Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave
Rešenje određenog integrala polinoma n. stepena proizvodom razlika apscisa –granica integraljenja, i koeficijenta pravca prave na krivoj polinoma n+1. stepena

Metod rada-koeficijenti jednačine prave.
-Za rešene određenog integrala polinoma uzima se koeficijent pravca jednačine prave na krivoj, prvoj krivoj višeg stepena, tj. na polinomu za stepen viši od polinoma integraljenja-integranda. Koeficijenti prave su dati u tabeli br.1 članka: https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/

                                 Određeni integral prave
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina prave, polinom stepena n=1:  f(x)=a0x+a1.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=2:
FA(x)=A0x2+A1x+A2    ……………………………………….. (1).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma FA(x) stepena p=2  su:

– Koeficijent pravca prave fA(x) na usvojenom polinomu FA(x):
………. (1.1).

Određeni integral prave f(x) u granicama x1 i x2 je:
.

               Određeni integral polinoma drugog stepena- parabola
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=2:  Fa(x)=a0x2+a1x+a2.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=3:
  FB(x)=B0x3+B1x2+B2x+B3  ………………………………..  (2).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma FB(x) stepena p=3  su:

– Koeficijent pravca prave fB(x) na polinomu FB(x):
kB =B0 (x12+ x1x2+x22)+B1(x1+x2)+B2 = …………… (2.1).

Određeni integral parabole Fa(x) u granicama x1 i x2 je:

         Određeni integral polinoma trećeg stepena- kubna
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=3:  Fb(x)=b0x3+ b1x2+b2x+b3.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=4:
FC(x)=C0x4+ C1x3+C2x2+C3x+C4  …………………………….. (3).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma FC(x) stepena p=4  su:

– Koeficijent pravca prave fC(x) na polinomu FC(x):
……..  (3.1)

Određeni integral kubne Fb(x) u granicama x1 i x2 je:

Po istom principu koristimo koeficijent pravca prave na polinomu F(x) stepena
p = n+1 i pišemo rešenje određenog integrala polinoma stepena n.
Bazne izraze (x1+x2), (x12+ x1x2+x22), (x13+ x12 x2 +x1x22+x23)… pamtimo još od osmogodišnje škole, kada smo učili rastavljanje na faktore razliku dva monoma istog stepena: binom od dva monoma parnog i neparnog stepena: x12p-x22p, x12p-1-x22p-1.

   Zdatak
Data je apscisa x1=-(3/2) i x2=(3/2) – granica integraljenja polinoma

Odrediti određene integrale polinoma.

Potrebne veličine:
a) -Za pravu f(x) =-(5/4) x+3:
a0=-(5/4)  , a1=3;

– koeficijenti usvojenog oblika polinoma FA(x) stepena p=2:

-usvojen polinom višeg stepena  FA(x)=A0x2+A1x+A2:
FA(x)=-(5/8)x2+3x+A2;

– razlika i zbir apscisa i koeficijent kA pravca prave fA(x) na usvojenom polinomu FA(x):
(x2– x1)= (3/2)-(-3/2) =3,    (x1+ x2)=-(3/2) + (3/2)=0,
kA =A0 (x1+x2)+A1=(-5/8)(0)+3=3,     kA = 3  …………………………… (1,2).

Integral prave f(x) u granicama x1 i x2 je:

Grafički prikaz:

b) -Za parabolu Fa(x)=(1/2)x2-5x+2:
a0=(1/2)  , a1=-5,  a2=2
;

 – koeficijenti usvojenog oblika polinoma FA(x) stepena p=3:


-usvojen polinom višeg stepena  FB(x)=B0x3+B1x2+B2x+B3;
– bazni izrazi i koeficijent kB pravca prave fB(x) na usvojenom polinomu FB(x):

kB=B0 (x12+ x1x2+x22)+B1(x1+x2)+B2=

kB =(19/8) ……………..  (2,2).

Integral parabole Fa(x) u granicama x1 i x2 je:

Grafički prikaz:

c) -Za kubnu Fb(x)=(1/2) x2-3x+5x-2:
b0=(1/2) , b1=-3,  b2=5,  b3=-2;

– koeficijenti usvojenog oblika polinoma FC(x) stepena p=4:

– bazni izrazi i koeficijent kC pravca prave fC(x) na usvojenom polinomu FC(x):
[x13+ x1x2(x1+x2)+x23]=[(-3/2)3+(-3/2)(3/2)[-3/2+3/2]+(3/2)3]=0;

kC=C0[x13+ x1x2(x1+x2)+x23]+C1(x12+ x1x2+x22)+C2(x1+x2)+C3=

kC =(-17/4)   ………………………………  (3,2).
Integral parabole Fa(x) u granicama x1 i x2 je:

Grafički prikaz:

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen Popović

Advertisements