Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла

            Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла

Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла, апсциса тачака пресека правих или прираштаја, ∆f12(x), ∆f23(x), ∆f31(x), od f12(x), f23(x) и f31(x)

Метод рада – коефицијенти праве.
Јеначине правих:
f12(x)=k12x+n12 , f23(x)= k23x+n23 , f31(x)= k31x + n31 .

Косинусна теорема :

(∆f23)2+(∆f31)2-2(∆f23)(∆f31)cos(00)=(∆f12)2————————- (40.б),
∆f23= f23(x3)-f23(x2), ∆f31= f31(x3)-f31(x1), ∆f12= f12(x2)-f12(x1).
Слика:

-Угао између колинеарних, ординатних, праваца је нула.

-Прираштаји правих на страницама ∆АБЦ, дуж ординатног правца су:
∆f23=k23(x3-x2), ∆f31=k31(x3-x1), ∆f31=k12(x2-x1), те косинусна теорема добија облик разлика апсциса:

k232(x3-x2)2+k312(x3-x1)2-2(x3-x2)(x3-x1)k23k31=k122(x2-x1)2—— (40),
k23, k31, k12 – коефицијенти правца страница ∆АБЦ, тј. правих  f23(x), f31(x) и f12(x);
x1 ,  x2 , x3 – апсцисе темена страница ∆АБЦ.

  Три дужине на џ оси су рзлике апсциса (x3-x2), (x3-x1) и (x2-x1) . Усвојимо ли  s23, s31 и s12 за њихове ознаке, тада ће израз бити:
k232(s23)2+k312(s31)2-2(s23)(s31)k23k31=k122(s12)2 ——————- (40.a),
s23= (x3-x2), s31= (x3-x1), s12= (x2-x1).
Слика:

 

                                                Извођење и доказ
Потребне формуле:
– дужине страница ∆AБЦ:

-класичан облик косинусне теорема: a22 -c2=2aбcos(α23– α31).

Извођење косинусне теорема разлика апсциса темена троугла:
-У израз  a22 -c2=2aбcos(α23– α31) замењујемо дужине страница ∆AБЦ , косинус разлике угла правца странице а и угла правца странице б:

a22 -c2=2aбcos(α23– α31),

(x3-x2)2(k232+1)+(x3-x1)2(k312+1)-(x2-x1)2(k122+1) =

2(x3-x2)(x3-x1)(1+k23k31);

(x3-x2)2(k232+1)+(x3-x1)2(k312+1)-(x2-x1)2(k122+1) =2(x3-x2)(x3-x1)(1+k23k31).

Даље, остављам разлике апсциса у заградама и настављам множење осталих чланова :

k232(x3-x2)2+(x3-x2)2+k312(x3-x1)2+(x3-x1)2-k122(x2-x1)2-(x2-x1)2=
2(x3-x2)(x3-x1)+2(x3-x2)(x3-x1)k23k31,
раздвајам променљиве:
k232(x3-x2)2+k312(x3-x1)2-2(x3-x2)(x3-x1)k23k31-k122(x2-x1)2=
– (x3-x2)2-(x3-x1)2+2(x3-x2)(x3-x1)+(x2-x1)2.

Како је деснa странa једнакости једнака нули, – (x3-x2)2-(x3-x1)2+
2(x3-x2)(x3-x1)+(x2-x1)2=0, то ће и израз са леве стране бити нула:
k232(x3-x2)2+k312(x3-x1)2-2(x3-x2)(x3-x1)k23k31-k122(x2-x1)2=0.

[k23(x3-x2)]2+[k31(x3-x1)]2-2[(x3-x2)k23][(x3-x1)k31]=[k12(x2-x1)]2———-(40).

Задатак:
Задате величине:
– дужина s23=(x3-x2)=1 између апсцисе x3 и x2 темена Б И Ц  ∆AБЦ;
– коефицијенти правца страница ∆AБЦ: k12=-(2/3), k23=4, k31=(1/2), истовремено и коефицијенти правца праве f23(x), f31(x) и f12(x).
Одреди:
– дужине s31 и s12;
-прираштаје, ∆f23, ∆f31, ∆f12, на  f23(x), f31(x) и f12(x).

Потребна формула:
s23= (x3-x2),  x3= s23+x2. Апсцису x3 замењујем у
k232(x3-x2)2+k312(x3-x1)2-2(x3-x2)(x3-x1)k23k31=k122(x2-x1)2:

k232(x3-x2)2+k312(s23+x2-x1)2-2(x3-x2)(s23+x2-x1)k23k31=k122(x2-x1)2,
k232(x3-x2)2+k312[(x2-x1)2+2(x2-x1)s23+s232]-2(x3-x2)s23k23k31-2(x3-x2)(x2-x1)k23k31=k122(x2-x1)2,
k232(s23)2+k312(x2-x1)2+2k312(x2-x1)s23+k312s232-2(s23)s23k23k31-2(s23)k23k31(x2-x1)=k122(x2-x1)2;

(k312-k122)(x2-x1)2+[2k312s23-2s23k23k31](x2-x1)+k232(s23)2+k312s232-2s232k23k31+ =0,
(k312-k122)(x2-x1)2-2s23k31(k23-k31)(x2-x1)+s223(k23-k31]2=0.

Бројне вредности:





Једначина:
(k312-k122)(x2-x1)2-2s23k31(k23-k31)(x2-x1)+s223(k23-k31]2=0,

-(x2-x1)2– (9)2(x2-x1)+7(9)=0,

(x2-x1)2+18(x2-x1)-7(9)=0.

Решење:

(x2-x1)1=3,  (x2-x1)2=-21.

a)-Oдређивање разлика апсциса или растојања између њих:
-Из s23=(x3-x2)=1 и (x2-x1)1=3 следи да је (x3-x1)=4, дакле растојања између њих су:
s12=3, s23=1, s31=4.
-Друга решења, са (x2-x1)2=-21, приказаћу други пут.

б) Одређивање ∆f23, ∆f31 и ∆f12:
∆f23=k23(x3-x2)=4(1)=4;

Од аутора метода:
Срдачан поздрав и добро здравље,
маш. инж. Младен Поповић

Advertisements

Правци страница троугла и пречник описане кружнице

Правци страница троугла и пречник описане кружнице

Коефицијенти правца страница косоуглог троугла, формула  пречника описане кружнице троугла у бесконачном скупу троуглова и апсцисе темена троугла

Метод рада-коефицијенти праве.

Формула:

к12 ,  к23 , к31 ,  x1 , x3 – коефицијенти правца страница  ∆АБЦ и апсцисе првог и трећег темена троугла.

Извођење и доказ

Потребне формуле:
∆АВЦ=(x2-x1)( x2-x3)( k12-k23) – формула површине ∆АБЦ,
4RР∆АВЦ=абц- класична формула површине троугла;
а, б, ц,  R  – странице ∆АБЦ и полупречник R описане кружнице косоуглог троугла.

Дужине страница ∆АБЦ:

Извођење формуле:
4RР∆АВЦ= 2R[2Р∆АВЦ]=[а][б][ц];
2R[2Р∆АВЦ]=2R[(x2-x1)( x2-x3)( k12-k23)]= [а][б][ц]=

Са леве и десне стране знака једнакости скраћујем разлике апсиса те остаје:

Дакле, формула је:
————– (30.а).

Понављање поступка:
∆ВЦА=(x3-x1)( x3-x2)( k23-k31) – формула површине ∆БЦА;
2R[2Р∆ВЦА]=[а][б][ц]:
————– (30.б).

Поредим израз под редним бројем (30.а) и (30.б); следи да је:
—————- (10.а);

И треће, за Р∆ЦАБ је:

Дакле, добијена је уопштенија једнакост:

Задња једнакост  односа, основних односа коефицијената правца прaвих и апсциса тачака пресека правих, имамо у чланку“ https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2019/02/11/osnovna-veza-koeficijenata-pravaca-tri-prave/  “ и  једнака је, када је реч о полупречнику описане кружнице троугла, количнику производа коренова квадрата праваца и пречникa кружнице.

У бројиоцу израза имамо три корена , уместо једног корена, да би задржао изворни облик односа  аналитичких елемената, а да нас сваки корен подсети да он потиче од израза за растојање између пресека правих , тј. на странице троугла.

Троуглови из бесконачног скупа имају исте површине, исте правце страница, исте апсцисе и исти полупречник описане кружнице.

                            Страница троугла и пречник описане кружнице

Косоугли троугао:
———— (30.а).

– У формули под редним бројем (30.а), у бројиоцу, имамо израз за дужину странице ЦА:
 и то ћу, једноставно, обележити са б:


добили смо однос полуречника описане кружнице и странице троугла:

Правоугли троугао:
-Ако страница буде б=2R и пролази кроз центар круга, тада постаје пречник круга, а однос два полупречника и странице је једнак јединици:

(k12-k23)2=( k212+1)(k223+1),
k212-2 k12k23+ k223= k212 k223+ k212+k223+1,
-2 k12k23= k212 k223+1,
k212 k223 +2 k12k23+ 1=0,
(k12k23+1)2=0:

Задатак
Дате су следеће аналитичке величине:
коефицијенти правца страница троугла;
x1=-1 , x2=2 – апсцисе пресека f12(x)= f31(x) i f23(x)= f31(x) , тј. решења једначина.

На троуглу, дефинисан датим величинама, одредити полупречник описане кружнице.

Бројне вредности аналитичких израза:
x2-x1= 2-(-1)=3;




 

Израда задатка:

Напомена:
Могућнст одређивања положаја троугла у координатној равни:

-Апсциса x3 нам није потребна у задатку, потребна је за слику троугла у координатној равни .
Како су темена свих троуглова  изнад апсциса x1, x2 и x3 , морала се одредити и апсциса x3 :

(k12-k23)x2+(k23–k31)x3+(k31–k12)x1=0,
————– (11):  x3=3.

-Да бих на графику издвојио бар један троугао из скупа, морам имати  познату још једну величину, рецимо:
nАБ =-5/3 – произвољно изабрана страница АБ  ∆АБЦ и њен одсечак на у оси.

СЛИКА:

 

  Додатак

Ако изађемо из аналитичке геометрије и одемо у тригонометрију(адиционе формуле), специфичан симбол препознавања полупречника описане кружнице троугла ће бити:

Aутор метода:
-Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Određivanje površine nedovoljno poznatog trougla

           Ddređivanje površine nedovoljno poznatog trougla
Određivanje povšine nedovoljno poznatog trougla u neograničenom skupu: Primena osnovne veze koeficijenata pravca triju pravih i apscisa tačaka preseka pravih

U analitičkoj geometriji položaj ∆ABC u koordinatnoj Oxy ravni nije definisan ako nisu poznate koordinate temena trougla ili nisu poznate prave stranica trougla: ne znamo A(x1 ,y1), B(x2 ,y2), C (x3 ,y3) ili ne znamo f12(x)= k12x +n12 ,  f23(x)= k23x +n23
i  f31(x)= k31x +n31 .

Da bi odredili površinu trogla ne moramo znati položaj trougla u ravni xOy,  ne moramo znati (x1 ,y1), (x2 ,y2), (x3 ,y3). Dovoljno je znati da se koeficijentima(k12 , k23 , k31) i apscisama(x1 , x2) određuje površina trougla.

                                            Metod rada-koeficijenti prave
Potrebne formule:
2P∆ABC =(x2-x1)( x2-x3)( k12-k23) ——————————- (1);

(k12-k23)x2+(k23 – k31)x3+(k31 – k12)x1 =0  ————– (10.1) ,
——————- (10).

Zadatak
Date su sledeće analitičke veličine:
k12=-1 , k23= 3,  k31=2  – koeficijenti pravca pravih;
x1=-2 , x2= 1 – apscise preseka  f12(x)= f23(x) i f23(x)= f31(x).
Odrediti površinu ∆ABC iz neograničenog skupa trouglova.

Brojne vrednosti analitičkih izraza:
x2-x1= 1-(-2)=3;
(k12 – k23)=[-1–3]=-4,   (k23-k31)=[3-2]=1,   (k31-k12)=[2-(-1)]=3 .

Izrada zadatka:
(k12-k23)x2+(k23 – k31)x3+(k31 – k12)x1 =0,
(-4)(1)+(1)x3+(3)(-2 )= x3 -10 =0:
x3=10.
Površina trougla:
2P∆ABC =(x2-x1)( x2-x3)( k12-k23);
x2-x3= 1-10=-9:
2P∆ABC =(3)(-9)( -4)=108.
P∆ABC=54.

                          Provera vrednosti dve površine u neograničenom skupu trouglova

-Zadajmo dve proizvoljne vrenosti odsečka prave f12(x)= k12x +n12 na y osi:
a) n12=n1=-3.
Slika:

Napomena: jednačine pravih su prikazane na slici radi boljeg razumevanja slike, izvođenje ostavljam čitaocu: A(-2,-1), B( 1,-4),C ( 10,23).

Iz uslova preseka f12(x)= f23(x) sledi:
(k12-k23)x2=(n23 – n12),
n23= n12+(k12-k23)x2= -3+(-4)=-7:    n23=-7.
n23– n12=-7-(-3)=-4.
Površina je:
P∆ABC (2x2)=(x2-x1)( x2-x3)( n23-n12)= (3)(-9)(-4)=108,
P∆ABC [2(1)]=108:
P∆ABC=54.

b) n12=n2=-4.
Slika:

Napomena:radi boljeg razumevanja slike predstavljene su i jednačine pravih i temena: A(-2,-2), B( 1,-5),C ( 10,22).

n23= n12+(k12-k23)x2= -4+(-4)(1)=-8:    n23=-8.
n23– n12=-8-(-4)=-4.
Površina je:
P∆ABC (2x2)=(x2-x1)( x2-x3)( n23-n12)= (3)(-9)(-4)=108,
P∆ABC [2(1)]=108:
P∆ABC=54.

Primeri pokazuju postojanje neograničenog skupa trouglova iste površine:

-Ascisa x3 je određena relacijom (10.1), a podskupove tačaka temena trouglova određujuje skup odsečaka na y osi: (n)=( n1, n2, n3, ……… ).
Usvajanjem proizvoljne vrednosti n1 ili n2 , određuje se n23 iz preseka pravih:
n23= n12+(k12-k23)x2 ;  n1=n12,  n2=n23.

-Neograničen skup tačaka temena trouglova su sve tačke na pravama:p:x=x1 , q:x=x2. g:x=x3.

-Trouglovi negraničenog skupa, definisani analitičkim elementima izraza datog pod rednim brojem(10) i izraza pod rednim brojem(10.1) , imaju istu površinu.

Autor teoreme:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

 

Oсновна веза одсечака трију правих на у оси

 Oсновна веза одсечака трију правих на у оси

Метод рада- коефицијенти праве.

Основна алгебарска веза oдсечака трију правих на у оси и апсциса тачака пресека правих jednakosti:
  ———————– (11)

Аналитички елементи dvоструке једнакости су:
n12 – слободни коефицијент једначине праве, уједно и одсечак праве
f12(x)= k12x+n12 на у оси.
n21, n31 – коефицијенти(одсечци)праве f23(x)= k23x+n23  i  f31(x)= k31x+n31 на у оси;
x1 , x2 i x3 – апсцисе пресека праве f12(x), f23(x) и f31(x).

                                              Доказ

Тврдња:
– Свака једнакост,било која датa под редним бројем (11), ће дати израз:

(n12-n23)x1x3+(n23-n31)x1x2+(n31-n12)x2x3 =0  ——————(11.1):

Из једнакости првог и другог израза је:
(n12-n23)x3(x1-x2)= (n23-n31)x2(x3-x1):
(n12-n23)x1x3+(n23-n31)x1x2+(n31-n12)x2x3 =0.

Из једнакости другог и трећег израза је:
(n23-n31)x1(x2-x3)= (n31-n12)x3 ( x1-x2)=  :
(n12-n23)x1x3 + (n23-n31)x1x2 + (n31-n12)x2x3 =0.

Из једнакости првог и трећег израза је:
(n12-n23)x1(x2-x3)= (n31-n12)x2(x3-x1):
(n12-n23)x1x3+(n23-n31)x1x2+(n31-n12)x2x3 =0.

Потврђено је:
– Ако су две величине једнаке трећој, једнаке су и међусобно, без обзира о којим величинама је реч.

Задатак
Замишљене  праве f12(x)= k12x+n12 , f23(x)= k23x+n23 ,  f31(x)= k31x+n31 граде  ∆АВС имају познате следеће аналитичке вредности:
n12=9 , n23= 0,  n31=17 – одсечци правих y оси;
x1= -2,  x2= 3 – апсцисе пресека f31(x)= f12(x) i f23(x) = f31(x).

Одради апсцису x3  тачке трећег пресека правих.

Слика:

Потребне формуле и бројне вредности:
(n12-n23)x1 x3 +(n23 – n31)x1x2 + (n31 – n12)x2x3 =0;
(n12-n23)x1=(9-0)(-2)=-18,
(n23 – n31)x1x2=(0- 17)(-2)(3)=102,
(n31 – n12)x2 =(17- 9)(3)=24.

Одређивање апсцисе- решење:
(n12-n23)x1x3 + (n23-n31)x1x2+(n31 n12)x2x3 =-18 x3+102+24 x3 =0;
6x3 +102=0;      x3= -17.

Примена апсцисе  x3
Без обира што темена троугла можемо ставити под наводнике: “А“ ,“В“, “С“ , јер нису одређена, не знамо их, а ни праве нису одређене, то ми не смета да на троуглу израчунам неке величине; x3 даје могућност да одредимо:
-површину ∆АВС ;
-дужине страница: АВ, ВС, СА…

Наведену могућност обезбеђује базна функција В(х)=-(x-x1)(х-х3), тј. њена вредност В(x2)=-(x2-x1)(x2-x3); базни израз је самосталан, увек истог  облика за потвршину сачињену пресеком три праве у равни хОу.

Ако је ∆АВС на кривој линији, тада имамо нове околности:
-базна функција се проширује простим чиниоцем (x3-x1),
-двострука једнакост основног израза, редни број (11), прелази у троструку једнакост и његова коначна вредност зависи од врсте криве на којој се троугао налази.

Подскуп (А, В, С) је елемент бесконачном скупа троуглова са теменима изнад апсциса x1 , x2 и x3 . Задавањем  коефицијента правца једне праве дефинисаће се и саме праве и темена ∆АВС.

Аутор теореме:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Osnovna veza koeficijenata pravaca tri prave

  Osnovna veza koeficijenata pravaca tri prave

Osnovna algebarska veza koeficijenata pravaca triju pavih i apscisa preseka pravih je:
 ……… (10)

Analitički elementi dvostruke jednakosti su:
k12 – koeficijent pravca prave f12(x)= k12x+n12 ,
k23 i k31 – koeficijenti pravca prave f23(x)= k23x+n21 i  f31(x)= k31x+n31 ;
x1 , x2 i x3 – apscise preseka prave f12(x), f23(x) i f31(x).

   Dokaz
Tvrdnja:

-Bilo koju jednakost da uzmemo iz izraza datog pod rednim brojem (10),uvek se dobije izraz:
(k12-k23)x2+(k23 – k31)x3+(k31 – k12)x1 =0 —— (10.1).

Na osnovnoj algebarskoj vezi, datoj pod rednim brojem (10), redom dokazujem međusobnu jednakost sva tri izraza:

Dokaz jednakosti prvog i drugog izraza na osnovnom izrazu:
(k12-k23)(x2-x1) = (k23 – k31)(x1-x3),
(k12-k23)x2-k12x1+k23x1 = k23x1-k31x1-(k23-k31)x3 ,
(k12-k23)x2-k12x1= -k31x1-(k23-k31)x3 :
(k12-k23)x2+(k31 – k12)x1+(k23 – k31)x3 = 0.

Jednakost prvog i trećeg izraza:
(k12-k23)(x3-x2) = (k31 – k12)(x1-x3),
-(k12-k23)x2+ k12x3 –k23x3 = (k31 – k12)x1-k31x3+k12x3,
-(k12-k23)x2 –k23x3 = (k31 – k12)x1-k31x3 :
-(k12-k23)x2-(k23 – k31)x3-(k31 – k12)x1=0.

Drugog i trećeg:
(k23 – k31)(x3-x2)= (k31 – k12)(x2-x1),
(k23 – k31)x3-k23x2+k31x2 = k31x2-k12x2-(k31 – k12)x1:
(k23 – k31)x3+(k31-k12)x1+(k12 – k23)x2=0.

Dakle, šta je potvrđeno izvođenjem?
-Ako su dve veličine jednake trećoj, jednake su i međusobno, bez obzira o kojim veličinama se radi.

Ако је ∆АВС на кривој линији, тада имамо нове околности:
-базна функција površine се проширује простим чиниоцем (x3-x1),
-двострука једнакост основног израза, редни број (10), прелази у троструку једнакост и његова коначна вредност зависи од врсте криве на којој се троугао налази:

-Za sada ću reći: “Ako je presek tri prave na paraboli a0x2+a1x +a2 , izraz dat pod rednim brojem (10), u proširenom obliku, jednak je koeficijentu parabole a0 “ .
O širem značaju izraza, datog pod rednim brojem  (10), pisaću u nekom narednom članku.

– U opštem slučaju, oba izraza služe da odredimo jednu apscisu ako znamo druge dve. Određivanjem treće apscise može se odrediti: površinu ∆АВС, dužine stranica ∆АВС… Dodamo još da i dalje nemamo jednačine pravih niti temena trougla.

Po proširenom obliku izraza prepoznajemo i određujemo vrtu krive linije na kojoj se nalaze temena trougla.

Izraz dat pod rednim brojem (10.1) je upotrebljen i u članku:
“Извођење формуле површине троугла – базни израз“.

Zadatak
Tri neodređene( nepoznate) prave, f12(x), f23(x) i f31(x),  imaju koeficijente pravca:

Apscisa x1=1 je apscisa preseka prave f31(x) i f12(x) ,  a  x2=6 je apscisa preseka prave f12(x) i f23(x).
Odrediti treću apscisu- presek prave f23(x) i f31(x).
Slika :

Izrada
Познате вредности и формула:

x1 =1, x2 =6.
(k23 – k31)x3+(k31-k12)x1+(k12 – k23)x2=0.

Бројне вредности:

Rešenje:


Odredili smo x3=10 – apscisu tačke preseka prave
f23(x) i f31(x) .

Prave, f23(x) , f31(x) i f12(x)  su nam nepoznate-ima ih beskonačno, temena trougla
A(x1 , y1), B(x2 , y2), C(x3 , y3),  su nepoznata.

Ako usvojim jedno n, znali bi i položaj sve tri prave, alii nije mi cilj  da odredim jednačine pravih, glavna meta je  x3  – apscisa preseka dve nepoznate prave i vrednost izraza datog pod rednim brojem (10).

Druga lika u zadatku :

 

Autor teoreme:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš.inž. Mladen Popović

Растојање тачке А од праве f(x)

                                    Растојање тачке А од праве f23(x)
1)-Растојање тачке А(x1 ,y1) од праве f23(x)= k23x+ n23 рачуна се по формули:

Aналитички елементи у формули су:
ha – растојање тачке А од праве f23(x),
y1 – ордината тачке А,
x1 – апсциса тачке А,
k23=kA1A2 – коефицијент правца праве f23(x),  n23=nA1A2 – одсечак праве f23(x) на у оси.
Слика:

Извођење формуле растојањa тачке А до праве f23(x)= k23x+ n23 :
Са горње слике се види:
– дa је растојање dAA1= y1-f23(x1) ;
-да из ∆АA1А2  следи једнакост:
ha = dAA1cos(αA) и αA= α23.

Даље:
угао α23 = β23 ,  јер је β23  угао нагиба праве f23(x) ка х оси.
Са слике видимо једнакост углова са нормалним крацима, αA= α23= β23 :

Са слике видимо да је

Kоначно је:

Формулу растојања тачке А до праве f23(x) извoдим и овако:

Метод рада- коефицијенти праве.

Постављам нову, произвољно, праву f12(x)= k12x+ n12   да прође кроз тачку А(x1 ,y1) и да сече праву f23(x) у тачки В. Апсциса пресечне тачке је х2. Положај тачке В није битан.
На следећој слици се види: додата права f12(x), права f23(x) и тачка А:

Обележити да је  f12(x1)=y1 , а затим, добити растојање тачке А од праве f23(x)  из односа:
dAA1=[f12(x1)-f23(x1)],
ha = dAA1cos(αA)=[f12(x1)-f23(x1)]cos(β23)= [y1 -f23(x1)]cos(β23)=


Aко одустанемо од замене  f12(x1)=y1 и ординату тачке А означимо са f12(x1),  формула ће имати облик:

  Закључак

Две формуле за растојање тачке А до праве f23(x):

Задатак:
f23(x)= 3x-1 ;  А(4,6) . Израчунај растојање тачке А од праве f23(x).

Познате вредности и формула:
y1 = 6, x1 =4,  k23=3, n23 =-1 ;

Бројне вредности:
y123(x1)- n23 = 6-3(4)-(-1)=-5,
k223+1=(3)2 +1=10,

На следећем линку имамо исписан задатак на латиници:
Rastojanje tačke A od prave f23(x)

2)-)-Формула дата под редним бројем (2) даће облик са разликама апсциса и биће део формуле за површину троугла. Зашто?

f12(x1)-f23(x1) = (k12x1+ n12)-(k23x1+ n23)=(k12-k23)x1+n12-n23=
(k12-k23)x1+n12-n23=(k12-k23)x1+(k23-k12)x2=(k12-k23)x1-(k12-k23)x2:
f12(x1)-f23(x1) = (k12-k23)(x1-x2).

Sada је нови oblik висине:

и површина троугла
2pABC=aha=

2pABC=(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23).

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Појели сте љуту паприку и тражите спас

ИМА ЛЕКА

Најбољи  лек да спасете уста и језик, често сам га користио,  је багремов мед или мед од сунцокрета.

Чим се ољутите(заљутите) одмах узмите пуну кафену кашичицу правог, густог, меда. Трљајте језиком усну дупљу(уста) све док се не истопи. Можете то поновити још једном са мање меда. Воду не смете пити! И то је све.

Након десет до двадесет секунди“жар“ нестаје.
Будите опрезни када дајете сув мед малој, уплаканој деци која вриште! Њима дајете мед по мало и непрекидно, и пратите да ли су растопила мед у устима.

Узимање сувог шећера, уместо меда, не помаже- по томе се може препознати и да ли је мед прави или се ради о неком сирупу.

Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Љуту српску паприку претворите у љуткасту

Поступак одузимања“ љутине“ од љуте паприке механичким путем

Расеците уздуж љуту. Узмите нож осредње ширине, још боље закривљени, и по дужини полутке, са унутрашње стране, стружите паприку.

Притисак ножем на паприку подесите да са горњег слоја и са унутрашње стране паприке  стружете(скидате) „слузокожу“ и воду- течност из жарних ћелија паприке.

Увежбаном мајстору кухиње треба три до пет сигурних стругарских покрета, што зависи од љутине паприке. Паприку исперите водом.

Љута паприка је здравија од слатке паприке. У природи се, сама без хемијске заштите, одупире труљењу и другим болестима. У кухињи додајте јој и… бели лук.

Слика је узета са https://www.boljazemlja.com/. Ако не одобравате да буде на овом месту уклониће се.

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Извођење формуле површине троугла – базни израз

                      Извођење формуле површине троугла – базни израз

Извођење формуле површине троугла у облику производа простих чинилаца- разлика апсциса темена троугла и разлике коефицијената правца две странице троугла

                                                      УВОД

Mетод рада-коефицијенти праве

 Базна формула површине троугла 2P∆ABC =(x2-x1)( x2-x3)( k12-k23), троугла унутар три непаралелне праве,  је производ  разлика (x2-x1)( x2-x3)  апсциса темена троугла и разлике( k12-k23) коефицијената правца две странице троугла- једначина странице AB и странице BC  ∆АBC.
Једначине правих су:
f12(x)=k12x+ n12 ,  f23(x)=k23x+ n23 ,   f31(x)=k31x+ n31 ;
-ознаке апсциса су:  x1=xA , x2=xB , x3=xC .

-Формула површине троугла је базна јер се из ње изводи јединствена формула за површину троугла за произвољан троугао и за троугао на кривој лини.
-Формула је базна и због базног израза B(x2)= (x2-x1)( x2-x3): формула за површину троугла има у себи базни израз B(x2).

                                              ИЗВОЂЕЊЕ

Предуслови:
Да би извели формулу за површину морамо доказати  да је
израз ( k12-k23)x2 + ( k23-k31)x3 + ( k31-k12)x1 =0  ……..  (3) ;
израз се лако добија из појединачних услова пресека трију непаралелних правих :
( k12-k23)x2 =( n23-n12) ,
( k23-k31)x3 =( n31-n23) ,
( k31-k12)x1 =( n12-n31) – ставимо ове изразе под редни број (2).

Дакле , саберимо све три једнакости- сабирамо три израза са леве и три са десне стране једнакости.  Збир са десне стране је нула и то је обележено под редним бројем (3).
Новим груписањем израза датог под редним  бројем (3), груписање уз иксеве, добићe се да је
(x3-x1) k31 =(x3-x2)k23 + (x2-x1) k12 ………………………… (3.1).

Израз дат под редним бројем (3.1) може се добити сабирањем, већ смо радили, левих и десних страна следећих израза:
f23(x2)-f23(x3) = – (x3-x2)k23 ,
f31(x3)-f31(x2)]= (x3-x1) k31  i  f12(x1)-f12(x2) = – (x2-x1) k12 ….. (1.1).

Базна формула површине троугла се изводи из класичне формуле за површину троугла
2P∆ABC = x1( y2-y3)+ x2 ( y3-y1)+ x3 ( y1-y2)=
x1[ f23(x2)-f23(x3)]+ x2[ f31(x3)-f31(x1)]+ x3[ f12(x1)-f12(x2)] ——- (1), заменом њених делова, у заградама, подударним изразима  датих под редним бројем  (1.1). Након тога, на истој једнакости, настављамо
и замењујемо израз дат под редним бројем (3.1).

Замењивање:
Dakle, 2P∆ABC = x1[- (x3-x2)k23]+ x2[(x3-x1) k31]+ x3[- (x2-x1) k12]=
x1[- (x3-x2)k23]+ x2[(x3-x2)k23 + (x2-x1) k12]+ x3[- (x2-x1) k12]=
(x3-x2)(- x1+x2) k23 + (x2-x1)(x2-x3) k12= (x2-x1)( x2-x3)( k12-k23).
2P∆ABC =(x2-x1)( x2-x3)( k12-k23).

                                                ДОДАТАК

Из услова пресека  k12x+ n12=f12(x) = f23(x)=k23x+ n23 
имамо да је ( k12-k23) x2=( n23-n12) , a површина троугла, веома брзо , ће имати облик :
2P∆ABC =(x2-x1)( x2-x3)( n23-n12)/x2 .

                                                ЗАКЉУЧАК

Задатак је био да се изведе формула површине троугла у облику производа простих чинилаца- разлика апсциса темена троугла и разлике коефицијената правца из класичне формуле за површину троугла: 2P∆ABC = x1( y2-y3)+ x2 ( y3-y1)+ x3 ( y1-y2).
Изведени су докази да је:
( k12-k23)x2 + ( k23-k31)x3 + ( k31-k12)x1 =0,
-(x3-x1) k31 +(x3-x2)k23 + (x2-x1) k12 =0
 и да је тражена формула за површину троугла 2P∆ABC =(x2-x1)( x2-x3)( k12-k23).
Добили смо и да је B(x2)= (x2-x1)( x2-x3)=x22– (x1+x3)x2 + x1x3 базни израз површине троугла.

 

Aутор извођења:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Limes koeficijenata prave i L Hospital-Bernoulli

Limes koeficijenata prave i L| Hospital-Bernoulli
Za limes koeficijenata prave na krivoj i njen prelazak u tangentu primenljivo je
L| Hospital-BernouIlijevo pravilo izvoda na neodređeni oblik izraza 0/0

Metod rada – koeficijenti prave.
Zahvaljujući obliku brojioca i imenioca koeficijenata jednačine prave moguće im je, i ima smisla, pravilom L| Hospital-BernouIlija naći izvode.

Temom https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/02/limes-koeficijenata-prave-prelaz-prave-u-tangentu/ pokazano je da se koeficijenti tangente dobijaju limesom koeficijenata prave na krivoj:
– jednačina krive F(x) ;
– jednačina prave f(x)=kx +n i koeficijenti prave :

Nakon provere limesa za k i n, uz uslov da x2 → x1 , uočićemo sledeće limese:

Jasno je da se na izraze koeficijenata prave [ψ(x2)/ ϕ(x2)] i [ ω(x2)/ ϕ(x2)],   u postupku određivanja limasa, može uvek primeniti L|Hospital-Bernoullijevo pravilo izvoda:

Zadatak
Data je logaritamska kriva F(x)=ln(x).
Odrediti jednačinu tangente na krivoj primenjujući L|Hospital-Bernoullijevo pravilo na koeficijente jednačine prave f(x).

Izrada:
– jednačina krive F(x)=ln(x);
– jednačna prave:

– jednačina tangente fT(x)=kT x +nT:


Jednačina tangente:

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
Autor ivođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Limes koeficijenata prave-Prelaz prave u tangentu

         Limes koeficijenata prave-Prelaz prave u tangentu
Limes koeficijenata jednačine prave su koeficijenti jednačine druge prave, tj. prelaz jednačine prave, prava na krivoj, u jednačinu druge prave pri prelasku  apscise jedne presečne tačke u  apscisu druge

Metod rada-koeficijenti prave.

    Pojam limesa koeficijenata prave

Limes koeficijenata jednačine prave daje koeficijente jednačine druge prave na istoj krivoj.
Da bi dobili koeficijente druge prave limesom koeficijenata prve moramo u imeniocu koeficijenata prve prave ukloniti razliku apscisa (x2 – x1),
jer je (x1 – x1)=0.

Treba prihvatiti da limes koeficijenata jednačine prave utiče na jednačinu i položaj nove prave ; k i n su k(x2) i n(x2), tj.   funkcije su promenljive x2. Tangenta je samo jedan od položaja prave f(x). Predmet razmatranja nije određivanje vrednosti jednačine prave f(x1)=kx1+n, ni vrednosti f(x2)=kx2+n:

Primeri primene jednačine prave za izvođenje jednačine tangente na krivoj    

Prava i tangeta na paraboli:
Fa(x)=a0x2+a0x+a2 – jednačina  parabole;
f(x)=kx+n=[a0 (x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2 –prava na paraboli;
– apscise  x1 i x2 presečnih tačaka prave i parabole i koeficijenti prave:
k= a0 (x1+x2)+a1 , n= a2-a0x1x2.
-Apscisa x2 je “parcijalna”tekuća koordinata koeficijenata prave, a promenljiva x  prave  f(x)  miruje.

Jednačina tangente: 


[a0 (x1+x1)+a1]x+a2-a0x1x1= (2a0 x1+a1)x+a2-a0x12 – jednačina tangente
na paraboli u tački sa apscisom x1.

Prava i tangeta na kubnoj:
Fb(x)=b0x3+b1x2+b2x+b3 – jednačina kubne;
f(x)=[ b0(x12+ x1x2+ x22)+ b1(x1+x2)+b2]x+b3-x1x2 [ b0(x1+ x2)+ b1]–prava na kubnoj.
Jednačina tangente:
-Limesi koeficijenata jednačine prave na kubnoj se prosto dobijaju  zamenom x2  sa x1 , dakle isti  postupak daje jednačinu tangente:
fT(x)=[ b0(x12+ x1x1+ x12)+ b1 (x1+x1)+b2]x+b3-x1x1 [b0(x1+ x1)+ b1]=
(3b0x12+ 2b1x1+b2)x+a3-x12 (2b0x1+ b1), dakle
fT(x)= (3b0x12+ 2b1x1+b2)x+a3-x12 (2b0x1+ b1)  je jednačina tangente na kubnoj.

Prava i tangeta na razlomljenoj funkciji:

-jednačina prave fR(x) na krivoj R(x) je:

– jednačina tangente fT(x), fT(x1) i fT(x2), se ivodi iz limesa koeficijenata prave fR(x):

Jednačina tangete:




-jednačina tangente na razlomljenoj R(x) je:


Prava i tangeta na krugu:

-klasičan Izraz za koeficijent pravca prave na krugu je:
k(x2-x1)= FK(x2)-FK(x1)=

  ………………… (1).

-Potrebno je od klasičnog izraza koeficijenta pravca prave k, datog pod rednim brojem (1),  izvesti novi  izraz za k u kome neće biti (x2 – x1):

Tokom izvođenja izrazi sa korenima  dovoljno i tačno je uzeti znak plus ispred oba korena:
za jednačinu prave i tangete znak je bitan, ali za limes koeficijenata nije.
Proširujemo izraz dat pod rednim brojem (1) zbirom korena:


Kao što je proširen izraz za k isto proširimo i izraz za n:
n(x2-x1)= x2 FK(x1)-x1 FK(x2)=

Razliku korena  proširujemo zbirom  korena… izvlačimo i skraćujemo razliku (x2-x1) i  na kraju sve završava izrazom datim pod rednim brojem (2):


 ……………. (2).

Novi oblici izraza k i n su spremni za limese.

Jednačina tangente

a)– Koeficijent pravca tangente fT1(x1):

b)-Koefiijent  nT1 (x1) tangente:
– da ne bi stalno pisali lim…, limes koeficijenta n(x2) prave na krugu  računamo zamenom x2  sa x1 , dakle prosta zamena apscisa u izrazu datom pod rednim brojem(2) daće  limese za n, kao što smo dobili i limesa koeficijenta pravca kT1 (x2) tangente; na kraju će obrazac za koefiijent  nT1 (x1) tangente biti:



– Jednačina tangente fT1(x) na krugu FK(x) je:

Napomena za znak ispred korena u jednačini prave i jednačini tangente:
– ako je FK(x1)<q<FK(x2), ili je FK(x2)<q<FK(x1), tada ispred odgovarajućih korena treba staviti suprotni znak;
– znak minus se stavlja ispred korena za vrednosti FK(x)<q.

Zadatak:
Date su apscise x1= -1  i x2=2, apcise prve i druge tačke preseka prave  f(x) i kruga FK(x). Centar kruga je tačka Q(1,-2), a poluprečnik kruga R2=5.
Kroz tačke preseka, apcisa x1 i x2 , napisati jednačinu prave f(x) i jednačine tangenti fT1(x1) i fT2(x2).

Potrebne vrednosti:
p=1, q=-2;   R2– p2=5-12=4; x2-p=2-1=1, p-x1=1-(-1)=2;
bazni izrazi: x1+x2=-1+2=1,  x1x2=(-1)(2)=-2;


Jednačina prave na krugu:
fK (x)=kx+n;    FK (x1)<q:

Jednačine tangenti na krugu:
a) fT1(x2)= kT1 x+nT1 ;  FK (x1)<q:



b)
fT2(x2)= kT2 x+nT2 ;  FK (x2)>q:

-Sa druge slike primećujemo da se mogu napisati još tri prave i njihove tangente; tokom rada samo menjamo znake korena, a apscise i formule ostaju iste.
-Prilagođeni koeficijenti jednačine prave i njihovi limesi se slično nalaze i za  krive: hiperbolu,elipsu…

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović