APSCISE TAČAKA , ODSEČCI PRAVIH NA Y OSI – POVRŠINA TROUGLA
Razlike odsečaka pravih na y osI, razlike koeficijenata pravca pravih  i razlika apscisa temena trougla- površina trougla

Klasične formule površine trougla izražavaju se preko koordinata temena trougla:
1) P∆ABC = (1/2)[ x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)];
2) P∆ABC = (1/2)[ (x2– x1)(y2 + y1) +(x3– x2)(y3 + y2) + (x1– x3)(y1 + y3) ].
Kako izgledaju formule površine trougla kada se površina izražava koeficijentima prave i apscisama temena trougla?

Metod rada-Koeficijenti prave.
Principi:
-Presek dve prave je tačka.
-Trougao je geometrijski oblik dobijen presekom triju pravih.

Ubacivanjem jednačina pravih u izraraz za površinu trougla, pod rednim br.1, ili rednim br. 2, dobija se nova formula za površinu trougla; formula je prilagođena zadacima(metodu rada koeficijentima prave) u kojima su poznati koeficijenti pravih i apscise temena trougla:
3)
  ————- (3);

važan oblik formule- služi mi za definisanje površine trougla na graficima krivih linija. Pogledajmo, kroz primer, kako se neposredno koristi formula pod rednim br.(3).

Zadatak br.1:
Data je apscisa x1=xA=-1 tačke A na pravoj f12(x) = -2x +3 i apscisa x3=xC=3 tačke C na pravoj f23(x) = 3x -1; tačka B data je presekom f12(x) = f23(x) .
Odrediti površinu ∆ABC.
Izrada
-Potrebna formula:
.

-Potrebne vrednosi:
  k12 =-2,   k32 =3;  n12  =3  , n23 = – 1;
apscisa x2=xB se dobija rešenjem jednakosti:
f12(x) = -2x +3 = f23(x) = 3x -1
-2x +3 = 3x -1  →    x=x2=4/5  , x1=-1,  x3=xC=3;

-Površina:
,

→                                        P∆ABC = = 9,9 . 

3.1) Moja omiljena formula površine trougla na paraboli izvedena je pomoću formule za površinu trougla date pod rednim brojem (3) :
PABC =(1/2) a0(x3 – x1)(x1 – x2)(x2 – x3). ————————- 3.1.

4) Primer primene formule površine bilo kog trougla, gde se za potrebe formule koriste  odsečci pravih na y osi i  razlike apscisa temena trougla- preseci triju pravih:
P∆ABC =(1/2) [ (x2– x1)n12 + (x3– x2)n32 + (x1– x3)n31] ———–  4.1, ili:
P∆ABC =(1/2) [ x1(n31– n12 ) + x2(n12 – n32 )+ x3(n32 – n31)] —–  4.2.

Primer primene formule pod rednim bojem 4.1:

Apscise tačaka, odsečci pravih na y osi - površina trougla

Zadatak br.2: Data je parabola i tri prave:

Tri prave se seku, i u ovom zadatku sasvim slučajno seku se na paraboli gradeći ∆ ABC. Odrediti položaj i površinu ∆ ABC koristeći formulu:
P∆ABC =(1/2 ) [ (x2 – x1)n12 + (x3 – x2)n32 + (x3 – x1)n31].

Izrada
-Apscise temena trougla:
a) Presek prve i treće prave:

b) Presek prve i druge prave:

c)Presek druge i treće prave:

-Odsečci pravih na y osi su:   n12  =1/2  ,     n13 = -3 ,     n23 = – 13.

Kada je trougao na grafiku parabole odsečke računamo po formulama:
n12 = a2 – a0 x1x2 = 2 – (1/2)(1)(3) = 1/2                         n21 = 1/2 ,
n32 = a2 – a0 x2x3 = 2 – (1/2)(3)(10) = -13                       n32 = -13 ,
n13 = a2 – a0 x1x3 = 2 – (1/2)(1)(10) = – 3                        n13 = -3 ;
Zadatak se može reši i kada nisu date vrednosti odsečaka pravih na y osi;
x1 , x2 , x3  su , po opisanom postupku, dobijeni iz:
k12 = -3,   k32 = 3/2,  k13 = 1/2
Primenu formula u izradi zadatka videti u članku:  Apscise tačaka, odsečci pravih na y osi – površina trougla

Na slici ispod je grafički prikaz sabiraka iz formule površine trougla, formule date pod rednim bojem 4,1; apscise i odsečci pravih na y osi:

Grafičko tumačenje formule površine trougla.bmp

5) Primer jednog oblika formule za površinu trougla dobijen iz uslova jednakosti koeficijenata dveju kubnih jednačina(biće obrađen posebno):
P∆ABC = – [1/2(a0)2](k1 – k2)(k2 – k3)(k3 – k1)  –  formula za računanje površine trougla  proizvodom razlika koeficijenata pravca pravih.
Prave su paralelne sa stranicama trougla, a temena trougla su na paraboli .

Proizvod razlika koef. pravaca pravih – površina trougla
Primenu formule videti u dokumentu: Proizvod razlika koef. pravaca pravih – površina trougla


Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs

Advertisements