Osnovna veza koeficijenata pravca tri prave

Osnovna  veza koeficijenata pravca triju pavih i apscisa preseka pravih je:
 ……… (10),
  ,
.

Izdvojeni izrazi za K su K za tačku A: presek prave f12(x) i f23(x) i za tačku B, presek prave f23(x) i f31(x).

Za K dveju pravih su dovoljni koeficijenti pravca pravih i apscise za po jednu tačku na svakoj pravoj: k12, k23 , x1 , x3 .

Izraz pod rednim brojem (1o) je za trougao triju pravih. karakteristika K za jednu tačku je karakteristika dveju pravih.

Grafik K12,23(x) i grafik dve prave:

Analitički elementi dvostruke jednakosti su:
k12 – koeficijent pravca prave f12(x)= k12x+n12 ,
k23 i k31 – koeficijenti pravca prave f23(x)= k23x+n21 i  f31(x)= k31x+n31 ,
x1 , x2 i x3 – apscise preseka prave f12(x), f23(x) i f31(x),
K- osnovna karakteristika koeficijenata pravca i apscisa preseka triju pravih.

 Dokaz

-Ako naizmenično koristimo jednakosti iz izraza pod rednim brojem (10), uvek se dobije:
(k12-k23)x2+(k23-k31)x3+(k31-k12)x1 =0 —— (10.1).

Primer:
Prva jednakost iz izraza pod rednim brojem  (10) je:
(k12-k23)(x2-x1) = (k23 – k31)(x1-x3),
(k12-k23)x2-k12x1+k23x1 = k23x1-k31x1-(k23-k31)x3 ,
(k12-k23)x2-k12x1= -k31x1-(k23-k31)x3 ;
(k12-k23)x2+(k31 – k12)x1+(k23 – k31)x3 = 0.

-Jednakosti prvog i trećeg izraza daje:
(k12-k23)(x3-x2) = (k31 -k12)(x1-x3),
-(k12-k23)x2+ k12x3 –k23x3 = (k31 -k12)x1-k31x3+k12x3,
-(k12-k23)x2 –k23x3 -(k31 -k12)x1-k31x3 ;
-(k12-k23)x2-(k23 -k31)x3-(k31 -k12)x1=0.

Drugog i trećeg:
(k23 -k31)(x3-x2)= (k31-k12)(x2-x1),
(k23 -k31)x3-k23x2+k31x2 -k31x2-k12x2-(k31 -k12)x1;
(k23 -k31)x3+(k31-k12)x1+(k12 -k23)x2=0.

Dakle, šta je korišćeno?
-Ako su dve veličine jednake trećoj, jednake su i međusobno.

– K, pod rednim brojem (10), je osnovna karakteristika tri neparalelne prave, zapravo, to su odnosi razlika koeficijenata pravca pravih i apscisa tačaka preseka pravih. Karakteristika K je i karakteristika površine triju pravih.

-Izraz pod rednim brojem (10.1) je pravilo zatvorene petlje karakteristike K za sva tri temena ∆АВС:

K(k23-k31)x3+K(k31-k12)x1+K(k12-k23)x2=0.
Preseci triju pravih su:

(k12-k23)x2=(n23-n12) – presek f12(x) i f23(x),
(k23-k31)x3=(n31-n23) – presek f23(x) i f31(x),
(k31-k12)x1=(n42-n31) – presek f31(x) i f12(x).

Ako saberemo sve tri jednačine, zbir desne strane jednakosti je 0, a zbir leve strane je:
(k23-k31)x3+(k31-k12)x1+(k12-k23)x2=0,
K(x2-x1)x3+K(x3-x2)x1+K(x1-x3)x2=0,
K[0]=0.

-Ако је ∆АВС triju pravih na krivoj liniji, osnovna karakteristika K je specifična karakteristika površine ∆АВС te krive linije:

-za presek pravih na paraboli a0x2+a1x +a2 , izraz dat pod rednim brojem (10) je jednak koeficijentu parabole a0=K;
-ako su preseci pravih na kubnoj, vrednost K je: K=a0(x3+x2+x3)+a1.

O izrazu, datog pod rednim brojem  (10), pisaću u nekom narednom članku.

– U opštem slučaju, oba izraza pod rednim br. (10) i (10,1),  služe da odredimo jednu jednu nepoznatu ako znamo ostale. Njenim određivanjem određujemo:
površinu ∆АВС, dužine stranica ∆АВС, koeficijente krive linije…
Dodajem, i dalje nemamo jednačine pravih, ni definisana temena trougla.

Zadatak
Tri neodređene( nepoznate) prave, f12(x), f23(x) i f31(x),  imaju koeficijente pravca:

Apscisa x1=1 je apscisa preseka prave f31(x) i f12(x) ,  a  x2=6 je apscisa preseka prave f12(x) i f23(x).
Odrediti treću apscisu- presek prave f23(x) i f31(x) i vrednost osnovne karakteristike K sa istim podacima.
Slika :

Izrada
Poznate vrednosti i formula:

x1 =1, x2 =6.
(k23 – k31)x3+(k31-k12)x1+(k12 – k23)x2=0.

Brojne vrednosti:

Rešenje:

Odredili smo x3=10 – apscisa tačke preseka prave f23(x) i f31(x) .

Prave, f23(x) , f31(x) i f12(x)  su nam nepoznate, ima ih beskonačno, pa su i temena
A(x1 , y1), B(x2 , y2) i C(x3 , y3) nepoznata.

-Ako usvojim jedno n, znali bi i položaj sve tri prave, ali mi nije cilj  da odredim jednačine pravih, glavna meta je  x3  – apscisa preseka dve nepoznate prave, naravno, date su i vrednosti ostalih veličina u izrazu pod rednim brojem (10).

 Druga slika u zadatku :

Osnovna karakteristika K:

Specifična karakteristika K za trougao na krivoj:
Primer:
– Ako bi usvojili neku vrednost  zadnjeg člana polinoma(jednačina krve), recimo a2 parabole a0x2+a1x +a2 , mogli bi odrediti koeficijent a0 i a1 parabole i nacrtati grafik jednačina pravih, tada će i ∆АВС biti definisan.
Dakle:

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš.inž. Mladen Popović