Šema za pisanje jednačine prave na polinomu n stepena
Šema pisanja koeficijenata jednačine prave na polinomu, stepena n, pomoću rastavljenog oblika razlika kvadrata apscisa tačaka, razlika kubova…

Metod rada – koeficijenti prave.
                                          Uvodna objašnjenja
Binom razlike dveju apscisa, stepena n, pišemo u rastavljenom obliku:
Bazni izraz je množilac rastavljenog oblika- rastavljenog izraza razlika apscisa n stepena, tj. razlike dva monoma n stepena. U svim slučajevima (x–x1) je množenik..

Šema br.1- binomi razlika apscisa:
x12 – x11 = (x2 – x1 )(1);
x22 – x21 = (x2 – x1 )( x1+x2) – razlika apcisa i bazni izraz polinoma F2(x) drugog stepena;
x32 – x31 = (x2 – x1 )( x12+x1x2+x22 ) – razlika apcisa i bazni izraz polinoma F3(x);
x42 – x41 = (x2 – x1 )[ x13+x1x2(x1+ x2 ) +x23 ] – razlika apcisa i bazni izraz polinoma F4(x);
x52 – x51 = (x2 – x1 )[ x14+x1x2(x12 +x1x2+x22)+x24 ] –  razlika apcisa i bazni izraz polinoma F5(x) ;
.
.
xn2 – xn1 = (x2 – x1 )[ x1n-1 +……………………  +x2n-1] :razlika apcisa  bazni izraz polinoma n-tog stepena Fn(x) .
Jednačina prave fn12(x) je jednačina prave na polinomu Fn(x): fn12(x) =kn12x +mn12.

Koeficijent pravca prave:
-Množenjem baznih izraza iz tabele odgovarajućim koeficijentima a0, a1, a2, a3, a4, a5, . . . . , an-1 i njihovim sabiranjem dobija se formula za koeficijent pravca kn jednačine
prave fn(x).
Primer: a0(1);  a1(1)+a0(x1+x2);  a2(1)+a1(x1+x2)+a0(x12+x1x2+x22)…

Slobodni član prave:
Iz jenačine prave f12(x)=k12x+n12 , na krivoj F(x), slobodan član je:
n12= f12(x1)-k12x1= F(x1)-k12x1 .
Primer:
-za parabolu:
n12= F(x1)-k12x1= a0x12+a1x1+a2-[ a0(x1+x2)+a1(1)]x1 =a2–x1x2a0;
 -za kubnu:
n12= F(x1)-k12x1= a0x13+a1x12+a2x1+a3-[a0(x12+x1x2+x22)+a1(x1+x2)+a2(1)]x1=
a3–x1x2[a0(x1+x2)+a1(1)].

Dakle, slobodan član n se dobija kao razlika a2 ili a3 ili a4, a . . .
i poizvoda x1x2kn-1; kn-1 je za jedinicu nižeg stepena od polinoma  Fn(x) :
nn= an–x1x2kn-1.

Šema pisanja koeficijenata prave i jednačine prave na polinomu četvrtog i petog stepena

Drugi stepen:
F2(x)=a0x3+a1x+a2;
f2(x)k2 x+n2 – jednačina prave na polinomu F2(x):
k2 =a0 (x1+x2)+a1(1) – koeficijent pravca prave,
n2 =a2–x1x2k1=a2–x1x2a0  – slobodni član prave:
k1=a0 – koeficijent pravca prave na polinomu F1(x)=f(x) = a0x +a1.
Konačno, f2(x)=[a0(x1+x2)+a1]x+a2–a0x1x2.

Treći stepen:
F3(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3;
f3(x)k3 x+n3 – jednačina prave na polinomu F3(x):
k3 = a0 [x1+x1x2+x22]+a1(x1+x2)+a2 (1) – koeficijent pravca prave,
n3 = a3–x1x2k2 – slobodni član prave:
k2  – koeficijent pravca prave na polinomu F2(x) = a0x+a1x +a2.
Konačno, f3(x)=[a0(x1+x1x2+x22)+a1(x1+x2)+a2]x+a3-x1x2[a0(x1+x2)+a1].

Čevrti stepen:
F4(x) = a0x4 +a1x3 +a2x2 + a3x + a4;
f4(x). = k4x +n4 – jednačina prave na polinomu F4(X):

k4
= a0[x13+x1x2(x1+ x2 ) +x23 ]+a1[x12 +x1x2+x22 ]+a2(x1+x2 )+ a3(1)
– koeficijent pravca prave,
n4 = a4 – x1x2 k3 – slobodni član prave:
k3 – koeficijent pravca prave na polinomu F3(x) = a0x3 +a1x2 +a2x + a3.

Peti stepen:
F5(x) = a0x5 +a1x4 +a2x3 + a3x2 + a4x + a5;
f5(x). = k5x +n5 – jednačina prave na polinomu F5(X):

k5 = a0[x14+x1x2(x12 +x1x2+x22)+x24]+a1[x13+x1x2(x1+x2 )+x23 ]+a2[x12 +x1x2+x22 ]+a3(x1+x2 )+ a4 (1)– koeficijent pravca prave;
n5 = a5 – x1x2 k4 – slobodni član prave,
k4  – koeficijent pravca prave na polinomu F4(X)= a0x+a1x+a2x+ a3x + a4 .

Šema pisanja jednačine prave na polinomu n-tog stepena.bmp

N. stepen:
Fn(x) = a0xn +a1xn-1 +a2xn-2 +……..+an;
fn(x). = knx +nnjednačina prave na polinomu Fn(x) :
kn = a0[x1n-1 +….+x2n-1]+a1[x1n-2 +…..+x2n-2]+a2[x1n-3 +…..+x2n-3]+….+an-2(x1+x2 )+an-1 (1)koeficijent pravca prave na polinomu n. stepena;
nn = an – x1x2 kn-1slobodni član prave na polinomu n. stepena.

Dakle, za pisanje koeficijenta pravca prave koristi se odgovarajući bazni izraz-množitelj rastavljenog oblika razlika apscisa stepena n. Objašnjene šeme za pisanje formula nije potrebno; boja baznih izraza omogućuje čitaocu da lako uoči mesto gde se oni nalaze  u formuli koeficijenta pravca prave.
Primer primene šeme za pisanje jednačine prave na polinomu četvrtog i petog stepena videti u zadatku:

c5a1ema-za-pisanja-jedn-prave-na-polinomu-c48detvrtog-i-petog-stepena

U tabeli br. 1 algebarske izraze: x1 + x2;   x12+ x1 x2 +x22;   x13+x1x2 (x1+x2 )+x23…. nazivam baznim izrazima jer sadrže samo apscise tačaka.

Neograničen je broj obrazaca u kojima se ovi izrazi pojavljuju: jednačina prave,
jednačina prave i tengente na krivim linijama, formule površine trougla između pravih i između pravih i krivih linija, određeni integral na polinomu…

Inače, ako ne želite da koristite šablon za pisanje jednačine prave, postoje i drugi načini izvođenja jednačine prave i tangete na krivim linijama:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/12/limes-koeficijenata-prave-i-l-hospital-bernoulli/  , a delimično i u https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2015/06/11/matematika/  i još negde…

Autor metode i formula:
maš. inž. Mladen Popović