Учешће народа у изградњи МОСТОВА и МИНИ ЕЛЕКТРАНА

Учешће народа у изградњи МОСТОВА и МИНИ ЕЛЕКТРАНА
Јединстрвена изградња моста, речних воденица(мини електрана), угоститељских тераса, наводњавање приобаља и повећање енергетског капацитета чистих извора енергије

Јединствена и истовремена изградња моста и воденица, угоститељске терасе- „Београд на води“ на нашим великим, брзим, рекама Србијe ниje за бацање.

Почињем од моста и воденица:

Мост је скуп објекат. О значају моста се код нас прича на нобеловски начин:“На Дрини ћуприја“. Од Зворника до Обреновца(биће) имамо осам снажних мостова

Мост на пловном делу наших великих река показаће да може пружити више кад му се  додају темељи и носачи, речне воденице( електране), туристичко пристаниште, угоститељске терасе, ветрењача(е) са пумпом и прикључaк  на постројење за пречишћавање воде на приобаљу. И, као додатак- пословање у ел валути.

-Мостови се граде државним новцем и личним средствима(новцем)народа. Поред моста народ , туристиче агенције, а понешто и држава, може уложити новац у енергетско постројење и туристичке објектe , воденице и терасе, рад и вишедневни боравак.

-Имућнији учествују у финансирању и дела моста(путни део) изнад воденице, за то добијају део мостарине: укупни новац од мостарине би се пропорционално делио на учеснике градње моста. Мостарина би се морала увести на новим мостовима, наравно, њу не би плаћало становништво(општина) са обе стране моста.

– Народ може својим новцем градити и делиће моста. Уложени новац се враћа улагачу кроз мостарину(будући број прелазака). Остварује се својеврсна штедња динара- вредност се не мења(броје се преласци). Нешто слично  се дешава и при формирању фонда( тржишта) ел валуте.

-Воденица( микро електрана) продаје Мосту(име) електричну енергију, продају kwh(е) или ће kwh(е) позајмити Дистрибуцији и биће преведени у штедњу.

Број прелазака(наплаћена услуга) и продаја Мосту kwh(е) електричне енергије је, заправо, понуда и потражња,  тржиште ел валуте: број прелазака(услуга) и број kwh(a) имају карактер ел валуте.

Воденице се постављају испод моста,  између његових основних стубова. Захваљујући градњи воденица, мост добија додатне стубове(додатно ојачање).
Рецимо: ако би се мост почео увијати ударом ветра ,  он би се само ослонио на стубове за које се вежу воденице.
Дакле, мост, стубови моста, стубови воденица нису спојени, не оптерећују једни друге.

Додатни стубови су за мост врло значајни:
Због гушће постављених стубова моста(пригушивачи-амортизери), удар ветра у плочу моста(путни део) Ће изазвати мање осцилаторно и резонантно увијање плоче-амплитуде су краће, мост ће издржати и јаче ударе ветра. Гради се безбеднији објекат.

Воденице се постављају испод моста, а могле би се делом  изгурани испред или иза моста(то ће одредити главни конструктори). Њу не држе стубови моста, већ држи ужад са стубова за везивање. . Веза бокова воденице и стубова зауставља љуљање воденице око уздужне осе.

Воденица и сваком тренутку прати водостај реке, аутоматика није потребна.
У случају поплавног таласа,који воденчко коло не може издржати , воденичко коло се диже из воде за половину ширине лопатица, а друга половина лопатица се склања закретањем. Испод ниских мостова се не могу поставити воденице.

Заједничким парама се гради и заштитна(одбрамбена) мрежа и. бар, два реда правилно размакнутих бетонских стубова испред мреже; стубови и мрежа су  испред дела моста са воденицама. Мрежа је значајна и за мост и за воденице: много мостова је срушено бујичним водама.

Други ред стубова служи за везивање воденице. Ова веза задржава подужне осцилације(љуљање)воденице.

Заштитна мрежа не сме бити никаква импровизација и ругло, већ снажна и лепа метална ограда са пешачком стазом изнад ограде и са степеништем за прилаз стази. Са стазе, изнад металне ограде, ће се чистити крупнији нанос: балвани, грање… и штитити мост и воденице од наноса, високог водостаја и поплава.

Испод моста, до обале, поставља се прва воденица и мањи машински простор за водену пумпу, а шири простор је дат угоститељској тераси.
Свака следећа воденица, дуж моста ка средини реке, ће имати мањи простор за госте.
Претпостака је да је река најбржа средином; средина реке нема воденице, речни ток се не сме скренути.
Наведени распоред објеката ће се променити ако се у рад воденице прикључи ветрењача и постројење за пречишћавање воде.

Цело постројење  воденица има заједничку једну турбину и један генератор електричне енергије. Турбина и генератор су постављени на води. Турбина добија воду од свих пумпи преко „олука“.
“Олуком“ се може хватати кишница са моста.
Пример:
1000м дужина моста, 12м ширина моста и киша са 30л/м²  даће у олук 1000м x 12m  x 30л/м² =360 м³  воде.

-Додавањем једне ветрењаче на бетонски темељ у води или уз мост на приобаљу(обали), повећао би се проток воде олуком: без неке велике муке би се моглa слати вода ветрењачом до олука.
Ветрењача са 8м пречника кола даје више од 500л/мин воде.

Не би се смео поставити велики број ветрењача, на реци је присутно много птица. Синхронизован рад пумпи воденица и пумпи ветрењаче у обезбеђењу воде је изванредан.

Воденице су микро електране(укупно 40KW-50KW) , уз ветрењачу би снага била много већа, а још већа синхронизованим радом пумпи и  воденичког колоа. Ваља применити нов начин рада воденичких лопатица.
Произведена електрична енергија подмирује потребе воденице, угоститељске терасе…и електричну мрежу на мосту.

Дуж моста, већих равничарских река , Дрине, Мораве, Саве, Дунава.. може се поставити од десет до двадесет воденица.

Mожда у Србији има око двадесет четири велика моста погодна за постављање воденица. Дакле, имали бисмо снаге од 960KW до 1200KW само од воденица, без ветрењаче и воде од локалних канализационих и индустријских система за пречишћавање  воде( у будућности обавезни услов)

Прикључак на електричну мрежу има три задатка:
-јача капацитет електричне мреже на мосту ; једна воденица не значи ништа за мост, али све воденице моста подмирују потребе моста за ел. енергијом.
Масовна примена воденица у Србији би дала мали допринос укупном капацитету чистих извора електричне енергије(постројења чистих технолошких процеса).

– прикључак обезбеђује напајање моста ел. енергијом за време нестанка електричне енергије у електродистрибутивниј мрежи: воденица увек ради;

-прикључак помаже достизање (чистих)довољних производних капацитета електричне енергије за  дистрибутивну мрежу у Србији, како би се на основним језерима у Србији несметано остваривала реверзибилност, дринске, ђердапске1… ђердапске3…хидроцентрале. Електране не смаањују потрошњу воде за производњу ел. енергије.

Утицај воденице(микро електране) на природу, по неким параметрима, је испод утицаја постојећих постројења чисте енергије. У односу на ветрогенераторе и соларне електране, речне воденице раде и при ниском и при високом водостају-раде увек.

Реверзибилно језеро и критичан капацитет чистих извора електричне енергије:
Достизање довољног енергетског капацитета  постиже се производњом електране енергије на речним воденицама( електране) и на осталим чистим изворима(постројењима) електричне енергије: ветрогенератори, соларне електране…

Реверзибилност основног језера се остварује, на постојећим и будућим(висинским)хидроцентралама, трошењем излазне воде из електране на погон пумпи,  пребацујући воду(враћање) са излаза хидроцентрале на њен улаз(кружни циклус).

Моћне институције и стручни људи рачунски одређују оптималан капацитет(фонд)електричне енергије дистрибутивне мреже. Енергија мреже мора бити стабилна. Стабилност се  постиже  реверзибилношћу водених токова (основних акумулација) Србије.
Својеврсна реверзибилност се постиже постројењем,  повезаним радом: воденице, ветрењаче, пумпи и торња са турбином(висинска).

Хидроцентрале гарантују враћање снаге електродистрибутивној мрежи, а електродисрибутивна мрежа гарантује испоруку снаге било кад и било где. Власници воденица штеде(држе) произведену електричну енергију у реверзибилном језеру-трезору фонда ел валуте.

Примена воденице у наводњавању:
-Воденица може бити и пумпна станица за наводњавање приобаља: погон водене пумпе воденичким колом је идеално решење за наводњавање приобаља, решење је боље од погона пумпи ветрењаче: воденица ради непрекидно, наравно, ако је вода у реци чиста(?) -За сада, ретко ко користи воду за навоњавање из наших велких река; можда ће пречишћавање воде дати боље резултате.

-Пољопривредни произвођачи финансирају изградњу воденице(енергетски извор потребан у наводњавању). Воденице и ветрењаче ће бити интересантне за сеоску туристичку понуду.

Мане и врлине изградње речне воденица:
Снага,најважнија особина речне воденице(енергетски извор) је, нажалост, изузетно мала(2KW do 4KW). Све друге(остале) особине воденице су савршене.
Наведена снага воденице важи за равничарску реку
Воденичко коло се може усавршити: његова лопатица може постати динамична брана(80)KW.

Мотиви:
– Воденице  су неодољиве због савршених(изванредних) еколошких квалитета, због привлачног и занимљивог изгледа:туристичког пристаништa, терасе, непосредног присутства машинске хале(провидан- стаклени зид),што подсећа(асоцира) на историју воденица; због угоститељске понуде, риболова и вишедневног смештаја…

Ко хоће да оствари велике паре на чистим изворима енергије, тај ће одмах одустати од изградње: воденица се прихвата или одбацује, прихвата или одбацује једна или друга култура живљења(понашања).

Ништа није исплативо ако све што радимо меримо новцем, заваравамо се да смо на индустријски начин много квалитетне робе произвели, народа нахранили(органска производња).

-Обавезу  пречишћавања воде имаће у будиућности сва индустијка(остала)постројења која у свом раду троше и загађују воду. Пречишћена вода иде у реку, на олук. Додатну ветрењачу, наравно, плаћа држава.

Брз успех  је дискутабилан, последице по природу су дугорочне.
Мали резултати доносе суштинску, муком створену, корист и човеку и природи;
уопште:  екстремне ствари и појаве , углавном руше и прже(спаљују) око себе – уништавају природу, тако је и у космосу.

Велики број постројења се мора градити у склопу једног, глобалног постројења; градњу поспешује интерес појединца(понеких) и потпуни широки интерес(и) осталих(свих) живих бића.

Причу о сопственој реверзибилности језера имамо  у “Учешће народа у изградњи Ђердап3“, али, чланак се тренутно разбија на мање теме и тренутно није доступан.

Закључак, сумирање:
Дакле, обједињена је: градња моста, воденице, микро електране, механичког погона пумпи за наводњавање, туристичко пристаниште и терасе… Старе речне воденице нису за бацање.

Насилно запоседнуто место(једно) у природи од стране једног постројења се мора максимално искористити и попунити другим постројењима, дакле:  друга постројења се не постављају на друга места у природи.

Оно што везује два постројења је заједничко место, заједнички предмет обраде, услуге и заједнички интерес.

Претпоставио сам да у Србији имамо бар двадесет четири моста, дакле имали бисмо на њима од 960KW до 1200KW. Како воденице раде 365дана у години и 24 часа дневно, осим у данима када су реке залелеђене, произведена елктрична енергија је:

od 960 x 365 x 24=8 409 600 KWh  do
1200 x 365 x 24=10 512 000 KWh годишње.

-Воденице су изузетно спороходне машине(мотори), таквом мотору одговара (изузетно) спороходна клипна пумпа, нисмо их правили до сада…Потребан је произвођач пумпи и воденичког кола-ново предузеће, производна радиница…

Протоци свих пумпи, са свих воденица, сабирају се у заједнички “олук“ и шаљу се ка једној висинској турбини.

Дакле: постројење за производњу електричне енергије има само једну турбину и један генератотор, нема бране на реци , нема промене водостаја реке…

Многи људи, различитог интересовања и занимања, прихватиће и могу живети и радити на воденици.

Свака воденица је предмет интереовања и предмет где се улаже новац: једна воденица- један власник или задруга; висинска турбина и генератор је већ скупљи акционаски капитал.
Рад ветрењаче омогућава продуктиван рад воденице, сама га не би имала.
Ветрењача ће омогућити стварање нове врсте турбине- радног кола воденице.

Можда ће слика сутрашњице тако изгледати.
Народ ће имати прилику да остави свој печат учешћем у изградњи моста и воденица(електране) на мосту.

Напомена:
Сваки чланак се допуњава и исправља, међутим, замисли и идеје у чланцима су суштина и не мењају се.
Ако би  нешто да питате-питајте, пишите…

Време је да нам Бог помогне…

Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. мш. инж. Младен Поповић

 

Име(обавезно)

Е-пошта(обавезно)

Веб место

Порука

Пошаљи

 

Advertisements

Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла

            Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла

Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла, апсциса тачака пресека правих или прираштаја, ∆f₁₂(x), ∆f₂₃(x), ∆f₃₁(x), od f₁₂(x), f₂₃(x) и f₃₁(x)

Метод рада – коефицијенти праве.
Јеначине правих:
f₁₂(x)=k₁₂x+n₁₂ , f₂₃(x)= k₂₃x+n₂₃ , f₃₁(x)= k₃₁x + n₃₁ .

Косинусна теорема :

(∆f₂₃)²+(∆f₃₁)²-2(∆f₂₃)(∆f₃₁)cos(0⁰)=(∆f₁₂)²————————- (40.б),
∆f₂₃= f₂₃(x₃)-f₂₃(x₂), ∆f₃₁= f₃₁(x₃)-f₃₁(x₁), ∆f₁₂= f₁₂(x₂)-f₁₂(x₁).
Слика:

-Угао између колинеарних, ординатних, праваца је нула.

-Прираштаји правих на страницама ∆АБЦ, дуж ординатног правца су:
∆f₂₃=k₂₃(x₃-x₂), ∆f₃₁=k₃₁(x₃-x₁), ∆f₃₁=k₁₂(x₂-x₁), те косинусна теорема добија облик разлика апсциса:

k₂₃²(x₃-x₂)²+k₃₁²(x₃-x₁)²-2(x₃-x₂)(x₃-x₁)k₂₃k₃₁=k₁₂²(x₂-x₁)²—— (40),
k₂₃, k₃₁, k₁₂ – коефицијенти правца страница ∆АБЦ, тј. правих  f₂₃(x), f₃₁(x) и f₁₂(x);
x₁ ,  x₂ , x₃ – апсцисе темена страница ∆АБЦ.

  Три дужине на џ оси су рзлике апсциса (x₃-x₂), (x₃-x₁) и (x₂-x₁) . Усвојимо ли  s₂₃, s₃₁ и s₁₂ за њихове ознаке, тада ће израз бити:
k₂₃²(s₂₃)²+k₃₁²(s₃₁)²-2(s₂₃)(s₃₁)k₂₃k₃₁=k₁₂²(s₁₂)² ——————- (40.a),
s₂₃= (x₃-x₂), s₃₁= (x₃-x₁), s₁₂= (x₂-x₁).
Слика:

 

                                                Извођење и доказ
Потребне формуле:
– дужине страница ∆AБЦ:

-класичан облик косинусне теорема: a² +б² -c²=2aбcos(α₂₃– α₃₁).

Извођење косинусне теорема разлика апсциса темена троугла:
-У израз  a² +б² -c²=2aбcos(α₂₃– α₃₁) замењујемо дужине страница ∆AБЦ , косинус разлике угла правца странице а и угла правца странице б:

a² +б² -c²=2aбcos(α₂₃– α₃₁),

(x₃-x₂)²(k₂₃²+1)+(x₃-x₁)²(k₃₁²+1)-(x₂-x₁)²(k₁₂²+1) =

2(x₃-x₂)(x₃-x₁)(1+k₂₃k₃₁);

(x₃-x₂)²(k₂₃²+1)+(x₃-x₁)²(k₃₁²+1)-(x₂-x₁)²(k₁₂²+1) =2(x₃-x₂)(x₃-x₁)(1+k₂₃k₃₁).

Даље, остављам разлике апсциса у заградама и настављам множење осталих чланова :

k₂₃²(x₃-x₂)²+(x₃-x₂)²+k₃₁²(x₃-x₁)²+(x₃-x₁)²-k₁₂²(x₂-x₁)²-(x₂-x₁)²=
2(x₃-x₂)(x₃-x₁)+2(x₃-x₂)(x₃-x₁)k₂₃k₃₁,
раздвајам променљиве:
k₂₃²(x₃-x₂)²+k₃₁²(x₃-x₁)²-2(x₃-x₂)(x₃-x₁)k₂₃k₃₁-k₁₂²(x₂-x₁)²=
– (x₃-x₂)²-(x₃-x₁)²+2(x₃-x₂)(x₃-x₁)+(x₂-x₁)².

Како је деснa странa једнакости једнака нули, – (x₃-x₂)²-(x₃-x₁)²+
2(x₃-x₂)(x₃-x₁)+(x₂-x₁)²=0, то ће и израз са леве стране бити нула:
k₂₃²(x₃-x₂)²+k₃₁²(x₃-x₁)²-2(x₃-x₂)(x₃-x₁)k₂₃k₃₁-k₁₂²(x₂-x₁)²=0.

[k₂₃(x₃-x₂)]²+[k₃₁(x₃-x₁)]²-2[(x₃-x₂)k₂₃][(x₃-x₁)k₃₁]=[k₁₂(x₂-x₁)]²———-(40).

Задатак:
Задате величине:
– дужина s₂₃=(x₃-x₂)=1 између апсцисе x₃ и x₂ темена Б И Ц  ∆AБЦ;
– коефицијенти правца страница ∆AБЦ: k₁₂=-(2/3), k₂₃=4, k₃₁=(1/2), истовремено и коефицијенти правца праве f₂₃(x), f₃₁(x) и f₁₂(x).
Одреди:
– дужине s₃₁ и s_12;
-прираштаје, ∆f₂₃, ∆f₃₁, ∆f₁₂, на  f₂₃(x), f₃₁(x) и f₁₂(x).

Потребна формула:
s₂₃= (x₃-x₂),  x₃= s₂₃+x₂. Апсцису x₃ замењујем у
k₂₃²(x₃-x₂)²+k₃₁²(x₃-x₁)²-2(x₃-x₂)(x₃-x₁)k₂₃k₃₁=k₁₂²(x₂-x₁)²:

k₂₃²(x₃-x₂)²+k₃₁²(s₂₃+x₂-x₁)²-2(x₃-x₂)(s₂₃+x₂-x₁)k₂₃k₃₁=k₁₂²(x₂-x₁)²,
k₂₃²(x₃-x₂)²+k₃₁²[(x₂-x₁)²+2(x₂-x₁)s₂₃+s₂₃²]-2(x₃-x₂)s₂₃k₂₃k₃₁-2(x₃-x₂)(x₂-x₁)k₂₃k₃₁=k₁₂²(x₂-x₁)²,
k₂₃²(s₂₃)²+k₃₁²(x₂-x₁)²+2k₃₁²(x₂-x₁)s₂₃+k₃₁²s₂₃²-2(s₂₃)s₂₃k₂₃k₃₁-2(s₂₃)k₂₃k₃₁(x₂-x₁)=k₁₂²(x₂-x₁)²;

(k₃₁²-k₁₂²)(x₂-x₁)²+[2k₃₁²s₂₃-2s₂₃k₂₃k₃₁](x₂-x₁)+k₂₃²(s₂₃)²+k₃₁²s₂₃²-2s₂₃²k₂₃k₃₁+ =0,
(k₃₁²-k₁₂²)(x₂-x₁)²-2s₂₃k₃₁(k₂₃-k₃₁)(x₂-x₁)+s²₂₃(k₂₃-k₃₁]²=0.

Бројне вредности:





Једначина:
(k₃₁²-k₁₂²)(x₂-x₁)²-2s₂₃k₃₁(k₂₃-k₃₁)(x₂-x₁)+s²₂₃(k₂₃-k₃₁]²=0,

-(x₂-x₁)²– (9)2(x₂-x₁)+7(9)=0,

(x₂-x₁)²+18(x₂-x₁)-7(9)=0.

Решење:

(x₂-x₁)₁=3,  (x₂-x₁)₂=-21.

a)-Oдређивање разлика апсциса или растојања између њих:
-Из s₂₃=(x₃-x₂)=1 и (x₂-x₁)₁=3 следи да је (x₃-x₁)=4, дакле растојања између њих су:
s₁₂=3, s₂₃=1, s₃₁=4.
-Друга решења, са (x₂-x₁)₂=-21, приказаћу други пут.

б) Одређивање ∆f₂₃, ∆f₃₁ и ∆f₁₂:
∆f₂₃=k₂₃(x₃-x₂)=4(1)=4;

Од аутора метода:
Срдачан поздрав и добро здравље,
маш. инж. Младен Поповић

Правци страница троугла и пречник описане кружнице

Правци страница троугла и пречник описане кружнице

Коефицијенти правца страница косоуглог троугла, формула  пречника описане кружнице троугла у бесконачном скупу троуглова и апсцисе темена троугла

Метод рада-коефицијенти праве.

Формула:

к₁₂ ,  к₂₃ , к₃₁ ,  x₁ , x₃ – коефицијенти правца страница  ∆АБЦ и апсцисе првог и трећег темена троугла.

Извођење и доказ

Потребне формуле:
2Р_∆АВЦ=(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃) – формула површине ∆АБЦ,
4RР_∆АВЦ=абц- класична формула површине троугла;
а, б, ц,  R  – странице ∆АБЦ и полупречник R описане кружнице косоуглог троугла.

Дужине страница ∆АБЦ:

Извођење формуле:
4RР_∆АВЦ= 2R[2Р_∆АВЦ]=[а][б][ц];
2R[2Р_∆АВЦ]=2R[(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃)]= [а][б][ц]=

Са леве и десне стране знака једнакости скраћујем разлике апсиса те остаје:

Дакле, формула је:
————– (30.а).

Понављање поступка:
2Р_∆ВЦА=(x₃-x₁)( x₃-x₂)( k₂₃-k₃₁) – формула површине ∆БЦА;
2R[2Р_∆ВЦА]=[а][б][ц]:
————– (30.б).

Поредим израз под редним бројем (30.а) и (30.б); следи да је:
—————- (10.а);

И треће, за Р_∆ЦАБ је:

Дакле, добијена је уопштенија једнакост:

Задња једнакост  односа, основних односа коефицијената правца прaвих и апсциса тачака пресека правих, имамо у чланку“ https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2019/02/11/osnovna-veza-koeficijenata-pravaca-tri-prave/  “ и  једнака је, када је реч о полупречнику описане кружнице троугла, количнику производа коренова квадрата праваца и пречникa кружнице.

У бројиоцу израза имамо три корена , уместо једног корена, да би задржао изворни облик односа  аналитичких елемената, а да нас сваки корен подсети да он потиче од израза за растојање између пресека правих , тј. на странице троугла.

Троуглови из бесконачног скупа имају исте површине, исте правце страница, исте апсцисе и исти полупречник описане кружнице.

                            Страница троугла и пречник описане кружнице

Косоугли троугао:
———— (30.а).

– У формули под редним бројем (30.а), у бројиоцу, имамо израз за дужину странице ЦА:
 и то ћу, једноставно, обележити са б:

добили смо однос полуречника описане кружнице и странице троугла:

Правоугли троугао:
-Ако страница буде б=2R и пролази кроз центар круга, тада постаје пречник круга, а однос два полупречника и странице је једнак јединици:

(k₁₂-k₂₃)²=( k²₁₂+1)(k²₂₃+1),
k²₁₂-2 k₁₂k₂₃+ k²₂₃= k²₁₂ k²₂₃+ k²₁₂+k²₂₃+1,
-2 k₁₂k₂₃= k²₁₂ k²₂₃+1,
k²₁₂ k²₂₃ +2 k₁₂k₂₃+ 1=0,
(k₁₂k₂₃+1)²=0:

Задатак
Дате су следеће аналитичке величине:
–коефицијенти правца страница троугла;
x₁=-1 , x₂=2 – апсцисе пресека f₁₂(x)= f₃₁(x) i f₂₃(x)= f₃₁(x) , тј. решења једначина.

На троуглу, дефинисан датим величинама, одредити полупречник описане кружнице.

Бројне вредности аналитичких израза:
x₂-x₁= 2-(-1)=3;

 

Израда задатка:

Напомена:
Могућнст одређивања положаја троугла у координатној равни:
-Апсциса x₃ нам није потребна у задатку, потребна је за слику троугла у координатној равни .
Како су темена свих троуглова  изнад апсциса x1, x2 и x3 , морала се одредити и апсциса x3 :

(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃–k₃₁)x₃+(k₃₁–k₁₂)x₁=0,
————– (11):  x₃=3.

-Да бих на графику издвојио бар један троугао из скупа, морам имати  познату још једну величину, рецимо:
n_АБ =-5/3 – произвољно изабрана страница АБ  ∆АБЦ и њен одсечак на у оси.

СЛИКА:

 

  Додатак

Ако изађемо из аналитичке геометрије и одемо у тригонометрију(адиционе формуле), специфичан симбол препознавања полупречника описане кружнице троугла ће бити:

Aутор метода:
-Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Određivanje površine nedovoljno poznatog trougla

           Ddređivanje površine nedovoljno poznatog trougla
Određivanje povšine nedovoljno poznatog trougla u neograničenom skupu: Primena osnovne veze koeficijenata pravca triju pravih i apscisa tačaka preseka pravih

U analitičkoj geometriji položaj ∆ABC u koordinatnoj Oxy ravni nije definisan ako nisu poznate koordinate temena trougla ili nisu poznate prave stranica trougla: ne znamo A(x₁ ,y₁), B(x₂ ,y₂), C (x₃ ,y₃) ili ne znamo f₁₂(x)= k₁₂x +n₁₂ ,  f₂₃(x)= k₂₃x +n₂₃
i  f₃₁(x)= k₃₁x +n₃₁ .

Da bi odredili površinu trogla ne moramo znati položaj trougla u ravni xOy,  ne moramo znati (x₁ ,y₁), (x₂ ,y₂), (x₃ ,y₃). Dovoljno je znati da se koeficijentima(k₁₂ , k₂₃ , k₃₁) i apscisama(x₁ , x₂) određuje površina trougla.

                                            Metod rada-koeficijenti prave
Potrebne formule:
2P_∆ABC =(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃) ——————————- (1);

(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃ – k₃₁)x₃+(k₃₁ – k₁₂)x₁ =0  ————– (10.1) ,
——————- (10).

Zadatak
Date su sledeće analitičke veličine:
k₁₂=-1 , k₂₃= 3,  k₃₁=2  – koeficijenti pravca pravih;
x₁=-2 , x₂= 1 – apscise preseka  f₁₂(x)= f₂₃(x) i f₂₃(x)= f₃₁(x).
Odrediti površinu ∆ABC iz neograničenog skupa trouglova.

Brojne vrednosti analitičkih izraza:
x₂-x₁= 1-(-2)=3;
(k₁₂ – k₂₃)=[-1–3]=-4,   (k₂₃-k₃₁)=[3-2]=1,   (k₃₁-k₁₂)=[2-(-1)]=3 .

Izrada zadatka:
(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃ – k₃₁)x₃+(k₃₁ – k₁₂)x₁ =0,
(-4)(1)+(1)x₃+(3)(-2 )= x₃ -10 =0:
x₃=10.
Površina trougla:
2P_∆ABC =(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃);
x₂-x₃= 1-10=-9:
2P_∆ABC =(3)(-9)( -4)=108.
P_∆ABC=54.

                          Provera vrednosti dve površine u neograničenom skupu trouglova

-Zadajmo dve proizvoljne vrenosti odsečka prave f₁₂(x)= k₁₂x +n₁₂ na y osi:
a) n₁₂=n₁=-3.
Slika:

Napomena: jednačine pravih su prikazane na slici radi boljeg razumevanja slike, izvođenje ostavljam čitaocu: A(-2,-1), B( 1,-4),C ( 10,23).

Iz uslova preseka f₁₂(x)= f₂₃(x) sledi:
(k₁₂-k₂₃)x₂=(n₂₃ – n₁₂),
n₂₃= n₁₂+(k₁₂-k₂₃)x₂= -3+(-4)=-7:    n₂₃=-7.
n₂₃– n₁₂=-7-(-3)=-4.
Površina je:
P_∆ABC (2x₂)=(x₂-x₁)( x₂-x₃)( n₂₃-n₁₂)= (3)(-9)(-4)=108,
P_∆ABC [2(1)]=108:
P_∆ABC=54.

b) n₁₂=n₂=-4.
Slika:

Napomena:radi boljeg razumevanja slike predstavljene su i jednačine pravih i temena: A(-2,-2), B( 1,-5),C ( 10,22).

n₂₃= n₁₂+(k₁₂-k₂₃)x₂= -4+(-4)(1)=-8:    n₂₃=-8.
n₂₃– n₁₂=-8-(-4)=-4.
Površina je:
P_∆ABC (2x₂)=(x₂-x₁)( x₂-x₃)( n₂₃-n₁₂)= (3)(-9)(-4)=108,
P_∆ABC [2(1)]=108:
P_∆ABC=54.

Primeri pokazuju postojanje neograničenog skupa trouglova iste površine:

-Ascisa x₃ je određena relacijom (10.1), a podskupove tačaka temena trouglova određujuje skup odsečaka na y osi: (n)=( n₁, n₂, n₃, ……… ).
Usvajanjem proizvoljne vrednosti n₁ ili n₂ , određuje se n₂₃ iz preseka pravih:
n₂₃= n₁₂+(k₁₂-k₂₃)x₂ ;  n₁=n_12,  n₂=n₂₃.

-Neograničen skup tačaka temena trouglova su sve tačke na pravama:p:x=x_{1 ,} q:x=x₂. g:x=x₃.

-Trouglovi negraničenog skupa, definisani analitičkim elementima izraza datog pod rednim brojem(10) i izraza pod rednim brojem(10.1) , imaju istu površinu.

Autor teoreme:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

 

Oсновна веза одсечака трију правих на у оси

 Oсновна веза одсечака трију правих на у оси

Метод рада- коефицијенти праве.

Основна алгебарска веза oдсечака трију правих на у оси и апсциса тачака пресека правих jednakosti:
  ———————– (11)

Аналитички елементи dvоструке једнакости су:
n₁₂ – слободни коефицијент једначине праве, уједно и одсечак праве
f₁₂(x)= k₁₂x+n₁₂ на у оси.
n₂₁, n₃₁ – коефицијенти(одсечци)праве f₂₃(x)= k₂₃x+n₂₃  i  f₃₁(x)= k₃₁x+n₃₁ на у оси;
x₁ , x₂ i x₃ – апсцисе пресека праве f₁₂(x), f₂₃(x) и f₃₁(x).

                                              Доказ

Тврдња:
– Свака једнакост,било која датa под редним бројем (11), ће дати израз:

(n₁₂-n₂₃)x₁x₃+(n₂₃-n₃₁)x₁x₂+(n₃₁-n₁₂)x₂x₃ =0  ——————(11.1):

Из једнакости првог и другог израза је:
(n₁₂-n₂₃)x₃(x₁-x₂)= (n₂₃-n₃₁)x₂(x₃-x₁):
(n₁₂-n₂₃)x₁x₃+(n₂₃-n₃₁)x₁x₂+(n₃₁-n₁₂)x₂x₃ =0.

Из једнакости другог и трећег израза је:
(n₂₃-n₃₁)x₁(x₂-x₃)= (n₃₁-n₁₂)x₃ ( x₁-x₂)=  :
(n₁₂-n₂₃)x₁x₃ + (n₂₃-n₃₁)x₁x₂ + (n₃₁-n₁₂)x₂x₃ =0.

Из једнакости првог и трећег израза је:
(n₁₂-n₂₃)x₁(x₂-x₃)= (n₃₁-n₁₂)x₂(x₃-x₁):
(n₁₂-n₂₃)x₁x₃+(n₂₃-n₃₁)x₁x₂+(n₃₁-n₁₂)x₂x₃ =0.

Потврђено је:
– Ако су две величине једнаке трећој, једнаке су и међусобно, без обзира о којим величинама је реч.

Задатак
Замишљене  праве f₁₂(x)= k₁₂x+n₁₂ , f₂₃(x)= k₂₃x+n₂₃ ,  f₃₁(x)= k₃₁x+n₃₁ граде  ∆АВС имају познате следеће аналитичке вредности:
n₁₂=9 , n₂₃= 0,  n₃₁=17 – одсечци правих y оси;
x₁= -2,  x₂= 3 – апсцисе пресека f₃₁(x)= f₁₂(x) i f₂₃(x) = f₃₁(x).

Одради апсцису x₃  тачке трећег пресека правих.

Слика:

Потребне формуле и бројне вредности:
(n₁₂-n₂₃)x₁ x₃ +(n₂₃ – n₃₁)x₁x₂ + (n₃₁ – n₁₂)x₂x₃ =0;
(n₁₂-n₂₃)x₁=(9-0)(-2)=-18,
(n₂₃ – n₃₁)x₁x₂=(0- 17)(-2)(3)=102,
(n₃₁ – n₁₂)x₂ =(17- 9)(3)=24.

Одређивање апсцисе- решење:
(n₁₂-n₂₃)x₁x₃ + (n₂₃-n₃₁)x₁x₂+(n₃₁ n₁₂)x₂x₃ =-18 x₃+102+24 x₃ =0;
6x₃ +102=0;      x₃= -17.

Примена апсцисе  x₃
Без обира што темена троугла можемо ставити под наводнике: “А“ ,“В“, “С“ , јер нису одређена, не знамо их, а ни праве нису одређене, то ми не смета да на троуглу израчунам неке величине; x₃ даје могућност да одредимо:
-површину ∆АВС ;
-дужине страница: АВ, ВС, СА…

Наведену могућност обезбеђује базна функција В(х)=-(x-x₁)(х-х₃), тј. њена вредност В(x₂)=-(x₂-x₁)(x₂-x₃); базни израз је самосталан, увек истог  облика за потвршину сачињену пресеком три праве у равни хОу.

Ако је ∆АВС на кривој линији, тада имамо нове околности:
-базна функција се проширује простим чиниоцем (x₃-x₁),
-двострука једнакост основног израза, редни број (11), прелази у троструку једнакост и његова коначна вредност зависи од врсте криве на којој се троугао налази.

Подскуп (А, В, С) је елемент бесконачном скупа троуглова са теменима изнад апсциса x_{1 ,} x₂ и x₃ . Задавањем  коефицијента правца једне праве дефинисаће се и саме праве и темена ∆АВС.

Аутор теореме:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Osnovna veza koeficijenata pravaca tri prave

  Osnovna veza koeficijenata pravaca tri prave

Osnovna algebarska veza koeficijenata pravaca triju pavih i apscisa preseka pravih je:
 ……… (10)

Analitički elementi dvostruke jednakosti su:
k₁₂ – koeficijent pravca prave f₁₂(x)= k₁₂x+n₁₂ ,
k₂₃ i k₃₁ – koeficijenti pravca prave f₂₃(x)= k₂₃x+n₂₁ i  f₃₁(x)= k₃₁x+n₃₁ ;
x₁ , x₂ i x₃ – apscise preseka prave f₁₂(x), f₂₃(x) i f₃₁(x).

   Dokaz
Tvrdnja:
-Bilo koju jednakost da uzmemo iz izraza datog pod rednim brojem (10),uvek se dobije izraz:
(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃ – k₃₁)x₃+(k₃₁ – k₁₂)x₁ =0 —— (10.1).

Na osnovnoj algebarskoj vezi, datoj pod rednim brojem (10), redom dokazujem međusobnu jednakost sva tri izraza:

Dokaz jednakosti prvog i drugog izraza na osnovnom izrazu:
(k₁₂-k₂₃)(x₂-x₁) = (k₂₃ – k₃₁)(x₁-x₃),
(k₁₂-k₂₃)x₂-k₁₂x₁+k₂₃x₁ = k₂₃x₁-k₃₁x₁-(k₂₃-k₃₁)x₃ ,
(k₁₂-k₂₃)x₂-k₁₂x₁= -k₃₁x₁-(k₂₃-k₃₁)x₃ :
(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₃₁ – k₁₂)x₁+(k₂₃ – k₃₁)x₃ = 0.

Jednakost prvog i trećeg izraza:
(k₁₂-k₂₃)(x₃-x₂) = (k₃₁ – k₁₂)(x₁-x₃),
-(k₁₂-k₂₃)x₂+ k₁₂x₃ –k₂₃x₃ = (k₃₁ – k₁₂)x₁-k₃₁x₃+k₁₂x₃,
-(k₁₂-k₂₃)x₂ –k₂₃x₃ = (k₃₁ – k₁₂)x₁-k₃₁x₃ :
-(k₁₂-k₂₃)x₂-(k₂₃ – k₃₁)x₃-(k₃₁ – k₁₂)x₁=0.

Drugog i trećeg:
(k₂₃ – k₃₁)(x₃-x₂)= (k₃₁ – k₁₂)(x₂-x₁),
(k₂₃ – k₃₁)x₃-k₂₃x₂+k₃₁x₂ = k₃₁x₂-k₁₂x₂-(k₃₁ – k₁₂)x₁:
(k₂₃ – k₃₁)x₃+(k₃₁-k₁₂)x₁+(k₁₂ – k₂₃)x₂=0.

Dakle, šta je potvrđeno izvođenjem?
-Ako su dve veličine jednake trećoj, jednake su i međusobno, bez obzira o kojim veličinama se radi.

Ако је ∆АВС на кривој линији, тада имамо нове околности:
-базна функција površine се проширује простим чиниоцем (x₃-x₁),
-двострука једнакост основног израза, редни број (10), прелази у троструку једнакост и његова коначна вредност зависи од врсте криве на којој се троугао налази:

-Za sada ću reći: “Ako je presek tri prave na paraboli a₀x²+a₁x +a₂ , izraz dat pod rednim brojem (10), u proširenom obliku, jednak je koeficijentu parabole a₀ “ .
O širem značaju izraza, datog pod rednim brojem  (10), pisaću u nekom narednom članku.

– U opštem slučaju, oba izraza služe da odredimo jednu apscisu ako znamo druge dve. Određivanjem treće apscise može se odrediti: površinu ∆АВС, dužine stranica ∆АВС… Dodamo još da i dalje nemamo jednačine pravih niti temena trougla.

Po proširenom obliku izraza prepoznajemo i određujemo vrtu krive linije na kojoj se nalaze temena trougla.

Izraz dat pod rednim brojem (10.1) je upotrebljen i u članku:
“Извођење формуле површине троугла – базни израз“.

Zadatak
Tri neodređene( nepoznate) prave, f₁₂(x), f₂₃(x) i f₃₁(x),  imaju koeficijente pravca:

Apscisa x₁=1 je apscisa preseka prave f₃₁(x) i f₁₂(x) ,  a  x₂=6 je apscisa preseka prave f₁₂(x) i f₂₃(x).
Odrediti treću apscisu- presek prave f₂₃(x) i f₃₁(x).
Slika :

Izrada
Познате вредности и формула:

x₁ =1, x₂ =6.
(k₂₃ – k₃₁)x₃+(k₃₁-k₁₂)x₁+(k₁₂ – k₂₃)x₂=0.

Бројне вредности:

Rešenje:

Odredili smo x₃=10 – apscisu tačke preseka prave f₂₃(x) i f₃₁(x) .

Prave, f₂₃(x) , f₃₁(x) i f₁₂(x)  su nam nepoznate-ima ih beskonačno, temena trougla
A(x₁ , y₁), B(x₂ , y₂), C(x₃ , y₃),  su nepoznata.

Ako usvojim jedno n, znali bi i položaj sve tri prave, alii nije mi cilj  da odredim jednačine pravih, glavna meta je  x₃  – apscisa preseka dve nepoznate prave i vrednost izraza datog pod rednim brojem (10).

Druga lika u zadatku :

 

Autor teoreme:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš.inž. Mladen Popović

Растојање тачке А од праве f(x)

                                    Растојање тачке А од праве f₂₃(x)
1)-Растојање тачке А(x₁ ,y₁) од праве f₂₃(x)= k₂₃x+ n₂₃ рачуна се по формули:

Aналитички елементи у формули су:
h_a – растојање тачке А од праве f₂₃(x),
y₁ – ордината тачке А,
x₁ – апсциса тачке А,
k₂₃=k_A1A2 – коефицијент правца праве f₂₃(x),  n₂₃=n_A1A2 – одсечак праве f₂₃(x) на у оси.
Слика:

Извођење формуле растојањa тачке А до праве f₂₃(x)= k₂₃x+ n₂₃ :
Са горње слике се види:
– дa је растојање d_AA1= y₁-f₂₃(x₁) ;
-да из ∆АA₁А₂  следи једнакост:
h_a = d_AA1cos(α_A) и α_A= α₂₃.

Даље:
угао α₂₃ = β₂₃ ,  јер је β₂₃  угао нагиба праве f₂₃(x) ка х оси.
Са слике видимо једнакост углова са нормалним крацима, α_A= α₂₃= β₂₃ :

Са слике видимо да је

Kоначно је:

Формулу растојања тачке А до праве f₂₃(x) извoдим и овако:

Метод рада- коефицијенти праве.

Постављам нову, произвољно, праву f₁₂(x)= k₁₂x+ n₁₂   да прође кроз тачку А(x₁ ,y₁) и да сече праву f₂₃(x) у тачки В. Апсциса пресечне тачке је х₂. Положај тачке В није битан.
На следећој слици се види: додата права f₁₂(x), права f₂₃(x) и тачка А:

Обележити да је  f₁₂(x₁)=y₁ , а затим, добити растојање тачке А од праве f₂₃(x)  из односа:
d_AA1=[f₁₂(x₁)-f₂₃(x₁)],
h_a = d_AA1cos(α_A)=[f₁₂(x₁)-f₂₃(x₁)]cos(β₂₃)= [y₁ -f₂₃(x₁)]cos(β₂₃)=

Aко одустанемо од замене  f₁₂(x₁)=y₁ и ординату тачке А означимо са f₁₂(x₁),  формула ће имати облик:

  Закључак

Две формуле за растојање тачке А до праве f₂₃(x):

Задатак:
f₂₃(x)= 3x-1 ;  А(4,6) . Израчунај растојање тачке А од праве f₂₃(x).

Познате вредности и формула:
y₁ = 6, x₁ =4,  k₂₃=3, n₂₃ =-1 ;

Бројне вредности:
y₁ -к₂₃(x₁)- n₂₃ = 6-3(4)-(-1)=-5,
k²₂₃+1=(3)² +1=10,

На следећем линку имамо исписан задатак на латиници:
Rastojanje tačke A od prave f23(x)

2)-)-Формула дата под редним бројем (2) даће облик са разликама апсциса и биће део формуле за површину троугла. Зашто?

f₁₂(x₁)-f₂₃(x₁) = (k₁₂x₁+ n₁₂)-(k₂₃x₁+ n₂₃)=(k₁₂-k₂₃)x₁+n₁₂-n₂₃=
(k₁₂-k₂₃)x₁+n₁₂-n₂₃=(k₁₂-k₂₃)x₁+(k₂₃-k₁₂)x₂=(k₁₂-k₂₃)x₁-(k₁₂-k₂₃)x₂:
f₁₂(x₁)-f₂₃(x₁) = (k₁₂-k₂₃)(x₁-x₂).

Sada је нови oblik висине:

и површина троугла
2p_ABC=ah_a=

2p_ABC=(x₂-x₁)(x₂-x₃)(k₁₂-k₂₃).

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Појели сте љуту паприку и тражите спас

ИМА ЛЕКА

Најбољи  лек да спасете уста и језик, често сам га користио,  је багремов мед или мед од сунцокрета.

Чим се ољутите(заљутите) одмах узмите пуну кафену кашичицу правог, густог, меда. Трљајте језиком усну дупљу(уста) све док се не истопи. Можете то поновити још једном са мање меда. Воду не смете пити! И то је све.

Након десет до двадесет секунди“жар“ нестаје.
Будите опрезни када дајете сув мед малој, уплаканој деци која вриште! Њима дајете мед по мало и непрекидно, и пратите да ли су растопила мед у устима.

Узимање сувог шећера, уместо меда, не помаже- по томе се може препознати и да ли је мед прави или се ради о неком сирупу.

Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Љуту српску паприку претворите у љуткасту

Поступак одузимања“ љутине“ од љуте паприке механичким путем

Расеците уздуж љуту. Узмите нож осредње ширине, још боље закривљени, и по дужини полутке, са унутрашње стране, стружите паприку.

Притисак ножем на паприку подесите да са горњег слоја и са унутрашње стране паприке  стружете(скидате) „слузокожу“ и воду- течност из жарних ћелија паприке.

Увежбаном мајстору кухиње треба три до пет сигурних стругарских покрета, што зависи од љутине паприке. Паприку исперите водом.

Љута паприка је здравија од слатке паприке. У природи се, сама без хемијске заштите, одупире труљењу и другим болестима. У кухињи додајте јој и… бели лук.

Слика је узета са https://www.boljazemlja.com/. Ако не одобравате да буде на овом месту уклониће се.

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Извођење формуле површине троугла – базни израз

                      Извођење формуле површине троугла – базни израз

Извођење формуле површине троугла у облику производа простих чинилаца- разлика апсциса темена троугла и разлике коефицијената правца две странице троугла

                                                      УВОД

Mетод рада-коефицијенти праве

 Базна формула површине троугла 2P_∆ABC =(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃), троугла унутар три непаралелне праве,  је производ  разлика (x₂-x₁)( x₂-x₃)  апсциса темена троугла и разлике( k₁₂-k₂₃) коефицијената правца две странице троугла- једначина странице AB и странице BC  ∆АBC.
Једначине правих су:
f₁₂(x)=k₁₂x+ n₁₂ ,  f₂₃(x)=k₂₃x+ n₂₃ ,   f₃₁(x)=k₃₁x+ n₃₁ ;
-ознаке апсциса су:  x₁=x_A , x₂=x_B , x₃=x_C .

-Формула површине троугла је базна јер се из ње изводи јединствена формула за површину троугла за произвољан троугао и за троугао на кривој лини.
-Формула је базна и због базног израза B(x₂)= (x₂-x₁)( x₂-x₃): формула за површину троугла има у себи базни израз B(x₂).

                                              ИЗВОЂЕЊЕ

Предуслови:
Да би извели формулу за површину морамо доказати  да је
израз ( k₁₂-k₂₃)x₂ + ( k₂₃-k₃₁)x₃ + ( k₃₁-k₁₂)x₁ =0  ……..  (3) ;
израз се лако добија из појединачних услова пресека трију непаралелних правих :
( k₁₂-k₂₃)x₂ =( n₂₃-n₁₂) ,
( k₂₃-k₃₁)x₃ =( n₃₁-n₂₃) ,
( k₃₁-k₁₂)x₁ =( n₁₂-n₃₁) – ставимо ове изразе под редни број (2).

Дакле , саберимо све три једнакости- сабирамо три израза са леве и три са десне стране једнакости.  Збир са десне стране је нула и то је обележено под редним бројем (3).
Новим груписањем израза датог под редним  бројем (3), груписање уз иксеве, добићe се да је
(x₃-x₁) k₃₁ =(x₃-x₂)k₂₃ + (x₂-x₁) k₁₂ ………………………… (3.1).

Израз дат под редним бројем (3.1) може се добити сабирањем, већ смо радили, левих и десних страна следећих израза:
f₂₃(x₂)-f₂₃(x₃) = – (x₃-x₂)k₂₃ ,
f₃₁(x₃)-f₃₁(x₂)]= (x₃-x₁) k₃₁  i  f₁₂(x₁)-f₁₂(x₂) = – (x₂-x₁) k₁₂ ….. (1.1).

Базна формула површине троугла се изводи из класичне формуле за површину троугла
2P_∆ABC = x₁( y₂-y₃)+ x₂ ( y₃-y₁)+ x₃ ( y₁-y₂)=
x₁[ f₂₃(x₂)-f₂₃(x₃)]+ x₂[ f₃₁(x₃)-f₃₁(x₁)]+ x₃[ f₁₂(x₁)-f₁₂(x₂)] ——- (1), заменом њених делова, у заградама, подударним изразима  датих под редним бројем  (1.1). Након тога, на истој једнакости, настављамо
и замењујемо израз дат под редним бројем (3.1).

Замењивање:
Dakle, 2P_∆ABC = x₁[- (x₃-x₂)k₂₃]+ x₂[(x₃-x₁) k₃₁]+ x₃[- (x₂-x₁) k₁₂]=
x₁[- (x₃-x₂)k₂₃]+ x₂[(x₃-x₂)k₂₃ + (x₂-x₁) k₁₂]+ x₃[- (x₂-x₁) k₁₂]=
(x₃-x₂)(- x₁+x₂) k₂₃ + (x₂-x₁)(x₂-x₃) k₁₂= (x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃).
2P_∆ABC =(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃).

                                                ДОДАТАК

Из услова пресека  k₁₂x+ n₁₂=f₁₂(x) = f₂₃(x)=k₂₃x+ n₂₃ 
имамо да је ( k₁₂-k₂₃) x₂=( n₂₃-n₁₂) , a површина троугла, веома брзо , ће имати облик :
2P_∆ABC =(x₂-x₁)( x₂-x₃)( n₂₃-n₁₂)/x₂ .

                                                ЗАКЉУЧАК

Задатак је био да се изведе формула површине троугла у облику производа простих чинилаца- разлика апсциса темена троугла и разлике коефицијената правца из класичне формуле за површину троугла: 2P_∆ABC = x₁( y₂-y₃)+ x₂ ( y₃-y₁)+ x₃ ( y₁-y₂).
Изведени су докази да је:
( k₁₂-k₂₃)x₂ + ( k₂₃-k₃₁)x₃ + ( k₃₁-k₁₂)x₁ =0,
-(x₃-x₁) k₃₁ +(x₃-x₂)k₂₃ + (x₂-x₁) k₁₂ =0
 и да је тражена формула за површину троугла 2P_∆ABC =(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃).
Добили смо и да је B(x₂)= (x₂-x₁)( x₂-x₃)=x₂²– (x₁+x₃)x₂ + x₁x₃ базни израз површине троугла.

 

Aутор извођења:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Limes koeficijenata prave i L Hospital-Bernoulli

Limes koeficijenata prave i L^| Hospital-Bernoulli
Za limes koeficijenata prave na krivoj i njen prelazak u tangentu primenljivo je
L^| Hospital-BernouIlijevo pravilo izvoda na neodređeni oblik izraza 0/0

Metod rada – koeficijenti prave.
Zahvaljujući obliku brojioca i imenioca koeficijenata jednačine prave moguće im je, i ima smisla, pravilom L^| Hospital-BernouIlija naći izvode.

Temom https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/02/limes-koeficijenata-prave-prelaz-prave-u-tangentu/ pokazano je da se koeficijenti tangente dobijaju limesom koeficijenata prave na krivoj:
– jednačina krive F(x) ;
– jednačina prave f(x)=kx +n i koeficijenti prave :

Nakon provere limesa za k i n, uz uslov da x₂ → x₁ , uočićemo sledeće limese:

Jasno je da se na izraze koeficijenata prave [ψ(x₂)/ ϕ(x₂)] i [ ω(x₂)/ ϕ(x₂)],   u postupku određivanja limasa, može uvek primeniti L^|Hospital-Bernoullijevo pravilo izvoda:

Zadatak
Data je logaritamska kriva F(x)=ln(x).
Odrediti jednačinu tangente na krivoj primenjujući L^|Hospital-Bernoullijevo pravilo na koeficijente jednačine prave f(x).

Izrada:
– jednačina krive F(x)=ln(x);
– jednačna prave:

– jednačina tangente f_T(x)=k_T x +n_T:

Jednačina tangente:

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
Autor ivođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović