GRUPA FORMULA ZA POVRŠINU TROUGLA NA PARABOLI- KOEF. PRAVE
Parabola i njene prave: Formule za površinu trougla na paraboli u oblku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i parabole

Metod rada-koeficijenti prave.

Pretpostavke:
a)
Prave f12(x), f23(x) i f31(x) imaju presek na Fa(x)=aox2+a1x+a2 u tačkama A, B i C.
b) Preseci  pravih grade ∆ABC. Apscise temena trougla su:
xA = x1 ,  xB = x2 , xC = x3.

c) Jednačina prave između tačke A i B:
f12(x)=k12x+n12=[a0(x1+x2)+a1]x+a2–a0x1x2 .
d) Jednačina prave između tačke B i C:
f23(x)=k23x+n23=[a0(x2+x3)+a1]x+a2–a0x2x3 .                 
e) Jednačina prave između tačke C i A:
f31(x)=k31x+n31=[a0(x3+x1)+a1]x+a2–a0x3x1 .   

Formule za površine ∆ABC na paraboli mogu  se napisati u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i parabole. Zavisnost može biti:

1)
puna zavisnost površine od apscisa i koeficijenta parabole ao:

   ——– (1),
naravno možemo i ao zameniti sa karakteristikom K;

2) puna zavisnost površine od koeficijenta parabole ao i koeficijenata pravca pravih k:
;  —— (2);
 2.1)
puna zavisnost površine od koeficijenata pravca pravih k i koeficijenta K triju pravih na paraboli:
-na paraboli ao=K,
  ;

Iskoristimo  uslov međusobnih preseka pravih: ( k12-k23)x2= n23-nn12 ,  (k23-k31)x3= n31-n23 ,  (k31-k12)x1= n12 -n31  , pa ćemo dobiti,
od formule pod rednim brojem (2), formulu pod rednim
brojem (3).

3) delimična zavisnost površine od sva tri analitička elementa:
ao i a2 -od parabole;
n12 ,
n23 , n31 -od preseka pravih i y ose i x2 – od apscisa jednog temena trougla:
,……. (3),

  ——– (3.1);

4) puna zavisnost površine od ao , a2 , n12 , n23 i n31:
——— (4).

Dodatak:
Prelaz s jedne na drugu formulu je lako izvesti ako koristimo:
2P∆ABC=(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23),
(k12-k23)x2=n23-nn12 –uslov preseka dve prave;

-razlike odsečaka pravih:
n23-nn12=a2-a0x2x3-(a2-a0x1x2)=a0(x1-x3)x2,
n23-nn31= a0(x1-x2)x3,
n31-nn12= a0(x2-x3)x1.

– iz proivoda levih i desnih strana sedećih izraza:
a0x1x2=n12-a2,
a0x2x3=n23-a2,
a0x3x1=n31-a2,  pa je:
a03(x1 x2 x3)2=( n12-a2)( n23-a2)( n31-a2)…

Zadatak:
1)
Izračunati površinu trougla od preseka tri prave na
 
ako je poznato: n12 = 1/2, n23=-13,  n31 = -3, x1=1;
n12 , n23 , n31 -odsečci na y osi,
x1 – apscisa preseka f12(x)=f31(x) na paraboli.

2) Odrediti apscise međusobnih preseka pravih na paraboli i napisati jednačine sve tri prave.

Grafički prikaz zadatih veličina u zadatku:

                                               Izrada
Potrebne formule za oba zadatka:

a) površina trougla:
  ;

b) odsečci pravih na y osi:
n12 = a2-a0x1x2 —– (5),   n23 =a2 –a0x2x3 —— (6),
n31 = a2 – a0x3x1 ——– — (7);

– razlike odsečaka pravih:
n23-nn12=a2-a0x2x3-(a2-a0x1x2)=a0(x1-x3)x2,
n23-nn31= a0(x1-x2)x3,
n31-nn12= a0(x2-x3)x1;

c) koeficijenti pravca pravih:
k12= a0(x1+x2)+a1 ,   k23 =a0(x2+x3)+a1;
k31= a0(x3+x1)+a1 ——- (8).

1)Potrebne vrednosti veličina:

a0 =(1/2),  a1 =-5,  a2 =2;    n12 =(1/2) , n23 = -13, n31 = -3;
– potrebne razlike veličina:

2)-a) Određivanje apscica temena ∆ABC ako je  x1=1
Koristimo formule pod redim brojem (5), (6) i (7):
a0x1x2 =a2 –n12=(3/2) ——- (10);     
a0x2x3
=a2–n23=15 —– (11),
a0x1x3
=a2–n13= 5 ——– (12);

-u prvu zamenjujemo  x1=1:

-u drugu zamenjujemo  x2=3:

x1 =1, x2 =3  i  x3 =10.

b) -Određivanje jednačina pravih:
f12(x)= k12x+n12 =[a0(x1+x2)+a1]x+n12 =

f23(x)= k23x+n23=[a0(x2+x3)+a1]x+ n23 =

f31(x)= k31x+n31 =[a0(x3+x1)+a1]x+n31 =

Grafik Fa(x) – parabole, trougla ABC , jednačine pravih i njihovih odsečaka :

Provera tačnosti izračunate površine:

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović