Površina trougla na kubnoj i primer urađenog zadatka

Površina trougla na kubnoj i primer urađenog zadatka

Oblik formule za površinu trougla na kubnoj- polinomu trećeg stepena i  primer urađenog zadatka

Metod rada- koeficijenti prave.

Površina trougla na kubnoj F_3(X) = a₀x³+a₁x²+a₂x +a₂ :
Površina ∆ABC na kubnoj se može napisati u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i kubne:
x₁ , x₂ , x₃ –apscisa temena trougla;
K=b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁ -karakteristika  trougla triju pravih na kubnoj.

 Osnovni oblik površine:
2P _ABC=(x₁-x₂)(x₃-x₂)(k₁₂-k₂₃ )=(x₁-x₂)(x₃-x₂)K(x₁-x₃) ili:
2P _ABC=(x₁-x₂)(x₃-x₂)(x₁-x₃)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]   ——– (1)

Zadatak:
– Data je kubna:

Temena ∆ ABC na kubnoj imaju  apscise:

Odrediti površinu trougla.

Na slici ispod je grafik kubne i tražena površina trogla.

Izrada:
– Potrebna formula:
2P₃ = (x₁-x₂)(x₂-x₃)(x₃-x₁)K

-Zadate vrednosti:

Potrebne brojne vrednosti :

.

Zamena:
2P₃ = (x₁-x₂)(x₂-x₃)(x₃-x₁)K=
,– izračunata površina ∆ A₁B₁C₁ .

Detaljnije urađen zadatak je u dokumentu:
povrc5a1ina-trougla-na-kubnoj-i-primer-urac491enog-zadatka-1

Pomoćna sredstva:
-Korišćen program“GeoGebra“.

Autor,
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

Formule površine trougla na hiperbolama

                           Formule površine trougla na hiperbolama

Površine trougla na prostoj hiperboli H_{1(x) =} C₁ /x , na kvadratnoj hiperboli H_2(x) = C₂ /x²  i  primer urađenog zadatka

Metod rada- koeficijenti prave.

Osnovne formule od kojih izvodim ostale formule hiperbole su:
2P_∆ABC =ah_a=(x₃-x₂)[f₁₂ (x₁)-f₂₃(x₁)]=(x₃-x₂)(x₁-x₂)(k₁₂-k₂₃),
odnosno:

2P_∆ABC =(x₂-x₁)(x₂-x₃)(k₁₂-k₂₃);
2x₂P_∆ABC =(x₂-x₁)(x₂-x₃)(n₂₃-n₁₂).

-Dodajem:
B(x₂)=(x₂-x₁)(x₂-x₃)-bazni izraz,
K(x₁–x₃)=(k₁₂-k₂₃) – karakteristiku K dveju pravi(tri nekolinearne tačke).

-Površine hiperbole su sada:
a) 2P_∆ABC = B(x₂)(k₁₂-k₂₃),
2P_∆ABC =B(x₂)(x₁–x₃)K ili:
2P_∆ABC =(x₂-x₁)B(x₃)K;

b) 2x₂P_∆ABC = B(x₂)(n₂₃-n₁₂),
2x₂P_∆ABC = B(x₂)(x₁–x₃)K.

U formulama je:
(x₂–x₁)(x₂–x₃)=B(x₂) i (x₂–x₃)(x₁–x₃)=B(x₃) ;
x₁,  x₂,  x₃  – apscise temena ∆ ABC, a  A, B, i C  tačke preseka triju pravih na hiperbolama;
n₁₂, n₂₃,  n₁₃ – odsečci od pravih na y osi, k₁₂, k₂₃ – koeficijenti ptravca pravih;

K- karakteristika trougla triju pravih:
(k₁₂-k₂₃)=K(x₁-x₃) – za teme A,
(n₁₂-n₂₃)=K(x₁-x₃)x₂-za teme A.

Dakle, zamenjujem razlike (k₁₂-k₂₃) ili (n₁₂-n₂₃) proizvodom K(x₁-x₃) ili K(x₁-x₃)x₂.

– Površina trougla na prostoj hiperboli:

2P_∆ABC =B(x₂)(x₁–x₃)K,
.

– Površina trougla na kvadratnoj hiperboli:

2P_∆ABC =B(x₂)(x₁–x₃)K,

Zadatak:

– Date su dve hiperbole:
.

Na svakoj hiperboli je jedan trougao, a apscise temena trouglova su iste:
x₁ = x_A1 = x_A2 = -7,
x₂ = x_B1 = x_B2 = -4,
x₃ = x_C1 = x_C2 =   4 .

Odrediti površine.

Na slici su grafici hiprbola i traženi troglovi.

Rešenje zadatka videti u dokumentu:
formule-za-povrc5a1inu-trougla-na-hiperbolama-i-primer-urac491enog-zadatka3 (1)

Pomoćna sredstva:
-Korišćen program“GeoGebra“.

Autor,
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović