MATEMATIKA             NOVA TEOREMA I METOD PISANJA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG REDA Nova teorema i metod rada omogućavaju jednostavniji postupak od klasičnog u postupku pisanja jednačine prave,tangente… Kao rezultat primene novоg metoda imamo i nove  formule za površinu trougla( mnogougla), zatim površine na krivama polinoma, nove formule prostornih krivih i formule  mnogi drugih matematičkih veličina; Primena računara, prikaz i izradu matematičkih zadataka, omogućava  izradu komplikovanih i dugih zadataka za kraće vreme. Istovremeno, primenom računara i jednačina novog  matematikog metoda, dodatno se ubrzava proces rešavanja matematičkih zadataka. Novi metod nudi novi oblik koeficijenata jednačine prave, a time  više formula i više novih pojmova iz matematike. Oblik koeficijenata jednačine prave daje nam mogućnost oblikovanja novih formula i oblikovanje novih pojmova. Primer: https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/12/limes-koeficijenata-prave-i-l-hospital-bernoulli/  i prelaz koeficijenata prave u koeficijente jednačine tangente:https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/02/limes-koeficijenata-prave-prelaz-prave-u-tangentu/ ; https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/04/26/razlika-jednacina-dveju-pravih-povrsina-trougla/ ; https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2017/09/09/grupa-formula-za-povrsinu-trougla-na-paraboli-koef-prave/ ; – primer dve bazne formule površine trougla, trougla između tri proizvoljne prave:  , Rešavanje matematičkih problema je olakšano, lakše se rešavaju dugi zadaci i,uglavnom, rad se svodi na posmatranje novih oblika matematičkih formula, svodi se na nalaženje i prepoznavanje istovetnih izraza na različitim formulama, a potom sledi njihova prosta zamena. Današnji i budući računari,verovatno, imaće strukturu i programe, zaduženje i zadatk da udruže i povežu matematiku, logiku  osnovnim psihološkim elemente koje koristi čovek; oduvek  se gajila pretpostavka o modelu, sastavljenog od osnovnih psiholoških elemenata(opažanje, prepoznavanje, zapamćivanje..), simbola, logike- matematičke logike i složenih matematičkih problema. Potrebno je odlučiti se po kom principu se ovo udruživanje i vezivanje može izvršiti. Imam osećaj da bi se moglo naći rešenje: Smatram da bi formiranje jednačina pravih na ogromnom broju poznatih vrsta krivih linija bila osnova na kojoj matematika može da da ono što se od nje u budućnosti očekuje: da od matematičke logike stvori operativniju logiku, veštačku sposobnost-inteligenciju i da se veštačka inteligencija prvo isproba na matematici radi rešavanja matematičkih zadataka. U jednačini prave imamo  keficijente, u njima koeficijente jednačine krive linije… bazni izrazi… dakle imamo situaciju povezivanje simbola, pojmova-preduslov za tok i oblikovanje veštačkog mišljenja. Napisati jednačinu prave nije nova stvar. Međutim, koristiti koeficijente prave pri rešavanju zadataka iz analitčke trigonometrije jeste specifičnost metode. Kako se rešavaju zadaci pomoću koeficijenata jednačine prave? -Najpre treba doći do jednačina prave na nekoj krivoj ili van nje i urediti ih tabelarno, zatim pomoću jednačine prave tražiti rešenje zadatka. Naravno, nije uvek potrebno imati krivu liniju, dovoljno je da postoje dve neparalelne prave u ravni xOy. Izradom zadataka metodom koeficijenata jednačine prave omogućeno je: –lako određivanje veze između matematičkih funkcija; – lako i očigledno utvrđivanje i definisanje veze između koeficijenata sličnih ili različitih funkcija. Veze između koeficijenata mogu biti: a) potpune veze koeficijenata, bez prisustva apscisa x1 , x2 , x3; b) delimične veze koefiijenata preko jedne ili dve apscise. Naravno, u celom poslu imamo odsudstvo ordinata y1 , y2 , y3 … U toku samog rada zadatka procenjuje se korist, pogodnost povremene primene koeficijenata jednačine prave- da li će zadatak biti duži ili kraći? i ,svakako, moramo imati iskustva u radu na ordinatama i apscisama. Odnosi i oblici koeficijenata funkcija nižeg i višeg reda u zajedničkim presečnim tačkama: -Oblik koeficijenata funkcije nižeg reda određuju koeficienti funkcije višeg reda i zajedničke apscise: a0 , a1 , a2 …; x1 , x2 Recimo, u koeficijentia funkcije nižeg reda: f1(x) = kx + n , F2(x) = a0x2 +a1x + a2 , F3(x) = b0x3 + b1x2 + b2x + b3  … imamo konstantne koeficijente funkcije višeg reda: a) na paraboli F2(x) = a0x2 +a1x + a2  jednačina prave  ima oblik: f1(x) = [a0(x1 + x2) + a1]x + a2  – a0x1x2  = kx +n; b) na kubnoj F3(x) = b0x3 + b1x2 + b2x + b3  jednačina prave ima oblik: f3(x) = [b0(x12 +x1x2+x22)+b1(x1+x2 )+ b2]x + b3 x1x2[b0(x1 + x2) + b1]. Koeficijenti jednačine prave zavise od krive na kojoj se nalaze; -kod polinoma koeficijent pravca prave gradi se na algebarskom izrazu razlike dva monoma  n stepena, tačnije koristi  drugi prosti čonioc proizvoda  razlika apscisa n-tog stepena. Primer: x12 -x22=(x1 – x2)(x1 + x2);    x x3=(x1 – x2)(x12 +x1x2+x22)… Slobodan član jednačine prave, njen osdečak na y osi, sastoji se od x1x2( k12,(n-1) ): proizvoda apcisa i koeficijenta pravca prave polinoma nižeg stepena za 1. Primer: n12  = a – x1x2 ( k12,(n-1) ). Način pisanje jednačine prave na krivama polinoma dat je šematski u Tabela br.1: -Binomi razlika apscisa tačaka n-tog stepena. Razlike apscisa tačaka n-tog stepena date su u šemi za pisanje jednačine prave: https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/ Označavanje elemenata jednačine prave: 1. Klasičan način pisanja jednačine prave je:  y=kx+n , a jednačina prave kroz dve tačke:    ……………. (1), dok je polazni oblik klasične jednačine prave kroz dve tačke namenjen metodu koeficijenata prave:  . 2.Klasičan način pisanja jednačine prave kroz dve tačke na krivoj je:   ….. (2), a polazni oblik jednačine na krivoj, namenjen metodu koeficijenata prave, je: , f(x)  prava na krivoj F(x) sa realnim, ili kompleksnim, tačkama preseka; F(x2) i F(x1) – vrednosti  krive u tačkama krive apcisa x2 i x1 . istovremeno, F(x2) i F(x1), kad zatreba, smatramo funkcije tekuće koordinate x2 ili x, fa(x) prava na krivoj Fa(x),  fb(x) prava na krivoj Fb(x)… Primer osnovnog načina izvođenja drugog oblika jednačine prave -jednačina na paraboli: fa(x)=kax+na jednačina prave: k(x2-x1)= Fa(x2)-Fa(x1), n(x2-x1)= x2 Fa(x1)-x1 Fa(x2). Fa(x)=a0x2+a0x+a2 jednačina  parabole: Fa(x2)= =a0(x2)2+a1(x2)+a2 ,  Fa(x1) =a0(x1)2+a1(x1)+a2 , Fa(x2)- Fa(x1) =a0(x2)2+a1(x2)+a2 –[ a0(x1)2+a1(x1)+a2 ]= (x2-x1)[a0 (x1+x2)+a1]. fa(x)=kax+na: ka(x2-x1)= Fa(x2)-Fa(x1)= (x2-x1)[a0 (x1+x2)+a1]. Posle skraćivanja (x2-x1) koeficijent pravca prave je: ka= [a0 (x1+x2)+a1]. n(x2-x1)=x2 Fa(x1)-x1 Fa(x2)=x2[a0(x1)2+a1(x1)+a2 ]-x1[a0(x2)2+a1(x1)+a2]= x2a0(x1)2-x1a0(x2)2+ a1(x1)x2– a1(x2)x1+a2(x2-x1)= (x2-x1) [a2-a0x1x2]. Opet isto, posle skraćivanja (x2-x1) koeficijent na prave je: na=[a2-a0x1x2]. Konačno, prava fa(x) je: fa(x)= [a0 (x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2. Karakteristike jednačine: – u jednačini nemamo y2 i y1 , nemamo vrednosti tačaka krive-ordinate na y osi i nemamo fazu određivanja njihovih vrednosti, očigledno postoje brojne vrednosti apscisa x2 i x1 x ose; – u jednačini se prepoznaju dva bazna izraza: x1+x2,  x1x2 , prvi simboli koji ukazuje da se radi o jenačini prave na paraboli…tj. prava koja sadrži oba bazna izraza može da pripada paraboli; oba bazna izraza sa koeficijentima a0, ai a2-, vezana matematičkim operantima u formu a0 (x1+x2)+a1 , a2-a0x1x2 , definišu pojam prave na paraboli. Pogledajmo  urađen zadatak vezan za temu oblika jednačine prave na krivoj: TEOREMA PISANJA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG REDA Pisanje jednačine prave na krivama.bmp Karakteristike metoda je: – Primena metoda u mastavi marematike na svim nivoima obrazovanja: –  formiranje i oblikovanje koeficijenata jedačine prave paralelno omogućava ponavljanje poznatog gradiva iz algebre. Skoro uvek nas podsećaju da je  prava određena dvema tačkama, tačkama preseka prave i krive, a da su tačke na krivoj definisane svojim apscisama. -U koeficijentima prave apscise  se grupišu u bazne izraze, osnova za prepoznavanje mnogih formula iz matematike: prepoznajemo vrstu krive prema formuli za površinu trougla na njoj, po obliku koeficijenata prave i tangente prepoznajemo vrtu krive kojoj prava pripada… Kriva može biti bilo koja- najednostavnije je vežbavati na polinomima. Kroz ovaj rad zapamćivanje gradiva je vrlo efikasno. – Koeficijenti jednačine prave su prosti izrazi, ne mogu se više rastavljati. Koeficijenate iz tabele br.1-bazne izraze,  možemo naći i u matematičkim uđbencima osmogodišnjeg i srednjoškolskog obrazovanja. – Određivanja ordinata  y1 , y2 , y3 tačaka je izostavljeno i zaobilazi se u toku izrade zadatka. Ordinate sve više dobijaju ulogu rešenja zadatka, a ne parametra u zadatku. – Polazne veličine pri rešavanju svakog zadatka iz analitike su: apscise tačke,  prava i kriva, bazne funkcije, apscise presečnih tačaka pravih i konstantni koeficijenti polinoma. – Bazni izrazi, (x1 + x2), (x12 +x1x2+x22), [x1+x1x2(x1 + x2)+x23]…,  zovem ih tako, mogu biti osnova programa u račumaru za veštačku inteligenciju: -svaki bazni izraz je jedan simbol: ima oblik , ima svoje značenje,  i neposredno može da definiše jedan pojam; -pojmovi su osnovni elementi u procesu mišljenja: prepoznajemo ih, znamo odakle potiču, gde se pojavljuju, znamo čemu služe i šta tačno znače u  matematikom izrazu; – pomoću velikog broja baznih izraza, kao simbola u definisanju poznatih starih pojmova možemo stvoriti novi pojam i td. -Procesi izračunavalja, izvršavanja zadataka u računaru mogu da teku paralelno: jedan tok je izračunavalje vrednosti baznih izraza, a drugi tok je izračunavanje-povezivanje baznih izraza konstantnim koeficijentima-opštim brojevima, karakteristini za svaku matematičku funkciju, i nakon toga  izvršavanje osnovnih komandi sabiranja, množenja… Naravno mogu se koristiti i gotove vrednosti u bazi-mapi podataka memorije računara. Današnji i budući računari su mesto gde se mogu smestiti  milijarde simbola i pojmova, računar ih povezuje, oblikuje u nove matematičke pomove i zaključke…što sve podseća na početak mišljenja. Princip izvršavanja komandi i operacija može dobiti sasvim novi pristup i novo tumačenje odgovora po prijemu spoljnih informacija. Matematika, danas, ima veliki broj matematičkih oblasti, zadivljujući broj matematičkih modela sa dobro definisanim pojmovima. Matematika se primenjuje, i ima svoje modele, u svim prirodnim i društvenim naukama. Ono što će trebati matematici budućnosti su matematički modeli, algoritmi…za povezivanje  modela iz različitih naučnih oblasti; algoritmi sposobni da u drugim oblastima nađu(prepoznaju) pojmove, matematički izražene  preko  simbola- baznih izraza. Dobro uvežbanom matematičaru matematički tok rešavanja zadatka postaje slikovitija, lakši  i razumljiviji; korisnik metoda lako uočava smer rešavanja zadatka, dolazi do novih formula i novih saznanja u matematici. Metod koeficienata jednačine je moja mala spoljašnja logička alatka. Svako će se uveriti da je da je logička alatka njegova lična tvorevina i odgovara njegovom znanju i iskustvu. Kako zavoleti matematiku? -Metoda koeficijenata je na dohvatu. Autor metode i formula: maš.inž.Mladen Popović mladenpopo@open.telekom.rs
Advertisements