Izvođenje karakteristike K triju pravih
Karakteristika K triju pravih i primena Talesove teoreme u analitičkoj geometriji
Metod rada-koeficijenti prave.
Karakteristika K triju pravih izvedena je ,ranije, iz preseka
f12(x)= k12x+n12 , f23(x)= k23x+n23 i f31(x)= k31x+n31:
(k12-k23)x2=n23-n12, (k23-k31)x3 =n31-n23 ,
(k31-k12)x1=n12-n31 ili
-Sabiranjem levih ili desnih strana jednačina dobija se:
a) (k12-k23)x2+(k23–k31)x3+(k31–k12)x1 =0 —— (10.1);
b) (n12-n23)x1x3+(n23–n31)x3x1+(n31–n12)x3x2=0 —— (11.1).
-Jednakost izraza pod rednim brojem (10.1) i (11.1) su dokaz tačnosti pretpostavljenih izraza za karakteristikу K triju pravih:
Dokaze videti na:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2019/02/11/osnovna-veza-koeficijenata-pravaca-tri-prave/
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2019/02/14/oсновна-веза-одсечака-трију-правих-на-у/
-Izvođenje prvog izraza za K:
Kx3(x2-x1 )=n31-n23 → n31= n23+Kx3(x2-x1 )- izraz za n31 zamenjujem u izraz:
Kx1(x3-x2 )=n12-n31= n12-[n23+Kx3(x2-x1 )],
n12-n23=Kx1(x3-x2 )+Kx3(x2-x1)=K[x1(x3-x2 )+x3(x2-x1)=
Кx2(x3-x1 ) → n12-n23=Кx2(x3-x1 ):
Talesovom teoremom, na drugi način, još jednom, proveravam vrednost
za K:
-Postavimo Talesove proporcije za tri prave presečene trima vertikalnim pravama- pravе apscisa: x1 , x2 , x3 .
Pogledajmo, na grafiku ispod, presek dve prave; treća prava je posledica pomenutih preseka.
GRAFIK:
Prva proporcija:
AE(x3-x2)=CF(x3-x1);
[f31(x1)- f23(x1)](x3-x2)= [f31(x2)- f23(x2)](x3-x1),
[(k31– k23)x1+n31-n23](x3-x2)= [(k31– k23)x2+n31-n23](x3-x1),
[(k31– k23)x1(x3-x2)+(n31-n23)(x3-x2) ]=
[(k31– k23)x2(x3-x1)+(n31-n23)(x3-x1) ];
[(k31– k23)x1(x3-x2)- (k31– k23)x2(x3-x1) ]=
[(n31-n23)(x3-x1)- (n31-n23)(x3-x2) ],
[(k31– k23) [x1(x3-x2)+ x2(x3-x1) ]= (n23-n12)[ x3-x1)-(x3-x2) ]:
(k31– k23)(x1-x2) x3=(n31-n23) (x2-x1).
-Ako bi skratili razlike apscisa, izgubili bismo karakteristiku K i predstavu o osnovnim vezama svih preseka između pravih: k i n pravih i apscise preseka. Zato, zanji izraz podelimo kvadratom razlika apscisa:
(k31– k23)(x1-x2) x3=(n31-n23) (x2-x1)/:x3(x2-x1)2
-Dakle, vrednost srednjeg izraza za K triju pravih u analitičkoj geometriji je:
GRAFIK:
Druga proporcija:
DB(x3-x1)=CF(x2-x1);
[f31(x2)- f12(x2)](x3-x1)= [f31(x3)- f12(x3)](x2-x1),
[(k31– k12)x2+n31-n12](x3-x1)= [(k31– k12)x3+n31-n12](x2-x1),
[(k31– k12) [x2(x3-x1)- x3(x2-x1) ]= (n31-n12)[ x2-x1)-(x3-x1) ]:
(k31– k12)(x3-x2) x1=(n12-n31)(x3-x2).
-Isto, još jednom:
(k31– k12)(x3-x2) x1=(n12-n31)(x3-x2)/:x1(x3-x2)2,
-vrednost zadnje jednakosti za K:
Ttreća proporcija:
Treći izraz za K je već dokazan na navedenim linkovima i nije ga potrebno, dokazivati proporcijom, jer bismo ponovli isti postupak kao i kod prethodne dve proporcije: ako su dve veličine jednake trećoj, jednake su i međusobno.
Autor pojmova i izvođenja:
Karakteristika K nije veličina koju treba izvoditi, jer se potvrdila na nebrojanom broju slučajeva, naravno da K ima svoj matematički izraz i dat pod rednim brojem 10 i 11, 10.1 i 11.1.
K je operant u analitičkoj geometriji- ističe izvorne uslove i osnovne veličine mnogobrojnih teoreme i pravila u matematici.
Talesova teorema pretpostavlja presek dveju pravih i daje proporcije odgovarajućih duži na pravama u preseku i na paralelnim pravama.
K definiše uslove preseka dveju pravih- apscisu preseka i po jednu apscisu na jednom i drugom kraku pravih, gledano sa mesta(iz take) preseka dveju pravih. Metoda koeficijenata nas, na primeru Talesove prorcije, nepogrešivo vodi ka preseku pravih.
Karakteristika K određuje uslov postojanja preseka triju pravih- trougao pravih sa sledećim podacima: k12 ,k23 ,k31 ,x1 ,x2, x3 ili n12 , n23 , n31 , x1 , x2 , x3 . Naravno, pet veličina se zadaju, dok se šesta određuje pomoću karakteristike K.
A, ako su preseci pravih na krivoj, dovoljni su koeficijenti k ili n: apscise se mogu izračunati poznavanjem jednačine krive; videćemo u nekom narednom blogu na paraboli, hiperboli…
Autor pojmova i izvođenja:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
dipl. m. inž. Mladen Popović
