GRUPA FORMULA ZA POVRŠINU TROUGLA NA PARABOLI- KOEF. PRAVE
Parabola i njene prave: Formule za površinu trougla na paraboli u oblku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i parabole

Metod rada-koeficijenti prave.
Oblast-analitička geometrija.

Pretpostavke:
a)
Tri prave- f12(x) , f23(x) , f31(x) , seku parabolu
Fa(x) = aox2 + a1x + a2 u tački A, u tački B i tački C.
b) Preseci  pravih grade ∆ABC. Apscise temena trougla su:
xA = x1 ,  xB = x2 , xC = x3.
c) Jednačina prave između tačke A i B:
f12(x) = k12x + n12 = [a0(x1 + x2) + a1]x + a2  – a0x1x2 .
d
) Jednačina prave između tačke B i C:
f23(x) = k23x + n23 = [a0(x2 + x3) + a1]x + a2  – a0x2x3 .                
e) Jednačina prave između tačke C i A:
f31(x) = k31x + n31 = [a0(x3 + x1) + a1]x + a2  – a0x3x1 .                       

Tvrdnja
Formule za računanje površine ∆ABC na paraboli mogu  se napisati u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i parabole.

1) -K
oeficijent parabole ao i  x1 , x2 , x3 – apscise temena trougla– puna zavisnost površine od apscisa:

    ——– (1).
Formula data pod rednim brojem (1) je izvedena iz osnovne bazne formule za  površinu proizvoljnog trougla 2P∆ABC=(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23),  zamenom razlike koeficijenata pravca razlikom apcisa:
(k12-k23)= a0(x1+ x2 )+a1 – [a0(x2+ x3 )+a1 ]= a0(x1-x3 ) .

Oobrnuto: ako zamenimo razlike apscisa razlikom koeficijenara pravca pravih, u formulu datu pod rednim brojem (1), dobiće se oblik formule pod rednim brojem (2).

2) Koeficijent parabole ao i koeficijenti, k12 , k23 , k31 , pravca pravih – puna zavisnost površine od koeficijenta parabole i koeficijenata pravca pravih na paraboli:
;  —— (2).

Ako iskoristimo izraze uslova međusobnih preseka pravih: ( k12-k23)x2= n23-nn12 ,  (k23-k31)x3= n31-n23 ,  (k31-k12)x1= n12 -n31  , dobiće se ,
od formule date pod rednim brojem (2), oblik formule napisan pod rednim
brojem (3).

3) Koeficijenat parabole ao i a2 , odsečci, n12 , n23 , n31 , pravih na y osi  i apscise, x1 , x2 , x3 , temena trougla – delimična zavisnost površine od analitičkih elemenata:
,……. (3).

Relacije za odsečke pravih na y osi
a0x1x2=n12-a2,
a0x2x3=n23-a2,
a0x3x1=n31-a2,
a03(x1 x2 x3)2=( n12-a2)( n23-a2)( n31-a2) koristimo za dobijanje formula ubeleženih pod rednim brojem (3.1) i pod rednim brojem (4):

  ——– (3.1).

4) Koeficijent parabole ao i a2 , odsečci, n12 , n23 , n31 , pravih na y osi- puna zavisnost površine od koeficijenata parabole i odsečaka pravih na у оsi:
——— (4)

Zadnja formula površine trougla, pod rednim brojem (4),  zavisi samo od:
a) ao , a2 – koeficijenata parabole Fa(x) = aox2 + a1x + a2;
b)odsečaka n12 , n23 , n31 pravih na y osi.

Zadatak:
1) Izračunati površinu trougla ABC- trougao od tri prave na parabol
i

ako su poznati odsečci pravih, n12 , n23 , n31, na y osi;
brojne vrednosti odsečaka su : n12 = 1/2 ,   n23 = -13,   n31 = -3.

2) Odrediti apscise presečnih tačaka, A,B,C, pravih i napisati jednačine sve tri prave.

Na slici ispod je grafički prikaz veličina zadatih u zadatku:

                                               Izrada
Potrebne formule za oba zadatka:

a)Površina trougla:
  .

b)-Odsečci pravih na y osi:
n12 =  a2  – a0x1x2 —– (5),   n23 = a2  – a0x2x3 —— (6),
n31 = a2  – a0x3x1 ——– — (7);
– razlike odsečaka pravih:
n23-nn12=a2-a0x2x3-(a2-a0x1x2)=a0(x1-x3)x2,
n23-nn31= a0(x1-x2)x3,
n31-nn12= a0(x2-x3)x1.
c) Koeficijenti pravca pravih:
k12 = a0(x1+ x2 ) + a1 ;     k23 = a0(x2+ x3 ) + a1;
k31 = a0(x3+ x1 ) + a1 ——- (8).

1) Potrebne vrednosti veličina:

a0 =(1/2),  a1 =-5,  a2 =2;    n12 =(1/2) , n23 = -13, n31 = -3;
– potrebne razlike veličina:

2) Zbog dužine članka izrada drugog zadatka je postavljena u dokument:
grupa-formula-za-povrc5a1inu-trougla-na-paraboli-koef-prave9

Slika grafika Fa(x) parabole, trougla ABC , jednačine pravih i njihovih odsečaka- n12 , n23 , n31 na y osi:

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

Advertisements