Moj novi članak je stariji od već napisanog

01 петак мај 2020

Posted by in Karakteristika K triju pravih u analitičkoj geomertiji, Kubna

≈ Поставите коментар

1. tema:
Dok unosim tekst u blog, stiže mi poruka da u arhivi imaju noviji tekst od ovog što kucam. Dešavalo se to i ranije, tehničke stvari ne znam, pa to više nisam ni gledao.
-Skinem ja neki dan svoj dokument sa svog bloga i, slučajno, na dokumentu ispod naslova  ispisana poruka podrške:
“Authors: Dell“ ili “ Authors: Moja.. Authors: Moj Drug…“

Kad saberem poruke podrške za mesec Maj, dobijem broj 4, 5..
Nađem i mene na nekom dokumentu; Autors: Mladen Popović, ipak sebe ne brojim-ja sam prošlost.

2. tema:
“Prvo čisto ekološko mleko“ u reklamama je starije od mleka iz prvobitne zajednice. Mleko koje su ljudi pili zadnji milion godina je, po teoriji brojeva, mlađe od ovog mleka iz reklame; isto je i sa“ekološkom“ ribom iz konzervi.

Uvek sam voleo da čitam istoriju, nisam voleo obavezu da učim; i ne treba mi,  istorija se ponavlja- u Mostaru su pre tri decenije od srušenog starog mosta napravili još stariji most.

DAKLE:
-Da nije danas starijeg rada, već juče ne bi imali noviji.
Mislim da je sofisticizam primenljiv, ne mogu se izvući iz ove logike, moram je prihvatiti- na kraju jedne narodne pripovetke čovek nosi magarca na leđima;
nema razloga da ne idem sa novim naslovom “Pišem đabe i o svojoj ,rani“:

        K  dva trougla i šest preseka triju pravi i kubne

Odnosi između karakeristika K centralnih trouglova kubne-odnosi karakteristika K  dva trougla triju pravih na kubnoj i šest preseka pravih i kubne

Metod rada-koeficijenti prave.

GRAFIK:

∆ DEF i ∆ ABC imaju različite karakteristike K.

Karakteristika K  ∆ DEF je dvostruko veća od K  ∆ ABC:
K∆DEF=-2K∆ABC .

Izvođenje:
-Apscise temena ∆ DEF su:

-Zbir levih i desnih strana svetri jednakosti je:

b0(x4+x5+x6)= b0(x1+x2+x3)-3K∆ABC ;

-dodajem b1 sa obe strane jednakosti:
b0(x4+x5+x6)+ b1 = b0(x1+x2+x3)+b1 -3K∆ABC  i gotovo!

– Osim -3K∆ABC ,u zadnjem izrazu, zbir sa leve strane je karakteristika K∆DEF, a sa desne je K∆ABC :

K∆DEF=K∆ABC-3K∆ABC=-2K∆ABC.

Jednakosti pod rednim brojem (20.4), (20,5) i (20,6) su obrađene u članku „Apscise i karakteristika K centralnih trouglova kubne“.

Sačan pozdrav i dobro zdravlje,
Autor metoda i izvođenja:
dipl. m. inž. Mladen Popovic

 

Karakteristika K i apscise centralnih trouglova parabole

24 петак апр 2020

Posted by in Karakteristika K triju pravih u analitičkoj geomertiji, Parabola

≈ Поставите коментар

Primena petlje jednakosti karakteristike K dva temena istog trougla pri određivanju apscisa temena i koeficijenata prvca stranica centralnih trouglova na paraboli

Metod rada-koeficijenti prave.

Centralni trouglovi parabole i njene prave van parabole:

Spoljašnji i unutrašnji trouglovi sa unakrsnim uglovima  na paraboli a0x2+a1x+a2  i prava f(x)= kx+n :

– Prvi slučaj:

– Ddrugi slučaj:

sa unakrsnim uglovima na paraboli a0x2+a1x+a2
i pravoj na f(x)= kx+n .

-Treći slučaj:
Koeficijent k prave f(x)= kx+n jednak je nuli, a f(x)=n je pomoćna direktrisa.

Određivanje nepoznatih apscisa i koeficijenata pravca spoljašnjeg
∆ AEB i ∆ CBF

1. zadatak:
Na paraboli i pravoj odrediti nepoznate apscise i koeficijente pravca strana  unutrašnjih i spoljašnjih trouglova:  ABC,  AEB, CBF.

Polazni podaci su:
F(x)=(1/2)x2-4x+3, f45(x)= k45x+n45= -x-4,

GRAFIK:

Da bih odredio nepoznate… idem ovim redom:
x1– apscisa temena A,
n13– odsečak od prave f13(x) na y osi,
k23 – koeficijent pravca stranice BC,
x4– apscisa temena D,
x5– apscisa temena E, x6– apscisa temena F;
k51– koeficijent stranice DA , k63– koeficijent stranice FC.

Izrada:
1. a) – Apscisa temena A:
a0(x1+x3)+a1=k13 ,
a0x1=k13-a1 -a0x3,

Pprovera karakteristike K:
Koeficijent parabole a0 zamenjujem karakteristikom K za teme A ∆ ABC:

(k31-k12)x1+(k31-k12)x3= (k31-a1)(x3-x2)=
(k31– k12)x1– (k12)x3 = -a1x3-(k31-a1)x2
x1(k31-k12)=(k12– a1)x3-(k13– a1)x2;

———— (50),

-zamena:

b) -Koeficijent pravca stranice BC:

c) -Odsečak od prave f13(x) na y osi:

– jednačina stranice(prave) AC .

d) -Apscisa temena D:
– presek f13(x)=f45(x),   (k13-k45)x4=n45-n13,

2.  – Apscisa temena E( x5, -) i apscisa temena F( x6, -):

-Za zatvorenu petlju jednakosti karakteristika K, potrebne su dve, biram petlju na trouglu koji ima jednu nepoznatu; uzmimam ∆ DEC:
(k13-k45)x4+(k45-k32)x5+(k23-k31)x3=0;

-zamena:

-Druga zatvorena petlja je za ∆ DFA:
(k31-k45)x4+(k45-k12)x6+(k12-k31)x1=0;

3. GRAFIČKO ODREĐIVANJE TROUGLOVA:
-Prvi korak:
-teme A je određeno presekom apscise  x1=1(prava) i prave f13(x)=(1/2)x-1;
-teme C je određeno presekom apscise  x3=8 i prave f13(x)=(1/2)x-1;
-teme D je određeno presekom prave f13(x) i prave f45(x);
-teme E je određeno presekom apscise  x5=-2 i prave f45(x)= -x-4  ;
-teme F je određeno presekom apscise  x6=10 i prave f45(x)= -x-4  ;

-Drugi korak:
-Teme B dobijam prenoseći paralelno pravac O1K12 do tačke A. Preneti pravac preseca x2 i određuje teme B.
Isti pravac će proći i kroz teme F, ako ne prođe, zadatak ima grešku. Kroz teme B mora proći i pravac stranice EC ∆ DEC- pa je to još jedna kontrola:
Graf:


4. Određivanje drugog(∆ AEB) i trećeg(∆ CBF)spoljašnjeg trougla unakrsnih uglova:
∆ AEB i ∆ CBF su grafički određeni: spojimo teme A i E i teme F I C.
Graf:

Ako mi  trebaju koeficijenti pravca AE i FC, odrediću ih iz zarvorene petlje karakteristike  K  ∆ AEB i ∆ CBF.
Iz petlje određujem koeficijente, zatim ih nanosim na jedinični krug, i sa jediničnog kruga pravce prenesim paralelno do tačke E i tačke F.

Petlje su:
(k15-k23)x5+(k23-k12)x2+(k12–k15)x1=0  određuje k15=kAE;
(k23-k12)x2+(k12–k63)x6+(k63-k23)x3=0  određuje k16=kAF.

Napomena:
Zadatak će imati savim drugi tok ako pravu van parabole posmatramo kao pravu parabole.

-Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
Autor karakteristike K i njene petlje:
dipl. maš. Mladen Popović

Космички путници и пиле у јајету

20 понедељак апр 2020

Posted by in NAČIN IZGRADNJE ENERGETSKIH POSTROJENJA - EKONOMIJA U INFLACIJI

≈ Поставите коментар

Космонаути добар део времена проводе на спавању, мање су активни, мање троше кисеоник.
У филмовима виђам да се космички путници успављују на неодређено време.
Има и других примера око тог елемента(О2,О3):

Дете у мајчином стомаку некад спава, некад је будно, али дише.
У стомаку дете дели са мајком крв и кисеоник из крвних судова мајке.
Ових дана људима, већ давно рођени, корона вирус блокира узимање кисеоника и његов прелаз у крвни систем…

Многи су, већ, видели да се кисеоником из боце убија вирус, а човек продише-чудо од технологије. Многи ванземаљци ће бити убијени кисеоником, почеће да рђају.

Док узех ово да пишем,знам куд сам мислима кренуо , знам шта ми би-нисам сам, али питам се на који начин пиле у јајету(птице и сви који се порађају из јајета) дише неколико дана пре него што пробије љуску и изађе из љуске јајета, чак и време пробијања љуске траје прилично…

Да је у јајету мува, некако би и дисала, али пиле је велико као јаје.
Како је ту решен начин дисања?
Ако би ме неко сместио у љуску јајета, не бих преживео у љусци ни десет минута…

Негде, осамдесетих година, био сам у једној фабрици слаткиша у Поцерини. Радници на улазу у фабрику скидају одело, осим доњег веша , и облаче радно одело.
Уз ту причу сам сазнао да се свакодневно чишћење(дезинфекција) пода у фабрици врши чистим кисеоником, нема крпа и канте са водом, хемикалија…

Мисао опија, мислима одох у детињство, сетих се мириса озона са залеђеног веша, који се, преко зиме у дворишту, на концу, суши.Мирис раног хладног јутра или првог сумрака и чистог путића уз Дрину.

И данас осећам његов мирис; некима се тај мирис не допада- меније је изванредан, толико даје снаге да не знам шта би могло од њега да уђе у плућа…

О озону се масовније прича и пише седамдесетих година, неки су почели причати 2007.године, неки 2017.
Прича се да је озонски слој око Земље уништила хемија, нуклеарне пробе и друга зрачења.

Прошле година је у пожарима, на свим континентима широм планете, толико уништено изворишта кисеоника(милиони хектара шуме) , да ме је страх да мислим o променама на живим бићима: изумирање, развој нових организама у измењеној атмосфери, мутација…

Многи су веома благо реаговали на пожаре(хиљаду хектара шуме гаси петсто људи), остали су немоћни да било шта учине.

Имам осећај да напуштам тему, почех брзо, написах ово за десет минута, а преписивање већ траје пола сата, замори ме.
Одох ја на терасу да се надишем ваздуха без кисеоника. Ако ми затреба кисеоник, има га у боцама, точак напретка се захуктао.

Срдачан поздра и добро здравље,
Аутор теореме:
дипл. инж. Младен Поповић

TEOREMA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG STEPENA

19 недеља апр 2020

Posted by in Metod pisanja jednačine prave na krivama

≈ Поставите коментар

– Teorema oblka koeficijenata jednačine prave i metod(primena metoda) koeficijenata prave i krive omogućuje jednostavniji postupak od klasičnog u postupku pisanja jednačine prave, tangente…

Metod rada-koeficijenti prave.

1)-Pisanje jednačine(a) prave(i) koja nije na krivoj.
Za pisanje jednačine koje nije na krivoj koristim karakteristiku K dveju pravi i pravu fK(x):
-Pošto odredim jednačinu prave f12(x), vrlo lako određujem još dve prave (jednačine). Dobijene prave grade trougao. Temena trougla imaju apscise
x1, x2 i x3.

-Pravu  fK(x)  ispisujem(računam) pomoću podataka koje zadam:
(k12, x1, x2) ,(k23, x2 , -), (k31, x1 , -),
k12 , k23 , k31 – koeficijenti pravca pravi ili:

(n12 , x1, x2) ,(n23 , x2 , – ), (n31 , x1 , -)
n12 , n23 , n31 – odsečci od pravi na y osi,
x1 , x2 –apscise preseka pravih.

2)- Pisanje jednačine prave koja je na krivoj.

Teorema oblika koeficijenata jednačine prave na krivoj višeg stepena u zajedničkim tačkama:

-Oblik koeficijenata jednačine prave kroz dve tačke na krivoj višeg stepena , kojoj će pripasti dve tačke krive, određuju koeficijenti krive višeg stepena i apscise tačaka.

-Teorema važi i za konjugovano kompleksne tačke i pravu van krive.

KRIVA DRUGOG STEPENA
Teorema:
-Jednačina prave kroz dve tačke na krivoj drugog stepena  
 f(2) =a0x2+a1x+a2  ima oblik:
f(1) =[a0(x1+x2 )+a1]x+a2-a0x1x2;
a0  i a1 su koeficijenti krive f(2) , a  x1 i  x2 su apscise pomenutih tačaka.

Pretpostavke :
-jednačina drugog stepena ——— f(2) = a0x2+a1x+a2  —————— (1);
-jednačina prvog stepena(prava)—- f(1)=[a0(x1+x2) +a1]x+a2-a0x1x2 — (2);
A(x1, -), B(x2, -) tačke preseka prave i krive, bez ordinate su , za jednačinu prave nisu ni potrebne.

Dokaz:
Zamenimo x sa x1 u jednačinu prave pod brijem (2) , t.j.  x = x1  :
f(1)=[a0(x1+x2) +a1]x1+a2-a0x1x2=
a0(x1)2+a0x1x2 +a1x1+a2 -a0x1x2 = f(2),x=x1 ,

f(2),x=x1 = a0(x1)2+a1x1+ a2 .

1.zadatak:
Data je jednačina f(2) = 2x2 -5x +3 .
Napisati jednačinu prave kroz dve tačke na f(2)  ako apscise tačaka na  krivoj  imaju vrednost:
x1 = -2  ,  x2 = 3 .
Rešenje:
-Oblik koeficijenata prave na krivoj (parabola) je:
f(1) =[a0(x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2 .
–Vrednosti koeficijenata krive f(2) su: a0 =2 ,  a1=-5 ,  a2 =3.

-Zamena apscisa u koeficijente  jednačine prave:
f(1) = [a0(x1+x2 )+a1]x+a2 -a0x1x2 =
[2(-2+3)-5]x +3-2(-2)3=-3x+15,   tj. ,   f(1) = – 3x+15.

Provera:
-Za  x1 = -2,                             f(1)x1=-2 = –3x1+15 = – 3(-2) +15=21,                                                f(2)x1=-2 = 2(x1)2 -5x1+3=2(-2)2 -5(-2) +3=21.


-Za  x2 = 3,                                 f(1)x2=3 = – 3x2+15 = – 3(3) +15=6,                                                 f(2)x1=3 = 2(x2)2 -5x2 +3=2(3)2 -5(3) +3=6.

Jednačina tangente

Prva tangenta na krivoj f(2) = a0x2 +a1x+a2 , u tački  x = x1 , dobiće se iz jednačine prave kroz dve tačke na krivoj ako stavimo  da je  x2 = x1 :
-Za x2 = x1 ,  fT(1),X1 = [a0(x1+x1)+a1]x+a2 -a0x1x1 = (2 a0x1+a1 )x+a2-a0(x1)2 .
Konačno je  ———- fT(1),X1 =(2a0x1+a1 )x+a2-a0(x1)2 –——— (3).

Druga tangenta;
– Za x1 =  x2 ,  fT(1),X2 =(2a0x2+a1 )x+a2-a0(x2)2 –————–  (4).
Dokaz:
Zamenimo x sa x1 u jednačinu prave pod brojem (3)  i  x = x2 u jednačinu pod brojem(4), obe daju isto:
fT(1),X1 = a0(x1)2 +a1x1+a2   i  fT(12),X2 = a0(x2)2 +a1x2+a2.

2.zadatak:
Napisati jednačine tangenti  dveju tačaka na krivoj f(2) = 2x2 -5x +3
ako su apscise tačaka:
x1 = -2  i  x2 = 3.
Rešenje:
-Opšti oblik tangente  fT(1),X1=(2 a0x1+ a1)x+a2+a0(x1)2 ,
a kroz drugu tačku  ——————– fT(2),X2 =(2 a0x2+a1 )x+a2-a0(x2)2 .
-Vrednosti koeficijenata krive f(2) su: a0 =2 ,  a1=-5 ,  a2 =3.

Prva tangenta  fT(1),X1 =[2 (2)x1 -5 )]x+3 -2(x1)2 ,
t.j.  fT(1),X1 =(4x1 -5 )x+ 3-2(x1)2 .
-Za  x1 = -2,  oblik prave fT(1),X1 =[4(-2) -5 ]x+3-2(-2)2=-13x-5.
fT(1),X1 = -13x-5.

Provera:
-Za  x = x1 =-2, vrednost tangente   ———-   fT(1),X=-2 = -13(-2)-5= 21,                                        f(2)x1=-2 = 2(x1)2 -5x1 +3=2(-2)2 -5(-2) +3= 21.

Druga tangenta fT(2),X2 ==[2 (2)x2 -5 )]x +3-2(x2)2 , tj.,
fT(2),X2 =(4x2 -5 )x+3 -2(x2)2
-Za  x2 = 3,  oblik  ———- fT(2),X2 =[4(3) -5 ]x+3-2(3)2= 7x-15,
                                                                                       fT(2),X2 = 7x-15.

Provera:
-Za  x = x2 =3, vrednost tangente   —————— fT(2),X=3 = 7(3)-15=6,
                                            f(2)x1=-2 = 2(x2)2 -5x2 +3=2(3)2 -5(3) +3=6.

KRIVA TREĆEG STEPENA

Sve što je rečeno za krivu drugog stepena važi i za krivu trećeg stepena.
Kod krive trećeg stepena f(3)  javiće se , pored jednačine prave kroz dve tačke na  f(3) , i jednačina drugog stepena f(.2) .

Oblici koeficijenata jednačine trećeg i prvog stepena(prave) su:
-Trećeg stepena  —–  f(3) = a0x3+a1x2 +a2x + a3  ——–  (5).

-Prvog stepena(prava) f(1) ={a0[(x1)2+x1x2 +(x2)2]+a1(x1+x2 )+a2}x+
a3-x1x2[a0(x1+x2 )+a1]  ——————– (6).

Dokaz:
Zamenimo u jednačinu prave (6)  x  sa  x1, tj.,  x = x1,
tada je f(1) x=x1 = {a0[(x1)2+x1x2 +(x2)2 ]+a1(x1+x2 )+a2 }x+
a3-x1x2 [a0(x1+x2 )+a1] =  a0(x1)3 +a1(x1)2 +a2x1+a3 =f(3),x=x1 .

Jasno je:
-Koeficijenti jednačine f(X) , pod rednim brojem (2) i (6) , u tačkama
x1 = x01 i  x2 = x02 , gde su x01 i x02 rešenja jednačine f(2) i f(3) , jednaki su nuli. Prave f(1)  postoje i imaju oblik:
 f(X) = 0x + 0.

Izvođenje jednačine prave na krivoj(parabola):
Jednačina prave se izvodi iz klasične jednačine prave kroz dve tačke.
-Potrebne jednačine:
F(x) -jednačina krive,
f12(x)=k12x+n12 –jednačina prave na krivoj F(x).

Koeficijenti prave f12(x):
k12(x2-x1)= F(x2)- F(x1)= a0x22 +a1x2+a2-[a0x12 +a1x1+a2 ]=
(x2-x1)[ a0(x1+x2 )+a1],
n12(x2-x1)=x2F(x1)- x1F(x2)= (x2-x1)[ a2-a0x1x2 ].
Naravno, i na desnoj strani jednačina je (x2-x1). Nakon skraćivanja (x2-x1) u izrazima ostaje vrednost
za k i n.

Teorema oblika koeficijenata jednačine prave važi i za prave koje realno ne seku krivu.

3.zadatak:
Napisati jednačinu prave od koeficijenata parabole kroz konjugovano kompleksne tačke:
x1=-1+3i , x2=-1-3i.

-Potebne vadnosti:
x1=a+bi , x2=a-bi,
x1+x2=a+bi+a-bi=2a,  x1x2 = (a+bi)(a-bi)=a2+b2.
f(1) = [a0(x1+x2 )+a1]x+a2 -a0x1x2 =[a0(2a)+a1]x+a2 -a0(a2+b2),
f(1) =(2a0a+a1)x+a2 -a0(a2+b2);

x1+x2=2a=2(-1)=-2 , x1x2=a2+b2.=(-1)2(3)2=10.
Izrada:
f(1) = (2a0a+a1)x+a2 -a0(a2+b2).
[2(1)(-2)+1]x -2-(10 )=-3x-12.

–Članak se postavlja treći put, promenjen je naslov i dodat je novi sadržaj; nisam ni znao da je članak nestao sa bloga.

Ceo tekst članka se nalazi i u dokumentu:
TEOREMA OBLIKA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG STEPENA

Autor teoreme:
maš.inž.Mladen Popović

Karakteristika K i apscise centralnih trouglova kubne

15 среда апр 2020

Posted by in Karakteristika K triju pravih u analitičkoj geomertiji, Kubna

≈ Поставите коментар

Karakteristika K prva dva centralna trougla kubne. Određivanje apscisa temena centralnih trouglova kubne apscisama prvog centralnog trougla kubne – primena karakteristike K i Vijetovih veza

Centralni trouglovi kubne:

Apscise u Vijetovim vezama i u karakteristici K na kubnoj

Metod rada-koeficijenti prave.

Tri Vijetove veze važe duž jedne prave(f12(x)), a veze su između  apscisa triju tačaka jedne prave i koeficijentata kubne:

-prava  f12(x)=k12x+n12 seče kubnu u tački A(x1,-) i B(x2,-),
kubna je Fb(x)= b0x3+b1x2+b2 x +b3;

-prva Vijetova veza:
b0(x1+x2+x4)=-b1;

-tri Vijetove su:
b0(x1+x2)=-b1-b0x4
b0(x1x2+x1x4+x2x4)=b2–k12
b0(x1x2x4)=-(b3–n12).

Karakteristika K dveju pravih:
-Karakteristika K dveju pravih obuhvata dve zajedničke tačke prave i kubne(presek) i treću proizvoljnu tačku C na drugoj pravoj i kubnoj.
-Karakteristika K povezuje:
– koeficijente dve prave i koeficijente kubne;
-apscise tačaka jedne prave, tačku A i tačke B na istoj pravoj i apscisu tačke C druge prave.
GRAFIK:

Dakle:
K∆ABC obuhvata tačku A, B I C na kubnoj;
b0(x1+x2+x3)+b1=K∆ABC ……………………. (20,3),
b0(x12+x1x2+x22)+b0(x1+x2)=b2-k12 …….  (20,2),
x1x2[b0(x1+x2)+b1]=b3-n12 ……………….. (20,1).

Određivanje apsisa tačaka(temena) centralnog ∆DBF:
Vijetova veza:
b0(x1+x2+x4)=-b1,
-b1-b0x4 =b0(x1+x2).

Apscise u b0(x1+x2) iz karakteristike K∆ABC , pod rednim brojem(20,3) su:
b0(x1+x2+x3)+b1=K∆ABC ,
b0(x1+x2)=K∆ABC– b0x3-b1  i zamenjujem ih u -b1-b0x4 =b0(x1+x2):

-b1-b0x4 =b0(x1+x2),
-b1-b0x4 = K∆ABC– b0x3-b1,
b0x4 = b0x3– K∆ABC.

DAKLE:
Apscisa x4 treće tačke preseka prave i kubne određuje se apscisom x3 tačke C druge prave i karakteristikom K∆ABC (K∆ABC ,∆ABC):
  ……… (20,0).

Druge dve apscise temena ∆ABC su:
  …….. (20.1) i (20,2).

1. Zadatak
Za stranice i temena ∆ ABC kubne Fb(x) se znaju:

Odrediti karakteristiku K prva dva centralna trougla kubne, koeficijent pravca kFD= k64 stranice FD drugog ∆DBF i jednačinu stranice FD.
Grafiči prikaz početnih vrednosti:

Izrada
-Potrebne brojne vrednosti:
,

Određivanje apscise trećeg temena prvog centralnog ∆ABC:
(k12– k23)x2+(k23-k31)x3+ (k31-k12)x1 =

a)-Određivanje KC ∆ABC:

b)-Određivanje apscisa temena ∆DBF :

c)-Određivanje KB ∆DBF:

Određivanje koeficijenta pravca kFD=k64 stranice FD ∆DBF:
-Karakteristika K ∆DBF za teme D je

pa imamo koeficijent pravca stranice DF:
k64= k12 + K∆DBF(x6 –x2)=

-Određivanje jednačine stranice FD:
n64=b3– x6x4[b0(x6+x4)+b1]=

-određivanje temena F i D:


.

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
Autor metoda:
dipl. maš. Mladen Popović

Određenost parabole trouglom karakteristike K triju pravih

07 уторак апр 2020

Posted by in Karakteristika K triju pravih u analitičkoj geomertiji, Parabola

≈ Поставите коментар

Određenost parabole:
2. -Parabola je određena ako je analitički određen trougao parabole karakteristike K.

-Trougao je analitički određen ako se zna jedno n ili k i karakteristika K. Karakteristika K je određena vrednostima:
(k12, x1, x2) ,(k23, x2 , -), (k31, x1 , -) ili
(n12 , x1, x2) ,(n23 , x2 , – ), (n31 , x1 , -);

k12 , k23 , k31 – koeficijenti pravca pravih,
n12 , n23 , n31 – odsečci od pravi na y osi,
x1 , x2 –apscise preseka pravih.

Dakle:
n12 ili k12 (k12 ako koristim drugu grupu podataka) određujem  karakteristikom K i njenom pravom fK(x);
– apscisu x3 određujem iz zatvorene petlje karakteristike K trougla triju pravi.
Pošto do sada nisam predstavio pravu fK(x), parabolu ću odrediti poznatom(zadatom) pravom f12(x)=k12x+n12.

DAKLE:
-Koeficijenti parabole određujem karakteristikom K triju pravih i jednačinom jedne prave:
k31, k23, f12 (x)= k12 x+n12, x1, x2 , ili
n31, n23, f12 (x)= k12 x+n12, x1, x2 .

Određivanje koeficijenata parabole:
Pretpostavka:
-parabola je Fa(x)=a0x2+a1x+a2 , prava na stranici AB je: f12(x)=k12x+n12 ;
-prava f12(x)=k12x+n12 na paraboli je: f(x)=[a0(x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2;
-zadate veličine za određivanje koeficijenata parabole: k31, k23,
f12 (x)= k12 x+n12, x1, x2 .

Određivanje parabole:
a) koeficijent a0 parabole je:

b) koeficijent a1 parabole je:
k12= a0(x1+x2)+a1,
a1= -a0(x1+x2)+k12 ;

c) koeficijent a2 parabole:
Fa(x1)=a0x12+a1x1+a2=f(x1),
a2=f(x1)-a0x12-a1x1

-Ako prava nije zadata(ili izračunata), prava se može postaviti na pravac koeficijenta k12 jediničnog(trigonometrijskog) kruga:

1.zadatak:
-Odrediti koeficijente parabole od zadatih i izračunatih veličina, ili sa sledećeg grafika ili sa:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2020/03/24/teorema-odredenost-trougla-i-parabole-karakteristikom K:
–Zadato je:

x1=-3, x2 =1 ,

b) tema A:


c) k23-k31=(5/2), x2-x1=1-(-3)=4.
Napomena: sve što je zadato je već rađeno, postavljam ih kako bi  podaci bili jasniji.

Koeficijenti parabole su:


b) a1=k12-a0(x1+x2)=

c) a2=f(x1)-a0x12-a1x1=

-Provera:
a1=k23-K(x2+x3)=

a2=n12+Kx1x2=

-Parabola je određena:
Fa(x)=a0x2+a1x+a2=

GRAFIČKA POTVRDA:

-Definisana parabola F(x) će proći kroz temena trougla jediničnog kruga i kroz teme C iznad apscise x3.

-Očitane dužine stranica i površina ∆ABC na grafiku imaju istu vrednost kao što su izračunate u zadatku na gornjem linku, ovaj zadatak je njegov prirodni nastavak.

DAKLE:
-Koeficijenti parabole su određeni karakteristikom K trougla triju pravih i jednačinom jedne stranice trougla.

U sledećem članku ću uraditi zadatak „Tri podjednako odmaknuta trougla i njihove parabole“
-Grafik:

Srdačan pozdrav I dobro zdravlje,
Autor:
dipl. maš. Mladen Popović

Teorema: Određenost trougla i parabole karakteristikom K

24 уторак мар 2020

Posted by in Тrougао u analitičkoj geometriji

≈ Поставите коментар

Određenost trougla:

1.–Trougao  triju pravih je geometrijski određen ako se znaju koeficijenti pravca pravi(pravci stranica) i apscise preseka pravi:
(k12, x1, x2), (k23, x2 , -), (k31, x1 , -) -karakteristika K triju pravi ili se zna

(n12 , x1, x2), (n23 , x2 , – ), (n31 , x1 , -)- odsečci na y osi od pravi i apscise preseka pravi(karakteristika K trougla triju pravi).

-Trougao je analitički određen ako se zna još  jedno n ili k

Dakle:
n12 ili k12 (k12 je u drugoj grupi) određujem karakteristikom K i njenom pravom fK(x);
– apscisu x3 određujem iz zatvorene petlje karakteristike K trougla triju pravi.

Pošto do sada nisam predstavio pravu fK(x), trougao ću odrediti poznatom(zadatom) pravom f12(x)=k12x+n12.

Dakle:
– Trougao je analitički određen karakteristikom K triju pravih i presekom jedne prave i y ose(odsečak od prave na y osi): k31, k23, k12 , n12 ,  x1, x2 ili
n31, n23, n12 , k12 ,  x1,  x2 .

2. -Parabola je određena ako je analitički određen trougao parabole karakteristike K.
-Koeficijenti parabole su određen karakteristikom K triju pravi i jednačinom jedne prave.

Potrebno je razlikovati geometrijsku određenost trougla od određenosti trougla u ravni xOy(analitička geometrija ili vektori).

Dakle, za analitičku određenost trougla i koeficijenata parabole u ravni xOy treba znati još jedno n ili jedno k.
n i k određujem karakteristikom K trougla triju pravi i njenom pravom(naravno ne u ovom članku)

– Za analitičku određenost trougla, pored zadatih pet veličina( x3 se računa karakteristikom K prvih pet veličina), izračunaće se i sedma; sedmom će biti potvrđena određenost tri koeficijenta parabole a0, a1, a2.

1.zadatak:
-Odrediti trougao ako se na trouglu znaju:
a) k31=(1/2), k23=3, k12=-(2/3)  – koeficijenti pravca tri stranice trougla;
b) x1=-3 x2 =1  -apscise preseka pravca stranica trougla CA,AB i AB,BC.

Na grafiku su koeficijenti pravca i jedinični trigonometijski krug.
Izrada:
1)-Uglovi u trouglu se znaju, zadati su koeficijentima pravca(tangensi..).
2)–Karakteristika K temena C:

k23-k31=3-(1/2)=(5/2),
x2-x1 =1-(-3)=4;

k31-k12=(1/2)-[-(2/3)]=(7/6),  k12-k23=-(2/3)-3=-(11/3).

3)-Određivanje apscise trećeg temena trougla:
(k12-k23)x2+(k23–k31)x3+(k31–k12)x1=0 ———— (10.1),  

Trougao se geometrijski može prikazati bilo gde, ipak ima razloga da se započne na trigonometrijskom krugu:O1(-1,0).
Crtanje trougla:

Na grafiku apscise prikazujem vertikalama, a koeficijente pravca na jediničnom trigonometijskom krugu O1O=1 u xOy koordinatnom sistemu.

Crtanje stranice AB:
— na grafiku pravac k12 (O1K12) produžujem levo do preseka sa apscisom x1 i desno, do preseka sa apscisom x2 . Preseci nam daju teme A i B.

Crtanje stranice AC:

– kroz tačku A povlačimo pravu paralelnu pravcu O1K31: k31=(1/2), sve do x3, gde se dobije teme C..

Crtamo stranicu BC:

-povukao sam kroz tačku B pravu paralelnu pravcu O1K23: k23=3, proverio teme C i završio  ∆ABC.
GRAF:

4)-Određivanje stranica trougla:
-potrebne vrednosti:

-stranice su:


Očitane vrednosti stranice sa grafika i vrednosti stranica dobijene računom se podudaraju, ∆ABC je određen.

5)-Površina trougla:
-2K2P∆ABC=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)=

Dobijena površina računom se podudara sa očitanom površinom na grafiku.

DAKLE:
-∆ABC je geometrijski definisan, poznate su dužine sve tri stranice.
Za analitičku geometriju(x0y) ∆ABC nije određen, jer nisu određene ordinate njegovih temena niti bilo šta drugo:
A(x1 , – )=(-3,– ), B(x2, – )=(1, – ), C(x3 , – )=[(43/15),– ].

– Da bi trougao bio analitički definisan u ravni xOy potrebno je odrediti jednačinu jedne stranice trougla; jednačina je dobijena pomoću koordinata temena O1(-1,0) i temena K12 [0,(-2/3)], pa se dalje zna: k31, k23, k12 , x1, x2 , n12 ili f12 (x)= k12 x+n12, k31, k23, x1, x2 ,

6)-Analitička određenost trougla:
Postavljanjem jedne stranice trougla na pravac koeficijenta k12 jediničnog kruga, trougao je već analitički određen:
f12(xO1)=k12xO1+n12 ,
0=-(2/3)(-1)+n12 , n12 =-(2/3);
-jednačina stranice AB je: f12(x)=-(2/3)x-(2/3);
-tema A je:
f12(-3)=-(2/3)(-3)-(2/3)=(4/3),
A[-3, (4/3)].

Određenost parabole karakteristikom K
DEFINICIJA:
– Parabola je određena ako je analitički određen trougao parabole
karakteristike K:  k31, k23, k12 , n12 , x1, x2 ili n31, n23, n12 , k12 , x1, x2 .

Da bi odredio parabolu ne moram određivati jednačine svih stranica trougla, kao što bih to gore utadio za trougao; parabola ima svoje prave:
f(x)=[a0(x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2 …..

Zaključak:
– U zadatku sam trougao analitički određio uslovno jediničnim(trigonometrijskim) krugom.
Trougao se stvarno analitički može odrediti karakteristikom K i njenom pravom fK(x), a iza toga i  jednačinu prave jedne stranice trougla.

DAKLE,
sledi članak:“Metod pisanja jednačine proizvoljne prave“; metod pisanja jednačine prave na krivoj sam odavno objavio.

Ovde neću ništa više dodati zbog veličine sadržaja, određenost parabole(njena tri koeficijenta), kubne, hiperbole… ostaviću za naredne članke.

Srdačan pozdrav I dobro zdravlje,
Autor izvođenja:
maš. inž. Mladen Popović

Карактеристика К троугла на параболи и параболе

19 четвртак мар 2020

Posted by in Matematika, Parabola

≈ Поставите коментар

Дискриминанта пресека F(х)=а0х2+а1х+а2 и f(x)=kx+n, карактеристика К  трију правих на параболи и разлика k12-k23 коефицијената правца праве f12(x) и f23 (x)

Метод рада- коефицијенти праве

-Карактеристика К средњег темена ∆АБЦ је:

k12-k23=KБ(x1-x3)  …………………………………………… (1).
-Једначина пресека параболе и праве f31(x)  је:
а0х2+а1х+а2=k31x+n31,
а0х2+(а1-k31)x+а2-n31=0.
-Разлика решења (нула) једначине пресека параболе и праве f31(x) je:
x1=xА, x3=xЦ ;

– Заменимо разлику (x1-x3) задњег израза у једнакост под бројем(1):
   …………..  (1.1)

Како је КБ = а0 , то ће разлика (k12-k23 ) бити:
,

-Након квадрирања леве и десне стране задњег израза, биће
(k12-k23)2-(а1– k31)2=- 4К(а- n31),
   …………………. (40).

-Извели смо доказ, а узели смо у обзир све  параметре параболе и правих, да је К= а0  , заменом КБ са а0 .

ДАКЛЕ:
К  троугла на параболи или K пресека трију правих на параболи се одређује ако знамо:

праву f31(x)= k31x+n31,
k12– коефицијент правца странице АБ,
k23-коефицијент странице БЦ,
а1 и а2 од параболе F(х)=а0х2+а1х+а2.

ГРАФИК:

1. задатак:
-Знамо параболу и праву:

знамо да је k12=-(3/2) и да је k23=3.
Одреди карактеристику К помоћу формуле за карактеристику и површину троугла карактеристике К .
ГРАФИК:

Потребне вредности:

(а2– n31)=2-(-3)=5;

Решење:

b) -производ разлика коефицијената правца је:
(k12– k23)(k23– k31)(k31– k12)=

– површина троугла карактеристике К је:
-2K2P∆AБЦ=(k12– k23)(k23– k31)(k31– k12),


2.задатак:
Подацима из првог задатка одреди полупречник описане кружнице ∆АБЦ.
-Потребне бријне вредности:
(k122+1)( k232+1)( k312+1)=

-Фоулмула полупречника описане кружнице се налази на
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2019/03/15/правци-страница-троугла-и-пречник-описане кружнице

Срдачан поздрав и добро здравље,
Аутор метода:
дипл. м. инж. Младен Поповић

Brzina crtanja unutrašnjih trouglova ∆ABC

09 понедељак мар 2020

Posted by in Karakteristika K triju pravih u analitičkoj geomertiji

≈ Поставите коментар

Brzina crtanja unutrašnjih trouglova  ∆ABC
Brzina računanja karakteristika K (može i crtanje trougla) unutrašnjih trouglova, trouglovi ∆ABC, na stredištima stranica svakog prethodnog trougla

Zadatak:
Crtaju se redom trouglovi unutar ∆ABC, ali tako da temena svakog unutrašnjeg trougla budu na središtima stranica prethodnog trougla. Crtanje  trouglova ili računanje karakteristike trouglova trajalo je 16 min.

– Posle 16 min ctranja ili računanja K trouglova, izračunata je  karakteristika K zadnjeg trougla: K=8. Zadata je karakteristika K prvog trougla K1=1. Odrediti brzinu crtanja trouglova i broj trouglova.

Crtež spoljašnjeg- početnog i dva središna trougla:

Napomena: -Spoljašnji ∆ABC nije određen: A(x1,-), B(x2, -), C(x2,-), za sliku je uzet proizvoljan položaj trougla.
Međutim, za rešavanje mnogih zadataka u analitici metodom koeficijenata dovoljno i potrebo je znati: ( k12, k23, k31, x1, x2) ili (n12, n23, n31, x1, x2). Za crtanje gornjeg grafika uzete su vrednosti:

Potrebno znanje:
– Karakteristika K stranica(pravih) svakog sledećeg trougla, unutar početnog ∆ABC, sa naizmenično istim koeficijentima pravca, je dva puta veća od karakteristike K stranica(pravih) prethodnog trougla. Dakle, radi se o geomertijskom nizu, gde je q =2 , a b1=K1=1

Izvođenje formula i zadate vrednosti:
– zadnji član geomertijskog niza bn je:

bn=K=8,  b1=K1=1 , a  q =2.

Izrada:

2K=2n  → 2(8)=(2)4=2n ,
pa je n= NTR.=4 -broj unutrašnjih trouglova;

-brzina crtanja trouglova v :

Dok sam skicirao pet trouglova što su na grafiku, dok sam izračunao x3=10,
x4=7/2, x5=11/2, x6=8, x7=18/4, x8=23/4, x9=27/4, x10=41/8,
x11=45/8, x12=50/8, x13 , x14 , x15  i dok sam izračunao petnast karakteristika K za petnaest temena, prošlo je više od 2h.

-Brzina mog računanja petnaest karakteristika je:

Od autora :
Sretan rad i dobro zdravlje,
dip. m. inž. Mladen Popović

График карактеристике К трију правих : k12, k23, k31, x1, x2, x3

05 четвртак мар 2020

Posted by in Karakteristika K triju pravih u analitičkoj geomertiji

≈ Поставите коментар

График карактеристике К трију правих : k12, k23, k31, x1, x2, x3
График карактеристике K12,23 , K23,31 , K31,12  и одређеност троугла трију правих коефицијентима правца правих и апцисама пресека правих:k12, k23, k31, x1, x2

Meтод рада-коефицијенти праве.

График карактеристике K је задат коефицијентима правца и апсцисама правих( за рачун морамо нешто имати):

Одређујемо апсцису x3:
За оперативни рад на троуглу од три праве потребно је дефиносати троугао коефицијентима правих и апсцисама правих. О троуглу не морамо знати где се налази: А(x1, -), Б(x1, -), Ц(x1, -), али задати подаци морају  задовољити услов:
К=K12,23 =K23,31 = K23,31 ,
(k12-k23)x2+(k23–k31)x3+(k31–k12)x1 =0 —— (10.1):


Карактеристике K12,23 , K23,31 , K23,31 трију правих :

1) –а) K12,23,Х1(k12,k23,х1,х3):
k12, k23 – коефицијенти правца правих f12(x), f23(x),
х1,х3 –апцисе пресека правих f31(x), f12(x) i   f23(x), f31(x),

задњи израз зависи од апсциса тачака на крацима правих од темена са кога гледамо те тачке, па пустимо апсцису х1 да тече и ставимо да је х1=х:


ставимо да је х3=х:

2) – а) K23,31(k23,k31,х2,х1):
k23, k31 – коефицијенти правца правих f23(x), f31(x),
х2,х1 – апцисе пресека правих f23(x), f31(x) i   f12(x), f31(x),

стављамо да х1 тече, х1=х:


стављамо да х2 тече, х2=х:

ГРАФИК:

3) – а)  K31,12(к31,к12,х3,х2):

 х2=х:


х3=х:

Када је K12,23 =K23,31 = К31,12=K,  потпуно је одређен троугао од три праве задатим вредностима.
Рецимо:
–Са графика се види да је К= K12,23 =K23,31 = K23,31,=(1/2), дакле дефинисан је и ∆ABC, а апсцисе су, за К=(1/2), једнаке: x1=1, x2=6, x3=10;

– Можемо видети на графику да су , за К= K12,23 =K23,31 = K23,31,=1,  апсцисе првог унутрашњег троугла:

Апсцисе x4, x5 и x6 су темена новог троугла( DEF) и оне ће ићи кроз средишта страница спољашњег троугла АБЦ. Средње апсцисе рачунамо задњим изразом следећег доказа:

Докажимо да су х4 ,х5 и х5 средишта страница троугла АBC:

K12,23,Х1(х)=K12,23,Х3(х),

-ГРАФИК ОБА ТРОГЛА:

Ако су различите вредности за К, K12,23 ≠K23,31 ≠ K23,31, троугао од три праве није могуће одредити  задатим вредностима: k12, k23, k31,
х1, х2 .

На графику за К имамо још два плус два пресека. Прва два имају заједничку једну(х7) апсцису, а друга два имају заједничку другу апсцису (х8). О овим пресецима-други пут.

-Ако би график карактеристике К цртали коефицијентима и апсцисама:
n12, n23, n31, x1, х2 ., график би био исти у свему.

Срдачан поздрав и добро здравље,
Аутор метода:
дип. м. инж. Младен Поповић

Izvođenje karakteristike K triju pravih

27 четвртак феб 2020

Posted by in Karakteristika K triju pravih u analitičkoj geomertiji

≈ Поставите коментар

  Izvođenje karakteristike K triju pravih
Karakteristika K triju pravih i primena Talesove teoreme u analitičkoj geometriji

Metod rada-koeficijenti prave.

Karakteristika K triju pravih izvedena je ,ranije, iz preseka
f12(x)= k12x+n12 , f23(x)= k23x+n23 i  f31(x)= k31x+n31:
(k12-k23)x2=n23-n12,  (k23-k31)x3 =n31-n23 ,
(k31-k12)x1=n12-n31 ili

-Sabiranjem levih ili desnih strana jednačina dobija se:
a) (k12-k23)x2+(k23–k31)x3+(k31–k12)x1 =0 —— (10.1);
b) (n12-n23)x1x3+(n23–n31)x3x1+(n31–n12)x3x2=0 —— (11.1).

-Jednakost izraza pod rednim brojem (10.1) i (11.1) su dokaz tačnosti pretpostavljenih izraza za karakteristikу K triju pravih:

Dokaze videti na:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2019/02/11/osnovna-veza-koeficijenata-pravaca-tri-prave/
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2019/02/14/oсновна-веза-одсечака-трију-правих-на-у/

-Izvođenje prvog izraza za K:
Kx3(x2-x1 )=n31-n23 → n31= n23+Kx3(x2-x1 )- izraz za n31 zamenjujem u izraz:
Kx1(x3-x2 )=n12-n31= n12-[n23+Kx3(x2-x1 )],

n12-n23=Kx1(x3-x2 )+Kx3(x2-x1)=K[x1(x3-x2 )+x3(x2-x1)=
Кx2(x3-x1 )  → n12-n23=Кx2(x3-x1 ):

Talesovom teoremom, na drugi način, još jednom, proveravam vrednost
za K:

-Postavimo Talesove proporcije za tri prave presečene trima vertikalnim pravama- pravе apscisa: x1 , x2 , x3 .
Pogledajmo, na grafiku ispod, presek dve prave; treća prava je posledica  pomenutih preseka.

GRAFIK:

Prva proporcija:

AE(x3-x2)=CF(x3-x1);
[f31(x1)- f23(x1)](x3-x2)= [f31(x2)- f23(x2)](x3-x1),
[(k31– k23)x1+n31-n23](x3-x2)= [(k31– k23)x2+n31-n23](x3-x1),

[(k31– k23)x1(x3-x2)+(n31-n23)(x3-x2) ]=
[(k31– k23)x2(x3-x1)+(n31-n23)(x3-x1) ];

[(k31– k23)x1(x3-x2)- (k31– k23)x2(x3-x1) ]=
[(n31-n23)(x3-x1)- (n31-n23)(x3-x2) ],
[(k31– k23) [x1(x3-x2)+ x2(x3-x1) ]= (n23-n12)[ x3-x1)-(x3-x2) ]:
(k31– k23)(x1-x2) x3=(n31-n23) (x2-x1).

-Ako bi skratili razlike apscisa, izgubili bismo karakteristiku K i predstavu o osnovnim vezama svih preseka između pravih: k i n pravih i apscise preseka. Zato, zanji izraz podelimo kvadratom razlika apscisa:

(k31– k23)(x1-x2) x3=(n31-n23) (x2-x1)/:x3(x2-x1)2

-Dakle, vrednost srednjeg izraza za K triju pravih u analitičkoj geometriji je:

GRAFIK:

Druga proporcija:


DB(x3-x1)=CF(x2-x1);
[f31(x2)- f12(x2)](x3-x1)= [f31(x3)- f12(x3)](x2-x1),
[(k31– k12)x2+n31-n12](x3-x1)= [(k31– k12)x3+n31-n12](x2-x1),
[(k31– k12) [x2(x3-x1)- x3(x2-x1) ]= (n31-n12)[ x2-x1)-(x3-x1) ]:
(k31– k12)(x3-x2) x1=(n12-n31)(x3-x2).

-Isto, još jednom:
(k31– k12)(x3-x2) x1=(n12-n31)(x3-x2)/:x1(x3-x2)2,

-vrednost zadnje jednakosti za K:

Ttreća proporcija:
Treći izraz za K je već dokazan na navedenim linkovima i nije ga  potrebno,  dokazivati proporcijom, jer bismo ponovli isti postupak kao i kod prethodne dve proporcije: ako su dve veličine jednake trećoj, jednake su i međusobno.

Autor pojmova i izvođenja:
Karakteristika K nije veličina koju treba izvoditi, jer se potvrdila na nebrojanom broju slučajeva, naravno da K ima svoj matematički izraz i dat pod rednim brojem 10 i 11, 10.1 i 11.1.

K je operant  u analitičkoj geometriji- ističe izvorne uslove i osnovne veličine  mnogobrojnih teoreme i pravila u matematici.
Talesova teorema pretpostavlja presek dveju pravih i daje proporcije odgovarajućih duži na pravama  u preseku i na paralelnim pravama.

K definiše uslove preseka dveju pravih- apscisu preseka i po jednu apscisu na jednom i drugom kraku pravih, gledano sa mesta(iz take) preseka dveju pravih. Metoda koeficijenata nas, na primeru Talesove prorcije, nepogrešivo vodi ka preseku pravih.

Karakteristika K određuje uslov postojanja preseka triju pravih- trougao pravih sa sledećim podacima: k12 ,k23 ,k31 ,x1 ,x2, x3 ili n12 , n23 , n31 , x1 , x2 , x3 . Naravno, pet veličina se zadaju, dok se šesta određuje pomoću karakteristike  K.
A, ako su preseci pravih na krivoj, dovoljni su koeficijenti k ili n: apscise se mogu izračunati poznavanjem jednačine krive; videćemo u nekom narednom blogu na paraboli, hiperboli…

Autor pojmova i izvođenja:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
dipl. m. inž. Mladen Popović