti jednačine parabole Fa(x) ;
b0 , b1 , b2  -koeficijenti jednačine parabole Fb(x) ;
k, n su koeficijenti iz fa(x) = kx +n – poznate jednačine prave na paraboli Fa(x).

Zadatak
10) Dati su izrazi:
– Parabola Fa(x) = x2 + x -2  i njena presečna prava fa(x) = 2x +1.

čiji izraz nije poznata, ali se zna da su apscise presečnih tačaka nje i njene parabole iste, kao i apscise presečnih tačaka prave fa(x) i njene parabole Fa(x) – uslov pri izvođenju formule za presek dve prave.

Odrediti presek poznate prave fa(x) i nepoznate prave fb(x), bez određivanja nepoznate prave.

Poznate vrednosti:
Fa(x) = x2 + x -2  → a0 =1,  a1 =1,  a2 = -2;

fa(x) = 2x +1→  k =2,  n=1;

Izrada:
Koristimo obrazac pod rednim brojem (4)-formulu za računanje apscise preseka xp :

Izračunata apscisa preseka prave fa(x) = 2x +1 i nepoznate prave
fb(x) = [b0(x1 + x2) + b1]x + b2  – b0x1x2  l

Isti zadatak i dokaz tačnosti traženih vrednosti možete videti u  dokumentu:
presek-poznate-i-e2809cnepoznate-pravee2809d-e28093-prave-na-parabolama2

Proces dokazivanja je duži nego sam zadatak; proces je duži jer se dokaz izvodi po ustaljenom postupku računanja  presečnih tačaka prave i krive… Na kraju dokaza  napisana je jednačina nepoznate prave fb(x) .

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
Autor metode:
dip. maš. inž. Mladen Popović