Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла
Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла, апсциса тачака пресека правих или прираштаја, ∆f12(x), ∆f23(x), ∆f31(x), od f12(x), f23(x) и f31(x)
Метод рада – коефицијенти праве.
Јеначине правих:
f12(x)=k12x+n12 , f23(x)= k23x+n23 , f31(x)= k31x + n31 .
Косинусна теорема :
(∆f23)2+(∆f31)2-2(∆f23)(∆f31)cos(00)=(∆f12)2————————- (40.б),
∆f23= f23(x3)-f23(x2), ∆f31= f31(x3)-f31(x1), ∆f12= f12(x2)-f12(x1).
Слика:
-Угао између колинеарних, ординатних, праваца је нула.
-Прираштаји правих на страницама ∆АБЦ, дуж ординатног правца су:
∆f23=k23(x3-x2), ∆f31=k31(x3-x1), ∆f31=k12(x2-x1), те косинусна теорема добија облик разлика апсциса:
k232(x3-x2)2+k312(x3-x1)2-2(x3-x2)(x3-x1)k23k31=k122(x2-x1)2—— (40),
k23, k31, k12 – коефицијенти правца страница ∆АБЦ, тј. правих f23(x), f31(x) и f12(x);
x1 , x2 , x3 – апсцисе темена страница ∆АБЦ.
Три дужине на џ оси су рзлике апсциса (x3-x2), (x3-x1) и (x2-x1) . Усвојимо ли s23, s31 и s12 за њихове ознаке, тада ће израз бити:
k232(s23)2+k312(s31)2-2(s23)(s31)k23k31=k122(s12)2 ——————- (40.a),
s23= (x3-x2), s31= (x3-x1), s12= (x2-x1).
Слика:
Извођење и доказ
Потребне формуле:
– дужине страница ∆AБЦ:
-класичан облик косинусне теорема: a2 +б2 -c2=2aбcos(α23– α31).
Извођење косинусне теорема разлика апсциса темена троугла:
-У израз a2 +б2 -c2=2aбcos(α23– α31) замењујемо дужине страница ∆AБЦ , косинус разлике угла правца странице а и угла правца странице б:
a2 +б2 -c2=2aбcos(α23– α31),
(x3-x2)2(k232+1)+(x3-x1)2(k312+1)-(x2-x1)2(k122+1) =
2(x3-x2)(x3-x1)(1+k23k31);
(x3-x2)2(k232+1)+(x3-x1)2(k312+1)-(x2-x1)2(k122+1) =2(x3-x2)(x3-x1)(1+k23k31).
Даље, остављам разлике апсциса у заградама и настављам множење осталих чланова :
k232(x3-x2)2+(x3-x2)2+k312(x3-x1)2+(x3-x1)2-k122(x2-x1)2-(x2-x1)2=
2(x3-x2)(x3-x1)+2(x3-x2)(x3-x1)k23k31,
раздвајам променљиве:
k232(x3-x2)2+k312(x3-x1)2-2(x3-x2)(x3-x1)k23k31-k122(x2-x1)2=
– (x3-x2)2-(x3-x1)2+2(x3-x2)(x3-x1)+(x2-x1)2.
Како је деснa странa једнакости једнака нули, – (x3-x2)2-(x3-x1)2+
2(x3-x2)(x3-x1)+(x2-x1)2=0, то ће и израз са леве стране бити нула:
k232(x3-x2)2+k312(x3-x1)2-2(x3-x2)(x3-x1)k23k31-k122(x2-x1)2=0.
[k23(x3-x2)]2+[k31(x3-x1)]2-2[(x3-x2)k23][(x3-x1)k31]=[k12(x2-x1)]2———-(40).
Задатак:
Задате величине:
– дужина s23=(x3-x2)=1 између апсцисе x3 и x2 темена Б И Ц ∆AБЦ;
– коефицијенти правца страница ∆AБЦ: k12=-(2/3), k23=4, k31=(1/2), истовремено и коефицијенти правца праве f23(x), f31(x) и f12(x).
Одреди:
– дужине s31 и s12;
-прираштаје, ∆f23, ∆f31, ∆f12, на f23(x), f31(x) и f12(x).
Потребна формула:
s23= (x3-x2), x3= s23+x2. Апсцису x3 замењујем у
k232(x3-x2)2+k312(x3-x1)2-2(x3-x2)(x3-x1)k23k31=k122(x2-x1)2:
k232(x3-x2)2+k312(s23+x2-x1)2-2(x3-x2)(s23+x2-x1)k23k31=k122(x2-x1)2,
k232(x3-x2)2+k312[(x2-x1)2+2(x2-x1)s23+s232]-2(x3-x2)s23k23k31-2(x3-x2)(x2-x1)k23k31=k122(x2-x1)2,
k232(s23)2+k312(x2-x1)2+2k312(x2-x1)s23+k312s232-2(s23)s23k23k31-2(s23)k23k31(x2-x1)=k122(x2-x1)2;
(k312-k122)(x2-x1)2+[2k312s23-2s23k23k31](x2-x1)+k232(s23)2+k312s232-2s232k23k31+ =0,
(k312-k122)(x2-x1)2-2s23k31(k23-k31)(x2-x1)+s223(k23-k31]2=0.
Бројне вредности:
Једначина:
(k312-k122)(x2-x1)2-2s23k31(k23-k31)(x2-x1)+s223(k23-k31]2=0,
-(x2-x1)2– (9)2(x2-x1)+7(9)=0,
(x2-x1)2+18(x2-x1)-7(9)=0.
Решење:
(x2-x1)1=3, (x2-x1)2=-21.
a)-Oдређивање разлика апсциса или растојања између њих:
-Из s23=(x3-x2)=1 и (x2-x1)1=3 следи да је (x3-x1)=4, дакле растојања између њих су:
s12=3, s23=1, s31=4.
-Друга решења, са (x2-x1)2=-21, приказаћу други пут.
б) Одређивање ∆f23, ∆f31 и ∆f12:
∆f23=k23(x3-x2)=4(1)=4;
Од аутора метода:
Срдачан поздрав и добро здравље,
маш. инж. Младен Поповић
