Limes koeficijenata prave-Prelaz prave u tangentu
Limes koeficijenata jednačine prave su koeficijenti jednačine druge prave, tj. prelaz jednačine prave, prava na krivoj, u jednačinu druge prave pri prelasku  apscise jedne presečne tačke u  apscisu druge

Metod rada-koeficijenti prave.

    Pojam limesa koeficijenata prave

Limes koeficijenata jednačine prave daje koeficijente jednačine druge prave na istoj krivoj.
Da bi dobili koeficijente druge prave limesom koeficijenata prve moramo u imeniocu koeficijenata prve prave ukloniti razliku apscisa (x2 – x1),
jer je (x1 – x1)=0.

Treba prihvatiti da limes koeficijenata jednačine prave utiče na jednačinu i položaj nove prave ; k i n su k(x2) i n(x2), tj.   funkcije su promenljive x2. Tangenta je samo jedan od položaja prave f(x). Predmet razmatranja nije određivanje vrednosti jednačine prave f(x1)=kx1+n, ni vrednosti f(x2)=kx2+n:

Primeri primene jednačine prave za izvođenje jednačine tangente na krivoj    

Prava i tangeta na paraboli:
Fa(x)=a0x2+a0x+a2 – jednačina  parabole;
f(x)=kx+n=[a0 (x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2 –prava na paraboli;
– apscise  x1 i x2 presečnih tačaka prave i parabole i koeficijenti prave:
k= a0 (x1+x2)+a1 , n= a2-a0x1x2.
-Apscisa x2 je “parcijalna”tekuća koordinata koeficijenata prave, a promenljiva x  prave  f(x)  miruje.

Jednačina tangente: 


[a0 (x1+x1)+a1]x+a2-a0x1x1= (2a0 x1+a1)x+a2-a0x12 – jednačina tangente
na paraboli u tački sa apscisom x1.

Prava i tangeta na kubnoj:
Fb(x)=b0x3+b1x2+b2x+b3 – jednačina kubne;
f(x)=[ b0(x12+ x1x2+ x22)+ b1(x1+x2)+b2]x+b3-x1x2 [ b0(x1+ x2)+ b1]–prava na kubnoj.
Jednačina tangente:
-Limesi koeficijenata jednačine prave na kubnoj se prosto dobijaju  zamenom x2  sa x1 , dakle isti  postupak daje jednačinu tangente:
fT(x)=[ b0(x12+ x1x1+ x12)+ b1 (x1+x1)+b2]x+b3-x1x1 [b0(x1+ x1)+ b1]=
(3b0x12+ 2b1x1+b2)x+a3-x12 (2b0x1+ b1), dakle
fT(x)= (3b0x12+ 2b1x1+b2)x+a3-x12 (2b0x1+ b1)  je jednačina tangente na kubnoj.

Prava i tangeta na razlomljenoj funkciji:

-jednačina prave fR(x) na krivoj R(x) je:

– jednačina tangente fT(x), fT(x1) i fT(x2), se ivodi iz limesa koeficijenata prave fR(x):

Jednačina tangete:




-jednačina tangente na razlomljenoj R(x) je:


Prava i tangeta na krugu:

-klasičan Izraz za koeficijent pravca prave na krugu je:
k(x2-x1)= FK(x2)-FK(x1)=

  ………………… (1).

-Potrebno je od klasičnog izraza koeficijenta pravca prave k, datog pod rednim brojem (1),  izvesti novi  izraz za k u kome neće biti (x2 – x1):

Tokom izvođenja izrazi sa korenima  dovoljno i tačno je uzeti znak plus ispred oba korena:
za jednačinu prave i tangete znak je bitan, ali za limes koeficijenata nije.
Proširujemo izraz dat pod rednim brojem (1) zbirom korena:


Kao što je proširen izraz za k isto proširimo i izraz za n:
n(x2-x1)= x2 FK(x1)-x1 FK(x2)=

Razliku korena  proširujemo zbirom  korena… izvlačimo i skraćujemo razliku (x2-x1) i  na kraju sve završava izrazom datim pod rednim brojem (2):


 ……………. (2).

Novi oblici izraza k i n su spremni za limese.

Jednačina tangente

a)– Koeficijent pravca tangente fT1(x1):

b)-Koefiijent  nT1 (x1) tangente:
– da ne bi stalno pisali lim…, limes koeficijenta n(x2) prave na krugu  računamo zamenom x2  sa x1 , dakle prosta zamena apscisa u izrazu datom pod rednim brojem(2) daće  limese za n, kao što smo dobili i limesa koeficijenta pravca kT1 (x2) tangente; na kraju će obrazac za koefiijent  nT1 (x1) tangente biti:



– Jednačina tangente fT1(x) na krugu FK(x) je:

Napomena za znak ispred korena u jednačini prave i jednačini tangente:
– ako je FK(x1)<q<FK(x2), ili je FK(x2)<q<FK(x1), tada ispred odgovarajućih korena treba staviti suprotni znak;
– znak minus se stavlja ispred korena za vrednosti FK(x)<q.

Zadatak:
Date su apscise x1= -1  i x2=2, apcise prve i druge tačke preseka prave  f(x) i kruga FK(x). Centar kruga je tačka Q(1,-2), a poluprečnik kruga R2=5.
Kroz tačke preseka, apcisa x1 i x2 , napisati jednačinu prave f(x) i jednačine tangenti fT1(x1) i fT2(x2).

Potrebne vrednosti:
p=1, q=-2;   R2– p2=5-12=4; x2-p=2-1=1, p-x1=1-(-1)=2;
bazni izrazi: x1+x2=-1+2=1,  x1x2=(-1)(2)=-2;


Jednačina prave na krugu:
fK (x)=kx+n;    FK (x1)<q:

Jednačine tangenti na krugu:
a) fT1(x2)= kT1 x+nT1 ;  FK (x1)<q:



b)
fT2(x2)= kT2 x+nT2 ;  FK (x2)>q:

-Sa druge slike primećujemo da se mogu napisati još tri prave i njihove tangente; tokom rada samo menjamo znake korena, a apscise i formule ostaju iste.
-Prilagođeni koeficijenti jednačine prave i njihovi limesi se slično nalaze i za  krive: hiperbolu,elipsu…

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Advertisements