tode

MATEMATIKA            

NOVA TEOREMA I METOD PISANJA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG REDA
Nova teorema i metod rada omogućavaju jednostavniji postupak od klasičnog u postupku pisanja jednačine prave,tangente…
Kao rezultat primene nove metoda su nove formule za površinu trougla, mnogougla na krivama polinoma, nove  formule prostornih krivih površina, i formule  mnogi drugih matematičkih veličina.

Primena računara za prikazivanje i izradu matematičkih zadataka omogućava  izradu komplikovanih i dugih zadataka za kraće vteme. Istovremenom primenom računara i novih jednačina, koje nudi nov matematiki metod rada, dodatno se ubrzava proces rešavanja matematičkih zadataka.

Novi metod nudi novi oblik koeficijenata jednačine prave, a time i više formula i više novih pojmova iz matematike. Oblik koeficijenata jednačine prave daje nam mogućnost da dođemo do novih formula i novih pojmova.

Rešavanje matematičkih problema biće olakšano, lako će se rešavati i obimni zadaci. Današnji i budući računari imaće strukturu i programe, zaduženje i zadatk da izvrše udruživanje i povežu matematiku, logiku sa osnovnim psihološkim elemente koje koristi čovek; oduvek  se gajila takva pretpostavka. Potrebno je odlučiti se po kom principu se ono može izvršiti. Imam osećaj da bi se moglo naći rešenje:

Smatram da bi formiranje jednačina pravih na ogromnom broju poznatih vrsta krivih linija bila osnova na kojoj matematika može da da ono što se od nje u budućnosti očekuje: da od matematičke logike stvori operativniju logiku, veštačku sposobnost-inteligenciju za rešavanje matematičkih zadataka.

U jednačini prave imamo  keficijente, a u njima koeficijente jednačine krive linije… bazni izrazi… dakle imamo situaciju povezivanje simbola, pojmova-preduslov za oblikovanje veštačkog mišljenja.

Napisati jednačinu prave nije nova stvar. Međutim, koristiti koeficijente prave pri rešavanju zadataka iz analitčke trigonometrije jeste specifičnost metode.

Kako se rešavaju zadaci pomoću koeficijenata jednačine prave? -Najpre treba doći do jednačina prave na nekoj krivoj ili van nje, zatim pomoću jednačine prave tražiti rešenje zadatka. Naravno, nije uvek potrebno imati krivu liniju, dovoljno je da postoje dve prave u ravni xOy.

Izradom zadataka metodom koeficijenata jednačine prave omogućeno je:
–lako dređivanje veze između matematičkih funkcija;
–da se lako i očigledno utvrde, definišu veze između koeficijenata sličnih ili različitih funkcija.

Veze između koeficijenata mogu biti:
a) potpune veze koeficijenata, bez prisustva apscisa x1 , x2 , x3;
b)
delimične veze koefiijenata preko jedne ili dve apscise.

Naravno, u celom poslu imamoi odsudstvo ordinata y1 , y2 , y3 …
U toku samog rada zadatka procenjuje se da li će zadatak biti duži ili kraći; moramo imati iskustva u radu sa ordinatama i apscisama.

Odnosi i oblici koeficijenata funkcija nižeg i višeg reda u zajedničkim presečnim tačkama:

-Oblik koeficijenata funkcije nižeg reda određuju koeficienti funkcije višeg reda i zajedničke apscise: a0 , a1 , a2 …; x1 , x2

Recimo, u koeficijentia funkcije nižeg reda:
f1(x) = kx + n ,
F2(x) = a0x2 +a1x + a2 ,
F3(x) = b0x3 + b1x2 + b2x + b3  …
imamo konstantne koeficijente funkcije višeg reda:
a) na paraboli
 F2(x) = a0x2 +a1x + a2  jednačina prave  ima oblik:
f1(x) = [a0(x1 + x2) + a1]x + a2  – a0x1x2  = kx +n;
b) na kubnoj F3(x) = b0x3 + b1x2 + b2x + b3  jednačina prave ima oblik:
f3(x) = [b0(x12 +x1x2+x22)+b1(x1+x2 )+ b2]x + b3 x1x2[b0(x1 + x2) + b1].

Koeficijenti jednačine prave zavise od krive na kojoj se nalaze;
-kod polinoma koeficijent pravca prave gradi se na algebarskom izrazu razlike dva monoma  n stepena, tačnije koristi  drugi prosti čonioc proizvoda  razlika apscisa n-tog stepena.
Primer:
x12 -x22=(x1 – x2)(x1 + x2);    x x3=(x1 – x2)(x12 +x1x2+x22)…

Slobodan član jednačine prave, njen osdečak na y osi, sastoji se od
x1x2( k12,(n-1) ): proizvoda apcisa i koeficijenta pravca prave polinoma nižeg stepena za 1.
Primer:
n12  = a – x1x2 ( k12,(n-1) ).

Način pisanje jednačine prave na krivama polinoma dat je šematski u Tabela br.1: -Binomi razlika apscisa tačaka n-tog stepena.

Razlike apscisa tačaka n-tog stepena date su u šemi za pisanje jednačine prave:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/

Označavanje elemenata jednačine prave:
1. Klasičan način pisanja jednačine prave:  y=kx+n,
   ……………. (1).
2. Označavanje osnovnih matematičkih pojmova;  prilagođeno označavanje načinu rada koeficijentima jednačine prave: f(x)=kx+n,
  ….. (2);

f(x)  prava na krivoj F(x) sa realnim, ili kompleksnim, tačkama preseka;
F(x2) i F(x2) – vrednosti  krive u tačkama krive apcisa x2 i x1;
fa(x) prava na krivoj Fa(x),  fb(x) prava na krivoj Fb(x)…

Primer osnovnog načina izvođenja drugog oblika jednačine prave -jednačina na paraboli:

fa(x)=kax+na jednačina prave:
k(x2-x1)= Fa(x2)-Fa(x1),
n(x2-x1)= x2 Fa(x1)-x1 Fa(x2).

Fa(x)=a0x2+a0x+a2 jednačina  parabole:
Fa(x2)= =a0(x2)2+a1(x2)+a2 ,  Fa(x1) =a0(x1)2+a1(x1)+a2 ,
Fa(x2)- Fa(x1) =a0(x2)2+a1(x2)+a2 –[ a0(x1)2+a1(x1)+a2 ]=
(x2-x1)[a0 (x1+x2)+a1].

fa(x)=kax+na:
ka(x2-x1)= Fa(x2)-Fa(x1)= (x2-x1)[a0 (x1+x2)+a1].
Posle skraćivanja (x2-x1) koeficijent pravca prave je:
ka= [a0 (x1+x2)+a1].

n(x2-x1)=x2 Fa(x1)-x1 Fa(x2)=x2[a0(x1)2+a1(x1)+a2 ]-x1[a0(x2)2+a1(x1)+a2]=
x2a0(x1)2-x1a0(x2)2+ a1(x1)x2– a1(x2)x1+a2(x2-x1)= (x2-x1) [a2-a0x1x2].
Opet isto, posle skraćivanja (x2-x1) koeficijent na prave je:
na=[a2-a0x1x2].

Konačno, prava fa(x) je:
fa(x)= [a0 (x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2.

Karakteristike jednačine:
– u jednačini nemamo y2 i y1 , nemamo vrednosti tačaka sa krive-ordinate na y osi i nemamo fazu određivanja njihovih vrednosti: postoje brojne vrednosti apscisa x2 i x1 x ose;
– u jednačini se prepoznaju dva bazna izraza: x1+x2,  x1x2 , prvi simboli koji ukazuje da se radi o jenačini prave na paraboli…tj. prava koja sadrži oba bazna izraza može da pripada paraboli;
oba bazna izraza sa koeficijentima a0, ai a2-, vezana matematičkim operantima u formu a0 (x1+x2)+a1 , a2-a0x1x2 , definišu pojam prave na paraboli.

Pogledajmo  urađen zadatak vezan za temu oblika jednačine prave na krivoj:
TEOREMA PISANJA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG REDA

Pisanje jednačine prave na krivama.bmp

Karakteristike metoda je:
– Primena metoda u mastavi marematike na svim nivoima obrazovanja:
–  Formiranje i oblikovanje koeficijenata
jedačine prave, zapravo, omogućava ponavljanje poznatog gradiva iz algebre, ujedno podse nas da je položaj prave određen tačkama preseka prave i krive, a da su tačke na krivoj definisane svojim apscisama.
-U koeficijentima prave apscise  se grupišu u bazne izraze, osnova za prepoznavanje mnogih formula iz matematike: prepoznajemo vrstu krive prema formuli za površinu trougla na njoj, po obliku koeficijenata prave i tangente prepoznajemo kojoj krivoj pripadaju…

Kriva može biti bilo koja- najednostavnije je vežbavati na polinomima. Kroz ovaj rad zapamćivanje gradiva je vrlo efikasno.
– Koeficijenti jednačine prave su prosti izrazi, ne mogu se više rastavljati.
Koeficijenate iz tabele br.1-bazne izraze,  možemo naći i u matematičkim uđbencima osmogodišnjeg i srednjoškolskog obrazovanja.

– Određivanja ordinata  y1 , y2 , y3 tačaka je izostavljeno i zaobilazi se u toku izrade zadatka. Ordinate sve više dobijaju ulogu rešenja zadatka, a ne parametra u zadatku.

– Polazne veličine pri rešavanju svakog zadatka iz analitike su: apscise tačke,  prava i kriva, bazne funkcije, apscise presečnih tačaka pravih i konstantni koeficijenti polinoma.

– Bazni izrazi, (x1 + x2), (x12 +x1x2+x22), [x1+x1x2(x1 + x2)+x23]…, tako ih zovem, mogu biti osnova programa u račumaru za veštačku inteligenciju:
-svaki bazni izraz je jedan simbol: ima oblik , ima svoje značenje,  i neposredno može da definiše jedan pojam;
-pojmovi su osnovni elementi u procesu mišljenja: prepoznajemo ih, znamo odakle potiču, gde se pojavljuju, znamo čemu služe i šta tačno znače u  matematikom izrazu;
– pomoću velikog broja baznih izraza, kao simbola u definisanju poznatih starih pojmova možemo stvoriti novi pojam i td.

-Procesi izračunavalja, izvršavanja zadataka u računaru mogu da teku paralelno: jedan tok je izračunavalje vrednosti baznih izraza, a drugi tok je izračunavanje-povezivanje baznih izraza konstantnim koeficijentima-opštim brojevima, karakteristini za svaku matematičku funkciju, i nakon toga  izvršavanje osnovnih komandi sabiranja, množenja…
Naravno mogu se koristiti i gotove vrednosti u bazi-mapi podataka memorije računara.

Današnji i budući računari su mesto gde se mogu smestiti  milijarde simbola i pojmova, računar ih povezuje, oblikuje u nove matematičke pomove i zaključke…što sve podseća na početak mišljenja.
Princip izvršavanja komandi i operacija može dobiti sasvim novi pristup i novo tumačenje odgovora po prijemu spoljnih informacija.

Matematika, danas, ima veliki broj matematičkih oblasti, zadivljujući broj matematičkih modela sa dobro definisanim pojmovima. Matematika se primenjuje, i ima svoje modele, u svim prirodnim i društvenim naukama.

Ono što će trebati matematici budućnosti su matematički modeli, algoritmi…za povezivanje  modela iz različitih naučnih oblasti; algoritmi sposobni da u drugim modelima nađu(prepoznaju) pojmove matematički izražene  preko  simbola- baznih izraza.

Dobro uvežbanom matematičaru matematički tok rešavanja zadatka postaje slikovitija, lakši  i razumljiviji; korisnik metoda lako uočava smer rešavanja zadatka, dolazi do novih formula i novih saznanja u matematici.
Metod koeficienata jednačine je moja mala spoljašnja logička alatka.
Kako zavoleti matematiku? -Metoda koeficijenata je na dohvatu.

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs

Advertisements