Određenost trougla:

1.–Trougao  triju pravih je geometrijski određen ako se znaju koeficijenti pravca pravi(pravci stranica) i apscise preseka pravi:
(k12, x1, x2), (k23, x2 , -), (k31, x1 , -) -karakteristika K triju pravi ili se zna

(n12 , x1, x2), (n23 , x2 , – ), (n31 , x1 , -)- odsečci na y osi od pravi i apscise preseka pravi(karakteristika K trougla triju pravi).

-Trougao je analitički određen ako se zna još  jedno n ili k

Dakle:
n12 ili k12 (k12 je u drugoj grupi) određujem karakteristikom K i njenom pravom fK(x);
– apscisu x3 određujem iz zatvorene petlje karakteristike K trougla triju pravi.

Pošto do sada nisam predstavio pravu fK(x), trougao ću odrediti poznatom(zadatom) pravom f12(x)=k12x+n12.

Dakle:
– Trougao je analitički određen karakteristikom K triju pravih i presekom jedne prave i y ose(odsečak od prave na y osi): k31, k23, k12 , n12 ,  x1, x2 ili
n31, n23, n12 , k12 ,  x1,  x2 .

2. -Parabola je određena ako je analitički određen trougao parabole karakteristike K.
-Koeficijenti parabole su određen karakteristikom K triju pravi i jednačinom jedne prave.

Potrebno je razlikovati geometrijsku određenost trougla od određenosti trougla u ravni xOy(analitička geometrija ili vektori).

Dakle, za analitičku određenost trougla i koeficijenata parabole u ravni xOy treba znati još jedno n ili jedno k.
n i k određujem karakteristikom K trougla triju pravi i njenom pravom(naravno ne u ovom članku)

– Za analitičku određenost trougla, pored zadatih pet veličina( x3 se računa karakteristikom K prvih pet veličina), izračunaće se i sedma; sedmom će biti potvrđena određenost tri koeficijenta parabole a0, a1, a2.

1.zadatak:
-Odrediti trougao ako se na trouglu znaju:
a) k31=(1/2), k23=3, k12=-(2/3)  – koeficijenti pravca tri stranice trougla;
b) x1=-3 x2 =1  -apscise preseka pravca stranica trougla CA,AB i AB,BC.

Na grafiku su koeficijenti pravca i jedinični trigonometijski krug.
Izrada:
1)-Uglovi u trouglu se znaju, zadati su koeficijentima pravca(tangensi..).
2)–Karakteristika K temena C:

k23-k31=3-(1/2)=(5/2),
x2-x1 =1-(-3)=4;

k31-k12=(1/2)-[-(2/3)]=(7/6),  k12-k23=-(2/3)-3=-(11/3).

3)-Određivanje apscise trećeg temena trougla:
(k12-k23)x2+(k23–k31)x3+(k31–k12)x1=0 ———— (10.1),  

Trougao se geometrijski može prikazati bilo gde, ipak ima razloga da se započne na trigonometrijskom krugu:O1(-1,0).
Crtanje trougla:

Na grafiku apscise prikazujem vertikalama, a koeficijente pravca na jediničnom trigonometijskom krugu O1O=1 u xOy koordinatnom sistemu.

Crtanje stranice AB:
— na grafiku pravac k12 (O1K12) produžujem levo do preseka sa apscisom x1 i desno, do preseka sa apscisom x2 . Preseci nam daju teme A i B.

Crtanje stranice AC:

– kroz tačku A povlačimo pravu paralelnu pravcu O1K31: k31=(1/2), sve do x3, gde se dobije teme C..

Crtamo stranicu BC:

-povukao sam kroz tačku B pravu paralelnu pravcu O1K23: k23=3, proverio teme C i završio  ∆ABC.
GRAF:

4)-Određivanje stranica trougla:
-potrebne vrednosti:

-stranice su:


Očitane vrednosti stranice sa grafika i vrednosti stranica dobijene računom se podudaraju, ∆ABC je određen.

5)-Površina trougla:
-2K2P∆ABC=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)=

Dobijena površina računom se podudara sa očitanom površinom na grafiku.

DAKLE:
-∆ABC je geometrijski definisan, poznate su dužine sve tri stranice.
Za analitičku geometriju(x0y) ∆ABC nije određen, jer nisu određene ordinate njegovih temena niti bilo šta drugo:
A(x1 ,  )=(-3,– ), B(x2, – )=(1,  ), C(x3 , – )=[(43/15), ].

– Da bi trougao bio analitički definisan u ravni xOy potrebno je odrediti jednačinu jedne stranice trougla; jednačina je dobijena pomoću koordinata temena O1(-1,0) i temena K12 [0,(-2/3)], pa se dalje zna: k31, k23, k12 , x1, x2 , n12 ili f12 (x)= k12 x+n12, k31, k23, x1, x2 ,

6)-Analitička određenost trougla:
Postavljanjem jedne stranice trougla na pravac koeficijenta k12 jediničnog kruga, trougao je već analitički određen:
f12(xO1)=k12xO1+n12 ,
0=-(2/3)(-1)+n12 , n12 =-(2/3);
-jednačina stranice AB je: f12(x)=-(2/3)x-(2/3);
-tema A je:
f12(-3)=-(2/3)(-3)-(2/3)=(4/3),
A[-3, (4/3)].

Određenost parabole karakteristikom K
DEFINICIJA:
– Parabola je određena ako je analitički određen trougao parabole
karakteristike K:  k31, k23, k12 , n12 , x1, x2 ili n31, n23, n12 , k12 , x1, x2 .

Da bi odredio parabolu ne moram određivati jednačine svih stranica trougla, kao što bih to gore utadio za trougao; parabola ima svoje prave:
f(x)=[a0(x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2 …..

Zaključak:
– U zadatku sam trougao analitički određio uslovno jediničnim(trigonometrijskim) krugom.
Trougao se stvarno analitički može odrediti karakteristikom K i njenom pravom fK(x), a iza toga i  jednačinu prave jedne stranice trougla.

DAKLE,
sledi članak:“Metod pisanja jednačine proizvoljne prave“; metod pisanja jednačine prave na krivoj sam odavno objavio.

Ovde neću ništa više dodati zbog veličine sadržaja, određenost parabole(njena tri koeficijenta), kubne, hiperbole… ostaviću za naredne članke.

Srdačan pozdrav I dobro zdravlje,
Autor izvođenja:
maš. inž. Mladen Popović