Grupa formula površine trougla na kubnoj-koeficijenti prave

GRUPA FORMULA  POVRŠINE TROUGLA NA KUBNOJ- KOEFICijENTI PRAVE
Kubna i njene prave: Formule za površinu trougla na kubnoj- Proizvod prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i kubne

Metod rada-koeficijenti prave.

a) Tri prave se seku, f_12(x) , f_23(x) , f_31(x), na krivoj
F_b(x) = b_ox³ + b₁x² + b₂x + b₃ .
b) Tačke preseka grade ∆ABC. Apscise temena trougla su:
x_A = x₁ ,  x_B = x₂ , x_C = x_3.

c) Jednačine pravih između tačaka A, B i C su:
f_12(x)= k₁₂x+n₁₂ = [b₀(x₁²+x₁x₂+x₁²)+b₁(x₁+x₂)+b₂]x+b₃-x₁x₂ [b₀(x₁+x₂)+b₁],

f_23(x)=k₂₃x+n₂₃ = [b₀(x₂²+x₂x₃+x₃²)+b₁(x₂+x₃)+b₂]x+b₃–x₂x₃ [b₀(x₂+x₃)+ b₁],

f_31(x)= k₃₁x+n₃₁=[b₀(x₁²+x₁x₃+x₃²)+b₁(x₁+x₃)+b₂]x+b₃-x₁x₃ [b₀(x₁+x₃)+b₁].

-Karakteristika K proizvoljnog trougla triju pravih je:

;
-karakteristika K trougla pravih na kubnoj je:
K=[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁].  

Površina ∆ABC na kubnoj se može  napisati u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i kubne, tj. funkcionalno zavise od:

1) x₁ , x₂ , x₃ –apscisa tačaka temena trougla i karakteristike K trougla na paraboli:
P _ABC =(1/2)(x₁-x₂)(x₃-x₂)(k₁₂-k₂₃ )=
(1/2)(x₁-x₂)(x₃-x₂)K(x₁–x₃) ili:
(1/2)(x₁-x₂)(x₃-x₂)(x₁–x₃)[b₀(x₁+x₂+x₃)+b₁]   — (1);

2) b_o , b₁ – koeficijenata kubne,
x₁ , x₂ , x₃ –apscisa tačaka temena trougla,
k₁₂ , k₂₃ , k₃₁ -koeficijenata pravca pravih:
      …………………..  (2.0),
————- (2);

3) koeficijenata kubne: b_o , b₁, odsečaka pravih na y osi: n₁₂ , n₂₃ , n₃₁ ,
apscisa tačaka temena trougla: x₁ , x₂ , x₃ :
    …………………..   (3.0),
———— (3).

Sve formule se izvode metodom koeficijenata pave.

Zadatak:
f_12(x) , f_23(x) , f_31(x)  se seku na krivojF_b(x) = b_ox³+b₁x²+b₂x+b₃  u tački A, B
i C.  Tačke preseka grade ∆ABC.

Poznate veličine:
a) n₁₂ =151/16 ,  n₃₁ = -15/48   -odsečci pravih na y osi;
b) x₂ = x_B =3    –apscisa tačke B.

Grafički prikaz veličina zadatih u zadatku:

Izračunati:
1) Apscise presečnih tačaka trougla.
2) Izrčaunati površinu trougla ABC na kubnoj F_b(x) =(1/3)x³ -3x² +5x +1 po formuli datoj pod rednim rojem (3).

                                                   Izrada

Potrebne formule za oba zadatka
a)Površina trougla:
.

b)Odsečci pravih na y osi:
n₁₂ =b₃-x₁x₂ [b₀(x₁+x₂)+b₁] →  b₃–n₁₂–x₁x₂ [b₀(x₁+x₂)+b₁] =0→
b­₀(x₂)x₁² +(b­₀x₂² +b₁x₂)x₁+n₁₂–b₃ =0 —————-  (5);

n₃₁ =b₃-x₁x₃ [b₀(x₁+x₃)+b₁]
b­₀(x₁)x₃² +(b­₀x₁² +b₁x₁)x₃+n₃₁–b₃ =0 —————-  (6);

n₂₃ =b₃–x₂x₃ [b₀(x₂+x₃)+b₁]
b­₀(x₃)x₂² +(b­₀x₃² +b₁x₃)x₂+ n₂₃–b₃ =0 —————- (7).

1)Određivanje apscisa temena trougla:
– Potrebne vrednosti veličina:
F_b(x) =(1/3) x³ -3x² +5x +1,
.

–Određivanje apscisa temena A i D:
b­₀(x₂)x₁² +(b­₀x₂² +b₁x₂)x₁+n₁₂–b₃ =0.
Zamenom vradnosti x₂ sa x₂=3,
 ,
daje jednačinu 16x₁²-96x₁+135=0.
Rešenja su:
.

–Određivanje apscisa temena C i E:
b­₀(x₁)x₃² +(b­₀x₁² +b₁x₁)x₃+ n₃₁–b₃ =0
Zamenom vradnosti x₁ sa x₁=9/4 ,
,
daje jednačinu 4x₃²-27x₃ -7=0.
Rešenja su:
.

–Određivanje apscisa temena C i F:
a) Određivanje n₂₃:
n₂₃ =b₃–x₂x₃ [b₀(x₂+x₃)+b₁]=1–(3)(7)[ (3+7)-3]=-6.

b) Određivanje apscise:
b­₀(x₂)x₃² +(b­₀x₂² + b₁x₂)x₃+ n₂₃–b₃=0.
Zamenom vradnosti x₂ sa x₂=3,
,
daje jednačinu x₃²-6x₃ -7=0.
Rešenja su:
.

Grafik F_b(x) – kubne, trougla ABC , jednačine pravih i njihovih odsečaka- n₁₂ , n₂₃ , n₃₁ na y osi:

2) Određivanje površine:
– Potrebne vrednosti veličina za formulu:
;
x₁=9/4 ,  x₂=3,  X₃=7;
;
– karakteristika K je:
,
.

-Površina:
; 

, ;
-površina P _DEF je duplo veća od P _ABC, odnosno, njihov odnos je (1:2).

Na kubnoj postoji nekoliko osnovnih trouglova,
,
na slici su data četiri unakrsna ugla trouglova:∆ABC. ∆BFD, ∆BAE. ∆BDG;
nedostaju drugi unakrsni uglovi -nisam ih nacrtao, pokvarili bi sliku.

Karakteristika K ∆ABC i ∆DEF  su u odnosu: K_∆DEF =-2K_∆ABC ,
pa se može koristiti izraz za površinu pd rednim brojem (1).

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović