RAZLIKA JEDNAČINE KRIVE I JEDNAČINE PRAVE LINIJE – POVRŠINA TROUGLA

Površina ∆ABC  sa temenima na krivoj liniji računa se kao proizvod razlike jednačine krive, jednačine prave i  razlike apscise xA i  xC temena stranice AC  ∆ABC ( pogledaj sliku u zadatku za parabolu).

U geometriji se zna da visina trougla stoji normalno na svojoj osnovnoj stranici, a proizvod visine i stranice daje površinu trougla. U zadatku gde se površina trougla računa preko razlike jednačina krive i prave(na prvoj slici ispod), tj. razlike ordinata tačke B na krivoj F(X)  i ordinate tačke B1 nad istom apcisom xB, ordinata ne stoji normalno na osnovnoj stranici AC.

Visina trougla pripadne stranice nije potrebna veličina za računanju površine trougla u analitičkoj geometriji. Za taj posao su potrene apcise i ordinate temena trougla, tačke i koeficijenti jednačina stranica trougla; primer je računanje površine trougla između krive i prave linije, tj. razlika njihovih jednačina. Opšti obrazac  površine trougla je površina trougla između dve proizvoljne prave.

Pokažimo dva primera računanja površine trougla- trougla između krive i prave na krivoj:

                                   Primer-Kvadratna jednačina i prava

Potrebni oblici formula:
1) F 2 (X) = aox2 + a1x + a2        – kvadratna jednačina  …………………… (1).
2) F 1 (X) = [ao(x1 + x3) + a1] x + a2 –  aox1x3   …………………………….. (2);
 F 1 (X) =f31(x) –  opšti oblik jednačine prave kroz  tačku A(x1 , y1) = A(xA , yA)
i  C(x3 , y3) =  C(xC , yC)   na  krivoj  F 2 (x) .

3) 2P∆ABC = (x3 – x1)[f31 (x)-f12(x)];
f31 (x)- jednačina stranice CA, f12 (x)- jednačina stranice AB(vidi prvu sliku).

Ako se stavi da je x2=x i da je f31 (x) =F1(x), sledi da je
PABC(X)=-(1/2)[(x3–x1)(F 2 (x)-F 1 (x))]  funkcija površine trougla ABC ….. (3);
(1/2)( x3 – x1) = N ———————- konstanta.

Zadatak

Data je funkcija F2 (x) = x2 -5x – 2 i vrednost apscisa njenih tačaka:  apscisa xA = x1 = -1 temena A,  apscisa xC = x3 = 9/2  temena C . Apscise: xA = x,  xC = x3 , na grafiku funkcije  F2 (x) definišu početnu stranicu AC  ∆ABC.

Izračunati površinu PABC  ∆ABC koristeći obrazac dat pod rednim brojem (3)  ako je apscisa srednjeg temena  xB = 3.

Izrada zadatka je data u prilogu:razlika-jednac48dina-krive-i-jednac48dine-prave-linije-povrc5a1ina-trougla

                                       Kriva trećeg stepena –Kubna
Potrebni oblici formula:
1) F b (X) = box3 + b1x2 +  b2x + b3        – jednačina kubne ……………….. (1).
2) f12 (X)=[bo(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2]x+b3-x1x2[bo(x1+x2)+b1] …(2);
f12(x) –  opšti oblik jednačine prave kroz  tačku A(x1 , y1) = A(xA , yA) i tačku
B(x3 , y3) =  B(xB , yB)   na  krivoj  Fb (X) .

3) 2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x)-f23(x)];
f12(x)- jednačina stranice AB ∆ABC , f23 (x)- jednačina stranice BC istog trougla(pogledaj sliku).

Ako se stavi da je x3=x i da je f23 (x3) =Fb(x3),  sledi da je
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-Fb(x3)]  površina trougla ABC …… (3).

Zadatak

Dat je ∆ABC  na krivoj F b (X) = (1/3)x3 -3x2 +5x +1. Apscise temena trougla na krivoj su:
x1 = xA= -1, x2 = xb=3, x3 = xc= 3/4 . Izračunaj površinu ∆ABC.

Potrebne vrednosti:
x12+x1x2+x22=(-1 )2+(-1)(3)+(3)2=7,   x1+x2=-1+3=2,   x1x2=(-1)(3)=-3;
(x1-x2)=-1-3=-4.
Potrebna jednačina prave:
f12 (X) = [bo(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2] x + b3 – x1x2[bo(x1+x2)+b1] =
;

Potrebne vrednosti krive i prave nad istom apscisom x3 = xc= xc1= 3/4 :

;

.

Površina trougla:
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-Fb(x3)] = (-4)[(-5)-( 205/64)]= (-4)[(-525/64)]= 525/16;
P∆ABC =525/32=16,40625

                      Opšti slučaj: Površina trougla u ravni xOy

Formula površine trougla između dve proizvoljne prave, pokazana u članku https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/04/26/razlika-jednacina-dveju-pravih-povrsina-trougla/ , je u gornjim zadacima sliži kao osnova formuli površine ∆ABC između proizvoljne krive F(x)  i proizvoljne prave f (x):
2P∆ABC=(x1–x2)[f12 (x3)-f23(x3)] – površina trougla između dve prave —- (a).

-Zamenom f23(x3)=F (x3) dobija se obrazac površine trougla između krive
i prave linije:
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-F(x3)] —————– (b);
f12 (x) je prava koja seče krivu F(x) u tačkama iznad apscisa: x1 ,  x2 , a treće teme ∆ABC ima apscisu x3.
U gornjim zadacima, na paraboli i kubnoj, primenjena  su zadnja dva obrasca- opšti obrazac površine trougla između dve prave.

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs

Advertisements