Metod rada-koeficijenti prave

Tokom rešavanja zadataka iz geometrije  nailazimo na pojmove : tačka, prava, rastojanje  dve tačke, rastojanje tačke od prave, površinu trougla, visina trougla…..

U analitičkoj geometrije pomenute veličine definišu se koordinatama x i y . Recimo, za rastojanje dve tačke dAB treba
znati :
[xA = x1 , yA = y1 ] , [xB = x2 , yB = y2 ] – brojne vrednosti dva skupa brojeva :
– skup brojeva apscisa(X osa);
– skup brojeva ordinata(Y osa).

”Metod rada koeficijentima jednačine prave”  zaobilazi vrednosti y1 i y2 , koristi  apscise x1 , x2 , koeficijente prave k12 i n12 , naravno može koristiti i koeficijente ao , a1 , a2 , a3 . .. koeficijente jednačina krivih linija.

I pored toga što nemamo y1 i y2 , metodom  dolazimo do rastojanja dve tačke, površine trougla, prečnika opisane i upisane kružnice, adicionih formula, odnosa između funkcija… do grafoanalitičkih prikaza.

Primer.. formula površine trougla:
-Klasičan oblik formule površine trougla ABC u koordinatnom sistemu xOy
2PABC =x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)].
-Površina trougla definišem trima pravama,tj., karakteristikom K triju pravih:

2PABC=(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)K ;

-Pošto
trougao nastaje presekom tri prave(uvek je), osnovna folmula površine trougla biće:
2P∆ABC=(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23) ili
2x2 P∆ABC=(x2-x1)(x2-x3)(n23-k12).

Svojstva metode:
-Prava j
e samostalni geometrijski oblik.

-Prava
je analitička funkcionalna veza nezavisno promenljive x i nezavisnih k i n kooeficijenata prave.
Dakle:
f: kx+n,  a ne koliko ta veza iznsi: f(x)=y=kx+n.

– Prava f: kx+n ima svoj brojni pravac, svoju s koorinatu. Brojnom s pravom i brojnom x pravom(x osa) definiše se ravan.

– U koordinatnom xOy sistemu koeficijent k pravca prave i slobodan član prave n definiše se apscisom x1 i x2 i ordinatom y1 i y2 dveju tačaka.

– Metodom koeficijenata prave svaku drugu pravu, osim f: kx+n, definišem karakteristikom K i trima apscisama dveju pravih :
f13(x)=kx+n–K(x1-x3)x+K(x1-x3)x2.

Ako je f: kx+n na krivoj(svaka prava pripada nekoj krivoj),  koeficijente prave određujem koeficijentima ao , a1 , a2 , a3 . .. krive i apscisama dveju tačaka preseka prave i krive.
Primer..parabola:
k12=a0(x1+x2)+a1,  n12=a2-a0x1x2.

– Oblike formula osnovnih geometrijskih pojmova : rastojanje dve tačke, rastojanje tačke od prave,  površina trougla… određuju apscise i koeficijenti prave (ili krive), a ne ordinata tačaka.

– Udobna, očigledna, brza metoda za istraživanje i metod dobijanja novih formula u matematici…Ne moram imati veliko matematičko znanje, niti visok stepen inteligencuje, bovoljna je da imam jednu pravu kx+n , tri apscise( x1, x2 , x3) i karakteristiku K dveju pravih;
započnem neku matematičku operacije(prava na krivoj, oprobam više kombinacija i uvek dolazim do novih, ranije poznatih ili nepoznatih matematičkih odnosa.

U koefijentima jednačine prave se pojavljuju bazni izrazi x1+x2,  x1x2…sastavljeni samo od apscisa.
Bazni izrazI u koeficijentima jednačine određuju kojoj krivoj pripada prava.

Bazni izrazi i koeficijenti jednačine prave su koristan alat i siguran putokaz svakom istraživaču pri istraživanja novih matematičkih veza između krivih, osnovcu, studentu i dalje… razlog upotrebe metoda koeficijenata jednačine prave.

-Metod rada je pogodan u nastavi  matematike: pri obradi novog gradiva ili ponavljanju starog uvek se u nastavnim jedinicama, u procesu rada upotrebe ranije učeni matematički pojmovi. Paralelno sa obradom ili ponavljanjem vrši se i sistematizacija gradiva

– Očiglednost i razumevanje matemtičkih pojmova podignuta je na viši nivo.

Pri rešavanju  zadataka  pomenutom metodom
pojaviće se dve pretpostavke :
a) Koordinatni sistem xOy bez krive linije; potrebne veličine su:
– jednačina prave;
– tri apscise i keficijent k ili n druge pave, ili tri apscise i karakteristika K dveju pravih.
b) Za koordinatni sistem xOy sa krivom u njemu treba imati:
– apscise dve tačke na krivoj: presek jednačine prave i krive;
– krive: parabola. kubna….krug, elipsa, logaritamska..

Ciljevi:
-Sistematizujem, formiram tablice koeficijenata jenačine prave na krivoj i sistematizujem bazne izraze.

-Izvodim formule osnovnih geometrijskih oblika pomoću: karakteristike K, apscisa tačaka, koeficijenata jednačine prave ili jednačine krive.
-Prikazujem osnovne obrasce iz analitičke geometrije pomoću istih veličina: K, apscisa tačaka, koeficijenata jednačine prave ili krive.

-Prikazujem različite  geometrijske oblike(prava, trougao..) na graficima krivih linija pomoću koeficijenata pavca na trigonometrijskom(jediničnom) krugu i pomoću n odsečaka od pavih y osi
-Ostali ciljevi će biti dati drugom prilikom.

Istorija,zaborav,
Do opisanih funkcionalnih odnosa došao sam 1992. i 1993. godine, sada ih objavljujem-da se ne zaborave, naravno ponešto i dodam.

Autor metode:
maš.inž.Mladen Popović