Šema za pisanje jednačine prave na polinomu n. stepena
Šema pisanja koeficijenata jednačine prave na polinomu n. stepena pomoću razlika kvadrata x2– x21 apscisa tačaka, razlika kubova, razlike četvrtih stepena…n. stepena
Metod rada – koeficijenti prave.
                                          Uvodna objašnjenja
Binomi razlike dveju apscisa n. stepena će se zapisivati u rastavljenom obliku.
Bazni izraz je množitelj rastavljenog oblika- rastavljenog izraza razlike apscisa n. stepena, tj. razlike dva monoma n.stepena. U svim slučajevima množenik je (x–x1).

Šema br.1- binomi razlika apscisa:
x12 – x11 = (x2 – x1 )(1);
x22 – x21 = (x2 – x1 )( x1+x2) – razlika apcisa i bazni izraz polinoma F2(x) drugog stepena;
x32 – x31 = (x2 – x1 )( x12 +x1x2+x22 ) – razlika apcisa i bazni izraz polinoma F3(x);
x42 – x41 = (x2 – x1 )[ x13+x1x2(x1+ x2 ) +x23 ] – razlika apcisa i bazni izraz polinoma F4(x);
x52 – x51 = (x2 – x1 )[ x14+x1x2(x12 +x1x2+x22)+x24 ] –  razlika apcisa i bazni izraz polinoma F5(x) ;
.
.
xn2 – xn1 = (x2 – x1 )[ x1n-1 +……………………  +x2n-1] :razlika apcisa  bazni izraz polinoma n-tog stepena Fn(x) .
-Jednačina prave fn(x) je prava polinoma Fn(x):
fn(x) =kx +n.

-Množenjem baznih izraza iz tabele koeficijentima a0, a1, a2, a3, a4, a5, . . . . , an-1 i njihovim sabiranjem dobija se formula za koeficijent pravca kn jednačine
prave fn(x).

-Slobodni član n se dobija kao razlika jenog od koeficijenata a2, a3, a4, a . . .
i poizvoda x1x2 kn-1 , gde je kn-1  za jedinicu nižeg stepena od polinoma  Fn(x) :
nn= an – x1x2kn-1.

Šema pisanja koeficijenata prave i jednačine prave na polinomu četvrtog, petog… i n.stepena

Drugi stepen:
F2(x)=a0x3+a1x+a2;
f2(x)k2 x+n2 – jednačina prave na polinomu F2(x):
k2 =a0 (x1+x2)+a1(1) – koeficijent pravca prave,
n2 =a2–x1x2k1=a2–x1x2a0  – slobodni član prave:
k1=a0 – koeficijent pravca prave na polinomu F1(x)=f(x) = a0x +a1.
Konačno, f2(x)=[a0(x1+x2)+a1]x+a2–a0x1x2.

Treći stepen:
F3(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3;
f3(x)k3 x+n3 – jednačina prave na polinomu F3(x):
k3 = a0 [x1+x1x2+x22]+a1(x1+x2)+a2 (1) – koeficijent pravca prave,
n3 = a3–x1x2k2 – slobodni član prave:
k2  – koeficijent pravca prave na polinomu F2(x) = a0x+a1x +a2.
Konačno, f3(x)=[a0(x1+x1x2+x22)+a1(x1+x2)+a2]x+a3-x1x2[a0(x1+x2)+a1].

Čevrti stepen:
F4(x) = a0x4 +a1x3 +a2x2 + a3x + a4;
f4(x). = k4x +n4 – jednačina prave na polinomu F4(X):

k4
= a0[x13+x1x2(x1+ x2 ) +x23 ]+a1[x12 +x1x2+x22 ]+a2(x1+x2 )+ a3(1)
– koeficijent pravca prave,
n4 = a4 – x1x2 k3 – slobodni član prave:
k3 – koeficijent pravca prave na polinomu F3(x) = a0x3 +a1x2 +a2x + a3.

Peti stepen:
F5(x) = a0x5 +a1x4 +a2x3 + a3x2 + a4x + a5;
f5(x). = k5x +n5 – jednačina prave na polinomu F5(X):

k5 = a0[x14+x1x2(x12 +x1x2+x22)+x24]+a1[x13+x1x2(x1+x2 )+x23 ]+a2[x12 +x1x2+x22 ]+a3(x1+x2 )+ a4 (1)– koeficijent pravca prave;
n5 = a5 – x1x2 k4 – slobodni član prave,
k4  – koeficijent pravca prave na polinomu F4(X)= a0x+a1x+a2x+ a3x + a4 .

Šema pisanja jednačine prave na polinomu n-tog stepena.bmp

N. stepen:
Fn(x) = a0xn +a1xn-1 +a2xn-2 +……..+an;
fn(x). = knx +nnjednačina prave na polinomu Fn(x) :
kn = a0[x1n-1 +….+x2n-1]+a1[x1n-2 +…..+x2n-2]+a2[x1n-3 +…..+x2n-3]+….+an-2(x1+x2 )+an-1 (1)koeficijent pravca prave na polinomu n. stepena;
nn = an – x1x2 kn-1slobodni član prave na polinomu n. stepena.

Dakle, za pisanje koeficijenta pravca prave koristi se odgovarajući bazni izraz-množitelj rastavljenog oblika monomnih razlika apscisa tačaka.
 Objašnjene šeme za pisanje formula nije potrebno; boja baznih izraza pokazuje po kom redu se oni postavljaju u formulu koeficijenta pravca prave.

Primer primene šeme za pisanje jednačine prave na polinomu četvrtog i petog stepena videti u zadatku:
Šema za pisanja jedn.prave na polinomu četvrtog i petog stepena

Algebarske izraze: x1 + x2;   x12+ x1 x2 +x22;   x13+x1x2 (x1+x2 )+x23…. u tabeli br. 1 nazivam baznim izrazima; neograničen je broj obrazaca u kojima se ovi izrazi pojavljuju: jednačina prave, zatim jednačina prave i tengente na krivim linijama, formule površine trougla između pravih i između pravih i krivih linija, određeni integral na polinomu…

Inače, ako ne želite da koristite šablon za pisanje jednačine prave, osnovni način izvođenja jednačine prave i tangete na krivim linijama je dat u članku:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/12/limes-koeficijenata-prave-i-l-hospital-bernoulli/  , a delimično i u https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2015/06/11/matematika/  i još negde…

Autor metode i formula:
maš. inž. Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs

Advertisements