GRUPA FORMULA POVRŠINE TROUGLA NA KUBNOJ- KOEFICijENTI PRAVE
Kubna i njene prave: Formule za površinu trougla na kubnoj- Proizvod prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i kubne
Metod rada-koeficijenti prave.
a) Tri prave se seku, f12(x) , f23(x) , f31(x), na krivoj
Fb(x) = box3 + b1x2 + b2x + b3 .
b) Tačke preseka grade ∆ABC. Apscise temena trougla su:
xA = x1 , xB = x2 , xC = x3.
c) Jednačine pravih između tačaka A, B i C su:
f12(x)= k12x+n12 = [b0(x12+x1x2+x12)+b1(x1+x2)+b2]x+b3-x1x2 [b0(x1+x2)+b1],
f23(x)=k23x+n23 = [b0(x22+x2x3+x32)+b1(x2+x3)+b2]x+b3–x2x3 [b0(x2+x3)+ b1],
f31(x)= k31x+n31=[b0(x12+x1x3+x32)+b1(x1+x3)+b2]x+b3-x1x3 [b0(x1+x3)+b1].
-Karakteristika K proizvoljnog trougla triju pravih je:
;
-karakteristika K trougla pravih na kubnoj je:
K=[b0(x1+x2+x3)+b1].
Površina ∆ABC na kubnoj se može napisati u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i kubne, tj. funkcionalno zavise od:
1) x1 , x2 , x3 –apscisa tačaka temena trougla i karakteristike K trougla na paraboli:
P ABC =(1/2)(x1-x2)(x3-x2)(k12-k23 )=
(1/2)(x1-x2)(x3-x2)K(x1–x3) ili:
(1/2)(x1-x2)(x3-x2)(x1–x3)[b0(x1+x2+x3)+b1] — (1);
2) bo , b1 – koeficijenata kubne,
x1 , x2 , x3 –apscisa tačaka temena trougla,
k12 , k23 , k31 -koeficijenata pravca pravih:
………………….. (2.0),
————- (2);
3) koeficijenata kubne: bo , b1, odsečaka pravih na y osi: n12 , n23 , n31 ,
apscisa tačaka temena trougla: x1 , x2 , x3 :
………………….. (3.0),
———— (3).
Sve formule se izvode metodom koeficijenata pave.
Zadatak:
f12(x) , f23(x) , f31(x) se seku na krivojFb(x) = box3+b1x2+b2x+b3 u tački A, B
i C. Tačke preseka grade ∆ABC.
Poznate veličine:
a) n12 =151/16 , n31 = -15/48 -odsečci pravih na y osi;
b) x2 = xB =3 –apscisa tačke B.
Grafički prikaz veličina zadatih u zadatku:
Izračunati:
1) Apscise presečnih tačaka trougla.
2) Izrčaunati površinu trougla ABC na kubnoj Fb(x) =(1/3)x3 -3x2 +5x +1 po formuli datoj pod rednim rojem (3).
Izrada
Potrebne formule za oba zadatka
a)Površina trougla:
.
b)Odsečci pravih na y osi:
n12 =b3-x1x2 [b0(x1+x2)+b1] → b3–n12–x1x2 [b0(x1+x2)+b1] =0→
b0(x2)x12 +(b0x22 +b1x2)x1+n12–b3 =0 —————- (5);
n31 =b3-x1x3 [b0(x1+x3)+b1]
b0(x1)x32 +(b0x12 +b1x1)x3+n31–b3 =0 —————- (6);
n23 =b3–x2x3 [b0(x2+x3)+b1]
b0(x3)x22 +(b0x32 +b1x3)x2+ n23–b3 =0 —————- (7).
1)Određivanje apscisa temena trougla:
– Potrebne vrednosti veličina:
Fb(x) =(1/3) x3 -3x2 +5x +1,
.
–Određivanje apscisa temena A i D:
b0(x2)x12 +(b0x22 +b1x2)x1+n12–b3 =0.
Zamenom vradnosti x2 sa x2=3,
,
daje jednačinu 16x12-96x1+135=0.
Rešenja su:
.
–Određivanje apscisa temena C i E:
b0(x1)x32 +(b0x12 +b1x1)x3+ n31–b3 =0
Zamenom vradnosti x1 sa x1=9/4 ,
,
daje jednačinu 4x32-27x3 -7=0.
Rešenja su:
.
–Određivanje apscisa temena C i F:
a) Određivanje n23:
n23 =b3–x2x3 [b0(x2+x3)+b1]=1–(3)(7)[ (3+7)-3]=-6.
b) Određivanje apscise:
b0(x2)x32 +(b0x22 + b1x2)x3+ n23–b3=0.
Zamenom vradnosti x2 sa x2=3,
,
daje jednačinu x32-6x3 -7=0.
Rešenja su:
.
Grafik Fb(x) – kubne, trougla ABC , jednačine pravih i njihovih odsečaka- n12 , n23 , n31 na y osi:
2) Određivanje površine:
– Potrebne vrednosti veličina za formulu:
;
x1=9/4 , x2=3, X3=7;
;
– karakteristika K je:
,
.
-Površina:
;
,
;
-površina P DEF je duplo veća od P ABC, odnosno, njihov odnos je (1:2).
Na kubnoj postoji nekoliko osnovnih trouglova,
,
na slici su data četiri unakrsna ugla trouglova:∆ABC. ∆BFD, ∆BAE. ∆BDG;
nedostaju drugi unakrsni uglovi -nisam ih nacrtao, pokvarili bi sliku.
Karakteristika K ∆ABC i ∆DEF su u odnosu: K∆DEF =-2K∆ABC ,
pa se može koristiti izraz za površinu pd rednim brojem (1).
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović