APSCISE TAČAKA , ODSEČCI PRAVIH NA Y OSI – POVRŠINA TROUGLA

Razlike odsečaka od pravih na y osi, razlike koeficijenata pravca pravih  i razlika apscisa temena trougla- površina trougla i karakteristika K

Metod rada-Koeficijenti prave.

Klasične formule površine trougla sadrže koordinata temena trougla:
P∆ABC = (1/2)[ x1(y2–y3)+x2(y3–y1)+x3(y1–y2)];
P∆ABC = (1/2)[(x2–x1)(y2+y1)+(x3–x2)(y3+y2)+(x1–x3)(y1+y3)].

Kako će izgledati površina trougla kada površinu izrazim koeficijentima prave i apscisama temena trougla?

Metod koeficijenata prave ne koristi ordinate. U formuli površine trougla, kao i u ostalim formulama analitičke geometrije, ordinate  tačaka(y1,y2,y3 ) označavam punom jedačinom prave:
f12(x1)=k12x1+n12 , f23(x1)=k23x1+n23

1) –Principi:
-Presek dve prave je tačka.
-Trougao je geometrijski oblik dobijen presekom triju pravih.

-U prvi izaz površine zamenjujem y1, yi y3 (ordinate tri temena trougla) vrednostima
f12(x1)= k12x2+n12 ,  f23(x2)= k12x1+n12  i  f31(x3)=  k31x1+n31  :
2P∆ABC =[x1(y2–y3)+x2(y3–y1)+x3(y1–y2)]=
x1y2-x1y3+x2y3–x2y1+x3y1–x3y2;

x1y2-x2y1=x1(k12x2+n12)-x2(k12x1+n12)=(x1-x2)n12 ,
x3y1-x1y3=(x3-x1)n31 ,
x2y3-x3y2=(x2-x3)n23 ;

-sabiram leve i desne strana i dobijam:
2P∆ABC =[(x1-x2)n12+(x2-x3)n23+(x3-x1)n31] ———– (1.0) ili
2P∆ABC =[x1(n12-n31)+x2(n23-n12)+x3(n31-n23)] —–– (1.1).

-Opet zamene, K- karakteristiku preseka i apscise (n12–n31)=x1(x3–x2)K,
(n23–n12)=x2(x1–x3)K,  (n31–n23)=x3(x2–x1)K zamenjujem u
2P∆ABC =[x1(n12-n31)+x2(n23-n12)+x3(n31-n23)] i dobijam
2P∆ABC =[x12(x3–x1)+x22(x1–x3)+x32(x2–x1)]K.

Rezultat množenja je:
[(x12x3– x12x1)+(x22x1– x22x3)+(x32x2– x32x1)]K=
(x1–x3)(x2–x3)(x2–x1)K.

2P∆ABC=(x1–x3)(x2–x3)(x2–x1)K ——– (3.0).

U zadnjem izrazu imam karakteristiku K triju pravih. Pomoću K izvodim sve ostale oblike(izraze) površine:

-Pomoću K  x3(x2–x1)K=(n31–n23) , x1(x3–x2)K=(n12–n31)…  te će, posle njihove zamene, površine biti:
2x1P∆CAB=(x1–x3)(x1–x2)(n12–n31)  —  (4.0),
2x3P∆BCA=(x1–x3)(x2–x3)(n31–n23)  —  (4.1),
2x2P∆ABC=(x2–x3)(x2–x1)(n23–n12)  —  (4.2).

2) –Drugi način(izvor) za izvođenje površine je
2P∆ABC= (x3-x2)[f12(x1)-f23(x1)]=
(x3-x2)[(k12-k23)x1+n12-n23].

U zadnji izraz zamenjujem presek
i dolazim do konačne formule:

1. zadatak:
Data je apscisa x1=xA=-1 tačke A na pravoj f12(x) = -2x +3 i apscisa x3=xC=3 tačke C na pravoj f23(x) = 3x -1; tačka B data je presekom f12(x) = f23(x) .
Odrediti površinu ∆ABC.

Izrada
-Zadate i potrebne vrednosi:
x1=-1,  x3=xC=3; x2 n12=3  , n23 = – 1;
apscisu x2=xB  dobijam rešenjem jednakosti:
f12(x) = -2x +3 = f23(x) = 3x -1
-2x +3 = 3x -1  →    x=x2=4/5  ;


(k12-k23)= (-2-3)=-5,n12–n31 =3-(-1)=4.

-Površina:
,

3) Proizvodi razlika apscisa daju bazni izraz(samo apscise):
(x1–x3)(x1–x2)=B(x1 ),
(x1–x3)(x2–x3)=B(x3 ),
(x2–x3)(x2–x1)=B(x2 ), pa će
preći u:

2x1P∆CAB=B(x1)(n12–n31),
2x3P∆BCA=B(x3)(n31–n23),
2x2P∆ABC=B(x2)(n23–n12).

Stavljam da je x= x ili x= x , ili x1=x u formule pod rednim brojem (4.1),(4.2) ili (4.2) – formule  postaju funkcijaje površine.
PRIMER:
2x3P∆BCA=(x3-x2)[-(n31–n23)x+(n31–n23)x3] ———– (4.2.1).

4) – Množim izraz pod rednim brojem (4.2) sa K2:

-Zamenjujem K(x3– x2) i K(x1– x),  razlikom (n12-n31)/x1 i (n23-n31)/x3
i dobijam:
————– (5).

5) –OSNOVNA ZATVORENA PETLJA DUŽ STRANICA TROUGLA
(n12-n23)x1x3+(n23-n31)x1x2+(n31-n12)x2x3=0 ————–(11.1).

Dodatak:
K- karakteristika preseka triju pravih.
Osnovna veza apscisa preseka pravih i odsečaka pravih na y osi(i koeficijenata pravca pravih) :

(videti članak- Osnovna veza odsečaka pravih na y osi i apscisa tačaka preseka pravih).

2. zadatak:
a)Primeni formulu 2P∆ABC=(x1-x)(x3-x2)(x1-x3)K  i izračunaj površinu trougla:
2P∆ABC=(x1-x)(x3-x2)(x1-x3)K .
x1=1, x2=6,  x3=10,  K=(1/2).

Izrada:
2P∆ABC=(1-6)(10- 6)(1-10)(1/2)=90.

b) proveri rezultat pomoću 2P∆ABC=[x1(n31-n12 )+x2(n12-n32 )+x3(n32-n31)] i zadatih vrednosti iz prvog dela zadatka.
Napomena: nepoznate razlike odsečaka su u izrazu za karakteristiku K, pod rednim brojem (11).

Na slici je grafički prikaz trougla iz drugog dela zadatka i prikaz sabiraka
u 2P∆ABC=[(x2-x1)n12+(x3-x2)n32+(x1– x3)n31]:

Grafičko tumačenje formule površine trougla.bmp

Od autora metoda i izvođenja
srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. m. inž. Mladen Popović