ODREĐIVANJE PRESEKA PRAVE fa(x) I PRAVE fb(x)
Određivanje preseka prave fa(x) parabole Fa(x) i prave fb(x) parabole Fb(x)

Presek dve prave bez određivanja jednačine druge prave

Metod rada-koeficijenti prave.

Pretpostavke:
a)
Prava fa(x) seče parabolu Fa(x) u tački A i tački C. Apscise preseka su:
xA=x1 i xC=x2 .

b) Prava fb(x) seče parabolu Fb(x) u tački D i tački E. Apscise preseka su:
xD=x1 i xE=x2.
Odnosno,  xA=xD=x1 i xC=xE=x2 .

c) Poznate su jednačine: Fa(x), Fb(x), fa(x).
Jednačina prave fb(x) nije poznata.
Grafik dve parabole, dve prave i njihov presek P:

Potrebne formule:
a) Fa(x)=a0x2+a1x+a– parabola,
fa(x)=[a0(x1+x2)+a1]x+a2 -a0x1x2 = k x+n – prava na paraboli Fa(x);

b) Fb(x)=b0x2+b1x+b2,
fb(x)=b0(x1+x2)+b1]x+b2 -b0x1x2 – prava na paraboli Fb(x) .
Da bi se odredio presek poznate prave fa(x) i “nepoznate prave” fb(x) potrebo je uspostaviti potrebne odnose između apscise xp preseka pravih, koeficijenata jednačina parabola i koeficijenata jednačine poznate prave.

Potrebni odnosi:
c) Potreba smena, pod rednim brojem(3), za eliminaciju apscisa x1 i x2 iz izraza za xp :
k=[a0(x1+x2)+a1] – koef. pravca prave fa(x) , pa je:
   ————–  (1),

n2= a2 – a0x1x2 – slobodan član prave fa(x) , pa je:
    ————–  (2);
d) uslov preseka fa(x) i fb(x):,
[a0(x1+x2)+a1]x+a2 – a0x1x2=[b0(x1+x2)+b1]x+b2 – b0x1x2 .
Rešavajući uslov preseka po x  sledi:
  —–  (3).

Promenimo zadnji izraz za xp  zamenom x1+x2 i  x1x2 vrednostima njihovih izraza pod rednim broj (1) i (2):

    ———–  (4).

U zadnjem izrazu apcisa xp zavisi samo od koeficijenata jednačine prave i koeficijenata jednačina krive Fa(x) i Fb(x)–što i jeste cilj metode :

a0 , a1 , a2  -koeficijenti jednačine parabole Fa(x);
b0 , b1 , b2  -koeficijenti jednačine parabole Fb(x);
k, n su koeficijenti  fa(x)= kx+n – jednačine prave na paraboli Fa(x).

10.zadatak
Zadato:
– Parabola Fa(x)=x2+x-2  i njena prava fa(x)=2x+1.
– Parabola Fb(x)=(1/3)x2+3x+3 i njena prava fb(x)= kbx +nb ,nije poznata, ali se zna da su apscise preseka nje i njene parabole iste– uslov pri izvođenju formule za presek dve prave.

Odrediti presek poznate fa(x) i nepoznate fb(x) prave, bez određivanja nepoznate prave.

Poznate vrednosti:
Fa(x)=x2+x-2  → a0 =1,  a1 =1,  a2 = -2;
Fb(x)=(1/3)x2+3x+3 → b0=,  b1 =3,  b2 =3;
fa(x)=2x+1→  k=2,  n=1;

Izrada:
Iskoristimo formulu rednog broja (4), apscisee xp:



  xp=(-9/4)= -2,25   – izračunata ascisa preseka prave  fa(x) =2x+1  i prave fb(x) =[b0(x1+x2)+b1]x+b2 -b0x1x2  .

Provera:
a)- Definisanje tačke preseka P(xP, yP) = P[(-9/4), yP]:
fa(xp)= yP = 2xp+1,

Preseci parabole i njene prave :
Fa(x) = fa(x) → x2+x-2=2x+1 → x2-x-3= 0 ,

Slede vrednosti:

Presečna tačka je:

, – dokaz završen. 

b)- Određivanje nepoznate prave fb(x):
fb(x) = [b0(x1+x2)+b1]x+b2 -b0x1x2 =

određivanje preseka dve prave:
fa(x) = fb(x),   2x+1=(10/3)x+4 → 6x+3 =10x+12; →
x=xp =(-9/4)=-2,25 – potvrđen dokaz.

Isti zadatak je urađen u dokumentu:
presek-poznate-i-e2809cnepoznate-pravee2809d-e28093-prave-na-parabolama2

Proces dokazivanja je duži nego sam zadatak; duži je proces jer se dokaz izvodi po ustaljenom postupku računanja  preseka prave i krive…

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
Autor metode:
dip. maš. inž. Mladen Popović