Извођење формуле површине троугла – базни израз
Извођење формуле површине троугла у облику производа простих чинилаца- разлика апсциса темена троугла и разлике коефицијената правца две странице троугла
УВОД
Mетод рада-коефицијенти праве
Oсновна формула 2P∆ABC =(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23) три праве је производ разлика (x2-x1)(x2-x3) апсциса темена троугла и разлике(k12-k23) коефицијената правца две странице троугла- једначинe странице AB и странице BC ∆АBC.
Једначине правих су:
f12(x)=k12x+n12 , f23(x)=k23x+n23 , f31(x)=k31x+n31 ;
-ознаке апсциса су: x1=xA , x2=xB , x3=xC .
-Формула површине троугла је основна јер je за површину произвољног троугла и за троугао на кривој лини.
-Формула има и базни облик због базног израза B(x2)=(x2-x1)(x2-x3).
ИЗВОЂЕЊЕ
Предуслови:
Пре извођења формуле за површину морам доказати да је
израз (k12-k23)x2+(k23-k31)x3+(k31-k12)x1=0 …….. (3);
израз се добија из услова пресека трију непаралелних прави :
( k12-k23)x2 =( n23-n12) ,
( k23-k31)x3 =( n31-n23) ,
( k31-k12)x1 =( n12-n31) –——- (2).
Дакле , саберeм светри једнакости- три израза са леве и три са десне стране једнакости. Збир са десне стране ће бити нула, већ сам га дао под редним бројем (3).
Поново групишем израз под редним бројем (3) и добијам да је
(x3-x1)k31=(x3-x2)k23+(x2-x1)k12 ………………………… (3.1).
Појединачни сабирци су:
f23(x2)-f23(x3)=–(x3-x2)k23 ,
f31(x3)-f31(x2)]=(x3-x1)k31 i f12(x1)-f12(x2)=–(x2-x1)k12 ….. (1.1).
Основну формулу површине троугла добиću из класичне формуле за површину троугла
2P∆ABC=x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)=
x1[f23(x2)-f23(x3)]+x2[f31(x3)-f31(x1)]+x3[f12(x1)-f12(x2)] ——- (1), заменом делова у заградама изразима под редним бројем (1.1).Након тога, на истој једнакости, замењујем и израз под редним бројем (3.1).
замењујем и израз под редним бројем (3.1).
Замењивање:
Dakle, 2P∆BCA=x1[-(x3-x2)k23]+x2[(x3-x1)k31]+x3[-(x2-x1)k12]=
x1[-(x3-x2)k23]+x2[(x3-x2)k23+(x2-x1)k12]+x3[-(x2-x1)k12]=
(x3-x2)(-x1+x2)k23+(x2-x1)(x2-x3)k12=(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23).
2P∆BCA=(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23).
ДОДАТАК
Из услова пресека k12x+n12=f12(x)=f23(x)=k23x+n23
имам да је (k12-k23)x2=(n23-n12) , пa површина троугла, веома брзо , добија облик :
2P∆BCA =(x2-x1)(x2-x3)(n23-n12)/x2 .
Био ми је циљ да изведем формулу површине троугла у облику производа простих чинилаца- разликe апсциса темена троугла и разлике коефицијената правца страница ∆АBC, из
2P∆ABC =x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2).
Изведени су докази да је:
(k12-k23)x2+(k23-k31)x3+(k31-k12)x1=0(карактеристика К површине трију правих) или
-(x3-x1)k31+(x3-x2)k23+(x2-x1)k12=0, и да је тражена формула
за површину троугла 2P∆BCA =(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23).
Добио сам и B(x2)= (x2-x1)( x2-x3)=x22-(x1+x3)x2 +x1x3 базни израз површине троугла.
-Површину 2P∆BCA=(x2-x1)(x2-x3)( k12-k23) могу добити далеко простије.
Извођење:
– косинус угла праве f(x)=kx+n:
-oсновица a ∆BCА:
слика:
-висина основице a je:
ha =[f12(x1)-f23(x1)]cos(α23)=
-површина троугла основе a и висине ha :
2P∆BCA=aha=
2P∆BCA=(x3-x2)[f12(x1)-f23(x1)]=(x3-x2)[(k12-f23)x+n12-n23)]=
(x3-x2)[(k12-k23)x1-(k12-k23)x2],
2P∆BCA =(x3-x2)(x1-x2)(k12-k23),
2P∆BCA =B(x2)(k12-k23).
Друге две су:
2P∆ABC=chC ,
2P∆ABC=(x2-x1)[f31(x3)-f12(x3)] —————- (2),
2P∆ABC= B(x1)(k31-k12):
2P∆CAB=bhb
2P∆CAB=(x3-x1)[f31(x2)-f23(x2)] —————- (3),
2P∆CАB =B(x3)(k31-k23).
-Редослед исписивања индекса на апсцисама је математички позитиван зa ∆ABC.
Имам и површину ∆ ABC са карактеристичном правом fK(x):
a) 2P∆ABC=(x2-x1)[fK312(x3)]: AB=c, C: xC=x3 ;
b) 2P∆BCA=(x3-x2)[-fK123(x1)]: BC=a, A: xA=x1 ;
c) 2P∆CAB=(x3-x1)[fK312(x2)]: CA=b, B: xB=x2 .
Aутор формула и извођења:
Срдачан поздрав и добро здравље,
инж. Младен Поповић
