MATEMATIKA NOVA TEOREMA I METOD PISANJA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG REDA
Nova teorema i metod rada omogućavaju jednostavniji postupak od klasičnog u postupku pisanja jednačine prave,tangente…
Kao rezultat primene novоg metoda imamo i nove formule za površinu trougla( mnogougla), zatim površine na krivama polinoma, nove formule prostornih krivih i formule mnogi drugih matematičkih veličina;
Primena računara, prikaz i izradu matematičkih zadataka, omogućava izradu komplikovanih i dugih zadataka za kraće vreme. Istovremeno, primenom računara i jednačina novog matematikog metoda, dodatno se ubrzava proces rešavanja matematičkih zadataka.
Novi metod nudi novi oblik koeficijenata jednačine prave, a time više formula i više novih pojmova iz matematike. Oblik koeficijenata jednačine prave daje nam mogućnost oblikovanja novih formula i oblikovanje novih pojmova.
Primer:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/12/limes-koeficijenata-prave-i-l-hospital-bernoulli/ i prelaz koeficijenata prave u koeficijente jednačine tangente:https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/02/limes-koeficijenata-prave-prelaz-prave-u-tangentu/ ;
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/04/26/razlika-jednacina-dveju-pravih-povrsina-trougla/ ;
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2017/09/09/grupa-formula-za-povrsinu-trougla-na-paraboli-koef-prave/ ;
– primer dve bazne formule površine trougla, trougla između tri proizvoljne prave:
,
Rešavanje matematičkih problema je olakšano, lakše se rešavaju dugi zadaci i,uglavnom, rad se svodi na posmatranje novih oblika matematičkih formula, svodi se na nalaženje i prepoznavanje istovetnih izraza na različitim formulama, a potom sledi njihova prosta zamena.
Današnji i budući računari,verovatno, imaće strukturu i programe, zaduženje i zadatk da udruže i povežu matematiku, logiku osnovnim psihološkim elemente koje koristi čovek;
oduvek se gajila pretpostavka o modelu, sastavljenog od osnovnih psiholoških elemenata(opažanje, prepoznavanje, zapamćivanje..), simbola, logike- matematičke logike i složenih matematičkih problema.
Potrebno je odlučiti se po kom principu se ovo udruživanje i vezivanje može izvršiti. Imam osećaj da bi se moglo naći rešenje:
Smatram da bi formiranje jednačina pravih na ogromnom broju poznatih vrsta krivih linija bila osnova na kojoj matematika može da da ono što se od nje u budućnosti očekuje: da od matematičke logike stvori operativniju logiku, veštačku sposobnost-inteligenciju i da se veštačka inteligencija prvo isproba na matematici radi rešavanja matematičkih zadataka.
U jednačini prave imamo keficijente, u njima koeficijente jednačine krive linije… bazni izrazi… dakle imamo situaciju povezivanje simbola, pojmova-preduslov za tok i oblikovanje veštačkog mišljenja.
Napisati jednačinu prave nije nova stvar. Međutim, koristiti koeficijente prave pri rešavanju zadataka iz analitčke trigonometrije jeste specifičnost metode.
Kako se rešavaju zadaci pomoću koeficijenata jednačine prave? -Najpre treba doći do jednačina prave na nekoj krivoj ili van nje i urediti ih tabelarno, zatim pomoću jednačine prave tražiti rešenje zadatka. Naravno, nije uvek potrebno imati krivu liniju, dovoljno je da postoje dve neparalelne prave u ravni xOy.
Izradom zadataka metodom koeficijenata jednačine prave omogućeno je:
–lako određivanje veze između matematičkih funkcija;
– lako i očigledno utvrđivanje i definisanje veze između koeficijenata sličnih ili različitih funkcija.
Veze između koeficijenata mogu biti:
a) potpune veze koeficijenata, bez prisustva apscisa x1 , x2 , x3;
b) delimične veze koefiijenata preko jedne ili dve apscise.
Naravno, u celom poslu imamo odsudstvo ordinata y1 , y2 , y3 …
U toku samog rada zadatka procenjuje se korist, pogodnost povremene primene koeficijenata jednačine prave- da li će zadatak biti duži ili kraći? i ,svakako, moramo imati iskustva u radu na ordinatama i apscisama.
Odnosi i oblici koeficijenata funkcija nižeg i višeg reda u zajedničkim presečnim tačkama:-Oblik koeficijenata funkcije nižeg reda određuju koeficienti funkcije višeg reda i zajedničke apscise: a0 , a1 , a2…; x1 , x2 …Recimo, u koeficijentia funkcije nižeg reda:
f1(x) = kx + n ,F2(x) = a0x2 +a1x + a2,
F3(x) = b0x3 + b1x2 + b2x + b3 …
imamo konstantne koeficijente funkcije višeg reda:
a) na paraboli F2(x) = a0x2 +a1x + a2 jednačina prave ima oblik:
f1(x) = [a0(x1 + x2) + a1]x + a2 – a0x1x2 = kx +n;
b) na kubnoj F3(x) = b0x3 + b1x2 + b2x + b3 jednačina prave ima oblik:
f3(x) = [b0(x12 +x1x2+x22)+b1(x1+x2 )+ b2]x + b3– x1x2[b0(x1 + x2) + b1].
Koeficijenti jednačine prave zavise od krive na kojoj se nalaze;
-kod polinoma koeficijent pravca prave gradi se na algebarskom izrazu razlike dva monoma n stepena, tačnije koristi drugi prosti čonioc proizvoda razlika apscisa n-tog stepena.
Primer:
x12 -x22=(x1 – x2)(x1 + x2); x1 3 –x2 3=(x1 – x2)(x12 +x1x2+x22)…
Slobodan član jednačine prave, njen osdečak na y osi, sastoji se od
x1x2( k12,(n-1) ): proizvoda apcisa i koeficijenta pravca prave polinoma nižeg stepena za 1.
Primer:
n12 = an – x1x2 ( k12,(n-1) ).
Način pisanje jednačine prave na krivama polinoma dat je šematski u Tabela br.1: -Binomi razlika apscisa tačaka n-tog stepena.
Razlike apscisa tačaka n-tog stepena date su u šemi za pisanje jednačine prave:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/Označavanje elemenata jednačine prave:
1. Klasičan način pisanja jednačine prave je: y=kx+n , a jednačina prave kroz dve tačke:
……………. (1),
dok je polazni oblik klasične jednačine prave kroz dve tačke namenjen metodu koeficijenata prave:
.2.Klasičan način pisanja jednačine prave kroz dve tačke na krivoj je:
….. (2), a polazni oblik jednačine na krivoj, namenjen metodu koeficijenata prave, je:,
f(x) prava na krivoj F(x) sa realnim, ili kompleksnim, tačkama preseka;
F(x2) i F(x1) – vrednosti krive u tačkama krive apcisa x2 i x1 . istovremeno, F(x2) i F(x1), kad zatreba, smatramo funkcije tekuće koordinate x2 ili x1 ,
fa(x) prava na krivoj Fa(x), fb(x) prava na krivoj Fb(x)…
Primer osnovnog načina izvođenja drugog oblika jednačine prave -jednačina na paraboli:fa(x)=kax+na— jednačina prave:k(x2-x1)= Fa(x2)-Fa(x1),
n(x2-x1)= x2 Fa(x1)-x1 Fa(x2).Fa(x)=a0x2+a0x+a2 – jednačina parabole:
Fa(x2)= =a0(x2)2+a1(x2)+a2 , Fa(x1) =a0(x1)2+a1(x1)+a2 ,
Fa(x2)- Fa(x1) =a0(x2)2+a1(x2)+a2 –[ a0(x1)2+a1(x1)+a2 ]=
(x2-x1)[a0 (x1+x2)+a1].
fa(x)=kax+na:
ka(x2-x1)= Fa(x2)-Fa(x1)= (x2-x1)[a0 (x1+x2)+a1].
Posle skraćivanja (x2-x1) koeficijent pravca prave je:
ka= [a0 (x1+x2)+a1].
n(x2-x1)=x2 Fa(x1)-x1 Fa(x2)=x2[a0(x1)2+a1(x1)+a2 ]-x1[a0(x2)2+a1(x1)+a2]=
x2a0(x1)2-x1a0(x2)2+ a1(x1)x2– a1(x2)x1+a2(x2-x1)= (x2-x1) [a2-a0x1x2].
Opet isto, posle skraćivanja (x2-x1) koeficijent na prave je:
na=[a2-a0x1x2].
Konačno, prava fa(x) je:fa(x)= [a0 (x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2.
Karakteristike jednačine:
– u jednačini nemamo y2 i y1 , nemamo vrednosti tačaka krive-ordinate na y osi i nemamo fazu određivanja njihovih vrednosti, očigledno postoje brojne vrednosti apscisa x2 i x1 x ose;
– u jednačini se prepoznaju dva bazna izraza: x1+x2, x1x2 , prvi simboli koji ukazuje da se radi o jenačini prave na paraboli…tj. prava koja sadrži oba bazna izraza može da pripada paraboli;
oba bazna izraza sa koeficijentima a0, a1 i a2-, vezana matematičkim operantima u formu a0 (x1+x2)+a1 , a2-a0x1x2 , definišu pojam prave na paraboli.
Pogledajmo urađen zadatak vezan za temu oblika jednačine prave na krivoj:
TEOREMA PISANJA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG REDAKarakteristike metoda je:– Primena metoda u mastavi marematike na svim nivoima obrazovanja:
– formiranje i oblikovanje koeficijenata jedačine prave paralelno omogućava ponavljanje poznatog gradiva iz algebre. Skoro uvek nas podsećaju da je prava određena dvema tačkama, tačkama preseka prave i krive, a da su tačke na krivoj definisane svojim apscisama.
-U koeficijentima prave apscise se grupišu u bazne izraze, osnova za prepoznavanje mnogih formula iz matematike: prepoznajemo vrstu krive prema formuli za površinu trougla na njoj, po obliku koeficijenata prave i tangente prepoznajemo vrtu krive kojoj prava pripada…
Kriva može biti bilo koja- najednostavnije je vežbavati na polinomima. Kroz ovaj rad zapamćivanje gradiva je vrlo efikasno.
– Koeficijenti jednačine prave su prosti izrazi, ne mogu se više rastavljati.
Koeficijenate iz tabele br.1-bazne izraze, možemo naći i u matematičkim uđbencima osmogodišnjeg i srednjoškolskog obrazovanja.
– Određivanja ordinatay1 , y2 , y3 tačaka je izostavljeno i zaobilazi se u toku izrade zadatka. Ordinate sve više dobijaju ulogu rešenja zadatka, a ne parametra u zadatku.
– Polazne veličine pri rešavanju svakog zadatka iz analitike su: apscise tačke, prava i kriva, bazne funkcije, apscise presečnih tačaka pravih i konstantni koeficijenti polinoma.
– Bazni izrazi,(x1 + x2), (x12 +x1x2+x22), [x13 +x1x2(x1 + x2)+x23]…, zovem ih tako, mogu biti osnova programa u račumaru za veštačku inteligenciju:-svaki bazni izraz je jedan simbol: ima oblik , ima svoje značenje, i neposredno može da definiše jedan pojam;
-pojmovi su osnovni elementi u procesu mišljenja: prepoznajemo ih, znamo odakle potiču, gde se pojavljuju, znamo čemu služe i šta tačno znače u matematikom izrazu;
– pomoću velikog broja baznih izraza, kao simbola u definisanju poznatih starih pojmova možemo stvoriti novi pojam i td.
-Procesi izračunavalja, izvršavanja zadataka u računaru mogu da teku paralelno: jedan tok je izračunavalje vrednosti baznih izraza, a drugi tok je izračunavanje-povezivanje baznih izraza konstantnim koeficijentima-opštim brojevima, karakteristini za svaku matematičku funkciju, i nakon toga izvršavanje osnovnih komandi sabiranja, množenja…
Naravno mogu se koristiti i gotove vrednosti u bazi-mapi podataka memorije računara.
Današnji i budući računari su mesto gde se mogu smestiti milijarde simbola i pojmova, računar ih povezuje, oblikuje u nove matematičke pomove i zaključke…što sve podseća na početak mišljenja.
Princip izvršavanja komandi i operacija može dobiti sasvim novi pristup i novo tumačenje odgovora po prijemu spoljnih informacija.
Matematika, danas, ima veliki broj matematičkih oblasti, zadivljujući broj matematičkih modela sa dobro definisanim pojmovima. Matematika se primenjuje, i ima svoje modele, u svim prirodnim i društvenim naukama.
Ono što će trebati matematici budućnosti su matematički modeli, algoritmi…za povezivanje modela iz različitih naučnih oblasti; algoritmi sposobni da u drugim oblastima nađu(prepoznaju) pojmove, matematički izražene preko simbola- baznih izraza.
Dobro uvežbanom matematičaru matematički tok rešavanja zadatka postaje slikovitija, lakši i razumljiviji; korisnik metoda lako uočava smer rešavanja zadatka, dolazi do novih formula i novih saznanja u matematici.
Metod koeficienata jednačine je moja mala spoljašnja logička alatka. Svako će se uveriti da je da je logička alatka njegova lična tvorevina i odgovara njegovom znanju i iskustvu.
Kako zavoleti matematiku? -Metoda koeficijenata je na dohvatu.
Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs
,
Rešavanje matematičkih problema je olakšano, lakše se rešavaju dugi zadaci i,uglavnom, rad se svodi na posmatranje novih oblika matematičkih formula, svodi se na nalaženje i prepoznavanje istovetnih izraza na različitim formulama, a potom sledi njihova prosta zamena.
Današnji i budući računari,verovatno, imaće strukturu i programe, zaduženje i zadatk da udruže i povežu matematiku, logiku osnovnim psihološkim elemente koje koristi čovek;
oduvek se gajila pretpostavka o modelu, sastavljenog od osnovnih psiholoških elemenata(opažanje, prepoznavanje, zapamćivanje..), simbola, logike- matematičke logike i složenih matematičkih problema.
Potrebno je odlučiti se po kom principu se ovo udruživanje i vezivanje može izvršiti. Imam osećaj da bi se moglo naći rešenje:
Smatram da bi formiranje jednačina pravih na ogromnom broju poznatih vrsta krivih linija bila osnova na kojoj matematika može da da ono što se od nje u budućnosti očekuje: da od matematičke logike stvori operativniju logiku, veštačku sposobnost-inteligenciju i da se veštačka inteligencija prvo isproba na matematici radi rešavanja matematičkih zadataka.
U jednačini prave imamo keficijente, u njima koeficijente jednačine krive linije… bazni izrazi… dakle imamo situaciju povezivanje simbola, pojmova-preduslov za tok i oblikovanje veštačkog mišljenja.
Napisati jednačinu prave nije nova stvar. Međutim, koristiti koeficijente prave pri rešavanju zadataka iz analitčke trigonometrije jeste specifičnost metode.
Kako se rešavaju zadaci pomoću koeficijenata jednačine prave? -Najpre treba doći do jednačina prave na nekoj krivoj ili van nje i urediti ih tabelarno, zatim pomoću jednačine prave tražiti rešenje zadatka. Naravno, nije uvek potrebno imati krivu liniju, dovoljno je da postoje dve neparalelne prave u ravni xOy.
Izradom zadataka metodom koeficijenata jednačine prave omogućeno je:
–lako određivanje veze između matematičkih funkcija;
– lako i očigledno utvrđivanje i definisanje veze između koeficijenata sličnih ili različitih funkcija.
Veze između koeficijenata mogu biti:
a) potpune veze koeficijenata, bez prisustva apscisa x1 , x2 , x3;
b) delimične veze koefiijenata preko jedne ili dve apscise.
Naravno, u celom poslu imamo odsudstvo ordinata y1 , y2 , y3 …
U toku samog rada zadatka procenjuje se korist, pogodnost povremene primene koeficijenata jednačine prave- da li će zadatak biti duži ili kraći? i ,svakako, moramo imati iskustva u radu na ordinatama i apscisama.
Odnosi i oblici koeficijenata funkcija nižeg i višeg reda u zajedničkim presečnim tačkama:
-Oblik koeficijenata funkcije nižeg reda određuju koeficienti funkcije višeg reda i zajedničke apscise: a0 , a1 , a2 …; x1 , x2 …
Recimo, u koeficijentia funkcije nižeg reda:
f1(x) = kx + n ,
F2(x) = a0x2 +a1x + a2 ,
F3(x) = b0x3 + b1x2 + b2x + b3 …
imamo konstantne koeficijente funkcije višeg reda:
a) na paraboli F2(x) = a0x2 +a1x + a2 jednačina prave ima oblik:
f1(x) = [a0(x1 + x2) + a1]x + a2 – a0x1x2 = kx +n;
b) na kubnoj F3(x) = b0x3 + b1x2 + b2x + b3 jednačina prave ima oblik:
f3(x) = [b0(x12 +x1x2+x22)+b1(x1+x2 )+ b2]x + b3 – x1x2[b0(x1 + x2) + b1].
Koeficijenti jednačine prave zavise od krive na kojoj se nalaze;
-kod polinoma koeficijent pravca prave gradi se na algebarskom izrazu razlike dva monoma n stepena, tačnije koristi drugi prosti čonioc proizvoda razlika apscisa n-tog stepena.
Primer:
x12 -x22=(x1 – x2)(x1 + x2); x1 3 – x2 3=(x1 – x2)(x12 +x1x2+x22)…
Slobodan član jednačine prave, njen osdečak na y osi, sastoji se od
x1x2( k12,(n-1) ): proizvoda apcisa i koeficijenta pravca prave polinoma nižeg stepena za 1.
Primer:
n12 = an – x1x2 ( k12,(n-1) ).
Način pisanje jednačine prave na krivama polinoma dat je šematski u Tabela br.1: -Binomi razlika apscisa tačaka n-tog stepena.
Razlike apscisa tačaka n-tog stepena date su u šemi za pisanje jednačine prave:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/
Označavanje elemenata jednačine prave:
1. Klasičan način pisanja jednačine prave je: y=kx+n , a jednačina prave kroz dve tačke:
……………. (1),
dok je polazni oblik klasične jednačine prave kroz dve tačke namenjen metodu koeficijenata prave:
.
2.Klasičan način pisanja jednačine prave kroz dve tačke na krivoj je:
….. (2), a polazni oblik jednačine na krivoj, namenjen metodu koeficijenata prave, je:
,
f(x) prava na krivoj F(x) sa realnim, ili kompleksnim, tačkama preseka;
F(x2) i F(x1) – vrednosti krive u tačkama krive apcisa x2 i x1 . istovremeno, F(x2) i F(x1), kad zatreba, smatramo funkcije tekuće koordinate x2 ili x1 ,
fa(x) prava na krivoj Fa(x), fb(x) prava na krivoj Fb(x)…
Primer osnovnog načina izvođenja drugog oblika jednačine prave -jednačina na paraboli:
fa(x)=kax+na— jednačina prave:
k(x2-x1)= Fa(x2)-Fa(x1),
n(x2-x1)= x2 Fa(x1)-x1 Fa(x2).
Fa(x)=a0x2+a0x+a2 – jednačina parabole:
Fa(x2)= =a0(x2)2+a1(x2)+a2 , Fa(x1) =a0(x1)2+a1(x1)+a2 ,
Fa(x2)- Fa(x1) =a0(x2)2+a1(x2)+a2 –[ a0(x1)2+a1(x1)+a2 ]=
(x2-x1)[a0 (x1+x2)+a1].
fa(x)=kax+na:
ka(x2-x1)= Fa(x2)-Fa(x1)= (x2-x1)[a0 (x1+x2)+a1].
Posle skraćivanja (x2-x1) koeficijent pravca prave je:
ka= [a0 (x1+x2)+a1].
n(x2-x1)=x2 Fa(x1)-x1 Fa(x2)=x2[a0(x1)2+a1(x1)+a2 ]-x1[a0(x2)2+a1(x1)+a2]=
x2a0(x1)2-x1a0(x2)2+ a1(x1)x2– a1(x2)x1+a2(x2-x1)= (x2-x1) [a2-a0x1x2].
Opet isto, posle skraćivanja (x2-x1) koeficijent na prave je:
na=[a2-a0x1x2].
Konačno, prava fa(x) je:
fa(x)= [a0 (x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2.
Karakteristike jednačine:
– u jednačini nemamo y2 i y1 , nemamo vrednosti tačaka krive-ordinate na y osi i nemamo fazu određivanja njihovih vrednosti, očigledno postoje brojne vrednosti apscisa x2 i x1 x ose;
– u jednačini se prepoznaju dva bazna izraza: x1+x2, x1x2 , prvi simboli koji ukazuje da se radi o jenačini prave na paraboli…tj. prava koja sadrži oba bazna izraza može da pripada paraboli;
oba bazna izraza sa koeficijentima a0, a1 i a2-, vezana matematičkim operantima u formu a0 (x1+x2)+a1 , a2-a0x1x2 , definišu pojam prave na paraboli.
Pogledajmo urađen zadatak vezan za temu oblika jednačine prave na krivoj:
TEOREMA PISANJA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG REDA
Karakteristike metoda je:
– Primena metoda u mastavi marematike na svim nivoima obrazovanja:
– formiranje i oblikovanje koeficijenata jedačine prave paralelno omogućava ponavljanje poznatog gradiva iz algebre. Skoro uvek nas podsećaju da je prava određena dvema tačkama, tačkama preseka prave i krive, a da su tačke na krivoj definisane svojim apscisama.
-U koeficijentima prave apscise se grupišu u bazne izraze, osnova za prepoznavanje mnogih formula iz matematike: prepoznajemo vrstu krive prema formuli za površinu trougla na njoj, po obliku koeficijenata prave i tangente prepoznajemo vrtu krive kojoj prava pripada…
Kriva može biti bilo koja- najednostavnije je vežbavati na polinomima. Kroz ovaj rad zapamćivanje gradiva je vrlo efikasno.
– Koeficijenti jednačine prave su prosti izrazi, ne mogu se više rastavljati.
Koeficijenate iz tabele br.1-bazne izraze, možemo naći i u matematičkim uđbencima osmogodišnjeg i srednjoškolskog obrazovanja.
– Određivanja ordinata y1 , y2 , y3 tačaka je izostavljeno i zaobilazi se u toku izrade zadatka. Ordinate sve više dobijaju ulogu rešenja zadatka, a ne parametra u zadatku.
– Polazne veličine pri rešavanju svakog zadatka iz analitike su: apscise tačke, prava i kriva, bazne funkcije, apscise presečnih tačaka pravih i konstantni koeficijenti polinoma.
– Bazni izrazi, (x1 + x2), (x12 +x1x2+x22), [x13 +x1x2(x1 + x2)+x23]…, zovem ih tako, mogu biti osnova programa u račumaru za veštačku inteligenciju:
-svaki bazni izraz je jedan simbol: ima oblik , ima svoje značenje, i neposredno može da definiše jedan pojam;
-pojmovi su osnovni elementi u procesu mišljenja: prepoznajemo ih, znamo odakle potiču, gde se pojavljuju, znamo čemu služe i šta tačno znače u matematikom izrazu;
– pomoću velikog broja baznih izraza, kao simbola u definisanju poznatih starih pojmova možemo stvoriti novi pojam i td.
-Procesi izračunavalja, izvršavanja zadataka u računaru mogu da teku paralelno: jedan tok je izračunavalje vrednosti baznih izraza, a drugi tok je izračunavanje-povezivanje baznih izraza konstantnim koeficijentima-opštim brojevima, karakteristini za svaku matematičku funkciju, i nakon toga izvršavanje osnovnih komandi sabiranja, množenja…
Naravno mogu se koristiti i gotove vrednosti u bazi-mapi podataka memorije računara.
Današnji i budući računari su mesto gde se mogu smestiti milijarde simbola i pojmova, računar ih povezuje, oblikuje u nove matematičke pomove i zaključke…što sve podseća na početak mišljenja.
Princip izvršavanja komandi i operacija može dobiti sasvim novi pristup i novo tumačenje odgovora po prijemu spoljnih informacija.
Matematika, danas, ima veliki broj matematičkih oblasti, zadivljujući broj matematičkih modela sa dobro definisanim pojmovima. Matematika se primenjuje, i ima svoje modele, u svim prirodnim i društvenim naukama.
Ono što će trebati matematici budućnosti su matematički modeli, algoritmi…za povezivanje modela iz različitih naučnih oblasti; algoritmi sposobni da u drugim oblastima nađu(prepoznaju) pojmove, matematički izražene preko simbola- baznih izraza.
Dobro uvežbanom matematičaru matematički tok rešavanja zadatka postaje slikovitija, lakši i razumljiviji; korisnik metoda lako uočava smer rešavanja zadatka, dolazi do novih formula i novih saznanja u matematici.
Metod koeficienata jednačine je moja mala spoljašnja logička alatka. Svako će se uveriti da je da je logička alatka njegova lična tvorevina i odgovara njegovom znanju i iskustvu.
Kako zavoleti matematiku? -Metoda koeficijenata je na dohvatu.
Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs
,
Rešavanje matematičkih problema je olakšano, lakše se rešavaju dugi zadaci i,uglavnom, rad se svodi na posmatranje novih oblika matematičkih formula, svodi se na nalaženje i prepoznavanje istovetnih izraza na različitim formulama, a potom sledi njihova prosta zamena.
Današnji i budući računari,verovatno, imaće strukturu i programe, zaduženje i zadatk da udruže i povežu matematiku, logiku osnovnim psihološkim elemente koje koristi čovek;
oduvek se gajila pretpostavka o modelu, sastavljenog od osnovnih psiholoških elemenata(opažanje, prepoznavanje, zapamćivanje..), simbola, logike- matematičke logike i složenih matematičkih problema.
Potrebno je odlučiti se po kom principu se ovo udruživanje i vezivanje može izvršiti. Imam osećaj da bi se moglo naći rešenje:
Smatram da bi formiranje jednačina pravih na ogromnom broju poznatih vrsta krivih linija bila osnova na kojoj matematika može da da ono što se od nje u budućnosti očekuje: da od matematičke logike stvori operativniju logiku, veštačku sposobnost-inteligenciju i da se veštačka inteligencija prvo isproba na matematici radi rešavanja matematičkih zadataka.
U jednačini prave imamo keficijente, u njima koeficijente jednačine krive linije… bazni izrazi… dakle imamo situaciju povezivanje simbola, pojmova-preduslov za tok i oblikovanje veštačkog mišljenja.
Napisati jednačinu prave nije nova stvar. Međutim, koristiti koeficijente prave pri rešavanju zadataka iz analitčke trigonometrije jeste specifičnost metode.
Kako se rešavaju zadaci pomoću koeficijenata jednačine prave? -Najpre treba doći do jednačina prave na nekoj krivoj ili van nje i urediti ih tabelarno, zatim pomoću jednačine prave tražiti rešenje zadatka. Naravno, nije uvek potrebno imati krivu liniju, dovoljno je da postoje dve neparalelne prave u ravni xOy.
Izradom zadataka metodom koeficijenata jednačine prave omogućeno je:
–lako određivanje veze između matematičkih funkcija;
– lako i očigledno utvrđivanje i definisanje veze između koeficijenata sličnih ili različitih funkcija.
Veze između koeficijenata mogu biti:
a) potpune veze koeficijenata, bez prisustva apscisa x1 , x2 , x3;
b) delimične veze koefiijenata preko jedne ili dve apscise.
Naravno, u celom poslu imamo odsudstvo ordinata y1 , y2 , y3 …
U toku samog rada zadatka procenjuje se korist, pogodnost povremene primene koeficijenata jednačine prave- da li će zadatak biti duži ili kraći? i ,svakako, moramo imati iskustva u radu na ordinatama i apscisama.
Odnosi i oblici koeficijenata funkcija nižeg i višeg reda u zajedničkim presečnim tačkama:
-Oblik koeficijenata funkcije nižeg reda određuju koeficienti funkcije višeg reda i zajedničke apscise: a0 , a1 , a2 …; x1 , x2 …
Recimo, u koeficijentia funkcije nižeg reda:
f1(x) = kx + n ,
F2(x) = a0x2 +a1x + a2 ,
F3(x) = b0x3 + b1x2 + b2x + b3 …
imamo konstantne koeficijente funkcije višeg reda:
a) na paraboli F2(x) = a0x2 +a1x + a2 jednačina prave ima oblik:
f1(x) = [a0(x1 + x2) + a1]x + a2 – a0x1x2 = kx +n;
b) na kubnoj F3(x) = b0x3 + b1x2 + b2x + b3 jednačina prave ima oblik:
f3(x) = [b0(x12 +x1x2+x22)+b1(x1+x2 )+ b2]x + b3 – x1x2[b0(x1 + x2) + b1].
Koeficijenti jednačine prave zavise od krive na kojoj se nalaze;
-kod polinoma koeficijent pravca prave gradi se na algebarskom izrazu razlike dva monoma n stepena, tačnije koristi drugi prosti čonioc proizvoda razlika apscisa n-tog stepena.
Primer:
x12 -x22=(x1 – x2)(x1 + x2); x1 3 – x2 3=(x1 – x2)(x12 +x1x2+x22)…
Slobodan član jednačine prave, njen osdečak na y osi, sastoji se od
x1x2( k12,(n-1) ): proizvoda apcisa i koeficijenta pravca prave polinoma nižeg stepena za 1.
Primer:
n12 = an – x1x2 ( k12,(n-1) ).
Način pisanje jednačine prave na krivama polinoma dat je šematski u Tabela br.1: -Binomi razlika apscisa tačaka n-tog stepena.
Razlike apscisa tačaka n-tog stepena date su u šemi za pisanje jednačine prave:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/
Označavanje elemenata jednačine prave:
1. Klasičan način pisanja jednačine prave je: y=kx+n , a jednačina prave kroz dve tačke:
……………. (1),
dok je polazni oblik klasične jednačine prave kroz dve tačke namenjen metodu koeficijenata prave:
.
2.Klasičan način pisanja jednačine prave kroz dve tačke na krivoj je:
….. (2), a polazni oblik jednačine na krivoj, namenjen metodu koeficijenata prave, je:
,
f(x) prava na krivoj F(x) sa realnim, ili kompleksnim, tačkama preseka;
F(x2) i F(x1) – vrednosti krive u tačkama krive apcisa x2 i x1 . istovremeno, F(x2) i F(x1), kad zatreba, smatramo funkcije tekuće koordinate x2 ili x1 ,
fa(x) prava na krivoj Fa(x), fb(x) prava na krivoj Fb(x)…
Primer osnovnog načina izvođenja drugog oblika jednačine prave -jednačina na paraboli:
fa(x)=kax+na— jednačina prave:
k(x2-x1)= Fa(x2)-Fa(x1),
n(x2-x1)= x2 Fa(x1)-x1 Fa(x2).
Fa(x)=a0x2+a0x+a2 – jednačina parabole:
Fa(x2)= =a0(x2)2+a1(x2)+a2 , Fa(x1) =a0(x1)2+a1(x1)+a2 ,
Fa(x2)- Fa(x1) =a0(x2)2+a1(x2)+a2 –[ a0(x1)2+a1(x1)+a2 ]=
(x2-x1)[a0 (x1+x2)+a1].
fa(x)=kax+na:
ka(x2-x1)= Fa(x2)-Fa(x1)= (x2-x1)[a0 (x1+x2)+a1].
Posle skraćivanja (x2-x1) koeficijent pravca prave je:
ka= [a0 (x1+x2)+a1].
n(x2-x1)=x2 Fa(x1)-x1 Fa(x2)=x2[a0(x1)2+a1(x1)+a2 ]-x1[a0(x2)2+a1(x1)+a2]=
x2a0(x1)2-x1a0(x2)2+ a1(x1)x2– a1(x2)x1+a2(x2-x1)= (x2-x1) [a2-a0x1x2].
Opet isto, posle skraćivanja (x2-x1) koeficijent na prave je:
na=[a2-a0x1x2].
Konačno, prava fa(x) je:
fa(x)= [a0 (x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2.
Karakteristike jednačine:
– u jednačini nemamo y2 i y1 , nemamo vrednosti tačaka krive-ordinate na y osi i nemamo fazu određivanja njihovih vrednosti, očigledno postoje brojne vrednosti apscisa x2 i x1 x ose;
– u jednačini se prepoznaju dva bazna izraza: x1+x2, x1x2 , prvi simboli koji ukazuje da se radi o jenačini prave na paraboli…tj. prava koja sadrži oba bazna izraza može da pripada paraboli;
oba bazna izraza sa koeficijentima a0, a1 i a2-, vezana matematičkim operantima u formu a0 (x1+x2)+a1 , a2-a0x1x2 , definišu pojam prave na paraboli.
Pogledajmo urađen zadatak vezan za temu oblika jednačine prave na krivoj:
TEOREMA PISANJA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG REDA
Karakteristike metoda je:
– Primena metoda u mastavi marematike na svim nivoima obrazovanja:
– formiranje i oblikovanje koeficijenata jedačine prave paralelno omogućava ponavljanje poznatog gradiva iz algebre. Skoro uvek nas podsećaju da je prava određena dvema tačkama, tačkama preseka prave i krive, a da su tačke na krivoj definisane svojim apscisama.
-U koeficijentima prave apscise se grupišu u bazne izraze, osnova za prepoznavanje mnogih formula iz matematike: prepoznajemo vrstu krive prema formuli za površinu trougla na njoj, po obliku koeficijenata prave i tangente prepoznajemo vrtu krive kojoj prava pripada…
Kriva može biti bilo koja- najednostavnije je vežbavati na polinomima. Kroz ovaj rad zapamćivanje gradiva je vrlo efikasno.
– Koeficijenti jednačine prave su prosti izrazi, ne mogu se više rastavljati.
Koeficijenate iz tabele br.1-bazne izraze, možemo naći i u matematičkim uđbencima osmogodišnjeg i srednjoškolskog obrazovanja.
– Određivanja ordinata y1 , y2 , y3 tačaka je izostavljeno i zaobilazi se u toku izrade zadatka. Ordinate sve više dobijaju ulogu rešenja zadatka, a ne parametra u zadatku.
– Polazne veličine pri rešavanju svakog zadatka iz analitike su: apscise tačke, prava i kriva, bazne funkcije, apscise presečnih tačaka pravih i konstantni koeficijenti polinoma.
– Bazni izrazi, (x1 + x2), (x12 +x1x2+x22), [x13 +x1x2(x1 + x2)+x23]…, zovem ih tako, mogu biti osnova programa u račumaru za veštačku inteligenciju:
-svaki bazni izraz je jedan simbol: ima oblik , ima svoje značenje, i neposredno može da definiše jedan pojam;
-pojmovi su osnovni elementi u procesu mišljenja: prepoznajemo ih, znamo odakle potiču, gde se pojavljuju, znamo čemu služe i šta tačno znače u matematikom izrazu;
– pomoću velikog broja baznih izraza, kao simbola u definisanju poznatih starih pojmova možemo stvoriti novi pojam i td.
-Procesi izračunavalja, izvršavanja zadataka u računaru mogu da teku paralelno: jedan tok je izračunavalje vrednosti baznih izraza, a drugi tok je izračunavanje-povezivanje baznih izraza konstantnim koeficijentima-opštim brojevima, karakteristini za svaku matematičku funkciju, i nakon toga izvršavanje osnovnih komandi sabiranja, množenja…
Naravno mogu se koristiti i gotove vrednosti u bazi-mapi podataka memorije računara.
Današnji i budući računari su mesto gde se mogu smestiti milijarde simbola i pojmova, računar ih povezuje, oblikuje u nove matematičke pomove i zaključke…što sve podseća na početak mišljenja.
Princip izvršavanja komandi i operacija može dobiti sasvim novi pristup i novo tumačenje odgovora po prijemu spoljnih informacija.
Matematika, danas, ima veliki broj matematičkih oblasti, zadivljujući broj matematičkih modela sa dobro definisanim pojmovima. Matematika se primenjuje, i ima svoje modele, u svim prirodnim i društvenim naukama.
Ono što će trebati matematici budućnosti su matematički modeli, algoritmi…za povezivanje modela iz različitih naučnih oblasti; algoritmi sposobni da u drugim oblastima nađu(prepoznaju) pojmove, matematički izražene preko simbola- baznih izraza.
Dobro uvežbanom matematičaru matematički tok rešavanja zadatka postaje slikovitija, lakši i razumljiviji; korisnik metoda lako uočava smer rešavanja zadatka, dolazi do novih formula i novih saznanja u matematici.
Metod koeficienata jednačine je moja mala spoljašnja logička alatka. Svako će se uveriti da je da je logička alatka njegova lična tvorevina i odgovara njegovom znanju i iskustvu.
Kako zavoleti matematiku? -Metoda koeficijenata je na dohvatu.
Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs
gradiuinflaciji 