Teorema: Određenost trougla i parabole karakteristikom K

Određenost trougla:

1.–Trougao  triju pravih je geometrijski određen ako se znaju koeficijenti pravca pravi(pravci stranica) i apscise preseka pravi:
(k₁₂, x₁, x₂), (k₂₃, x₂ , -), (k₃₁, x₁ , -) -karakteristika K triju pravi ili se zna

(n₁₂ , x₁, x₂), (n₂₃ , x₂ , – ), (n₃₁ , x₁ , -)- odsečci na y osi od pravi i apscise preseka pravi(karakteristika K trougla triju pravi).

-Trougao je analitički određen ako se zna još  jedno n ili k

Dakle:
n₁₂ ili k₁₂ (k₁₂ je u drugoj grupi) određujem karakteristikom K i njenom pravom f_K(x);
– apscisu x₃ određujem iz zatvorene petlje karakteristike K trougla triju pravi.

Pošto do sada nisam predstavio pravu f_K(x), trougao ću odrediti poznatom(zadatom) pravom f₁₂(x)=k₁₂x+n₁₂.

Dakle:
– Trougao je analitički određen karakteristikom K triju pravih i presekom jedne prave i y ose(odsečak od prave na y osi): k₃₁, k₂₃, k₁₂ , n₁₂ ,  x_1, x₂ ili
n₃₁, n₂₃, n₁₂ , k₁₂ ,  x_1,  x₂ .

2. -Parabola je određena ako je analitički određen trougao parabole karakteristike K.
-Koeficijenti parabole su određen karakteristikom K triju pravi i jednačinom jedne prave.

Potrebno je razlikovati geometrijsku određenost trougla od određenosti trougla u ravni xOy(analitička geometrija ili vektori).

Dakle, za analitičku određenost trougla i koeficijenata parabole u ravni xOy treba znati još jedno n ili jedno k.
n i k određujem karakteristikom K trougla triju pravi i njenom pravom(naravno ne u ovom članku)

– Za analitičku određenost trougla, pored zadatih pet veličina( x₃ će niti šesta, a računa se karakteristikom K), treba znati sedmu(n ili k); sedmom će se potvrditi tri koeficijenta parabole a_0, a_1, a₂.

1.zadatak:
-Odrediti trougao ako se na trouglu znaju:
a) k₃₁=(1/2), k₂₃=3, k₁₂=-(2/3)  – koeficijenti pravca tri stranice trougla;
b) x₁=-3 x₂ =1  -apscise preseka pravca stranica trougla CA,AB i AB,BC.

Na grafiku su koeficijenti pravca i jedinični trigonometijski krug.
Izrada:
1)-Uglovi u trouglu se znaju, zadati su koeficijentima pravca(tangensi..).
2)–Karakteristika K temena C:

k₂₃-k₃₁=3-(1/2)=(5/2),
x₂-x₁ =1-(-3)=4;

k₃₁-k₁₂=(1/2)-[-(2/3)]=(7/6),  k₁₂-k₂₃=-(2/3)-3=-(11/3).

3)-Određivanje apscise trećeg temena trougla:
(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃–k₃₁)x₃+(k₃₁–k₁₂)x₁=0 ———— (10.1),  

Trougao se geometrijski može prikazati bilo gde, ipak ima razloga da se započne na trigonometrijskom krugu:O₁(-1,0).
Crtanje trougla:

Na grafiku apscise prikazujem vertikalama, a koeficijente pravca na jediničnom trigonometijskom krugu O₁O=1 u xOy koordinatnom sistemu.

Crtanje stranice AB:
— na grafiku pravac k₁₂ (O₁K₁₂) produžujem levo do preseka sa apscisom x₁ i desno, do preseka sa apscisom x₂ . Preseci nam daju teme A i B.

Crtanje stranice AC:

– kroz tačku A povlačimo pravu paralelnu pravcu O₁K₃₁: k₃₁=(1/2), sve do x₃, gde se dobije teme C..

Crtamo stranicu BC:

-povukao sam kroz tačku B pravu paralelnu pravcu O₁K₂₃: k₂₃=3, proverio teme C i završio  ∆ABC.
GRAF:

4)-Određivanje stranica trougla:
-potrebne vrednosti:

-stranice su:

Očitane vrednosti stranice sa grafika i vrednosti stranica dobijene računom se podudaraju, ∆ABC je određen.

5)-Površina trougla:
-2K²P_∆ABC=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)=

Dobijena površina računom se podudara sa očitanom površinom na grafiku.

DAKLE:
-∆ABC je geometrijski definisan, poznate su dužine sve tri stranice.
Za analitičku geometriju(x0y) ∆ABC nije određen, jer nisu određene ordinate njegovih temena niti bilo šta drugo:
A(x₁ , – )=(-3,– ), B(x₂, – )=(1, – ), C(x₃ , – )=[(43/15),– ].

– Da bi trougao bio analitički definisan u ravni xOy potrebno je odrediti jednačinu jedne stranice trougla; jednačina je dobijena pomoću koordinata temena O₁(-1,0) i temena K₁₂ [0,(-2/3)], pa se dalje zna: k₃₁, k₂₃, k₁₂ , x_1, x₂ , n₁₂ ili f₁₂ (x)= k₁₂ x+n₁₂, k₃₁, k₂₃, x_1, x₂ ,

6)-Analitička određenost trougla:
Postavljanjem jedne stranice trougla na pravac koeficijenta k₁₂ jediničnog kruga, trougao je već analitički određen:
f₁₂(x_O1)=k₁₂x_O1+n₁₂ ,
0=-(2/3)(-1)+n₁₂ , n₁₂ =-(2/3);
-jednačina stranice AB je: f₁₂(x)=-(2/3)x-(2/3);
-tema A je:
f₁₂(-3)=-(2/3)(-3)-(2/3)=(4/3),
A[-3, (4/3)].

Određenost parabole karakteristikom K
DEFINICIJA:
– Parabola je određena ako je analitički određen trougao parabole
karakteristike K:  k₃₁, k₂₃, k₁₂ , n₁₂ , x_1, x₂ ili n₃₁, n₂₃, n₁₂ , k₁₂ , x_1, x₂ .

Da bi odredio parabolu ne moram određivati jednačine svih stranica trougla, kao što bih to gore utadio za trougao; parabola ima svoje prave:
f(x)=[a₀(x₁+x₂)+a₁]x+a₂-a₀x₁x_{2 …..}

Zaključak:
– U zadatku sam trougao analitički određio uslovno jediničnim(trigonometrijskim) krugom.
Trougao se stvarno analitički može odrediti karakteristikom K i njenom pravom f_K(x), a iza toga i  jednačinu prave jedne stranice trougla.

DAKLE,
sledi članak:“Metod pisanja jednačine proizvoljne prave“; metod pisanja jednačine prave na krivoj sam odavno objavio.

Ovde neću ništa više dodati zbog veličine sadržaja, određenost parabole(njena tri koeficijenta), kubne, hiperbole… ostaviću za naredne članke.

Srdačan pozdrav I dobro zdravlje,
Autor izvođenja:
maš. inž. Mladen Popović

Карактеристика К троугла на параболи и параболе

Дискриминанта пресека F(х)=а₀х²+а₁х+а₂ и f(x)=kx+n, карактеристика К  трију правих на параболи и разлика k₁₂-k₂₃ коефицијената правца праве f₁₂(x) и f₂₃ (x)

Метод рада- коефицијенти праве

-Карактеристика К средњег темена ∆АБЦ је:

k₁₂-k₂₃=K_Б(x₁-x₃)  …………………………………………… (1).
-Једначина пресека параболе и праве f₃₁(x)  је:
а₀х²+а₁х+а₂=k₃₁x+n₃₁,
а₀х²+(а₁-k₃₁)x+а₂-n₃₁=0.
-Разлика решења (нула) једначине пресека параболе и праве f₃₁(x) je:
x₁=x_А, x₃=x_Ц ;

– Заменимо разлику (x₁-x₃) задњег израза у једнакост под бројем(1):
   …………..  (1.1)

Како је К_Б = а₀ , то ће разлика (k₁₂-k₂₃ ) бити:
,

-Након квадрирања леве и десне стране задњег израза, биће
(k₁₂-k₂₃)²-(а₁– k₃₁)²=- 4К(а- n₃₁),
   …………………. (40).

-Извели смо доказ, а узели смо у обзир све  параметре параболе и правих, да је К= а₀  , заменом К_Б са а₀ .

ДАКЛЕ:
К  троугла на параболи или K пресека трију правих на параболи се одређује ако знамо:

праву f₃₁(x)= k₃₁x+n₃₁,
k₁₂– коефицијент правца странице АБ,
k₂₃-коефицијент странице БЦ,
а₁ и а₂ од параболе F(х)=а₀х²+а₁х+а₂.

ГРАФИК:

1. задатак:
-Знамо параболу и праву:

знамо да је k₁₂=-(3/2) и да је k₂₃=3.
Одреди карактеристику К помоћу формуле за карактеристику и површину троугла карактеристике К .
ГРАФИК:

Потребне вредности:

(а₂– n₃₁)=2-(-3)=5;

Решење:

b) -производ разлика коефицијената правца је:
(k₁₂– k₂₃)(k₂₃– k₃₁)(k₃₁– k₁₂)=

– површина троугла карактеристике К је:
-2K²P_∆AБЦ=(k₁₂– k₂₃)(k₂₃– k₃₁)(k₃₁– k₁₂),


2.задатак:
Подацима из првог задатка одреди полупречник описане кружнице ∆АБЦ.
-Потребне бријне вредности:
(k₁₂²+1)( k₂₃²+1)( k₃₁²+1)=

-Фоулмула полупречника описане кружнице се налази на
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2019/03/15/правци-страница-троугла-и-пречник-описане кружнице

Срдачан поздрав и добро здравље,
Аутор метода:
дипл. м. инж. Младен Поповић

Brzina crtanja unutrašnjih trouglova ∆ABC

Brzina crtanja unutrašnjih trouglova  ∆ABC
Brzina računanja karakteristika K (može i crtanje trougla) unutrašnjih trouglova, trouglovi ∆ABC, na stredištima stranica svakog prethodnog trougla

Zadatak:
Crtaju se redom trouglovi unutar ∆ABC, ali tako da temena svakog unutrašnjeg trougla budu na središtima stranica prethodnog trougla. Crtanje  trouglova ili računanje karakteristike trouglova trajalo je 16 min.

– Posle 16 min ctranja ili računanja K trouglova, izračunata je  karakteristika K zadnjeg trougla: K=8. Zadata je karakteristika K prvog trougla K₁=1. Odrediti brzinu crtanja trouglova i broj trouglova.

Crtež spoljašnjeg- početnog i dva središna trougla:

Napomena: -Spoljašnji ∆ABC nije određen: A(x₁,-), B(x₂, -), C(x₂,-), za sliku je uzet proizvoljan položaj trougla.
Međutim, za rešavanje mnogih zadataka u analitici metodom koeficijenata dovoljno i potrebo je znati: ( k₁₂, k₂₃, k₃₁, x₁, x₂) ili (n₁₂, n₂₃, n₃₁, x₁, x₂). Za crtanje gornjeg grafika uzete su vrednosti:

Potrebno znanje:
– Karakteristika K stranica(pravih) svakog sledećeg trougla, unutar početnog ∆ABC, sa naizmenično istim koeficijentima pravca, je dva puta veća od karakteristike K stranica(pravih) prethodnog trougla. Dakle, radi se o geomertijskom nizu, gde je q =2 , a b₁=K₁=1

Izvođenje formula i zadate vrednosti:
– zadnji član geomertijskog niza b_n je:

b_n=K=8,  b₁=K₁=1 , a  q =2.

Izrada:

2K=2ⁿ  → 2(8)=(2)⁴=2ⁿ ,
pa je n= N_TR.=4 -broj unutrašnjih trouglova;

-brzina crtanja trouglova v :

Dok sam skicirao pet trouglova što su na grafiku, dok sam izračunao x₃=10,
x₄=7/2, x₅=11/2, x₆=8, x₇=18/4, x₈=23/4, x₉=27/4, x₁₀=41/8,
x₁₁=45/8, x₁₂=50/8, x₁₃ , x₁₄ , x₁₅  i dok sam izračunao petnast karakteristika K za petnaest temena, prošlo je više od 2h.

-Brzina mog računanja petnaest karakteristika je:

Od autora :
Sretan rad i dobro zdravlje,
dip. m. inž. Mladen Popović

График карактеристике К трију правих : k12, k23, k31, x1, x2, x3

График карактеристике К трију правих : k₁₂, k₂₃, k₃₁, x₁, x₂, x₃
График карактеристике K_12,23 , K_23,31 , K_31,12  и одређеност троугла трију правих коефицијентима правца правих и апцисама пресека правих:k₁₂, k₂₃, k₃₁, x₁, x₂

Meтод рада-коефицијенти праве.

График карактеристике K је задат коефицијентима правца и апсцисама правих( за рачун морамо нешто имати):

Одређујемо апсцису x₃:
За оперативни рад на троуглу од три праве потребно је дефиносати троугао коефицијентима правих и апсцисама правих. О троуглу не морамо знати где се налази: А(x₁, -), Б(x₁, -), Ц(x₁, -), али задати подаци морају  задовољити услов:
К=K_12,23 =K_23,31 = K_{23,31 ,}
(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃–k₃₁)x₃+(k₃₁–k₁₂)x₁ =0 —— (10.1):

Карактеристике K_12,23 , K_23,31 , K_23,31 трију правих :

1) –а) K_12,23,Х1(k_12,k₂₃,х₁,х₃):
k₁₂, k₂₃ – коефицијенти правца правих f₁₂(x), f₂₃(x),
х₁,х₃ –апцисе пресека правих f₃₁(x), f₁₂(x) i   f₂₃(x), f₃₁(x),

задњи израз зависи од апсциса тачака на крацима правих од темена са кога гледамо те тачке, па пустимо апсцису х₁ да тече и ставимо да је х₁=х:

ставимо да је х₃=х:

2) – а) K_23,31(k_23,k₃₁,х₂,х₁):
k₂₃, k₃₁ – коефицијенти правца правих f₂₃(x), f₃₁(x),
х₂,х₁ – апцисе пресека правих f₂₃(x), f₃₁(x) i   f₁₂(x), f₃₁(x),

стављамо да х₁ тече, х₁=х:

стављамо да х₂ тече, х₂=х:

ГРАФИК:

3) – а)  K_31,12(к_31,к₁₂,х₃,х₂):

 х₂=х:

х₃=х:

Када је K_12,23 =K_23,31 = К_31,12=K,  потпуно је одређен троугао од три праве задатим вредностима.
Рецимо:
–Са графика се види да је К= K_12,23 =K_23,31 = K_23,31,=(1/2), дакле дефинисан је и ∆ABC, а апсцисе су, за К=(1/2), једнаке: x₁=1, x₂=6, x₃=10;

– Можемо видети на графику да су , за К= K_12,23 =K_23,31 = K_23,31,=1,  апсцисе првог унутрашњег троугла:

Апсцисе x₄, x₅ и x₆ су темена новог троугла( DEF) и оне ће ићи кроз средишта страница спољашњег троугла АБЦ. Средње апсцисе рачунамо задњим изразом следећег доказа:

Докажимо да су х₄ ,х₅ и х₅ средишта страница троугла АBC:

K_12,23,Х1(х)=K_12,23,Х3(х),

-ГРАФИК ОБА ТРОГЛА:

Ако су различите вредности за К, K_12,23 ≠K_23,31 ≠ K_23,31, троугао од три праве није могуће одредити  задатим вредностима: k₁₂, k₂₃, k₃₁,
х₁, х₂ .

На графику за К имамо још два плус два пресека. Прва два имају заједничку једну(х₇) апсцису, а друга два имају заједничку другу апсцису (х₈). О овим пресецима-други пут.

-Ако би график карактеристике К цртали коефицијентима и апсцисама:
_n12, n₂₃, n₃₁, x₁, х₂ ., график би био исти у свему.

Срдачан поздрав и добро здравље,
Аутор метода:
дип. м. инж. Младен Поповић