Odnosi površina trouglova na parabolama

Jednakost površina trouglova na različitim parabolama
Poređenje površine trouglova na parabolama

Odnos površina trouglova na graficima parabola zavise od količnika koeficijenata kvadratnih članova parabola i količnika odgovarajućih razlika apscisa temena trouglova.

Poređenje površina na parabolama
Da bi sagledali odnos između dve površine na parabolama odredićemo
∆ ABC na paraboli F_a (x) i ∆DEF na paraboli F_b (x).

-Dole su dve slike-  trouglovi na graficima parabola i dva urađena zadatka:
dve parabole,  površine P_ABC, , P_DEF i apscise njihovih temena.     

Odnosi površina
Mogu postojati dve situacije:
-površine istih vrednosti;
–površine različitih brojnih vrednosti.

Dva trougla, na dvema različitim parabolama, imaju iste površine ako je odnos koeficijenata a₀  i b₀ kvadratnih članova parabola jednak količniku proizvoda razlika apscisa temena trouglova, tj. : (x₃–x₁)(x₁–x₂)(x₂–x₃) i (x₆–x₄)(x₄–x₅)(x₅–x₆).

U zadatku br. 22 traži se jednakost ∆ABC i  ∆GHK ,
tj. :  P_ABC.=P_GHK.
U zadatku br. 21 razmatra se odnos dve površine razlićitih brojnih vrednosti,

22. zadatak:
-Na F_a (x)= x² -5x-2 date su apscise temena ∆ ABC:
x₁=x_A=-1,  x₂=x_B=(1/2),  x₃=x_C=(25/4).

– Na F_{b (x)} =x²-4x+3  date su apscise temena ∆ GHK:
x₇ =x_G = 1, x₈ = x_H =4 .

Postavititi jednakost površine ∆ ABC i ∆ GHK na krivama F_a (x) i F_b (x), odrediti
položaj ∆ GHK i računom proveriti jednakost površine ∆ GHK i ∆ ABC.

  Potrebne formule:
Q_a(x₃₎ = x²₃ -(x₁+x₂)x₃+x₁x₂ = –(x₁-x₃)(x₃-x₂) – vrednost bazne funkcija površine
∆ ABC;

Q_b(x₎ =x²-(x₇+x₈)x+x₇x₈=-(x₇ -x)(x-x₈) – bazna funkcija površine ∆ GHK apscisa:
x₇ = x_G = 1, x₈ = x_H =4  apscise ∆ GHK.

Polazne veličine:
F _{a (x)} = x²-5x-2,   F_{b (x)} =x² -4x+3;

x₇=1,  x₈ =4,
x₇ + x₈ = 5,    x₇ x₈ = 4;  (x₇-x₈) = 1-4 = – 3.

Izrada:
a) Q_a(x₃₎=-(x₁-x₃)(x₃-x₂)=
,
izračunata bazna funkcija površine
 ∆ ABC;
Q_a(x₎=x²-(x₇+x₈)x+x₇x₈=x²-(5)x+4 – izračunata bazna funkcija površine ∆ GHK;

Uslov jednakosti površina:

-primena zadnje jednakosti:
  :
x² -5x + 4=→  16x² – 5(16)x + 4(16) – 667= 0.

-Nastavak zadatka videti na:
22-zadatak-e28093-jednakost-povrc5a1-trouglova-na-dvema-parabolama2-1
Položaj traženih trouglova:

Primer dva trougla različitih površina videti na:
TRENUTNO JE ISPRAVAK ZADATKA

Autor:
maš. inž. Mladen Popović

Razlika jednačina krive i prave linije – površina trougla

Površina trougla ABC  je proizvod razlike jednačine krive, jednačine prave i  razlike apscise x_A i x_C temena stranice AC.

Visina trougla stoji normalno na svojoj osnovnoj stranici, a proizvod visine i stranice daje površinu trougla; ovde  razlika ordinate tačke B na krivoj i ordinate tačke B₁ na pravoj ne stoji normalno na pravac osnovne stranice AC.

       Jednačina krive drugog stepena

Potrebne formule:
1) F(x) =a_ox²+a₁x+a₂   – kvadratna jednačina  ………. (1).
2) f₁₃(x)=[a_o(x₁+x₃)+a₁]x +a₂-a_ox₁x₃  ………… (2);

f₁₃(x) –  jednačina prave kroz  A(x₁, y₁)=A(x_A, y_A) i C(x₃, y₃)=C(x_C, y_C)
na  krivoj F(x).

3) 2P_∆ABC =(x₃-x₁)[f₃₁(x)-f₁₂(x)];
f₃₁ (x)- jednačina stranice CA, f₁₂ (x)- jednačina stranice AB.

Stavljam da je x₂=x i da je f₁₂(x)=F(x), pa je
P_ABC(X)=-(1/2)(x₃–x₁)[(f₃₁(x)-F(x)] funkcija površine trougla ….. (3);
(1/2)( x₃ – x₁) = N ———————- konstanta.

Zadatak
Zadate su veličine: F(x)= x² -5x -2 – parabola ,
x_A = x₁ = -1 – apscisa temena A i  x_C=x₃ = – apscisa temena C .
x_A = x₁  i x_C=x₃  definiše stranicu(osnovicu) AC ∆ABC na krivoj F(x).

Izračunati površinu  ∆ ABC koristeći obrazac dat pod rednim brojem (3)  ako je apscisa srednjeg temena  x_B = 3.

Polazne veličine za račun:
F(x) =x²-5x-2   →  a_o=1 ,  a₁ = -5 ,  a₂ = -2 ;  x₁ =-1 , x₃ =(9/2) …
Nastavak zadatka videti na:
razlika-jednac48dina-krive-i-jednac48dine-prave-linije-povrc5a1ina-trougla

                                       Kriva trećeg stepena –Kubna
Potrebne formule:
1) F _{b (X)} = b_ox³ + b₁x² +  b₂x + b₃   – jednačina kubne ……………….. (1).
2) f_{12 (X)}=[b_o(x₁²+x₁x₂+x₂²)+b₁(x₁+x₂)+b₂]x+b₃-x₁x₂[b_o(x₁+x₂)+b₁] …(2);
f₁₂(x) – jednačine prave kroz A(x₁, y₁)=A(x_A, y_A) i B(x₃, y₃)= B(x_B , y_B).

3) 2P_∆ABC = (x₁-x₂)[f₁₂(x)-f₂₃(x)];
f₁₂(x)- jednačina stranice AB ∆ABC , f₂₃ (x)- jednačina stranice BC istog trougla.

Stavljam da je x₃=x i da je f_{23 (}x₃₎ =F_b(x₃),  pa je
2P_∆ABC = (x₁ – x₂)[f₁₂ (x₃)-F_b(x₃)]  površina trougla ABC …… (3).

Zadatak

Dat je ∆ABC  na krivoj F _{b (X)} = (1/3)x³ -3x² +5x +1. Apscise temena trougla na krivoj su:
x₁ = x_A= -1, x₂ = x_b=3, x₃ = x_c= 3/4 . Izračunaj površinu ∆ABC.

Potrebne vrednosti:
x₁²+x₁x₂+x₂²=(-1 )²+(-1)(3)+(3)²=7,   x₁+x₂=-1+3=2,
x₁x₂=(-1)(3)=-3;  x₁-x₂)=-1-3=-4.

Jednačina prave i zamenjivanje:
f_{12 (X)} = [b_o(x₁²+x₁x₂+x₂²)+b₁(x₁+x₂)+b₂] x + b₃ – x₁x₂[b_o(x₁+x₂)+b₁] =
;

Vrednost krive i prave nad istom apscisom x₃ = x_c= x_c1= 3/4 :

;

.

Površina trougla:
2P_∆ABC = (x₁ – x₂)[f₁₂ (x₃)-F_b(x₃)] = (-4)[(-5)-( 205/64)]= (-4)[(-525/64)]= 525/16;
P_∆ABC =525/32=16,40625

                      Opšti slučaj: Površina trougla u ravni xOy

PovršinA trougla je u članku https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/04/26/razlika-jednacina-dveju-pravih-povrsina-trougla/ .
Razlika jednačina dveju pravi je osnova za formulu površine ∆ABC između proizvoljne krive F(x)  i proizvoljne prave f (x):
2P_∆ABC=(x₁–x₂)[f₁₂ (x₃)-f₂₃(x₃)] – —- (a).

-Zamenom f₂₃(x₃)=F (x₃) dobija se obrazac površine trougla između krive
i prave linije:
2P_∆ABC = (x₁ – x₂)[f₁₂(x₃)-F(x₃)] —————– (b);
f₁₂ (x) seče krivu F(x) u tačkama iznad apscisa x₁ i x₂ , a treće teme ∆ABC je iznad apscise x₃.

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović