Monthly Archives: април 2018

Razlika jednačina dveju pravih – Površina trougla

26 четвртак апр 2018

Posted by in Тrougао u analitičkoj geometriji

≈ Поставите коментар

                  Razlika jednačina dveju pravi – površina trougla
-Proizvod razlike ordinata jednačina dveju pravi (iznad iste apscise) ili ordinata prave površine trougla i razlike apcisa druga dva temena ∆ABC je površina ∆.
-Razlika jednačina dveju pravi je prava površine trougla.

Metod rada- koeficijenti prave.

Izvođenje formule:
-Prave:
f12(x)=k12x+n12,
f23(x)=k23x+n23,
f31(x)=k31x+n31.

-∆ ABC je trougao triju pravi;

– kosinus ugla prave f(x)=kx+n je:

-osnovica a ∆ABC:

SLIKA:
  ;

– visina osnovice a je(sa slike):
ha =[f12(x1)-f23(x1)] cos(α23)=

-površina trougla osnovice a:
P∆BCA =(1/2)aha=(1/2){
.
2P∆BCA =(x3-x2)[f12 (x1)-f23(x1)]  —————- (2).

Formula 2P∆CAB=(x3-x1)[f31 (x2)-f23(x2)] —————- (3): .

2P∆ABC=(x2-x1)[f31(x3)-f12(x3)]   —————- (1):
.

-Redosled  ispisivanja indeksa na apscisama je matematički pozitivan smer ∆ABC.

– Slika za  formulu datu pod rednim brojem(2):
,

– Slika za  formulu pod rednim brojem(3):
.

      Razlika jednačina dveju pravi – prava površine trougla

Razlika jednačina dveju pravi je prava površine trougla:
-presek pravi:
(k12-k23)x=(n23-n12);

-razlika pravih:
f12(x)-f23(x)=(k12-f23)x+n12-n23)=
(k12-k23)x-(k12-k23)x2=f123(x),
f123(x)=f12(x)-f23(x).

Dakle, prava površine P123(x) je
f123(x)=(k12-k23)x-(k12-k23)x2 ili


Jednačina površine trougla je:
2P123(x)=(x3-x2)f123(x),
2P123(x)=(x3-x2)[(k12-k23)x-(k12-k23)x2]=
2P123(x)=(x3-x2)(k12-k23)x -(x3-x2)(k12-k23)x2 ili

Zadatak
Dat je ∆ ABC apscisom preseka f12(x)=-2x+3=f23(x)=3x-1,
apscisom x1=xA=-1 i apscisom  x3=xc=3.

Odrediti:
a) površinu P∆ABC razlikom jednačina dveju pravi,
b) površinu- vrednost P∆ABC(x) za x=x1=xA=-1.

Izrada
a) -Potrebne veličine:
-apscisu x2 određujem iz f12(x)=-2x+3=f23(x)=3x-1, →  x2= 4/5;

-ordinate jednačina pravi, za x= x3=3, su:
f12(x3)=-2x3 +3 =-2(3) +3=-3,
f23(x3)=3x3 -1 =3(3)-1=8;

-razlike:
f23(x3)-f12(x3)=8-(-3)=11,
(x2-x1)=(4/5)-(-1)=9/5.

-Površina:
2P∆ABC =(x2-x1)[f23 (x3)-f12(x3)] =(9/5)[11] =99/5,
P∆ABC =99:10=9,9.
Preko jednačine je:

b) -Potrebne veličine:
-jednačina razlike jednačina pravi:
f123(x)=f12(x)-f23(x)= -2x+3-(3x-1)=-5x+4;

-vrednost prave f123(x)=-5x+4 za x=x1=xA=-1:
f123(x1)=-5x1+4=-5(-1)+4=9;

-razlika (x3-x2)=[3-(4/5)]=11/5.

-Površina:
2P123(x)=(x3-x2)f123(x)=(11/5)(-5)x+(11/5)(4)=-11x+(44/5), međutim kraće je
2P123(x1)=(x3-x2)f123(x1)=(11/5)(9)=99/5,
P123(x1)=99:10=9,9.

 

Provera
-Potrebne veličine: (x2-x3)=-11/5;   (k12-k23) =(-2-3)=-5.
-Formula:
2P∆BCA=(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23)=(9/5)(-11/5)(-5)= 99/5,
P∆ABC =99:10=9,9.

2P∆BCA = (x2–x1)(x2-x3)(k12-k23)=B(x2)(k12-k23),
B(x2)=(x2-x1)(x2-x3)=(99/25)- bazni izraz,
2P∆ABC=(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23)- оsnovna formula površine trougla.

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
maš. inž. Mladen Popović

Proizvodi razlika jednačina pravih: Površina trougla u koeficijentima kubne jednačine

19 четвртак апр 2018

Posted by in Matematika, Površina proizvoljnog trougla- Proizvodi razlika koeficijenata pravih

≈ Поставите коментар

Proizvodi razlika jednačina pravih: Površina trougla u koeficijentima kubne jednačine

Rezultat proizvoda uzastopnih razlika triju jednačina neparalelnih pravih je polinom trećeg stepena. U koeficijentima polinoma trećeg stepena nalazimo formulu za površinu trougla.

Oblast-analitička geometrija.
Metod rada-koeficijenti prave.
Bazna funkcija –kubna.

Presek tri neperalelne prave grade trougao.
Tvrdnja:
Proizvod  uzastopnih razlika triju jednačina neparalelnih pravih, f12(x) , f23(x) , f31(x) , jednak je polinomu Ax3+Bx2+Cx+D.  Svaki koeficijent polinoma sadrži formulu za površinu trougla.

                                Proizvod razlika jednačina pravih  

Tri neparalelne prave u ravni xOy mogu imati proizvoljan položaj ili se, uslovno, mogu vezati za krivu nekog polinoma. Razmotrimo ta dva slučaja:

1)Proizvoljni položaj  tri neparalelne prave:
– Neparalelne prave, f12(x) = k12x+n12 ,  f23(x) = k12x+n12 i f23(x) = k12x+n12 , grade tri tačke preseka.
Iz uslova preseka pravih, f12(x)=f23(x) , f12(x)=f23(x) , f12(x)=f23(x), slede odnosi:
(k12-k23)x2=n23-n12 ; (k23-k31)x3=n31-n23 ; (k31-k12)x1=n12-n31 ——– (1).

-Tačke preseka grade ∆ABC, apscise temena trougla su:
xA = x1 ,  xB = x2 , xC = x3.
Koeficijenti pravca proizvoljnih pravih su: k12, k23, k31, a odsečci pravih na y osi su: n12 , n23 , n31 .

Proizvodi razlika triju jednačina proizvoljnih pravih:
(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))=
[(k12x+n12 )–(k23x+n23)][(k23x+n23 )–(k31x+n31)][(k31x+n31)–(k12x+n12)]=

(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)X3–[(n23-n31)(k31-k12)(k12-k23)+(n31-n12)(k12-k23)(k23-k31)+(n12-n23)(k31-k12)(k23-k31)]X2-[(n23-n31)(n31-n12)(k12-k23)+(n12-n23)(n31-n12)(k23-k31)+(n12-n23)(n23-n31)(k31-k12)]X+(n12-n23)(n23-n31)(n31-n12) ———– (7).

Zamenom izraza datih pod rednim brojem (1) u izraz pod rednim brojem (7) dolazi se do konačnih oblika:

(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))=
(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)(x-x1)(x-x2)(x-x3) —————————   (2);

(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))=
(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x3–(x1+x2+x3)x2+
(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3] ———————————————-  (2.1);

(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))= Ax3+Bx2+Cx+D —- (2.2);

A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12),   B=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-(x1+x2+x3)],
C=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x1x2+x2x3+x1x3],
D=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-x1x2x3] ———————————- (2.3).

-Vezu imeđu (k12-k23), (k23-k31), (k31-k12) I površine P∆ABC imamo u izrazu
8P3∆ABC R(X) = (k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)  —————————– (10).
Naravno, uvek se može iskoristiti jednakost:
(n12-n23)(n23–n31)(n31–n12)= (k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)(x1x2x3).

2)Slučaj preseka tri prave sa tačkama preseka na krivoj polinoma:
– U ovoj situaciji gornji izrazi za koeficijente pravca pravih, k12, k23, k31 , i odsečci pravih na y osi, n12 , n23 , n31 , pojavljuju se u konkretnijem obliku, lako se pamte(osmogodišnje i srednjoškolsko gradivo), i nalaze se u članku https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/ i tabeli br.1 . Razmotrimo proizvode razlika jednačina pravih za prve dve krive polinoma:

Parabola:
-Prave na paraboli, tri prave sa koeficijentima pravca: k12= a0(x1+x2)+a1 , k23=a0(x2+x3)+a1,     k31=a0(x3+x1)+a1.

– Razlike koeficijenata pravca pravih na paraboli:
k12-k23= a0(x1+x2)+a1 –[ a0(x2+x3)+a1] = a0(x1-x3)——————–    (3),
k23-k31= a0(x2+x3)+a1 –[ a0(x1+x3)+a1] = a0(x2-x1)——————–  (3.1),
k31-k12= a0(x1+x3)+a1 –[ a0(x1+x2)+a1] = a0(x3-x2)——————–  (3.2).

– Odsečci pravih na y osi:
n12 = a2-a0x1x2 , n23 = a2-a0x2x3 , n31 = a2-a0x3x1 .
– Razlike odsečaka pravih na y osi:
n12-n23=a0(x3-x1)x2 , n23-n31= a0(x1-x2)x3 ,   n31-n12=a0(x3-x2)x1 — (4).

Kubna:
– Prave na kubnoj, tri prave sa koeficijentima pravca:
k12=b0(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2 ,
k23 =b0(x22+x2x3+x32)+b1(x2+x3)+b2 ,
k31=b0(x12+x1x3+x32)+b1(x1+x3)+b2 .

– Razlike koeficijenata pravca pravih na kubnoj:
k12– k23=[b0(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2 ]-[b0(x22+x2x3+x32)+b1(x2+x3)+b2] =
(x1-x3)[b0(x1+x2+x3)+b1] ————————————————-   (5);
k23– k31=(x2-x1)[b0(x1+x2+x3)+b1] —- ———————————-(5.1);
k31– k12 =(x3-x2)[b0(x1+x2+x3)+b1]. ————————————- (5.2).

– Odsečci pravih na y osi:
n12=b3-x1x2[b0(x1+x2)+b1],  n23=b3-x2x3[b0(x2+x3)+b1],  n31=b3-x3x1[ b0(x1+x3)+b1].

– Razlike odsečaka pravih na y osi za kubnu:
n12-n23={ b3-x1x2[b0(x1+x2)+b1]}-{ b3-x2x3[b0(x2+x3)+b1]} = [- x1b0(x1+x2)-b1x1+ x3b0(x1+x2)+b1x3]x2=[b0(x32 – x12)+b0(x3-x1)x2+b1(x3-x1)]x2=
(x3-x1)[b0(x1+x2+x3)+b1]x2 ————————————————-(6);

n23-n31 =(x2-x1)[b0(x1+x2+x3)+b1]x3 ———————————— (6.1);
n31-n12 =(x3-x2)[b0(x1+x2+x3)+b1]x1 ———————————— (6.1).

Sada smo u stanju da dovršimo izraze date pod rednim brojem(2.1) i (2.3); dobiće se kubna jednačina, a koeficijenti, A,B,C,D, kubne jednačine(date pod rednim brojem 2.2) sadrže formulu površine trougla.
Pokažimo to za prave na paraboli, zatim i za prave na kubnoj:

                                                     Za parabolu

a)–  Za parabolu izrazi razlika koeficijenata pravca pravih dati su pod rednim brojevima: (3),(3.1),(3.2), zbog čega će koeficijenti jednačine date pod rednim brojem(2.3) biti:

A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)=[a0(x1-x3)][a0(x2-x1)][a0(x3-x2)]=
a02[a0(x1–x3)(x2–x1)(x3–x2)]=a02 [2 P∆ABC ].
Dakle, izraz unutar srednje zagrade – proizvod a0 i razlika apscisa, je izraz za površinu  ∆ABC (https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2017/09/09/grupa-formula-za-povrsinu-trougla-na-paraboli-koef-prave/):

A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)= a02[2 P∆ABC ] —————————-(8.1),
B=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-(x1+x2+x3)]=2a02[P∆ABC][-(x1+x2+
x3)] ————————————————————————— (8.2),

C=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x1x2+x2x3+x1x3]=2a02[P∆ABC][x1x2+
x2x3+x1x3] ——————————————————————- (8.3).
D=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-x1x2x3]=2a02[P∆ABC][-x1x2x3] ——- (8.4).

Jednačenjem koeficijenata kubne, kubne date pod rednim brojem (7), sa koeficijentima B,C,D, datih na  izrazima (8.2), (8.3) i (8.4) za parabolu, dobija se:
[(n23-n31)(k31-k12)(k12-k23)+(n12-n23)(k12-k23)(k23-k31)+(n12-n23)(k31-k12)(k23-k31)]=[ P∆ABC ][-2a02(x1+x2+x3)] ————————— (8.2.2);

[(n23-n31)(n31-n12)(k12-k23)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)]=[P∆ABC][2a02(x1x2+x2x3+x1x3)]———————- (8.3.3);

(n12-n23)(n23-n31)(n31-n12) =[P∆ABC][2a02(-x1x2x3)] ————— (8.4.4).

                                                Za kubnu

b)-Za trougao na grafiku kubne izrazi razlika koeficijenata pravca pravih dati su pod rednim brojem (5),(5.1) i (5.2):
A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)=
{(x1-x3)[b0(x1+x2+x3)+b1]}{ (x2-x1)[b0(x1+x2+x3)+b1]}{(x3-x2)[b0(x1+x2+x3)+b1]}= (x1–x3)(x2–x1)(x3–x2)[b0(x1+x2+x3)+b1][b0(x1+
x2+x3)+b1]2=[2 P∆ABC][b0(x1+x2+x3)+b1]2.

Dakle, i ovde, sve što je  obojeno crveno unutar zagrada je izraz za površinu  ∆ABC
(  https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2017/11/15/grupa-formula-povrsine-trougla-na-kubnoj-koefic-pravca/ ):

A=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)= [2 P∆ABC ][b0(x1+x2+x3)+b1]2 ——–(9.1),
B=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-(x1+x2+x3)]=2[P∆ABC][b0(x1+x2+x3)+b1]2[-(x1+x2+x3)] —————————————————————– (9.2),

C=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x1x2+x2x3+x1x3]=2[P∆ABC][b0(x1+x2+x3)+b1]2(x1x2+x2x3+x1x3)———————————— (9.3),
D=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[-x1x2x3]=2[P∆ABC][b0(x1+x2+x3)+b1]2(–x1x2x3)  ———————————————————————- (9.4).

Jednačenjem koeficijenata kubne, datih u izrazu kubne pod rednim brojem (7), sa koeficijentima B,C,D, datih  u izrazima (9.2), (9.3) i (9.4), dobiće se:

[(n23-n31)(k31-k12)(k12-k23)+(n12-n23)(k12-k23)(k23-k31)+(n12-n23)(k31-k12)(k23-k31)] =
2[ P∆ABC ][b0(x1+x2+x3)+b1]2[-(x1+x2+x3)] ————————– (9.2.2);

[(n23-n31)(n31-n12)(k12-k23)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)+(n12-n23)(n12-n23)(k23-k31)] =
2[ P∆ABC ][b0(x1+x2+x3)+b1]2[ (x1x2+x2x3+x1x3)] —————— (9.3.3);

(n12-n23)(n23-n31)(n31-n12) =
2[ P∆ABC ][b0(x1+x2+x3)+b1]2[-(x1x2x3)] —————————– (9.4.4)

                                                    Zaključak

1) Proizvodi razlika koeficijenata pravca tri proizvoljne prave jednak je:
(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)= 8P3∆ABC R(X) =—————- (10)

2) Proizvodi razlika koeficijenata pravca pravih, prave na krivoj polinoma,
jednak je:
(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)= [(x1–x3)(x2–x1)(x3–x2)P]P2=[2P∆ABC ]P2;
P∆ABC je površina trougla, a veličina P svakog polinoma ima drugu vrednost:
– za trougao na paraboli P= a0;
– za trougao na kubnoj, bo x3+ b1 x2+ b2 x+ b3 ,  P=[b0(x1+x2+x3)+b1];
– za trougao na polinomu četvrtog stepena, co x4+ c1 x3+ c2 x2+ c3 x +c4,
 P=[c0(x1+x2+x3)2+c1(x1+x2+x3)+c2– c0(x1x2+x2x3+x1x3)]…

Primenjujući isti postupak  i na ostale polinome višeg stepena potvrdiće se postojanje izraza  P∆ABC  u koeficijentima, A, B,C,D, jednačine  Ax3+Bx2+Cx+D.

3) Takođe, proizvodi razlika jednačina pravih daće formulu površine
trougla P∆ABC u koeficijentima, A,B,C,D, kubne  Ax3+Bx2+Cx+D:
(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))=
(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)[x3–(x1+x2+x3)x2+
(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3]    ——————————————– (2.1).

Konačno je:
(f12(x) -f23(x))(f23(x) –f31(x))(f31(x) –f12(x))= Ax3+Bx2+Cx+D —- (2.2).

Autor:
-Pišite ako vas zanima objašnjenje formule  date pod rednim brojem (10). 

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović