JEDNAKOST POVRŠINA TROUGLOVA NA GRAFICIMA RAZLIČITIH KVADRATNIH KRIVIH
Poređenje površine trouglova na graficima različitih polinoma drugog stepena- trouglovi na parabolama

Odnosi površina trouglova na graficima različitih parabola zavise od odnosa-količnika nultih koeficijenata kvadratnog člana svake parabole i odnosa-količnika  razlika odgovarajućih apscisa temena trouglova.

Poređenje površina na parabolama

Da bi sagledali odnos između dve površine na parabolama uzmimo tačke: A, B, C za temena  ∆ ABC na grafiku parabole Fa(x) , a temena ∆ DEF na grafiku kvadratne Fb(x) .
Dole-niže, priložene su i dve slike sa graficima parabola, kao i dva urađena zadatka.
Parabole,  površine PABC, PDEF i apscise njihovih temena prikazani su na slici:

Jednakost površina na graficima kvadratnih krivih
     

Odnosi površina
Mogu postojati dve situacije:
a) -Uslov da površine na parabolama imaju iste vrednosti
b) Da se traži odnos između različitih brojnh vrednosti površina

Teorema:
Dva trougla, na dvema različitim parabolama, imaju iste površine ako je odnos nultih koeficijenata (a0 / b0) kvadratnih jednačina jednak proizvodu koeficijenata proporcionalnosti razlika apscisa odgovarajućih temena trouglova, tj. količnicima razlika odgovarajućih apcisa: (x3 – x1), (x1 – x2), (x2 – x3) i razlika (x6 – x4), (x4 – x5), (x5 – x6):
(x3 – x1) / (x6 – x4) , (x4 – x5) /(x1 – x2),…

U zadatku br. 21 razmatra se odnos dve površine razlićitih brojnih vrednosti,
a u zadatku br. 22 – Traži se jednakost ∆ ABC i  ∆ GHK10,
tj. jednakost:  PABC.= PGHK9  = PGHK10 .


  1. zadatak:
    Na grafiku funkcije Fa (x) = x2 – 5x – 2 dat je ∆ ABC sa apscisama :
    x1 = xA = -1,  x2 = xB = (1/2), x3 = xc = (25/4)
    Na grafiku kvadratne jednačine Fb (x) =(1/2)x2 – 4x +3 dat je ∆ DEF,
    čije su apscise: x4, x5 i x6 .Naći vrednosti površina oba trougla, uz uslov da su razlike apscisa temena oba trougla međusobno jednake:
    (x6 – x4) = (x3 – x1) ,   (x4 – x5) = (x1 – x2)  i   (x5 – x6) = (x2 – x3).

Iračunati :
a) Površinu ∆ ABC.
b) Odnos površine ∆ ABC i površine ∆ DEF

U zadatku koristim moje omiljene formulu:
PABC =(a0 /2)(x3 – x1)(x1 – x2)(x2 – x3)
PDEF =(b0 /2)(x6 – x4)(x4 – x5)(x5 – x6)

Potvrda teoreme i nastavak zadatka dat je u prilogu:
jednakost-povrc5a1ina-trouglova-na-graficima-razlic48ditih-kvadratnih-jednac48dina1-1

Parabole i trouglovi jednakih vrednosti površina: PABC. = PDEF9  i apscise njihovih temena prikazani su na slici:

Uslov jednakost površina na parabolama.bmp

Primer primene uslova jednakosti površina dva trougla, na dvema parabolama, videti u dokumentu:
22-zadatak-e28093-jednakost-povrc5a1-trouglova-na-dvema-parabolama2-1

Autor teoreme i metode:
maš. inž. Mladen Popović
mladenpopo@mts.rs
opetja52@gmail.com

Advertisements