ODREĐIVANJE PRESEKA PRAVE fa(x) I PRAVE fb(x)

Metod koeficijenata prave: Prava fa(x) na paraboli Fa(x)  i prava fb(x) na paraboli Fb(x) . Određivanje preseka prave  fa(x) i prave fb(x)

                 Presek dve prave bez određivanja jednačine druge prave

Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –parabola.

 Pretpostavke:
a)
Prava fa(x) seče svoju parabolu Fa(x) u tački A i tački C. Apscise preseka su: xA = x1 i  xC = x2 .
b) Prava fb(x) seče svoju parabolu Fb(x) u tački D i tački E. Apscise preseka su: xD = x1 i  xE = x2.
Odnosno,  xA = xD = x1  i  xC = xE = x2
c) Poznate su jednačine parabole Fa(x) i Fb(x) i jednačina prave fa(x) .
Jednačina prave fb(x) nije poznata.

Grafik dve parabole Fa(x) i Fb(x) , dve prave i njihov presek P:

Da bi se odredio presek poznate prave fa(x) i “nepoznate prave” fb(x) potrebo je uspostaviti potrebne odnose između apscise xp preseka pravih, koeficijenata jednačina parabola i koeficijenta jednačine poznate prave.

Potrebne formule:
a) Fa(x) = a0x2 + a1x +a– parabola,
fa(x) = [a0(x1 + x2) + a1]x + a2  – a0x1x2  = kx +n – prava na paraboli Fa(x) ;
b) Fb(x) = b0x3 + b1x2 +b2x +b3,
fb(x) = [b0(x1 + x2) + b1]x + b2 – b0x1x2  – prava na paraboli Fb(x) .

Potrebni odnosi:
c) Potrebna je smena za eliminaciju apscisa x1 i x2 iz izraza za xp , izraza pod rednim brojem (3):
k = [a0(x1 + x2) + a1]  je koeficijent pravca prave fa(x) , pa je:

n2 = a2  – a0x1x2 slobodan član prave fa(x) , pa je:


d) uslov preseka fa(x) i fb(x) :
[a0(x1 + x2) + a1]x + a2  – a0x1x2  =  [b0(x1 + x2) + b1]x + b2  – b0x1x2 .
Rešavajući uslov preseka po x  sledi:

Izvođenje izraza za presek dve prave preko koeficijenata jednačine poznate prave i koeficijenata parabola

Transformacijom izraza (3) za xp ; zamenom x1 + x2 i  x1x2 vrednostima iz izraza (1) i (2) imamo:

U uzrazu pod rednim brojem(4) apcisa xp zavisi samo od koeficijenata jednačine prave i koeficijenata jednačina baznih krivih Fa(x) i Fb(x) –što i jeste cilj metode :
a0 , a1 , a2  -koeficijenti jednačine parabole Fa(x) ;
b0 , b1 , b2  -koeficijenti jednačine parabole Fb(x) ;
k, n su koeficijenti iz fa(x) = kx +n – poznate jednačine prave na paraboli Fa(x).

Zadatak
10) Dati su izrazi:
– Parabola Fa(x) = x2 + x +2  i njena presečna prava fa(x) = 2x +1.

čiji izraz nije poznata, ali se zna da su apscise presečnih tačaka nje i njene parabole iste, kao i apscise presečnih tačaka prave fa(x) i njene parabole Fa(x) – uslov pri izvođenju formule za presek dve prave.

Odrediti presek poznate prave fa(x) i nepoznate prave fb(x), bez određivanja nepoznate prave.

Poznate vrednosti:
Fa(x) = x2 + x -2  → a0 =1,  a1 =1,  a2 = -2;

fa(x) = 2x +1→  k =2,  n=1;

Izrada:
Koristimo obrazac pod rednim brojem (4)-formulu za računanje apscise preseka xp :

Izračunata ascisa preseka prave fa(x) = 2x +1 i nepoznate prave
fb(x) = [b0(x1 + x2) + b1]x + b2  – b0x1x2  l

Isti zadatak i dokaz tačnosti traženih vrednosti možete videti u  dokumentu:
Presek poznate i “nepoznate prave” – Prave na parabolama

Proces dokazivanja je duži nego sam zadatak; proces je duži jer se dokaz izvodi po ustaljenom postupku računanja  presečnih tačaka prave i krive… Na kraju dokaza  napisana je jednačina nepoznate prave fb(x) .

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
Autor metode:
dip. maš. inž. Mladen Popović

Advertisements