APSCISE TAČAKA , ODSEČCI PRAVIH NA Y OSI – POVRŠINA TROUGLA
Razlike odsečaka pravih na y osI, razlike koeficijenata pravca pravih  i razlika apscisa temena trougla- površina trougla

Klasične formule površine trougla izražavaju se preko koordinata temena trougla:
1) P∆ABC = (1/2)[ x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)];
2) P∆ABC = (1/2)[ (x2– x1)(y2 + y1) +(x3– x2)(y3 + y2) + (x1– x3)(y1 + y3) ].

Kakav će imati oblik formule površine trougla kada površinu izrazimo preko koeficijenata prave i apscisa temena trougla?

Metod rada-Koeficijenti prave.

Principi:
-Presek dve prave je tačka.
-Trougao je geometrijski oblik dobijen presekom triju pravih.

Transformacija formula datih pod rednim brojem(1) i (2):

Transformacija klasičnih formula se postiže uvođenjem jednačina pravih u njihov izraz: f12(x)= k12x +n12 ,  f23(x)= k23x +n23 i  f31(x)= k31x +n31 :
3)
  ————- (3);

3.1)    ……………………….. (3.1);
3.2)     …………………………. (3.2);

3.1 i 3.2 su važni, bazni, oblici formule za površinu trougla u analitičkoj geometriji.
Izvođenje formula, datih pod rednim brojem (3.1) i (3.2), imamo na:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/09/18/.

Formule date pod rednim brojem (3.1) i (3.2) nazivam baznim formulama površine trougla. Pomoću njih lako računamo površinu trougla nedovoljno poznatog položaja, pomoću njih  lako računamo  površinu trougla na proizvoljnoj  krivoj.

Ako stavlm u formulu pod rednim brojem(3.1) i (3.2)  da je x= x,  dobiću, od prva dva množenika, baznu funkciju površine trougla: B(x)=(x-x1)(x–x3).
Bazna funkcija je jedinstvena jer sadrži samo apscise tačaka temena trougla.

Pomoću formula, datih pod rednim brojem 3.1), 3.2), lako izvodimo formule površine trougla i na graficima krivih linija; za parabolu a0x2+a1x +aje, recimo, (n12-n23)=a0(x13-x31)x2 .

Pogledajmo, kroz primer, kako se neposredno koristi formula pod rednim br.(3).

Zadatak br.1:
Data je apscisa x1=xA=-1 tačke A na pravoj f12(x) = -2x +3 i apscisa x3=xC=3 tačke C na pravoj f23(x) = 3x -1; tačka B data je presekom f12(x) = f23(x) .
Odrediti površinu ∆ABC.
Izrada
-Potrebna formula:
.

-Potrebne vrednosi:
  k12 =-2,   k32 =3;  n12  =3  , n23 = – 1;
apscisa x2=xB se dobija rešenjem jednakosti:
f12(x) = -2x +3 = f23(x) = 3x -1
-2x +3 = 3x -1  →    x=x2=4/5  , x1=-1,  x3=xC=3;

-Površina:
,

→                                        P∆ABC = = 9,9 . 

Moja omiljena formula površine trougla na paraboli izvedena je pomoću formule za površinu trougla date pod rednim brojem (3.2) :
PABC =(1/2) a0(x3 – x1)(x1 – x2)(x2 – x3). ————————- 3.1 .

Može se koristiti osnovna veze apscisa preseka pravih i odsečaka pravih na y osi :
———————- (11)
(n12-n23)x1x3+(n23-n31)x1x2+(n31-n12)x2x3 =0 ————–(11.1):
videti članak- Osnovna veza odsečaka pravih na y osi i apscisa tačaka preseka pravih.

4) Primer primene formule površine bilo kog trougla, gde je formula izrašena   odsečcima pravih na y osi i  razlike apscisa temena trougla- preseci triju pravih:
P∆ABC =(1/2) [ (x2– x1)n12 + (x3– x2)n32 + (x1– x3)n31] ———–  4.1, ili:
P∆ABC =(1/2) [ x1(n31– n12 ) + x2(n12 – n32 )+ x3(n32 – n31)] —–  4.2.

Primer primene formule pod rednim bojem 4.1:

Apscise tačaka, odsečci pravih na y osi - površina trougla

Zadatak br.2: Data je parabola i tri prave:

Tri prave se seku, a proverom se utvrđuje da se one seku i na paraboli gradeći ∆ ABC. Odrediti položaj i površinu ∆ ABC koristeći formulu:
P∆ABC =(1/2 ) [ (x2 – x1)n12 + (x3 – x2)n32 + (x3 – x1)n31].

Izrada
-Apscise temena trougla:
a) Presek prve i treće prave:

b) Presek prve i druge prave:

c)Presek druge i treće prave:

-Odsečci pravih na y osi su:   n12  =1/2  ,     n13 = -3 ,     n23 = – 13.

Kada je trougao na grafiku parabole odsečke računamo po formulama:
n12 = a2 – a0 x1x2 = 2 – (1/2)(1)(3) = 1/2                         n21 = 1/2 ,
n32 = a2 – a0 x2x3 = 2 – (1/2)(3)(10) = -13                       n32 = -13 ,
n13 = a2 – a0 x1x3 = 2 – (1/2)(1)(10) = – 3                        n13 = -3 ;
Dakle, zadatak se može reši i kada nisu date vrednosti odsečaka pravih na y osi;
x1 , x2 , x3  se dobijaju iz izraza za koeficijente pravih:
k12 = -3,   k32 = 3/2,  k13 = 1/2
Primenu formula u izradi zadatka videti u članku:  Apscise tačaka, odsečci pravih na y osi – površina trougla

Ako koristimo osnovnu vezu odsečaka pravih na y osu, datu pod rednim brojem (11.1), neće nam trebati jednačine pravih niti treća apscisa x3 :

Na slici ispod je grafički prikaz sabiraka formule površine trougla, formule date pod rednim bojem 4,1; apscise i odsečci pravih na y osi:

Grafičko tumačenje formule površine trougla.bmp

5) Primer jednog oblika formule za površinu trougla dobijen iz uslova jednakosti koeficijenata dveju kubnih jednačina(biće obrađen posebno):
P∆ABC = – [1/2(a0)2](k1 – k2)(k2 – k3)(k3 – k1)  –  formula za računanje površine trougla  proizvodom razlika koeficijenata pravca pravih.
Prave su paralelne sa stranicama trougla, a temena trougla su na paraboli .

Proizvod razlika koef. pravaca pravih – površina trougla
Primenu formule videti u dokumentu: Proizvod razlika koef. pravaca pravih – površina trougla


Autor metode i formula:
maš. inž. Mladen Popović

Advertisements