Analiza osnovne karakteristike K triju pravih

    Analiza osnovne karakteristike K triju pravih
Analiza osnovne karakteristike K dveju pravih i K trougla triju pravih , K na krivim linijama

Metod rada-koeficijenti prave.

Karakteristiku K definišem u tački preseka dveju pravih- apscisom preseka i apscisom po jedne tačke na svakoj od pravi.
Iz preseka dve prave, f₁₂(x)=f₂₃(x), sledi:

Ako podelimo ovaj odnos sa (x₁-x₃), dobija se:
,
;

Jednačine  triju pravih su:
f₁₂(x)=k₁₂x+n₁₂ ,
f₂₃(x)=k₂₃x+n₂₃ ,
f₃₁(x)=k₃₁x+n₃₁ .

Proširen i dokazan oblik izraza(jednačine) za K dat je na:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2019/02/11/osnovna-veza-koeficijenata-pravaca-tri-prave/,
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2019/02/14/ oсновна-веза-одсечака-трију-правих-на-у/.

Analiza:
1)- Ako postoji f₁₂(x) prava i ako je K te prave i druge prave(karakteristika dveju pravih) jednaka nuli, prave su paralelne ili druga prava u ravni xOy ne postoji, prave se preklapaju, tj, postoji samo jedna prava.

DAKLE:
–Ako je za prave f₁₂(x) i f₂₃(x)  K=0, biće da je
  , prave su paralelne;

dakle,  za n₁₂=n₂₃  prave se preklapaju: kod paralelnih pravih n₁₂ nije jednako  n₂₃  .
Ovim je pojam kolinearne prave jasno definisan i analitički.

c)- Koeficijenti druge prave f₂₃(x) se mogu odrediti preko koeficijenta K iz gornih izraza:
k₂₃=k₁₂-(x₁-x₃)K;  n₂₃=n₁₂+x₂(x₁-x₃)K.

2) – d) Ako je k₁₂=0 ili je k₂₃=0, tada je:

stranice  ∆ABC, c ili a, su paralelne X osi.

e) – Ako je trougao kosougli i x₃→± beskonačno , teme C ∆ABC se naginje beskonačno udesno ili ulevo u koordinatnoj ravni xOy, gore ili dole.

g) Kada je K ± beskonačno? Oodgovor ostavljam zainteresovanim.
h) Kada je K>0 i kada je K<0?- isto, ako stignem. Ukratko… znak K odrređuje proizvod x₂(x₁-x₃) ili x₃ (x₂ -x₁) … i razlika koeficijenata pravca dveju pravih: (k₁₂-k₂₃), (k₂₃-k₃₁)…

j) Kada je K_12,23≠ K_23,31≠ K_31,12 – kakav je to slučaj?
-Ako su karakteristike različite, od ponuđenih podataka  presek triju  pravih se ne može definisati, ali se karakteristikom može, pojedinačno, definisati apscisa preseka dve prave i apscisa po jedne tačke na svakoj pravoj . koje ne pripadaju trećoj pravoj.

Pogledajmo grafik karakteristike dveju pravih:

-Аko se proverava postojanje trougla, trougao mora biti zadat sa tri koeficijenta pravca pravih i sa dve apscise preseka pravih; za svako teme trougla K mora imati istu vrednost

k)- Ako je karakteristika K sve veća, ralike apscisa moraju biti sve manje, sami trouglovi su sve manji; pogledaj temu:“Određivanje brzine crtanja unutrašnjih trouglova trougla ABC“

3) Za svake dve prave, tj., za svaki trougao mogu napisati zatvorenu petlju karakteristike triju pravih:
(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃-k₃₁)x₃+(k₃₁-k₁₂)x₁=o,
K(x₂-x₁)x₃+K(x₃-x₂)x₁+K(x₁-x₃)x₂=0,
K[0]=0.
Slična petlja je i od razlika odsečaka od pravih na y osi. Obe petlje su već izvedene na više mesta bloga. Petlju čine karakteristike K sva tri temena trougla.

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
maš. inž. Mladen Popović

Određivanje površine nedovoljno poznatog trougla

           Ddređivanje površine nedovoljno poznatog trougla
Određivanje povšine nedovoljno poznatog trougla u neograničenom skupu: Primena osnovne veze koeficijenata pravca triju pravih i apscisa tačaka preseka pravih

U analitičkoj geometriji položaj ∆ABC u koordinatnoj Oxy ravni nije definisan ako nisu poznate koordinate temena trougla ili nisu poznate prave stranica trougla: ne znamo A(x₁ ,y₁), B(x₂ ,y₂), C (x₃ ,y₃) ili ne znamo f₁₂(x)= k₁₂x +n₁₂ ,  f₂₃(x)= k₂₃x +n₂₃
i  f₃₁(x)= k₃₁x +n₃₁ .

Da bi odredili površinu trogla ne moramo znati položaj trougla u ravni xOy,  ne moramo znati (x₁ ,y₁), (x₂ ,y₂), (x₃ ,y₃), jer se koeficijentima(k₁₂ , k₂₃ , k₃₁) i apscisama(x₁ , x₂) određuje  površina trougla.

                                            Metod rada-koeficijenti prave
Potrebne formule:
2P_∆ABC =(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃) ——————————- (1);

(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃ – k₃₁)x₃+(k₃₁ – k₁₂)x₁ =0  ————– (10.1) ,
——————- (10).

Zadatak
Date su veličine:
k₁₂=-1 , k₂₃= 3,  k₃₁=2  – koeficijenti pravca pravih;
x₁=-2 , x₂= 1 – apscise preseka  f₁₂(x)= f₂₃(x) i f₂₃(x)= f₃₁(x).
Odrediti površinu ∆ABC iz neograničenog skupa trouglova.

Brojne vrednosti analitičkih izraza:
x₂-x₁= 1-(-2)=3;
(k₁₂ – k₂₃)=[-1–3]=-4,   (k₂₃-k₃₁)=[3-2]=1,   (k₃₁-k₁₂)=[2-(-1)]=3 .

Izrada zadatka:
(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃ – k₃₁)x₃+(k₃₁ – k₁₂)x₁ =0,
(-4)(1)+(1)x₃+(3)(-2 )= x₃ -10 =0:
x₃=10.
Površina trougla:
2P_∆ABC =(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃);
x₂-x₃= 1-10=-9:
2P_∆ABC =(3)(-9)( -4)=108.
P_∆ABC=54.

                          Provera vrednosti dve površine u neograničenom skupu trouglova

-Zadajmo dve proizvoljne vrenosti odsečka prave f₁₂(x)= k₁₂x +n₁₂ na y osi:
a) n₁₂=n₁=-3.
Slika:

Napomena: jednačine pravih su prikazane na slici radi boljeg razumevanja slike, izvođenje ostavljam čitaocu: A(-2,-1), B( 1,-4),C ( 10,23).

Iz uslova preseka f₁₂(x)= f₂₃(x) sledi:
(k₁₂-k₂₃)x₂=(n₂₃ – n₁₂),
n₂₃= n₁₂+(k₁₂-k₂₃)x₂= -3+(-4)=-7:    n₂₃=-7.
n₂₃– n₁₂=-7-(-3)=-4.
Površina je:
P_∆ABC (2x₂)=(x₂-x₁)( x₂-x₃)( n₂₃-n₁₂)= (3)(-9)(-4)=108,
P_∆ABC [2(1)]=108:
P_∆ABC=54.

b) n₁₂=n₂=-4.
Slika:

Napomena:radi boljeg razumevanja slike predstavljene su i jednačine pravih i temena: A(-2,-2), B( 1,-5),C ( 10,22).

n₂₃= n₁₂+(k₁₂-k₂₃)x₂= -4+(-4)(1)=-8:    n₂₃=-8.
n₂₃– n₁₂=-8-(-4)=-4.
Površina je:
P_∆ABC (2x₂)=(x₂-x₁)( x₂-x₃)( n₂₃-n₁₂)= (3)(-9)(-4)=108,
P_∆ABC [2(1)]=108:
P_∆ABC=54.

Primeri pokazuju postojanje neograničenog skupa trouglova iste površine:

-Ascisa x₃ je određena relacijom (10.1), a podskupove tačaka temena trouglova određujuje skup (n)=( n₁, n₂, n₃, ……… ) – odsečci pravih na y osi.
-Usvajanjem proizvoljne vrednosti n₁ ili n₂ , određuje se n₂₃ iz preseka pravih:
n₂₃= n₁₂+(k₁₂-k₂₃)x₂ ;  n₁=n_12,  n₂=n₂₃.

Umesto skupa odsečaka (n) od pravih, preporučujem skup ( a₂ ) preseka parabole i Y ose:
-Različite vrednosti a₂ ne utiču na vrednost a₀ i a₁  parabole a₀x² +a₁x +a₂ , one se samo podižu duž Y ose; parabolu je lako definisati iz brojnih vrednosti potrebnih veličina za izračunatu površinu.

-Neograničen skup tačaka temena trouglova su sve tačke na pravama:p:x=x_{1 ,} q:x=x₂. g:x=x₃.

-Trouglovi negraničenog skupa, definisani analitičkim elementima iz izraza datog pod rednim brojem(10) i izraza pod rednim brojem(10.1) , imaju istu površinu.

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

 

 

Oсновна веза одсечака трију правих на у оси

 Oсновна веза одсечака трију правих на у оси

Метод рада- коефицијенти праве.

Основна  веза oдсечака трију правих на у оси и апсцисe тачака пресека правих:
    ili
  —- (11);
.

Аналитички елементи двоструке једнакости су:
n₁₂ – слободни члан једначине праве,  одсечак праве
f₁₂(x)= k₁₂x+n₁₂ на у оси,
n₂₁, n₃₁ –одсечци праве f₂₃(x)= k₂₃x+n₂₃  i  f₃₁(x)= k₃₁x+n₃₁ на у оси,
x₁ , x₂ i x₃ – апсцисе пресека праве f₁₂(x), f₂₃(x) и f₃₁(x),
K- основна карактеристика трију непаралелних прави.

                                              Доказ

Тврдња:
-Ако наизменично поставим једнакости из израза под редним бројем(11), увек je:

(n₁₂-n₂₃)x₁x₃+(n₂₃-n₃₁)x₁x₂+(n₃₁-n₁₂)x₂x₃ =0  ————-(11.1).

Задни израз је затворена петља карактеристике К на обиму троугла трију правих

Пример:
 Једнакост првог и другог члана је:
(n₁₂-n₂₃)x₃(x₁-x₂)= (n₂₃-n₃₁)x₂(x₃-x₁):
(n₁₂-n₂₃)x₁x₃+(n₂₃-n₃₁)x₁x₂+(n₃₁-n₁₂)x₂x₃ =0.

Једнакост другог и трећег члана је:
(n₂₃-n₃₁)x₁(x₂-x₃)= (n₃₁-n₁₂)x₃ ( x₁-x₂)=  :
(n₁₂-n₂₃)x₁x₃ + (n₂₃-n₃₁)x₁x₂ + (n₃₁-n₁₂)x₂x₃ =0.

Из једнакости првог и трећег  је:
(n₁₂-n₂₃)x₁(x₂-x₃)= (n₃₁-n₁₂)x₂(x₃-x₁):
(n₁₂-n₂₃)x₁x₃+(n₂₃-n₃₁)x₁x₂+(n₃₁-n₁₂)x₂x₃ =0.

Дакле,  ако су две величине једнаке трећој, једнаке су и међусобно.

Задатак
Три  праве, f₁₂(x)= k₁₂x+n₁₂ , f₂₃(x)= k₂₃x+n₂₃ ,  f₃₁(x)= k₃₁x+n₃₁ , граде  ∆АВС. Познате су ми вредности :
n₁₂=9 , n₂₃= 0,  n₃₁=17 – одсечци правих y оси;
x₁= -2,  x₂= 3 – апсцисе пресека f₃₁(x)= f₁₂(x) i f₂₃(x) = f₃₁(x).

Одредити апсцису x₃  трећег пресека правих и карактеристику К трију правих.

Слика:

Потребна формула и бројне вредности:
(n₁₂-n₂₃)x₁ x₃ +(n₂₃ – n₃₁)x₁x₂ + (n₃₁ – n₁₂)x₂x₃ =0;
(n₁₂-n₂₃)x₁=(9-0)(-2)=-18,
(n₂₃ – n₃₁)x₁x₂=(0- 17)(-2)(3)=102,
(n₃₁ – n₁₂)x₂ =(17- 9)(3)=24.

Одређивање апсцисе:
(n₁₂-n₂₃)x₁x₃+(n₂₃-n₃₁)x₁x₂+(n₃₁ n₁₂)x₂x₃ =-18x₃+102+24x₃ =0:
6x₃+102=0;      x₃= -17.

Карактеристика К трију правих :

Oрдинате тачака пресека прави-темена ∆ АВС:
Без обира што немам темена(ординате) троугла, ипак могу одредити:
површину ∆ АВС, дужине страница АВ, ВС, СА… помоћу одсечака n од правих и помоћу апсциса међусобних пресека прави.

.Ако је ∆ АВС (темена)на кривој , формула површине троугла добија нови облик:
-основна карактеристика везе трију правих К постаје специфична карактеристика К_СПЕЦ. троугла три праве на кривој;

-базна функција се проширује производом (n₁₂-n₂₃) или (x₃-x₁)x₂К_СПЕЦ. ;

–коефицијенти криве линија дефинишу oдсечак n правца странице ∆ АВС.

Добијамо и  бесконачни скуп троуглова  изнад апсциса x_{1 ,} x₂ и x₃ .

Аутор :
Срдачан поздрав и добро здравље,
маш. инж. Младен Поповић

Osnovna veza koeficijenata pravca tri prave

  Osnovna veza koeficijenata pravca tri prave

Osnovna  veza koeficijenata pravca triju pavih i apscisa preseka pravih je:
 ……… (10),
  ,
.

Izdvojeni izrazi za K su K za tačku A: presek prave f₁₂(x) i f₂₃(x) i za tačku B, presek prave f₂₃(x) i f₃₁(x).

Za K dveju pravih su dovoljni koeficijenti pravca pravih i apscise za po jednu tačku na svakoj pravoj: k₁₂, k₂₃ , x₁ , x₃ .

Izraz pod rednim brojem (1o) je za trougao triju pravih. karakteristika K za jednu tačku je karakteristika dveju pravih.

Grafik K_12,23(x) i grafik dve prave:

Analitički elementi dvostruke jednakosti su:
k₁₂ – koeficijent pravca prave f₁₂(x)= k₁₂x+n₁₂ ,
k₂₃ i k₃₁ – koeficijenti pravca prave f₂₃(x)= k₂₃x+n₂₁ i  f₃₁(x)= k₃₁x+n₃₁ ,
x₁ , x₂ i x₃ – apscise preseka prave f₁₂(x), f₂₃(x) i f₃₁(x),
K- osnovna karakteristika koeficijenata pravca i apscisa preseka triju pravih.

 Dokaz

-Ako naizmenično koristimo jednakosti iz izraza pod rednim brojem (10), uvek se dobije:
(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃-k₃₁)x₃+(k₃₁-k₁₂)x₁ =0 —— (10.1).

Primer:
– Prva jednakost iz izraza pod rednim brojem  (10) je:
(k₁₂-k₂₃)(x₂-x₁) = (k₂₃ – k₃₁)(x₁-x₃),
(k₁₂-k₂₃)x₂-k₁₂x₁+k₂₃x₁ = k₂₃x₁-k₃₁x₁-(k₂₃-k₃₁)x₃ ,
(k₁₂-k₂₃)x₂-k₁₂x₁= -k₃₁x₁-(k₂₃-k₃₁)x_{3 ;}
(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₃₁ – k₁₂)x₁+(k₂₃ – k₃₁)x₃ = 0.

-Jednakosti prvog i trećeg izraza daje:
(k₁₂-k₂₃)(x₃-x₂) = (k₃₁ -k₁₂)(x₁-x₃),
-(k₁₂-k₂₃)x₂+ k₁₂x₃ –k₂₃x₃ = (k₃₁ -k₁₂)x₁-k₃₁x₃+k₁₂x₃,
-(k₁₂-k₂₃)x₂ –k₂₃x₃ -(k₃₁ -k₁₂)x₁-k₃₁x_{3 ;}
-(k₁₂-k₂₃)x₂-(k₂₃ -k₃₁)x₃-(k₃₁ -k₁₂)x₁=0.

Drugog i trećeg:
(k₂₃ -k₃₁)(x₃-x₂)= (k_31-k₁₂)(x₂-x₁),
(k₂₃ -k₃₁)x₃-k₂₃x₂+k₃₁x₂ -k₃₁x₂-k₁₂x₂-(k₃₁ -k₁₂)x_1;
(k₂₃ -k₃₁)x₃+(k₃₁-k₁₂)x₁+(k₁₂ -k₂₃)x₂=0.

Dakle, šta je korišćeno?
-Ako su dve veličine jednake trećoj, jednake su i međusobno.

– K, pod rednim brojem (10), je osnovna karakteristika tri neparalelne prave, zapravo, to su odnosi razlika koeficijenata pravca pravih i apscisa tačaka preseka pravih. Karakteristika K je i karakteristika površine triju pravih.

-Izraz pod rednim brojem (10.1) je pravilo zatvorene petlje karakteristike K za sva tri temena ∆АВС:

K(k₂₃-k₃₁)x₃+K(k₃₁-k₁₂)x₁+K(k₁₂-k₂₃)x₂=0.
Preseci triju pravih su:

(k₁₂-k₂₃)x₂=(n₂₃-n₁₂) – presek f₁₂(x) i f₂₃(x),
(k₂₃-k₃₁)x₃=(n₃₁-n₂₃) – presek f₂₃(x) i f₃₁(x),
(k₃₁-k₁₂)x₁=(n₄₂-n₃₁) – presek f₃₁(x) i f₁₂(x).

Ako saberemo sve tri jednačine, zbir desne strane jednakosti je 0, a zbir leve strane je:
(k₂₃-k₃₁)x₃+(k₃₁-k₁₂)x₁+(k₁₂-k₂₃)x₂=0,
K(x₂-x₁)x₃+K(x₃-x₂)x₁+K(x₁-x₃)x₂=0,
K[0]=0.

-Ако је ∆АВС triju pravih na krivoj liniji, osnovna karakteristika K je specifična karakteristika površine ∆АВС te krive linije:

-za presek pravih na paraboli a₀x²+a₁x +a₂ , izraz dat pod rednim brojem (10) je jednak koeficijentu parabole a₀=K;
-ako su preseci pravih na kubnoj, vrednost K je: K=a₀(x₃+x₂+x₃)+a₁.

O izrazu, datog pod rednim brojem  (10), pisaću u nekom narednom članku.

– U opštem slučaju, oba izraza pod rednim br. (10) i (10,1),  služe da odredimo jednu jednu nepoznatu ako znamo ostale. Njenim određivanjem određujemo:
površinu ∆АВС, dužine stranica ∆АВС, koeficijente krive linije…
Dodajem, i dalje nemamo jednačine pravih, ni definisana temena trougla.

Zadatak
Tri neodređene( nepoznate) prave, f₁₂(x), f₂₃(x) i f₃₁(x),  imaju koeficijente pravca:

Apscisa x₁=1 je apscisa preseka prave f₃₁(x) i f₁₂(x) ,  a  x₂=6 je apscisa preseka prave f₁₂(x) i f₂₃(x).
Odrediti treću apscisu- presek prave f₂₃(x) i f₃₁(x) i vrednost osnovne karakteristike K sa istim podacima.
Slika :

Izrada
Poznate vrednosti i formula:

x₁ =1, x₂ =6.
(k₂₃ – k₃₁)x₃+(k₃₁-k₁₂)x₁+(k₁₂ – k₂₃)x₂=0.

Brojne vrednosti:

Rešenje:

Odredili smo x₃=10 – apscisa tačke preseka prave f₂₃(x) i f₃₁(x) .

Prave, f₂₃(x) , f₃₁(x) i f₁₂(x)  su nam nepoznate, ima ih beskonačno, pa su i temena
A(x₁ , y₁), B(x₂ , y₂) i C(x₃ , y₃) nepoznata.

-Ako usvojim jedno n, znali bi i položaj sve tri prave, ali mi nije cilj  da odredim jednačine pravih, glavna meta je  x₃  – apscisa preseka dve nepoznate prave, naravno, date su i vrednosti ostalih veličina u izrazu pod rednim brojem (10).

 Druga slika u zadatku :

Osnovna karakteristika K:

Specifična karakteristika K za trougao na krivoj:
Primer:
– Ako bi usvojili neku vrednost  zadnjeg člana polinoma(jednačina krve), recimo a₂ parabole a₀x²+a₁x +a₂ , mogli bi odrediti koeficijent a₀ i a₁ parabole i nacrtati grafik jednačina pravih, tada će i ∆АВС biti definisan.
Dakle:

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš.inž. Mladen Popović

Apscise tačaka, odsečci pravih na y osi – površina trougla

APSCISE TAČAKA , ODSEČCI PRAVIH NA Y OSI – POVRŠINA TROUGLA

Razlike odsečaka od pravih na y osi, razlike koeficijenata pravca pravih  i razlika apscisa temena trougla- površina trougla i karakteristika K

Metod rada-Koeficijenti prave.

Klasične formule površine trougla sadrže koordinata temena trougla:
P_∆ABC = (1/2)[ x₁(y₂–y₃)+x₂(y₃–y₁)+x₃(y₁–y₂)];
P_∆ABC = (1/2)[(x₂–x₁)(y₂+y₁)+(x₃–x₂)(y₃+y₂)+(x₁–x₃)(y₁+y₃)].

Kako će izgledati površina trougla kada površinu izrazim koeficijentima prave i apscisama temena trougla?

Metod koeficijenata prave ne koristi ordinate. U formuli površine trougla, kao i u ostalim formulama analitičke geometrije, ordinate  tačaka(y₁,y₂,y₃ ) označavam punom jedačinom prave:
f₁₂(x₁)=k₁₂x₁+n₁₂ , f₂₃(x₁)=k₂₃x₁+n₂₃ …

1) –Principi:
-Presek dve prave je tačka.
-Trougao je geometrijski oblik dobijen presekom triju pravih.

-U prvi izaz površine zamenjujem y_1, y₂ i y₃ (ordinate tri temena trougla) vrednostima
f₁₂(x₁)= k₁₂x₂+n_12 ,  f₂₃(x₂)= k₁₂x₁+n₁₂  i  f₃₁(x₃)=  k₃₁x₁+n₃₁  :
2P_∆ABC =[x₁(y₂–y₃)+x₂(y₃–y₁)+x₃(y₁–y₂)]=
x₁y₂-x₁y₃+x₂y₃–x₂y₁+x₃y₁–x₃y₂;

x₁y₂-x₂y₁=x₁(k₁₂x₂+n₁₂)-x₂(k₁₂x₁+n₁₂)=(x₁-x₂)n₁₂ ,
x₃y₁-x₁y₃=(x₃-x₁)n₃₁ ,
x₂y₃-x₃y₂=(x₂-x₃)n₂₃ ;

-sabiram leve i desne strana i dobijam:
2P_∆ABC =[(x₁-x₂)n₁₂+(x₂-x₃)n₂₃+(x₃-x₁)n₃₁] ———– (1.0) ili
2P_∆ABC =[x₁(n₁₂-n₃₁)+x₂(n₂₃-n₁₂)+x₃(n₃₁-n₂₃)] —–– (1.1).

-Opet zamene, K- karakteristiku preseka i apscise (n₁₂–n₃₁)=x₁(x₃–x₂)K,
(n₂₃–n₁₂)=x₂(x₁–x₃)K,  (n₃₁–n₂₃)=x₃(x₂–x₁)K zamenjujem u
2P_∆ABC =[x₁(n₁₂-n₃₁)+x₂(n₂₃-n₁₂)+x₃(n₃₁-n₂₃)] i dobijam
2P_∆ABC =[x₁²(x₃–x₁)+x₂²(x₁–x₃)+x₃²(x₂–x₁)]K.

Rezultat množenja je:
[(x₁²x₃– x₁²x₁)+(x₂²x₁– x₂²x₃)+(x₃²x₂– x₃²x₁)]K=
(x₁–x₃)(x₂–x₃)(x₂–x₁)K.

2P_∆ABC=(x₁–x₃)(x₂–x₃)(x₂–x₁)K ——– (3.0).

U zadnjem izrazu imam karakteristiku K triju pravih. Pomoću K izvodim sve ostale oblike(izraze) površine:

-Pomoću K  x₃(x₂–x₁)K=(n₃₁–n₂₃) , x₁(x₃–x₂)K=(n₁₂–n₃₁)…  te će, posle njihove zamene, površine biti:
2x₁P_∆CAB=(x₁–x₃)(x₁–x₂)(n₁₂–n₃₁)  —  (4.0),
2x₃P_∆BCA=(x₁–x₃)(x₂–x₃)(n₃₁–n₂₃)  —  (4.1),
2x₂P_∆ABC=(x₂–x₃)(x₂–x₁)(n₂₃–n₁₂)  —  (4.2).

2) –Drugi način(izvor) za izvođenje površine je
2P_∆ABC= (x₃-x₂)[f₁₂(x₁)-f₂₃(x₁)]=
(x₃-x₂)[(k₁₂-k₂₃)x₁+n₁₂-n₂₃].

U zadnji izraz zamenjujem presek
i dolazim do konačne formule:

1. zadatak:
Data je apscisa x₁=x_A=-1 tačke A na pravoj f_12(x) = -2x +3 i apscisa x₃=x_C=3 tačke C na pravoj f_23(x) = 3x -1; tačka B data je presekom f_12(x) = f_23(x) .
Odrediti površinu ∆ABC.

Izrada
-Zadate i potrebne vrednosi:
x₁=-1,  x₃=x_C=3; x₂?  n₁₂=3  , n₂₃ = – 1;
apscisu x₂=x_B  dobijam rešenjem jednakosti:
f_12(x) = -2x +3 = f_23(x) = 3x -1
-2x +3 = 3x -1  →    x=x₂=4/5  ;

(k₁₂-k₂₃)= (-2-3)=-5,n₁₂–n₃₁ =3-(-1)=4.

-Površina:
,

3) Proizvodi razlika apscisa daju bazni izraz(samo apscise):
(x₁–x₃)(x₁–x₂)=B(x₁ ),
(x₁–x₃)(x₂–x₃)=B(x₃ ),
(x₂–x₃)(x₂–x₁)=B(x₂ ), pa će
preći u:

2x₁P_∆CAB=B(x₁)(n₁₂–n₃₁),
2x₃P_∆BCA=B(x₃)(n₃₁–n₂₃),
2x₂P_∆ABC=B(x₂)(n₂₃–n₁₂).

Stavljam da je x₂ = x ili x₃ = x , ili x₁=x u formule pod rednim brojem (4.1),(4.2) ili (4.2) – formule  postaju funkcijaje površine.
PRIMER:
2x₃P_∆BCA=(x₃-x₂)[-(n₃₁–n₂₃)x+(n₃₁–n₂₃)x₃] ———– (4.2.1).

4) – Množim izraz pod rednim brojem (4.2) sa K²:

-Zamenjujem K(x₃– x₂) i K(x₁– x₂ ),  razlikom (n₁₂-n₃₁)/x₁ i (n₂₃-n₃₁)/x₃
i dobijam:
————– (5).

5) –OSNOVNA ZATVORENA PETLJA DUŽ STRANICA TROUGLA
(n₁₂-n₂₃)x₁x₃+(n₂₃-n₃₁)x₁x₂+(n₃₁-n₁₂)x₂x₃=0 ————–(11.1).

Dodatak:
K- karakteristika preseka triju pravih.
Osnovna veza apscisa preseka pravih i odsečaka pravih na y osi(i koeficijenata pravca pravih) :

(videti članak- Osnovna veza odsečaka pravih na y osi i apscisa tačaka preseka pravih).

2. zadatak:
a)Primeni formulu 2P_∆ABC=(x₁-x₂ )(x₃-x₂)(x₁-x₃)K  i izračunaj površinu trougla:
2P_∆ABC=(x₁-x₂ )(x₃-x₂)(x₁-x₃)K .
x₁=1, x₂=6,  x₃=10,  K=(1/2).

Izrada:
2P_∆ABC=(1-6)(10- 6)(1-10)(1/2)=90.

b) proveri rezultat pomoću 2P_∆ABC=[x₁(n₃₁-n₁₂ )+x₂(n₁₂-n₃₂ )+x₃(n₃₂-n₃₁)] i zadatih vrednosti iz prvog dela zadatka.
Napomena: nepoznate razlike odsečaka su u izrazu za karakteristiku K, pod rednim brojem (11).

Na slici je grafički prikaz trougla iz drugog dela zadatka i prikaz sabiraka
u 2P_∆ABC=[(x₂-x₁)n₁₂+(x₃-x₂)n₃₂+(x₁– x₃)n₃₁]:

Od autora metoda i izvođenja
srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. m. inž. Mladen Popović