Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave

Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave
Rešenje određenog integrala polinoma n. stepena proizvodom razlika apscisa –granica integraljenja, i koeficijenta pravca prave na krivoj polinoma n+1. stepena

Metod rada-koeficijenti jednačine prave.
-Za rešene određenog integrala polinoma uzima se koeficijent pravca jednačine prave na krivoj, prvoj krivoj višeg stepena, tj. na polinomu za stepen viši od polinoma integraljenja-integranda. Koeficijenti prave su dati u tabeli br.1 članka: https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/

                                 Određeni integral prave
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina prave, polinom stepena n=1:  f(x)=a₀x+a₁.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=2:
F_A(x)=A₀x²+A₁x+A₂    ……………………………………….. (1).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_A(x) stepena p=2  su:

– Koeficijent pravca prave f_A(x) na usvojenom polinomu F_A(x):
………. (1.1).

Određeni integral prave f(x) u granicama x₁ i x₂ je:
.

               Određeni integral polinoma drugog stepena- parabola
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=2:  F_a(x)=a₀x²+a₁x+a₂.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=3:
  F_B(x)=B₀x³+B₁x²+B₂x+B₃  ………………………………..  (2).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_B(x) stepena p=3  su:

– Koeficijent pravca prave f_B(x) na polinomu F_B(x):
k_B =B₀ (x₁²+ x₁x₂+x₂²)+B₁(x₁+x₂)+B₂ = …………… (2.1).

Određeni integral parabole F_a(x) u granicama x₁ i x₂ je:

         Određeni integral polinoma trećeg stepena- kubna
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=3:  F_b(x)=b₀x³+ b₁x²+b₂x+b₃.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=4:
F_C(x)=C₀x⁴+ C₁x³+C₂x²+C₃x+C₄  …………………………….. (3).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_C(x) stepena p=4  su:

– Koeficijent pravca prave f_C(x) na polinomu F_C(x):
……..  (3.1)

Određeni integral kubne F_b(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Po istom principu koristimo koeficijent pravca prave na polinomu F(x) stepena
p = n+1 i pišemo rešenje određenog integrala polinoma stepena n.
Bazne izraze (x₁+x₂), (x₁²+ x₁x₂+x₂²), (x₁³+ x₁² x₂ +x₁x₂²+x₂³)… pamtimo još od osmogodišnje škole, kada smo učili rastavljanje na faktore razliku dva monoma istog stepena: binom od dva monoma parnog i neparnog stepena: x₁^2p-x₂^2p, x₁^2p-1-x₂^2p-1.

   Zdatak
Data je apscisa x₁=-(3/2) i x₂=(3/2) – granica integraljenja polinoma

Odrediti određene integrale polinoma.

Potrebne veličine:
a) -Za pravu f(x) =-(5/4) x+3:
a₀=-(5/4)  , a₁=3;
– koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_A(x) stepena p=2:

-usvojen polinom višeg stepena  F_A(x)=A₀x²+A₁x+A₂:
F_A(x)=-(5/8)x²+3x+A₂;
– razlika i zbir apscisa i koeficijent k_A pravca prave f_A(x) na usvojenom polinomu F_A(x):
(x₂– x₁)= (3/2)-(-3/2) =3,    (x₁+ x₂)=-(3/2) + (3/2)=0,
k_A =A₀ (x₁+x₂)+A₁=(-5/8)(0)+3=3,     k_A = 3  …………………………… (1,2).

Integral prave f(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Grafički prikaz:

b) -Za parabolu F_a(x)=(1/2)x²-5x+2:
a₀=(1/2)  , a₁=-5,  a₂=2 ;
 – koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_A(x) stepena p=3:


-usvojen polinom višeg stepena  F_B(x)=B₀x³+B₁x²+B₂x+B₃;
– bazni izrazi i koeficijent k_B pravca prave f_B(x) na usvojenom polinomu F_B(x):

k_B=B₀ (x₁²+ x₁x₂+x₂²)+B₁(x₁+x₂)+B₂=

k_B =(19/8) ……………..  (2,2).

Integral parabole F_a(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Grafički prikaz:

c) -Za kubnu F_b(x)=(1/2) x²-3x+5x-2:
b₀=(1/2) , b₁=-3,  b₂=5,  b₃=-2;
– koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_C(x) stepena p=4:

– bazni izrazi i koeficijent k_C pravca prave f_C(x) na usvojenom polinomu F_C(x):
[x₁³+ x₁x₂(x₁+x₂)+x₂³]=[(-3/2)³+(-3/2)(3/2)[-3/2+3/2]+(3/2)³]=0;

k_C=C₀[x₁³+ x₁x₂(x₁+x₂)+x₂³]+C₁(x₁²+ x₁x₂+x₂²)+C₂(x₁+x₂)+C₃=

k_C =(-17/4)   ………………………………  (3,2).
Integral parabole F_a(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Grafički prikaz:

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen Popović

Граф. поступак замене правоугаоника површином троугла

Графoaналитички  поступак замене правоугаоника  површином троугла
Графоаналитичка конструкција троугла између две праве помоћу правоугаоника исте површине – поступак замене површине правоугаоника  површином троугла

Метод  рада: коефицијенти праве.
Техника рада: графичко- аналитичка техника рада.

Задатак
– Дата је површина P_ABCD = аb =1 правоугаоника ABCD, затим,паралелно x оси, страница правоугаоника а=AB=(1/2) и произвољно изабрано теме правоугаоника А(1,-1).
– Дата је једначина праве f_EF(X) =-(5/4)x+4  основне странице g  ∆ ЕFG површине P_∆ЕFG .

Графоаналитичким поступком на правој f_EF(X) конструиши ∆ ЕFG једнаке површине површини правоугаоника ABCD:  P_∆ЕFG  = P_{ABCD .}
Поступак прилагоди  облику  формуле површине троугла између праве f_EF(X) и f_FG(X):
P_∆ЕFG  = (1/2)(x_Е-x_F)[f_EF(x_G) – f_FG(x_G)] = (1/2)(x₁-x₂)[f_EF(x₃₎ – f_FG(x₃₎].
Графички приказ – сл.1:

Из услова једнакости површине троугла и правоуганика у задатку имамо једнакост израза:
P_∆ЕFG  = P_ABCD ;   (1/2)(x₁-x₂)[f_EF(x₃₎ – f_FG(x₃₎]=аb. Очигледна је веза:
а=(1/2)(x₁-x₂),  b=[f_EF(x₃₎ – f_FG(x₃₎],
x_А =(1/2)x₁ ,  x_B =(1/2)x₂;  x_А и x_B су апсцисе темена А и В правоугаоника(погледај сл.1).

Одређивање потребних вредности:
-Одређивање апсциса темена Е и F  ∆ ЕFG:
x₁=2(x₁/2)=2(1)=2,   x₂=2(x₂/2)=2(3/2)=3.
– Oдређивање странице b правоугаоника ABCD:
P_ABCD = аb;   P_ABCD  =1, а=AB=1/2:    1 = (1/2) b   →   b=2.

Потребни кораци:
– Са јединичног  ∆ О₁К_ЕFТ правац О₁К_ЕF паралелно преносимо до одсечка n_EF на у оси; тиме цртамо  праву f_EF(X) .
– На х оси дуплирањем x_А =(1/2)x₁  и  x_B =(1/2)x₂  добијамо апсцису x_Е = x₁  и  x_F = x₂.
– Наносимо вертикале апсциса x₁ и x₂  до пресека са правом f_EF(X)  и дефинишемо темена Е и F  ∆ ЕFG.
Тренутни изглед је:

Преостали кораци су:
– На страницу а=AB вертикално наносимо страницу b=2 и тиме добијамо теме С, а затим и теме D правоугаоника ABCD.
– Повлачимо хоризонталу дуж странице АВ правоугаоника ABCD до пресека са правом f_EF(X)  и дефинишемо тачку пресека G₁.
– Из тачке G₁ вертикално наносимо дуж дужине b=2 и добијамо теме G траженог ∆ ЕFG.

Графички приказ коначног решења:

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Mладен Поповић

Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

Koeficijenti  pravca i rešavanje kosouglog trougla
Određivanje stranica kosouglog trougla koeficijentima pravca jednačina stranica- Uprošćavanje Mallweide-ove formule i formula ostalih teorema trougla u oblasti analitičke geometrije

Metod rada- koeficijenti jednačine prave.
Oblast –analitička geometrija.

Predmet razmatranja:
-Kosougli ∆AB, stranica a,b i c na pravoj f₁₂(x), f₂₃(x) i f₃₁(x).
– Koeficijenti pravca, k₁₂=tg α₁₂ , k₂₃=tg α₂₃ , k₃₁=tg α₁₂ , jednačina pravih.
– Uglovi nagiba pravih prema x osi: α₁₂ , α ₂₃ , α ₃₁;
– Formule za stranice: a, b, c  i koeficijente: k₁₂ , k₂₃  i k₃₁.

Predlog formula:
 .………… (1);
  ………….. (2).

                                Izvođenje formula

a) –Izvođenje formule, koja sadrži koeficijente pravca pravih i stranice trougla, polazi od:
 – površina trougla 2P_∆ABC =(x₂-x₁)(x₂-x₃)(k₁₂-k₂₃) …………… (3);

  – razlike apscisa
(dva izrazi za rastojanje između dve tačke) zamenjujemo u formulu pod rednim brojem (3) i dobije se :
  ………………….. (3.1);

c=d₁₂=AB – dužina stranice ∆ABC,   a=d₂₃=BC – dužina druge stranice ∆ABC.

– Od površine trougla P_∆BCA =(x₃-x₂)(x₃-x₁)(k₂₃-k₃₁)  ………….. (4), na isti način, dobije se oblik:
  …………………… (4.1);

b=d₃₁=CA – dužina stranice ∆ABC.

– Iz P_∆CAB =(x₁-x₃)(x₁-x₂)(k₃₁-k₁₂)  …………………………………. (5) dobije se oblik:
  ……………………. (5.1).

b) –Jednačenjem  izraza   P_∆ABC = P_∆CAB , datih pod rednim brojem (3.1) i (5.1) ,  tj. jednog te istog ∆ABC, dobija se :

-iste su površine, ali različito je obeležavanje zbog  matematičkog smera i izbora početnog temena u formuli površinu trougla.
Naravno, nakon skraćivanja dobiće se već viđena formula pod rednim
brojem (1):
 .

P_∆ABC = P_∆BCA ;

. – Nakon skraćivanja imamo formulu datu pod rednim brojem (2):

Zadatak

sa koeficijentom pravca k₂₃ =(3/2). Dati su koeficijenti pravca ostalih dveju stranica ∆ABC: k₁₂ = -3,  k₃₁ =(1/2).
Odrediti stranice  ∆ABC.
Grafički prikaz datih podataka:

Potrebne formule su već date pod rednim brojem (1) i (2),
a brojne vrenosti veličina za formulu računamo:

 

Izrada:
 ,

 ,

Grafički prikaz rezultata:

Potpuno i preglednije urađen zadatak je u dokumentu:
Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

Napomena autora:
–Ako se ne izvrši potpuno skraćivanje na jednakostima  P_∆ABC = P_∆CAB
i  P_∆ABC = P_∆BCA , tada idemo ka sinusnoj teoremi: asin(β)= bsin(α)… ;
α, β,γ su unutrašnji uglovi ∆ABC.
Cilj članka nije izvođenje klasične sinusne teoreme, cilj su prve dve formule, gde  stranice trougla računamo koeficijentom pravca odgovarajuće jednačine prave:
k₁₂=tg α₁₂ , k₂₃=tg α₂₃ , k₃₁=tg α₁₂  da bi ostali u analičkoj geometriji..

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen   Popović