Razlika jednačina dveju pravi – površina trougla
-Proizvod razlike ordinata jednačina dveju pravi (iznad iste apscise) ili ordinata prave površine trougla i razlike apcisa druga dva temena ∆ABC je površina ∆.
-Razlika jednačina dveju pravi je prava površine trougla.

Metod rada- koeficijenti prave.

Izvođenje formule:
-Prave:
f12(x)=k12x+n12,
f23(x)=k23x+n23,
f31(x)=k31x+n31.

-∆ ABC je trougao triju pravi;

– kosinus ugla prave f(x)=kx+n je:

-osnovica a ∆ABC:

SLIKA:
  ;

– visina osnovice a je(sa slike):
ha =[f12(x1)-f23(x1)] cos(α23)=

-površina trougla osnovice a:
P∆BCA =(1/2)aha=(1/2){
.
2P∆BCA =(x3-x2)[f12 (x1)-f23(x1)]  —————- (2).

Formula 2P∆CAB=(x3-x1)[f31 (x2)-f23(x2)] —————- (3): .

2P∆ABC=(x2-x1)[f31(x3)-f12(x3)]   —————- (1):
.

-Redosled  ispisivanja indeksa na apscisama je matematički pozitivan smer ∆ABC.

– Slika za  formulu datu pod rednim brojem(2):
,

– Slika za  formulu pod rednim brojem(3):
.

      Razlika jednačina dveju pravi – prava površine trougla

Razlika jednačina dveju pravi je prava površine trougla:
-presek pravi:
(k12-k23)x=(n23-n12);

-razlika pravih:
f12(x)-f23(x)=(k12-f23)x+n12-n23)=
(k12-k23)x-(k12-k23)x2=f123(x),
f123(x)=f12(x)-f23(x).

Dakle, prava površine P123(x) je
f123(x)=(k12-k23)x-(k12-k23)x2 ili


Jednačina površine trougla je:
2P123(x)=(x3-x2)f123(x),
2P123(x)=(x3-x2)[(k12-k23)x-(k12-k23)x2]=
2P123(x)=(x3-x2)(k12-k23)x -(x3-x2)(k12-k23)x2 ili

Zadatak
Dat je ∆ ABC apscisom preseka f12(x)=-2x+3=f23(x)=3x-1,
apscisom x1=xA=-1 i apscisom  x3=xc=3.

Odrediti:
a) površinu P∆ABC razlikom jednačina dveju pravi,
b) površinu- vrednost P∆ABC(x) za x=x1=xA=-1.

Izrada
a) -Potrebne veličine:
-apscisu x2 određujem iz f12(x)=-2x+3=f23(x)=3x-1, →  x2= 4/5;

-ordinate jednačina pravi, za x= x3=3, su:
f12(x3)=-2x3 +3 =-2(3) +3=-3,
f23(x3)=3x3 -1 =3(3)-1=8;

-razlike:
f23(x3)-f12(x3)=8-(-3)=11,
(x2-x1)=(4/5)-(-1)=9/5.

-Površina:
2P∆ABC =(x2-x1)[f23 (x3)-f12(x3)] =(9/5)[11] =99/5,
P∆ABC =99:10=9,9.
Preko jednačine je:

b) -Potrebne veličine:
-jednačina razlike jednačina pravi:
f123(x)=f12(x)-f23(x)= -2x+3-(3x-1)=-5x+4;

-vrednost prave f123(x)=-5x+4 za x=x1=xA=-1:
f123(x1)=-5x1+4=-5(-1)+4=9;

-razlika (x3-x2)=[3-(4/5)]=11/5.

-Površina:
2P123(x)=(x3-x2)f123(x)=(11/5)(-5)x+(11/5)(4)=-11x+(44/5), međutim kraće je
2P123(x1)=(x3-x2)f123(x1)=(11/5)(9)=99/5,
P123(x1)=99:10=9,9.

 

Provera
-Potrebne veličine: (x2-x3)=-11/5;   (k12-k23) =(-2-3)=-5.
-Formula:
2P∆BCA=(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23)=(9/5)(-11/5)(-5)= 99/5,
P∆ABC =99:10=9,9.

2P∆BCA = (x2–x1)(x2-x3)(k12-k23)=B(x2)(k12-k23),
B(x2)=(x2-x1)(x2-x3)=(99/25)- bazni izraz,
2P∆ABC=(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23)- оsnovna formula površine trougla.

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
maš. inž. Mladen Popović