Појели сте љуту паприку и тражите спас

ИМА ЛЕКА

Најбољи  лек да спасете уста и језик, често сам га користио,  је багремов мед или мед од сунцокрета.

Чим се ољутите(заљутите) одмах узмите пуну кафену кашичицу правог, густог, меда. Трљајте језиком усну дупљу(уста) све док се не истопи. Можете то поновити још једном са мање меда. Воду не смете пити! И то је све.

Након десет до двадесет секунди“жар“ нестаје.
Будите опрезни када дајете сув мед малој, уплаканој деци која вриште! Њима дајете мед по мало и непрекидно, и пратите да ли су растопила мед у устима.

Узимање сувог шећера, уместо меда, не помаже- по томе се може препознати и да ли је мед прави или се ради о неком сирупу.

Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Advertisements

Љуту српску паприку претворите у љуткасту

Поступак одузимања“ љутине“ од љуте паприке механичким путем

Расеците уздуж љуту. Узмите нож осредње ширине, још боље закривљени, и по дужини полутке, са унутрашње стране, стружите паприку.

Притисак ножем на паприку подесите да са горњег слоја и са унутрашње стране паприке  стружете(скидате) „слузокожу“ и воду- течност из жарних ћелија паприке.

Увежбаном мајстору кухиње треба три до пет сигурних стругарских покрета, што зависи од љутине паприке. Паприку исперите водом.

Љута паприка је здравија од слатке паприке. У природи се, сама без хемијске заштите, одупире труљењу и другим болестима. У кухињи додајте јој и… бели лук.

Слика је узета са https://www.boljazemlja.com/. Ако не одобравате да буде на овом месту уклониће се.

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Извођење формуле површине троугла – базни израз

                      Извођење формуле површине троугла – базни израз

Извођење формуле површине троугла у облику производа простих чинилаца- разлика апсциса темена троугла и разлике коефицијената правца две странице троугла

                                                      УВОД

Mетод рада-коефицијенти праве

 Базна формула површине троугла 2P∆ABC =(x2-x1)( x2-x3)( k12-k23), троугла унутар три непаралелне праве,  је производ  разлика (x2-x1)( x2-x3)  апсциса темена троугла и разлике( k12-k23) коефицијената правца две странице троугла- права странице AB и странице BC  ∆АBC:
-једначине правих су:
f12(x)=k12x+ n12 ,  f23(x)=k23x+ n23 ,   f31(x)=k31x+ n31 ;
-ознаке апсциса су:  x1=xA , x2=xB , x3=xC .

-Формула површине троугла је базна јер се из ње изводи јединствена формула за површину троугла на свакој кривој лини;
-Формула је базна и због базног израза B(x2)= (x2-x1)( x2-x3): површина тоугла унутар три праве има у формули површине базни израз, израз је присутан и у формули површине троугла на произвољној кривој .

                                              ИЗВОЂЕЊЕ

Предуслови:
Да би извели формулу за површину морамо доказати  да је, од апсциса и коефицијената правца правих,
израз ( k12-k23)x2 + ( k23-k31)x3 + ( k31-k12)x1 =0  ……..  (3) ;
израз јенак нули се лако добија из услова пресека трију непаралелних правих изједначавањем једначина суседних правих:
( k12-k23)x2 =( n23-n12) ,
( k23-k31)x3 =( n31-n23) ,
( k31-k12)x1 =( n12-n31) – изрази су под редним бројем (2).

Дакле , саберимо све три једнакости-  сабирамо три израза са леве и три са десне стране једнакости.  Збир са десне стране је нула и то је обележено под редним бројем (3).
Новим груписањем израза датог под редним  бројем (3), груписање уз иксеве, добија се да је
(x3-x1) k31 =(x3-x2)k23 + (x2-x1) k12 ………………………… (3.1).

Израз дат под редним бројем (3.1) може се добити, као и горе, сабирањем левих и десних страна израза:
f23(x2)-f23(x3) = – (x3-x2)k23 ,
f31(x3)-f31(x2)]= (x3-x1) k31  i  f12(x1)-f12(x2) = – (x2-x1) k12 ….. (1.1).

Базна формула површине троугла се изводи из класичне формуле за поврину троугла
2P∆ABC = x1( y2-y3)+ x2 ( y3-y1)+ x3 ( y1-y2)=
x1[ f23(x2)-f23(x3)]+ x2[ f31(x3)-f31(x1)]+ x3[ f12(x1)-f12(x2)] ——- (1), заменом њених делова у заградама подударним изразима из једнакости дате под редним бројем  (1.1),  затим заменом и израза под редним бројем (3.1).

Замењивање:
Dakle, 2P∆ABC = x1[- (x3-x2)k23]+ x2[(x3-x1) k31]+ x3[- (x2-x1) k12]=
x1[- (x3-x2)k23]+ x2[(x3-x2)k23 + (x2-x1) k12]+ x3[- (x2-x1) k12]=
(x3-x2)(- x1+x2) k23 + (x2-x1)(x2-x3) k12= (x2-x1)( x2-x3)( k12-k23).
2P∆ABC =(x2-x1)( x2-x3)( k12-k23).

                                                ДОДАТАК

Из услова пресека  k12x+ n12=f12(x) = f23(x)=k23x+ n23 
имамо да је ( k12-k23) x2=( n23-n12) , a површина троугла, веома брзо , је :
2P∆ABC =(x2-x1)( x2-x3)( n23-n12)/x2 .

                                                ЗАКЉУЧАК

Задатак је био да се изведе формула површине троугла у облику производа простих чинилаца- разлика апсциса темена троугла и разлике коефицијената правца из класичне формуле за површину троугла: 2P∆ABC = x1( y2-y3)+ x2 ( y3-y1)+ x3 ( y1-y2).
Изведени су докази да је:
( k12-k23)x2 + ( k23-k31)x3 + ( k31-k12)x1 =0,
-(x3-x1) k31 +(x3-x2)k23 + (x2-x1) k12 =0
 и да је тражена формула за површину троугла 2P∆ABC =(x2-x1)( x2-x3)( k12-k23).
Добили смо и да је B(x2)= (x2-x1)( x2-x3)=x22– (x1+x3)x2 + x1x3 базни израз површине троугла.

Aутор извођења:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Limes koeficijenata prave i L Hospital-Bernoulli

Limes koeficijenata prave i L| Hospital-Bernoulli
Za limes koeficijenata prave na krivoj i njen prelazak u tangentu primenljivo je
L| Hospital-BernouIlijevo pravilo izvoda na neodređeni oblik izraza 0/0

Metod rada – koeficijenti prave.
Zahvaljujući obliku brojioca i imenioca koeficijenata jednačine prave moguće im je, i ima smisla, pravilom L| Hospital-BernouIlija naći izvode.

Temom https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/02/limes-koeficijenata-prave-prelaz-prave-u-tangentu/ pokazano je da se koeficijenti tangente dobijaju limesom koeficijenata prave na krivoj:
– jednačina krive F(x) ;
– jednačina prave f(x)=kx +n i koeficijenti prave :

Nakon provere limesa za k i n, uz uslov da x2 → x1 , uočićemo sledeće limese:

Jasno je da se na izraze koeficijenata prave [ψ(x2)/ ϕ(x2)] i [ ω(x2)/ ϕ(x2)],   u postupku određivanja limasa, može uvek primeniti L|Hospital-Bernoullijevo pravilo izvoda:

Zadatak
Data je logaritamska kriva F(x)=ln(x).
Odrediti jednačinu tangente na krivoj primenjujući L|Hospital-Bernoullijevo pravilo na koeficijente jednačine prave f(x).

Izrada:
– jednačina krive F(x)=ln(x);
– jednačna prave:

– jednačina tangente fT(x)=kT x +nT:


Jednačina tangente:

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
Autor ivođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Limes koeficijenata prave-Prelaz prave u tangentu

         Limes koeficijenata prave-Prelaz prave u tangentu
Limes koeficijenata jednačine prave su koeficijenti jednačine druge prave, tj. prelaz jednačine prave, prava na krivoj, u jednačinu druge prave pri prelasku  apscise jedne presečne tačke u  apscisu druge

Metod rada-koeficijenti prave.

    Pojam limesa koeficijenata prave

Limes koeficijenata jednačine prave daje koeficijente jednačine druge prave na istoj krivoj.
Da bi dobili koeficijente druge prave limesom koeficijenata prve moramo u imeniocu koeficijenata prve prave ukloniti razliku apscisa (x2 – x1),
jer je (x1 – x1)=0.

Treba prihvatiti da limes koeficijenata jednačine prave utiče na jednačinu i položaj nove prave ; k i n su k(x2) i n(x2), tj.   funkcije su promenljive x2. Tangenta je samo jedan od položaja prave f(x). Predmet razmatranja nije određivanje vrednosti jednačine prave f(x1)=kx1+n, ni vrednosti f(x2)=kx2+n:

Primeri primene jednačine prave za izvođenje jednačine tangente na krivoj    

Prava i tangeta na paraboli:
Fa(x)=a0x2+a0x+a2 – jednačina  parabole;
f(x)=kx+n=[a0 (x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2 –prava na paraboli;
– apscise  x1 i x2 presečnih tačaka prave i parabole i koeficijenti prave:
k= a0 (x1+x2)+a1 , n= a2-a0x1x2.
-Apscisa x2 je “parcijalna”tekuća koordinata koeficijenata prave, a promenljiva x  prave  f(x)  miruje.

Jednačina tangente: 


[a0 (x1+x1)+a1]x+a2-a0x1x1= (2a0 x1+a1)x+a2-a0x12 – jednačina tangente
na paraboli u tački sa apscisom x1.

Prava i tangeta na kubnoj:
Fb(x)=b0x3+b1x2+b2x+b3 – jednačina kubne;
f(x)=[ b0(x12+ x1x2+ x22)+ b1(x1+x2)+b2]x+b3-x1x2 [ b0(x1+ x2)+ b1]–prava na kubnoj.
Jednačina tangente:
-Limesi koeficijenata jednačine prave na kubnoj se prosto dobijaju  zamenom x2  sa x1 , dakle isti  postupak daje jednačinu tangente:
fT(x)=[ b0(x12+ x1x1+ x12)+ b1 (x1+x1)+b2]x+b3-x1x1 [b0(x1+ x1)+ b1]=
(3b0x12+ 2b1x1+b2)x+a3-x12 (2b0x1+ b1), dakle
fT(x)= (3b0x12+ 2b1x1+b2)x+a3-x12 (2b0x1+ b1)  je jednačina tangente na kubnoj.

Prava i tangeta na razlomljenoj funkciji:

-jednačina prave fR(x) na krivoj R(x) je:

– jednačina tangente fT(x), fT(x1) i fT(x2), se ivodi iz limesa koeficijenata prave fR(x):

Jednačina tangete:




-jednačina tangente na razlomljenoj R(x) je:


Prava i tangeta na krugu:

-klasičan Izraz za koeficijent pravca prave na krugu je:
k(x2-x1)= FK(x2)-FK(x1)=

  ………………… (1).

-Potrebno je od klasičnog izraza koeficijenta pravca prave k, datog pod rednim brojem (1),  izvesti novi  izraz za k u kome neće biti (x2 – x1):

Tokom izvođenja izrazi sa korenima  dovoljno i tačno je uzeti znak plus ispred oba korena:
za jednačinu prave i tangete znak je bitan, ali za limes koeficijenata nije.
Proširujemo izraz dat pod rednim brojem (1) zbirom korena:


Kao što je proširen izraz za k isto proširimo i izraz za n:
n(x2-x1)= x2 FK(x1)-x1 FK(x2)=

Razliku korena  proširujemo zbirom  korena… izvlačimo i skraćujemo razliku (x2-x1) i  na kraju sve završava izrazom datim pod rednim brojem (2):


 ……………. (2).

Novi oblici izraza k i n su spremni za limese.

Jednačina tangente

a)– Koeficijent pravca tangente fT1(x1):

b)-Koefiijent  nT1 (x1) tangente:
– da ne bi stalno pisali lim…, limes koeficijenta n(x2) prave na krugu  računamo zamenom x2  sa x1 , dakle prosta zamena apscisa u izrazu datom pod rednim brojem(2) daće  limese za n, kao što smo dobili i limesa koeficijenta pravca kT1 (x2) tangente; na kraju će obrazac za koefiijent  nT1 (x1) tangente biti:



– Jednačina tangente fT1(x) na krugu FK(x) je:

Napomena za znak ispred korena u jednačini prave i jednačini tangente:
– ako je FK(x1)<q<FK(x2), ili je FK(x2)<q<FK(x1), tada ispred odgovarajućih korena treba staviti suprotni znak;
– znak minus se stavlja ispred korena za vrednosti FK(x)<q.

Zadatak:
Date su apscise x1= -1  i x2=2, apcise prve i druge tačke preseka prave  f(x) i kruga FK(x). Centar kruga je tačka Q(1,-2), a poluprečnik kruga R2=5.
Kroz tačke preseka, apcisa x1 i x2 , napisati jednačinu prave f(x) i jednačine tangenti fT1(x1) i fT2(x2).

Potrebne vrednosti:
p=1, q=-2;   R2– p2=5-12=4; x2-p=2-1=1, p-x1=1-(-1)=2;
bazni izrazi: x1+x2=-1+2=1,  x1x2=(-1)(2)=-2;


Jednačina prave na krugu:
fK (x)=kx+n;    FK (x1)<q:

Jednačine tangenti na krugu:
a) fT1(x2)= kT1 x+nT1 ;  FK (x1)<q:



b)
fT2(x2)= kT2 x+nT2 ;  FK (x2)>q:

-Sa druge slike primećujemo da se mogu napisati još tri prave i njihove tangente; tokom rada samo menjamo znake korena, a apscise i formule ostaju iste.
-Prilagođeni koeficijenti jednačine prave i njihovi limesi se slično nalaze i za  krive: hiperbolu,elipsu…

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave

Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave
Rešenje određenog integrala polinoma n. stepena proizvodom razlika apscisa –granica integraljenja, i koeficijenta pravca prave na krivoj polinoma n+1. stepena

Metod rada-koeficijenti jednačine prave.
-Za rešene određenog integrala polinoma uzima se koeficijent pravca jednačine prave na krivoj, prvoj krivoj višeg stepena, tj. na polinomu za stepen viši od polinoma integraljenja-integranda. Koeficijenti prave su dati u tabeli br.1 članka: https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/

                                 Određeni integral prave
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina prave, polinom stepena n=1:  f(x)=a0x+a1.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=2:
FA(x)=A0x2+A1x+A2    ……………………………………….. (1).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma FA(x) stepena p=2  su:

– Koeficijent pravca prave fA(x) na usvojenom polinomu FA(x):
………. (1.1).

Određeni integral prave f(x) u granicama x1 i x2 je:
.

               Određeni integral polinoma drugog stepena- parabola
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=2:  Fa(x)=a0x2+a1x+a2.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=3:
  FB(x)=B0x3+B1x2+B2x+B3  ………………………………..  (2).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma FB(x) stepena p=3  su:

– Koeficijent pravca prave fB(x) na polinomu FB(x):
kB =B0 (x12+ x1x2+x22)+B1(x1+x2)+B2 = …………… (2.1).

Određeni integral parabole Fa(x) u granicama x1 i x2 je:

         Određeni integral polinoma trećeg stepena- kubna
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=3:  Fb(x)=b0x3+ b1x2+b2x+b3.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=4:
FC(x)=C0x4+ C1x3+C2x2+C3x+C4  …………………………….. (3).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma FC(x) stepena p=4  su:

– Koeficijent pravca prave fC(x) na polinomu FC(x):
……..  (3.1)

Određeni integral kubne Fb(x) u granicama x1 i x2 je:

Po istom principu koristimo koeficijent pravca prave na polinomu F(x) stepena
p = n+1 i pišemo rešenje određenog integrala polinoma stepena n.
Bazne izraze (x1+x2), (x12+ x1x2+x22), (x13+ x12 x2 +x1x22+x23)… pamtimo još od osmogodišnje škole, kada smo učili rastavljanje na faktore razliku dva monoma istog stepena: binom od dva monoma parnog i neparnog stepena: x12p-x22p, x12p-1-x22p-1.

   Zdatak
Data je apscisa x1=-(3/2) i x2=(3/2) – granica integraljenja polinoma

Odrediti određene integrale polinoma.

Potrebne veličine:
a) -Za pravu f(x) =-(5/4) x+3:
a0=-(5/4)  , a1=3;

– koeficijenti usvojenog oblika polinoma FA(x) stepena p=2:

-usvojen polinom višeg stepena  FA(x)=A0x2+A1x+A2:
FA(x)=-(5/8)x2+3x+A2;

– razlika i zbir apscisa i koeficijent kA pravca prave fA(x) na usvojenom polinomu FA(x):
(x2– x1)= (3/2)-(-3/2) =3,    (x1+ x2)=-(3/2) + (3/2)=0,
kA =A0 (x1+x2)+A1=(-5/8)(0)+3=3,     kA = 3  …………………………… (1,2).

Integral prave f(x) u granicama x1 i x2 je:

Grafički prikaz:

b) -Za parabolu Fa(x)=(1/2)x2-5x+2:
a0=(1/2)  , a1=-5,  a2=2
;

 – koeficijenti usvojenog oblika polinoma FA(x) stepena p=3:


-usvojen polinom višeg stepena  FB(x)=B0x3+B1x2+B2x+B3;
– bazni izrazi i koeficijent kB pravca prave fB(x) na usvojenom polinomu FB(x):

kB=B0 (x12+ x1x2+x22)+B1(x1+x2)+B2=

kB =(19/8) ……………..  (2,2).

Integral parabole Fa(x) u granicama x1 i x2 je:

Grafički prikaz:

c) -Za kubnu Fb(x)=(1/2) x2-3x+5x-2:
b0=(1/2) , b1=-3,  b2=5,  b3=-2;

– koeficijenti usvojenog oblika polinoma FC(x) stepena p=4:

– bazni izrazi i koeficijent kC pravca prave fC(x) na usvojenom polinomu FC(x):
[x13+ x1x2(x1+x2)+x23]=[(-3/2)3+(-3/2)(3/2)[-3/2+3/2]+(3/2)3]=0;

kC=C0[x13+ x1x2(x1+x2)+x23]+C1(x12+ x1x2+x22)+C2(x1+x2)+C3=

kC =(-17/4)   ………………………………  (3,2).
Integral parabole Fa(x) u granicama x1 i x2 je:

Grafički prikaz:

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen Popović

Граф. поступак замене правоугаоника површином троугла

Графoaналитички  поступак замене правоугаоника  површином троугла
Графоаналитичка конструкција троугла између две праве помоћу правоугаоника исте површине – поступак замене површине правоугаоника  површином троугла

Метод  рада: коефицијенти праве.
Техника рада: графичко- аналитичка техника рада.

Задатак
– Дата је површина PABCD = аb =1 правоугаоника ABCD, затим,паралелно x оси, страница правоугаоника а=AB=(1/2) и произвољно изабрано теме правоугаоника А(1,-1).
– Дата је једначина праве fEF(X) =-(5/4)x+4  основне странице g  ∆ ЕFG површине PЕFG .

Графоаналитичким поступком на правој fEF(X) конструиши ∆ ЕFG једнаке површине површини правоугаоника ABCD:  PЕFG  = PABCD .
Поступак прилагоди  облику  формуле површине троугла између праве fEF(X) и fFG(X):
PЕFG  = (1/2)(xЕ-xF)[fEF(xG) – fFG(xG)] = (1/2)(x1-x2)[fEF(x3) – fFG(x3)].
Графички приказ – сл.1:

Из услова једнакости површине троугла и правоуганика у задатку имамо једнакост израза:
PЕFG  = PABCD ;   (1/2)(x1-x2)[fEF(x3) – fFG(x3)]=аb. Очигледна је веза:
а=(1/2)(x1-x2),  b=[fEF(x3) – fFG(x3)],
xА =(1/2)x1 ,  xB =(1/2)x2;  xА и xB су апсцисе темена А и В правоугаоника(погледај сл.1).

Одређивање потребних вредности:

-Одређивање апсциса темена Е и F  ∆ ЕFG:
x1=2(x1/2)=2(1)=2,   x2=2(x2/2)=2(3/2)=3.
– Oдређивање странице b правоугаоника ABCD:
PABCD = аb;   PABCD  =1, а=AB=1/2:    1 = (1/2) b   →   b=2.

Потребни кораци:
– Са јединичног  ∆ О1КЕFТ правац О1КЕF паралелно преносимо до одсечка nEF на у оси; тиме цртамо  праву fEF(X) .
– На х оси дуплирањем xА =(1/2)x1  и  xB =(1/2)x2  добијамо апсцису xЕ = x1  и  xF = x2.
– Наносимо вертикале апсциса x1 и x2  до пресека са правом fEF(X)  и дефинишемо темена Е и F  ∆ ЕFG.
Тренутни изглед је:

Преостали кораци су:
– На страницу а=AB вертикално наносимо страницу b=2 и тиме добијамо теме С, а затим и теме D правоугаоника ABCD.
– Повлачимо хоризонталу дуж странице АВ правоугаоника ABCD до пресека са правом fEF(X)  и дефинишемо тачку пресека G1.
– Из тачке G1 вертикално наносимо дуж дужине b=2 и добијамо теме G траженог ∆ ЕFG.

Графички приказ коначног решења:

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Mладен Поповић

Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

Koeficijenti  pravca i rešavanje kosouglog trougla
Određivanje stranica kosouglog trougla koeficijentima pravca jednačina stranica- Uprošćavanje Mallweide-ove formule i formula ostalih teorema trougla u oblasti analitičke geometrije

Metod rada- koeficijenti jednačine prave.
Oblast –analitička geometrija.

Predmet razmatranja:
-kosougli ∆ABC stranica a,b i c na pravama: f12(x), f23(x), f31(x);
– koeficijenti pravca, k12=tg α12 , k23=tg α23 , k31=tg α12 , jednačina pravih;
– uglovi nagiba pravih prema x osi: α12 , α 23 , α 31;
– formule: određivanje stranica a,b i c koeficijentima k12 , k23  i k31.

Predlog formula:
 .
………… (1);
  ………….. (2).

                                Izvođenje formula

a) Izvođenje formule koja sadrži koeficijente pravca pravih i stranice trougla:
 –
Površina trougla 2P∆ABC =(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23) …………… (3);

  –
razlike apscisa
(dva izrazi za rastojanje između dve tačke) zamenjujemo u formulu pod rednim brojem (3) :
  ………………….. (3.1);

c=d12=AB – dužina stranice ∆ABC,   a=d23=BC – dužina druge stranice ∆ABC.

Od površine trougla P∆BCA =(x3-x2)(x3-x1)(k23-k31)  ………….. (4), na isti način, dobija se oblik:
  …………………… (4.1);

b=d31=CA – dužina stranice ∆ABC.

Iz P∆CAB =(x1-x3)(x1-x2)(k31-k12)  …………………………………. (5) dobija se oblik:
  ……………………. (5.1).

b) –Jednačenjem  izraza   PABC = PCAB , datih pod rednim brojem (3.1) i (5.1) ,  tj. od istih, jednakih površina ∆ABC dobija se :

-iste su površine, ali različito je obeležavanje zbog  matematičkog smera i izbora početnog temena u formuli površine ∆ABC.
Naravno, nakon skraćivanja dobijamo već viđenu formulu pod rednim
brojem (1):
 .

PABC = PBCA ;

. – Nakon skraćivanja imamo formulu datu pod rednim brojem (2):


Zadatak


sa koeficijentom pravca k23 =(3/2). Dati su koeficijenti pravca ostalih dveju stranica ∆ABC: k12 = -3,  k31 =(1/2).
Odrediti stranice  ∆ABC.
Grafički prikaz:

-Potrebne formule su već date pod rednim brojem (1) i (2).
-Potrebne vrednosti veličina za formule:

 



Izrada:
 ,

 ,

Grafički prikaz rezultata:

Potpuno i preglednije urađen zadatak je u dokumentu:
Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

Napomena autora:
–Ako se ne izvrši potpuno skraćivanje na jednakostima  PABC = PCAB
i  PABC = PBCA , tada idemo ka sinusnoj teoremi: asin(β)= bsin(α)… ;
α, β,γ su unutrašnji uglovi ∆ABC. Cilj ovog članka nije izvođenje klasične sinusne teoreme, cilj su prve dve formule – računanje stranica trougla koeficijentima pravca jednačine prave: k12=tg α12 , k23=tg α23 , k31=tg α12 , kao i ostanak u analičkoj geometriji..

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen   Popović

Графоаналитичко цртање праве-Kоефицијенти праве

Графоаналитичко цртање праве-Kоефицијенти праве
Графички начин цртања праве коефицијентима једначине праве

Mетод  рада-коефицијенти праве.
Техника рада -графоаналитикa;
потребнa величинa: jeдначина праве f(x)=kx +n.

Да би нацртали праву познате једначине у координатном систему xOy прво се графички одреди правац једначине праве(k), а затим одредити  и вредност слободног члана  n једначине праве на y oси. Да би то урадили, најпре, нацртати помоћни правоугли  ∆ABC  јединичне странице AB:

∆ABC –помоћни троугао:  основна страница AB=1 и наспрамна страница BC=K. Бројну вредност коефицијента k=BC  одређује ордината тачке
C( xB ,k) и произвољна апсциса xB, a  страницу AB=1  цртамо на х оси:

 Zadatak
Графоаналитичком методом нацртати праву f12(x)=-2x+3,  f23(x)=3x-1
i  f31(x)=(3/4)x +(23/4)  у равни координатног система xOy.

Израда
-На х оси се црта јединични правоугли троугао за сваки коефицијент правца праве, a на y оси наноси  вредност  n:  n12 , n23 , n31  једначина правих. Следи слика:

У следећем кораку правац АK12 , АK23  и АK31  паралелно преносимо до одговарајућих тачака: N12 , N23 , N31 , претходно нанетих на у осу.
Следи коначно решење:

Контрола способности ока при опажању:
-На задњој слици око нам је преварено: изгледа да правац АK23  није паралелан са правом f23(x), а јесте.

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Mладен Поповић

Razlika jednačina dveju pravih – Površina trougla

                  Razlika jednačina dveju pravih – Površina trougla
Proizvod razlika ordinata jednačina dveju neparalelnih pravih iznad iste apscise x i razlike  apcisa drugih dveju tačaka ∆ABC daje površinu ∆ABC.  ∆ABC nastaje presekom tri neparalelne prave

Formule za površinu trougla su:
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-f23(x3)]  —————- (1);
2P∆BCA = (x2 – x3)[f23 (x1)-f31(x1)]  —————- (2);
2P∆CAB = (x3 – x1)[f31 (x2)-f12(x2)]. —————- (3);
-redosled  ispisivanja indeksa pri obeležavanju apscisa  i pravih je matematički pozitivan smer na ∆ABC.
Sve tri formule Ilustrujemo  slikama:

– Slika za oblik formule date pod rednim brojem(2):
,

– Slika za oblik formule date pod rednim brojem(3):
.


Zadatak

Dat je ∆ABC presekom prave
f12(x)=-2x+3  i  f23(x)=3x-1,  apscisom x1 = xA=-1 i apscisom  x3 = xc=3.
Odredi površinu P∆ABC  i koristi prvu sliku.

Potrebne veličine:
-Apscisa x2  se određuje presekom f12(x)=-2x+3 = f23(x)=3x-1 →  x2= 4/5;
-vrednosti jednačina pravih za x= x3=3:
f12(x3)=-2x3 +3 =-2(3) +3=-3,
f23(x3)=3x3 -1 =3(3)-1=8.

Razlike veličina:
f12(x3)- f23(x3)=-3-8= -11;
(x1 – x2)= -1-(4/5)= – 9/5.

Izrada
-Formula P∆ABC  data pod rednim brojem (1) je:
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-f23(x3)] = (-9/5)[-11] =99/5,
→  P∆ABC =99:10=9,9.

Provera
-Potrebne veličine: (x2 – x3)=[(4/5)-3] =-11/5;   (k12-k23) =(-2-3)=-5.
-Formula:
2P∆ABC = (x2–x1) (x2–x3)(k12-k23)=(9/5)(-11/5)(-5)= 99/5,
P∆ABC =99:10=9,9.

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Proizvodi razlika jednačina pravih: Površina trougla u koeficijentima kubne jednačine

Proizvodi razlika jednačina pravih: Površina trougla u koeficijentima kubne jednačine

Rezultat proizvoda uzastopnih razlika triju jednačina neparalelnih pravih je polinom trećeg stepena. U koeficijentima polinoma trećeg stepena nalazimo formulu za površinu trougla.

Oblast-
analitička geometrija.
Metod rada-
koeficijenti prave.
Bazna funkcija –kubna.

Presek tri neperalelne prave grade trougao.
Tvrdnja:
Proizvod  uzastopnih razlika triju jednačina neparalelnih pravih, f12(x) , f23(x) , f31(x) , jednak je polinomu Ax3+Bx2+Cx+D.  Svaki koeficijent polinoma sadrži formulu za površinu trougla.

                                Proizvod razlika jednačina pravih  

Tri neparalelne prave u ravni xOy mogu imati proizvoljan položaj, ili se uslovno mogu vezati za krivu nekog polinoma. Razmotrimo ta dva slučaja:

1)Proizvoljni položaj  tri neparalelne prave:
Neparalelne prave, f12(x) = k12x+n12 ,  f23(x) = k12x+n12 i f23(x) = k12x+n12 , grade tri tačke preseka.
Iz uslova preseka pravih, f12(x)=f23(x) , f12(x)=f23(x) , f12(x)=f23(x), slede odnosi:
(k12-k23)x2=n23-n12 ; (k23-k31)x3=n31-n23 ; (k31-k12)x1=n12-n31 ——– (1).

-Tačke preseka grade ∆ABC, apscise temena trougla su:
xA = x1 ,  xB = x2 , xC = x3.
Koeficijenti pravca proizvoljnih pravih su: k12, k23, k31, a odsečci pravih na y osi su: n12 , n23 , n31 .

Proizvodi razlika triju jednačina proizvoljnih pravih
:
(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))=
[(k12x+n12 )–(k23x+n23)][(k23x+n23 )–(k31x+n31)][(k31x+n31)–(k12x+n12)]=

(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)X3[(n23-n31)(k31-k12)(k12-k23)+(n12-n23)(k12-k23)(k23-k31)+(n12-n23)(k31-k12)(k23-k31)]X2-[(n23-n31)(n31-n12)(k12-k23)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)]X+(n12-n23)(n23-n31)(n31-n12) ——————————————————————- (7).

Zamenom izraza datih pod rednim brojem (1) u izraz pod rednim brojem (7) dolazi se do konačnih oblika:

(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))=
(k
12-k23)(k23-k31)(k31-k12)(x-x1)(x-x2)(x-x3) —————————   (2);

(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))=
(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x3(x1+x2+x3)x2+
(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3] ———————————————-  (2.1);

(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))= Ax3+Bx2+Cx+D —- (2.2);

A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12),   B=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-(x1+x2+x3)],
C=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x1x2+x2x3+x1x3],
D=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-x1x2x3] ———————————- (2.3).

-Vezu imeđu (k12-k23), (k23-k31), (k31-k12) I površine P∆ABC imamo u izrazu
8P3∆ABC R(X) = (k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)  —————————– (10).
Naravno, uvek se može iskoristiti jednakost:
(n12-n23)(n23–n31)(n31–n12)= (k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)(x1x2x3).

2)Slučaj preseka tri prave sa tačkama preseka na krivoj polinoma:
– U ovoj situaciji gornji izrazi za koeficijente pravca pravih, k12, k23, k31 , i odsečci pravih na y osi, n12 , n23 , n31 , pojavljuju se u konkretnijem obliku, lako se pamte(osmogodišnje i srednjoškolsko gradivo), i nalaze se u članku https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/ i tabeli br.1 . Razmotrimo proizvode razlika jednačina pravih za prve dve krive polinoma:

Parabola:
-Prave na paraboli, tri prave sa koeficijentima pravca: k12= a0(x1+x2)+a1 , k23=a0(x2+x3)+a1,     k31=a0(x3+x1)+a1.

Razlike koeficijenata pravca pravih na paraboli:
k12-k23= a0(x1+x2)+a1 –[ a0(x2+x3)+a1] = a0(x1-x3)——————–    (3),
k23-k31= a0(x2+x3)+a1 –[ a0(x1+x3)+a1] = a0(x2-x1)——————–  (3.1),
k31-k12= a0(x1+x3)+a1 –[ a0(x1+x2)+a1] = a0(x3-x2)——————–  (3.2).

– Odsečci pravih na y osi:
n12 = a2-a0x1x2 , n23 = a2-a0x2x3 , n31 = a2-a0x3x1 .
Razlike odsečaka pravih na y osi:
n12-n23=a0(x3-x1)x2 , n23-n31= a0(x1-x2)x3 ,   n31-n12=a0(x3-x2)x1 — (4).

Kubna:
– Prave na kubnoj, tri prave sa koeficijentima pravca:
k12=b0(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2 ,
k23 =b0(x22+x2x3+x32)+b1(x2+x3)+b2 ,
k31=b0(x12+x1x3+x32)+b1(x1+x3)+b2 .

Razlike koeficijenata pravca pravih na kubnoj:
k12– k23=[b0(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2 ]-[b0(x22+x2x3+x32)+b1(x2+x3)+b2] =
(x1-x3)[b0(x1+x2+x3)+b1] ————————————————-   (5);
k23– k31=(x2-x1)[b0(x1+x2+x3)+b1] —- ———————————-(5.1);
k31– k12 =(x3-x2)[b0(x1+x2+x3)+b1]. ————————————- (5.2).

– Odsečci pravih na y osi:
n12=b3-x1x2[b0(x1+x2)+b1],  n23=b3-x2x3[b0(x2+x3)+b1],  n31=b3-x3x1[ b0(x1+x3)+b1].

Razlike odsečaka pravih na y osi za kubnu:
n12-n23={ b3-x1x2[b0(x1+x2)+b1]}-{ b3-x2x3[b0(x2+x3)+b1]} = [- x1b0(x1+x2)-b1x1+ x3b0(x1+x2)+b1x3]x2=[b0(x32 – x12)+b0(x3-x1)x2+b1(x3-x1)]x2=
(x3-x1)[b0(x1+x2+x3)+b1]x2 ————————————————-(6);

n23-n31 =(x2-x1)[b0(x1+x2+x3)+b1]x3 ———————————— (6.1);
n31-n12 =(x3-x2)[b0(x1+x2+x3)+b1]x1 ———————————— (6.1).

Sada smo u stanju da dovršimo izraze date pod rednim brojem(2.1) i (2.3); dobiće se kubna jednačina, a koeficijenti, A,B,C,D, kubne jednačine(date pod rednim brojem 2.2) sadrže formulu površine trougla.
Pokažimo to za prave na paraboli, zatim i za prave na kubnoj:

                                                     Za parabolu

a)–  Za parabolu izrazi razlika koeficijenata pravca pravih dati su pod rednim brojevima: (3),(3.1),(3.2), zbog čega će koeficijenti jednačine date pod rednim brojem(2.3) biti:

A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)=[a0(x1-x3)][a0(x2-x1)][a0(x3-x2)]=
a02[a0(x1x3)(x2x1)(x3x2)]=a02 [2 P∆ABC ].
Dakle, izraz unutar srednje zagrade – proizvod a0 i razlika apscisa, je izraz za površinu  ∆ABC (https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2017/09/09/grupa-formula-za-povrsinu-trougla-na-paraboli-koef-prave/):

A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)= a02[2 P∆ABC ] —————————-(8.1),
B=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-(x1+x2+x3)]=2a02[P∆ABC][-(x1+x2+
x3)] ————————————————————————— (8.2),

C=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x1x2+x2x3+x1x3]=2a02[P∆ABC][x1x2+
x2x3+x1x3] ——————————————————————- (8.3).
D=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-x1x2x3]=2a02[P∆ABC][-x1x2x3] ——- (8.4).

Jednačenjem koeficijenata kubne, kubne date pod rednim brojem (7), sa koeficijentima B,C,D, datih na  izrazima (8.2), (8.3) i (8.4) za parabolu, dobija se:
[(n23-n31)(k31-k12)(k12-k23)+(n12-n23)(k12-k23)(k23-k31)+(n12-n23)(k31-k12)(k23-k31)]=[ P∆ABC ][-2a02(x1+x2+x3)] ————————— (8.2.2);

[(n23-n31)(n31-n12)(k12-k23)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)]=[P∆ABC][2a02(x1x2+x2x3+x1x3)]———————- (8.3.3);

(n12-n23)(n23-n31)(n31-n12) =[P∆ABC][2a02(-x1x2x3)] ————— (8.4.4).

                                                Za kubnu

b)-Za trougao na grafiku kubne izrazi razlika koeficijenata pravca pravih dati su pod rednim brojem (5),(5.1) i (5.2):
A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)=
{(x1-x3)[b0(x1+x2+x3)+b1]}{ (x2-x1)[b0(x1+x2+x3)+b1]}{(x3-x2)[b0(x1+x2+x3)+b1]}= (x1x3)(x2x1)(x3x2)[b0(x1+x2+x3)+b1][b0(x1+
x2+x3)+b1]2=[2 P∆ABC][b0(x1+x2+x3)+b1]2.

Dakle, i ovde, sve što je  obojeno crveno unutar zagrada je izraz za površinu  ∆ABC
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2017/11/15/grupa-formula-povrsine-trougla-na-kubnoj-koefic-pravca/ ):

A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)= [2 P∆ABC ][b0(x1+x2+x3)+b1]2 ——–(9.1),
B=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-(x1+x2+x3)]=2[P∆ABC][b0(x1+x2+x3)+b1]2[-(x1+x2+x3)] —————————————————————– (9.2),

C=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x1x2+x2x3+x1x3]=2[P∆ABC][b0(x1+x2+x3)+b1]2(x1x2+x2x3+x1x3)———————————— (9.3),
D=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-x1x2x3]=2[P∆ABC][b0(x1+x2+x3)+b1]2(x1x2x3)  ———————————————————————- (9.4).

Jednačenjem koeficijenata kubne, datih u izrazu kubne pod rednim brojem (7), sa koeficijentima B,C,D, datih  u izrazima (9.2), (9.3) i (9.4), dobiće se:

[(n23-n31)(k31-k12)(k12-k23)+(n12-n23)(k12-k23)(k23-k31)+(n12-n23)(k31-k12)(k23-k31)] =
2[ P∆ABC ][b0(x1+x2+x3)+b1]2[-(x1+x2+x3)] ————————– (9.2.2);

[(n23-n31)(n31-n12)(k12-k23)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)] =
2[ P∆ABC ][b0(x1+x2+x3)+b1]2[ (x1x2+x2x3+x1x3)] —————— (9.3.3);

(n12-n23)(n23-n31)(n31-n12) =
2[ P∆ABC ][b0(x1+x2+x3)+b1]2[-(x1x2x3)] —————————– (9.4.4)

                                                    Zaključak

1) Proizvodi razlika koeficijenata pravca tri proizvoljne prave jednak je:
(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)= 8P3∆ABC R(X) =—————- (10)

2) Proizvodi razlika koeficijenata pravca pravih, prave na krivoj polinoma,
jednak je:
(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)= [(x1x3)(x2x1)(x3x2)P]P2=[2PABC ]P2;
P∆ABC je površina trougla, a veličina P svakog polinoma ima drugu vrednost:
– za trougao na paraboli P= a0;
– za trougao na kubnoj, bo x3+ b1 x2+ b2 x+ b3 ,  P=[b0(x1+x2+x3)+b1];
– za trougao na polinomu četvrtog stepena, co x4+ c1 x3+ c2 x2+ c3 x +c4,
 P=[c0(x1+x2+x3)2+c1(x1+x2+x3)+c2– c0(x1x2+x2x3+x1x3)]…

Primenjujući isti postupak  i na ostale polinome višeg stepena potvrdiće se postojanje izraza  P∆ABC  u koeficijentima, A, B,C,D, jednačine  Ax3+Bx2+Cx+D.

3) Takođe, proizvodi razlika jednačina pravih daće formulu površine
trougla P∆ABC u koeficijentima, A,B,C,D, kubne  Ax3+Bx2+Cx+D:
(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))=
(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x3(x1+x2+x3)x2+
(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3]    ——————————————– (2.1).

Konačno je:
(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))= Ax3+Bx2+Cx+D —- (2.2).

Autor:
-Pišite ako vas zanima objašnjenje formule  date pod rednim brojem (10). 

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović