Površina trougla ABC  je proizvod razlike jednačine krive, jednačine prave i  razlike apscise xA i xC temena stranice AC.

Visina trougla stoji normalno na svojoj osnovnoj stranici, a proizvod visine i stranice daje površinu trougla; ovde  razlika ordinate tačke B na krivoj i ordinate tačke B1 na pravoj ne stoji normalno na pravac osnovne stranice AC.

       Jednačina krive drugog stepena

Potrebne formule:
1) F(x) =aox2+a1x+a2   – kvadratna jednačina  ………. (1).
2) f13(x)=[ao(x1+x3)+a1]x +a2-aox1x3  ………… (2);

f13(x) –  jednačina prave kroz  A(x1, y1)=A(xA, yA) i C(x3, y3)=C(xC, yC)
na  krivoj F(x).

3) 2P∆ABC =(x3-x1)[f31(x)-f12(x)];
f31 (x)- jednačina stranice CA, f12 (x)- jednačina stranice AB.

Stavljam da je x2=x i da je f12(x)=F(x), pa je
PABC(X)=-(1/2)(x3–x1)[(f31(x)-F(x)] funkcija površine trougla ….. (3);
(1/2)( x3 – x1) = N ———————- konstanta.

Zadatak
Zadate su veličine: F(x)= x2 -5x -2 – parabola ,
xA = x1 = -1 – apscisa temena A i  xC=x3 = – apscisa temena C .
xA = x1  i xC=x3  definiše stranicu(osnovicu) AC ∆ABC na krivoj F(x).

Izračunati površinu  ∆ ABC koristeći obrazac dat pod rednim brojem (3)  ako je apscisa srednjeg temena  xB = 3.

Polazne veličine za račun:
F(x) =x2-5x-2   →  ao=1 ,  a1 = -5 ,  a2 = -2 ;  x1 =-1 , x3 =(9/2) …
Nastavak zadatka videti na:
razlika-jednac48dina-krive-i-jednac48dine-prave-linije-povrc5a1ina-trougla

                                       Kriva trećeg stepena –Kubna
Potrebne formule:
1) F b (X) = box3 + b1x2 +  b2x + b3   – jednačina kubne ……………….. (1).
2) f12 (X)=[bo(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2]x+b3-x1x2[bo(x1+x2)+b1] …(2);
f12(x) – jednačine prave kroz A(x1, y1)=A(xA, yA) i B(x3, y3)= B(xB , yB).

3) 2P∆ABC = (x1-x2)[f12(x)-f23(x)];
f12(x)- jednačina stranice AB ∆ABC , f23 (x)- jednačina stranice BC istog trougla.

Stavljam da je x3=x i da je f23 (x3) =Fb(x3),  pa je
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-Fb(x3)]  površina trougla ABC …… (3).

Zadatak

Dat je ∆ABC  na krivoj F b (X) = (1/3)x3 -3x2 +5x +1. Apscise temena trougla na krivoj su:
x1 = xA= -1, x2 = xb=3, x3 = xc= 3/4 . Izračunaj površinu ∆ABC.

Potrebne vrednosti:
x12+x1x2+x22=(-1 )2+(-1)(3)+(3)2=7,   x1+x2=-1+3=2,
x1x2=(-1)(3)=-3;  x1-x2)=-1-3=-4.

Jednačina prave i zamenjivanje:
f12 (X) = [bo(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2] x + b3 – x1x2[bo(x1+x2)+b1] =
;

Vrednost krive i prave nad istom apscisom x3 = xc= xc1= 3/4 :

;

.

Površina trougla:
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-Fb(x3)] = (-4)[(-5)-( 205/64)]= (-4)[(-525/64)]= 525/16;
P∆ABC =525/32=16,40625

                      Opšti slučaj: Površina trougla u ravni xOy

PovršinA trougla je u članku https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/04/26/razlika-jednacina-dveju-pravih-povrsina-trougla/ .
Razlika jednačina dveju pravi je osnova za formulu površine ∆ABC između proizvoljne krive F(x)  i proizvoljne prave f (x):
2P∆ABC=(x1–x2)[f12 (x3)-f23(x3)] – —- (a).

-Zamenom f23(x3)=F (x3) dobija se obrazac površine trougla između krive
i prave linije:
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12(x3)-F(x3)] —————– (b);
f12 (x) seče krivu F(x) u tačkama iznad apscisa x1 i x2 , a treće teme ∆ABC je iznad apscise x3.

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović