GRUPA FORMULA  POVRŠINE TROUGLA NA KUBNOJ- KOEFICijENTI PRAVE
Kubna i njene prave: Formule za površinu trougla na kubnoj- Proizvod prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i kubne

 Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –kubna.
Oblast-analitička geometrija.

Pretpostavke:
aTri prave, f12(x) , f23(x) , f31(x) , međusobno se seku na krivoj
Fb(x) = box3 + b1x2 + b2x + b3  u tački A, B i C.

b) Tačke preseka grade ∆ABC. Apscise temena trougla su:
xA = x1 ,  xB = x2 , xC = x3.

c) Jednačine pravih između tačaka A, B i C su:
f12(x) = k12x + n12 = [b0(x12+x1x2+x12)+b1(x1+x2)+b2]x + b3-x1x2 [b0(x1+x2)+b1],
f23(x) = k23x + n23 = [b0(x22+x2x3+x32)+b1(x2+x3)+b2]x + b3–x2x3 [b0(x2+x3)+ b1],
f31(x) = k31x + n31 = [b0(x12+x1x3+x32)+b1(x1+x3)+b2]x + b3-x1x3 [b0(x1+x3)+b1].

Tvrdnja
Formule za računanje površine ∆ABC na kubnoj mogu se napisati u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i kubne, tj. funkcionalno zavise od:

1) bo , b1 – koeficijenata kubne,
x1 , x2 , x3 –apscisa tačaka temena trougla:
P ABC =(1/2)(x1 – x2 )(x2 – x3 )(x3 – x1 )[ b0(x1+x2+x3 )+ b1]   — (1);

2) bo , b1 – koeficijenata kubne,
x1 , x2 , x3 –apscisa tačaka temena trougla,
k12 , k23 , k31 -koeficijenata pravca pravih:
————- (2);

3) bo , b1 – koeficijenata kubne; n12 , n23 , n31 – odsečaka pravih na y osi,
x1 , x2 , x3 –apscisa tačaka temena trougla:
———— (3).

Sve formule su izvedene istim postukom, postupkom koji primenjujem radi izvođenja izraza za površinu trougla na polinomima: “Šablon za izvođenje oblika formule-a površine trougla na krivoj polinoma n-tog stepena“; izrazi su u obliku proizvoda prostih činilaca analitičkih elemenata tačke, prave i polinoma.

Zadatak:
Tri prave, f12(x) , f23(x) , f31(x) , međusobno se seku na krivoj
Fb(x) = box3+b1x2+b2x+b3 u tački A, B i  C. Tačke preseka grade ∆ABC.

Poznate veličine:
a) n12 =151/16 ,  n31 = -15/48   -odsečci pravih na y osi;
b) x2 = xB =3    –apscisa tačke B.

Na slici ispod je grafički prikaz veličina zadatih u zadatku:

Izračunati:
1) Apscise presečnih tačaka trougla.
2) Izrčaunati površinu trougla ABC na kubnoj Fb(x) =(1/3)x3 -3x2 +5x +1 po formuli datoj pod rednim rojem (3).

                                                   Izrada

Potrebne formule za oba zadatka
a)Površina trougla:
.

b)Odsečci pravih na y osi:
n
12 =b3-x1x2 [b0(x1+x2)+b1] →  b3n12x1x2 [b0(x1+x2)+b1] =0→
0(x2)x12 +(b­0x22 +b1x2)x1+n12b3 =0 —————-  (5);

n31 =b3-x1x3 [b0(x1+x3)+b1]
0(x1)x32 +(b­0x12 +b1x1)x3+n31b3 =0 —————-  (6);

n23 =b3–x2x3 [b0(x2+x3)+b1]
0(x3)x22 +(b­0x32 +b1x3)x2+ n23b3 =0 —————- (7).

1)Određivanje apscisa temena trougla:
– Potrebne vrednosti veličina:
Fb(x) =(1/3) x3 -3x2 +5x +1,
.

Određivanje apscisa temena A i D:
0(x2)x12 +(b­0x22 +b1x2)x1+n12b3 =0.
Zamenom vradnosti x2 sa x2=3,
 ,
daje jednačinu 16x12-96x1+135=0.
Rešenja su:
.

Određivanje apscisa temena C i E:
0(x1)x32 +(b­0x12 +b1x1)x3+ n31b3 =0
Zamenom vradnosti x1 sa x1=9/4 ,
,
daje jednačinu 4x32-27x3 -7=0.
Rešenja su:
.

Određivanje apscisa temena C i F:
a) Određivanje n23:
n23 =b3–x2x3 [b0(x2+x3)+b1]=1–(3)(7)[ (3+7)-3]=-6.

b) Određivanje apscise:
0(x2)x32 +(b­0x22 + b1x2)x3+ n23b3=0.
Zamenom vradnosti x2 sa x2=3,
,
daje jednačinu x32-6x3 -7=0.
Rešenja su:
.

Slika grafika Fb(x) – kubne, trougla ABC , jednačine pravih i njihovih odsečaka- n12 , n23 , n31 na y osi:

2) Određivanje površine:
– Potrebne vrednosti veličina za formulu:
;
x1=9/4x2=3,  X3=7;
;
,
.


-Površina:

;
-površina P DEF je duplo veća od P ABC, odnosno, njihov odnos je (1:2).

Prema uslovima zadatka rešenja su: P ABC, P AEB. i P KDB.  Rešenja za  P AEB i P KDB. ostavljam čitaocu:

Detalje izrade zadatka videti u dokumentu:
GRUPA FORMULA POVRŠINE TROUGLA NA KUBNOJ- KOEFIC. PRAVE

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

Advertisements