Teorema: Određenost trougla i parabole karakteristikom K

Određenost trougla:

1.–Trougao  triju pravih je geometrijski određen ako se znaju koeficijenti pravca pravi(pravci stranica) i apscise preseka pravi:
(k₁₂, x₁, x₂), (k₂₃, x₂ , -), (k₃₁, x₁ , -) -karakteristika K triju pravi ili se zna

(n₁₂ , x₁, x₂), (n₂₃ , x₂ , – ), (n₃₁ , x₁ , -)- odsečci na y osi od pravi i apscise preseka pravi(karakteristika K trougla triju pravi).

-Trougao je analitički određen ako se zna još  jedno n ili k

Dakle:
n₁₂ ili k₁₂ (k₁₂ je u drugoj grupi) određujem karakteristikom K i njenom pravom f_K(x);
– apscisu x₃ određujem iz zatvorene petlje karakteristike K trougla triju pravi.

Pošto do sada nisam predstavio pravu f_K(x), trougao ću odrediti poznatom(zadatom) pravom f₁₂(x)=k₁₂x+n₁₂.

Dakle:
– Trougao je analitički određen karakteristikom K triju pravih i presekom jedne prave i y ose(odsečak od prave na y osi): k₃₁, k₂₃, k₁₂ , n₁₂ ,  x_1, x₂ ili
n₃₁, n₂₃, n₁₂ , k₁₂ ,  x_1,  x₂ .

2. -Parabola je određena ako je analitički određen trougao parabole karakteristike K.
-Koeficijenti parabole su određen karakteristikom K triju pravi i jednačinom jedne prave.

Potrebno je razlikovati geometrijsku određenost trougla od određenosti trougla u ravni xOy(analitička geometrija ili vektori).

Dakle, za analitičku određenost trougla i koeficijenata parabole u ravni xOy treba znati još jedno n ili jedno k.
n i k određujem karakteristikom K trougla triju pravi i njenom pravom(naravno ne u ovom članku)

– Za analitičku određenost trougla, pored zadatih pet veličina( x₃ će niti šesta, a računa se karakteristikom K), treba znati sedmu(n ili k); sedmom će se potvrditi tri koeficijenta parabole a_0, a_1, a₂.

1.zadatak:
-Odrediti trougao ako se na trouglu znaju:
a) k₃₁=(1/2), k₂₃=3, k₁₂=-(2/3)  – koeficijenti pravca tri stranice trougla;
b) x₁=-3 x₂ =1  -apscise preseka pravca stranica trougla CA,AB i AB,BC.

Na grafiku su koeficijenti pravca i jedinični trigonometijski krug.
Izrada:
1)-Uglovi u trouglu se znaju, zadati su koeficijentima pravca(tangensi..).
2)–Karakteristika K temena C:

k₂₃-k₃₁=3-(1/2)=(5/2),
x₂-x₁ =1-(-3)=4;

k₃₁-k₁₂=(1/2)-[-(2/3)]=(7/6),  k₁₂-k₂₃=-(2/3)-3=-(11/3).

3)-Određivanje apscise trećeg temena trougla:
(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃–k₃₁)x₃+(k₃₁–k₁₂)x₁=0 ———— (10.1),  

Trougao se geometrijski može prikazati bilo gde, ipak ima razloga da se započne na trigonometrijskom krugu:O₁(-1,0).
Crtanje trougla:

Na grafiku apscise prikazujem vertikalama, a koeficijente pravca na jediničnom trigonometijskom krugu O₁O=1 u xOy koordinatnom sistemu.

Crtanje stranice AB:
— na grafiku pravac k₁₂ (O₁K₁₂) produžujem levo do preseka sa apscisom x₁ i desno, do preseka sa apscisom x₂ . Preseci nam daju teme A i B.

Crtanje stranice AC:

– kroz tačku A povlačimo pravu paralelnu pravcu O₁K₃₁: k₃₁=(1/2), sve do x₃, gde se dobije teme C..

Crtamo stranicu BC:

-povukao sam kroz tačku B pravu paralelnu pravcu O₁K₂₃: k₂₃=3, proverio teme C i završio  ∆ABC.
GRAF:

4)-Određivanje stranica trougla:
-potrebne vrednosti:

-stranice su:

Očitane vrednosti stranice sa grafika i vrednosti stranica dobijene računom se podudaraju, ∆ABC je određen.

5)-Površina trougla:
-2K²P_∆ABC=(k₁₂-k₂₃)(k₂₃-k₃₁)(k₃₁-k₁₂)=

Dobijena površina računom se podudara sa očitanom površinom na grafiku.

DAKLE:
-∆ABC je geometrijski definisan, poznate su dužine sve tri stranice.
Za analitičku geometriju(x0y) ∆ABC nije određen, jer nisu određene ordinate njegovih temena niti bilo šta drugo:
A(x₁ , – )=(-3,– ), B(x₂, – )=(1, – ), C(x₃ , – )=[(43/15),– ].

– Da bi trougao bio analitički definisan u ravni xOy potrebno je odrediti jednačinu jedne stranice trougla; jednačina je dobijena pomoću koordinata temena O₁(-1,0) i temena K₁₂ [0,(-2/3)], pa se dalje zna: k₃₁, k₂₃, k₁₂ , x_1, x₂ , n₁₂ ili f₁₂ (x)= k₁₂ x+n₁₂, k₃₁, k₂₃, x_1, x₂ ,

6)-Analitička određenost trougla:
Postavljanjem jedne stranice trougla na pravac koeficijenta k₁₂ jediničnog kruga, trougao je već analitički određen:
f₁₂(x_O1)=k₁₂x_O1+n₁₂ ,
0=-(2/3)(-1)+n₁₂ , n₁₂ =-(2/3);
-jednačina stranice AB je: f₁₂(x)=-(2/3)x-(2/3);
-tema A je:
f₁₂(-3)=-(2/3)(-3)-(2/3)=(4/3),
A[-3, (4/3)].

Određenost parabole karakteristikom K
DEFINICIJA:
– Parabola je određena ako je analitički određen trougao parabole
karakteristike K:  k₃₁, k₂₃, k₁₂ , n₁₂ , x_1, x₂ ili n₃₁, n₂₃, n₁₂ , k₁₂ , x_1, x₂ .

Da bi odredio parabolu ne moram određivati jednačine svih stranica trougla, kao što bih to gore utadio za trougao; parabola ima svoje prave:
f(x)=[a₀(x₁+x₂)+a₁]x+a₂-a₀x₁x_{2 …..}

Zaključak:
– U zadatku sam trougao analitički određio uslovno jediničnim(trigonometrijskim) krugom.
Trougao se stvarno analitički može odrediti karakteristikom K i njenom pravom f_K(x), a iza toga i  jednačinu prave jedne stranice trougla.

DAKLE,
sledi članak:“Metod pisanja jednačine proizvoljne prave“; metod pisanja jednačine prave na krivoj sam odavno objavio.

Ovde neću ništa više dodati zbog veličine sadržaja, određenost parabole(njena tri koeficijenta), kubne, hiperbole… ostaviću za naredne članke.

Srdačan pozdrav I dobro zdravlje,
Autor izvođenja:
maš. inž. Mladen Popović

Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла

            Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла

Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла, апсциса тачака пресека правих или прираштаја, ∆f₁₂(x), ∆f₂₃(x), ∆f₃₁(x), od f₁₂(x), f₂₃(x) и f₃₁(x)

Метод рада – коефицијенти праве.
Јеначине правих:
f₁₂(x)=k₁₂x+n₁₂ , f₂₃(x)= k₂₃x+n₂₃ , f₃₁(x)= k₃₁x + n₃₁ .

Косинусна теорема :

(∆f₂₃)²+(∆f₃₁)²-2(∆f₂₃)(∆f₃₁)cos(0⁰)=(∆f₁₂)²————————- (40.б),
∆f₂₃= f₂₃(x₃)-f₂₃(x₂), ∆f₃₁= f₃₁(x₃)-f₃₁(x₁), ∆f₁₂= f₁₂(x₂)-f₁₂(x₁).
Слика:

-Угао између колинеарних, ординатних, праваца је нула.

-Прираштаји правих на страницама ∆АБЦ, дуж ординатног правца су:
∆f₂₃=k₂₃(x₃-x₂), ∆f₃₁=k₃₁(x₃-x₁), ∆f₃₁=k₁₂(x₂-x₁), те косинусна теорема добија облик разлика апсциса:

k₂₃²(x₃-x₂)²+k₃₁²(x₃-x₁)²-2(x₃-x₂)(x₃-x₁)k₂₃k₃₁=k₁₂²(x₂-x₁)²—— (40),
k₂₃, k₃₁, k₁₂ – коефицијенти правца страница ∆АБЦ, тј. правих  f₂₃(x), f₃₁(x) и f₁₂(x);
x₁ ,  x₂ , x₃ – апсцисе темена страница ∆АБЦ.

  Три дужине на џ оси су рзлике апсциса (x₃-x₂), (x₃-x₁) и (x₂-x₁) . Усвојимо ли  s₂₃, s₃₁ и s₁₂ за њихове ознаке, тада ће израз бити:
k₂₃²(s₂₃)²+k₃₁²(s₃₁)²-2(s₂₃)(s₃₁)k₂₃k₃₁=k₁₂²(s₁₂)² ——————- (40.a),
s₂₃= (x₃-x₂), s₃₁= (x₃-x₁), s₁₂= (x₂-x₁).
Слика:

 

                                                Извођење и доказ
Потребне формуле:
– дужине страница ∆AБЦ:

-класичан облик косинусне теорема: a² +б² -c²=2aбcos(α₂₃– α₃₁).

Извођење косинусне теорема разлика апсциса темена троугла:
-У израз  a² +б² -c²=2aбcos(α₂₃– α₃₁) замењујемо дужине страница ∆AБЦ , косинус разлике угла правца странице а и угла правца странице б:

a² +б² -c²=2aбcos(α₂₃– α₃₁),

(x₃-x₂)²(k₂₃²+1)+(x₃-x₁)²(k₃₁²+1)-(x₂-x₁)²(k₁₂²+1) =

2(x₃-x₂)(x₃-x₁)(1+k₂₃k₃₁);

(x₃-x₂)²(k₂₃²+1)+(x₃-x₁)²(k₃₁²+1)-(x₂-x₁)²(k₁₂²+1) =2(x₃-x₂)(x₃-x₁)(1+k₂₃k₃₁).

Даље, остављам разлике апсциса у заградама и настављам множење осталих чланова :

k₂₃²(x₃-x₂)²+(x₃-x₂)²+k₃₁²(x₃-x₁)²+(x₃-x₁)²-k₁₂²(x₂-x₁)²-(x₂-x₁)²=
2(x₃-x₂)(x₃-x₁)+2(x₃-x₂)(x₃-x₁)k₂₃k₃₁,
раздвајам променљиве:
k₂₃²(x₃-x₂)²+k₃₁²(x₃-x₁)²-2(x₃-x₂)(x₃-x₁)k₂₃k₃₁-k₁₂²(x₂-x₁)²=
– (x₃-x₂)²-(x₃-x₁)²+2(x₃-x₂)(x₃-x₁)+(x₂-x₁)².

Како је деснa странa једнакости једнака нули, – (x₃-x₂)²-(x₃-x₁)²+
2(x₃-x₂)(x₃-x₁)+(x₂-x₁)²=0, то ће и израз са леве стране бити нула:
k₂₃²(x₃-x₂)²+k₃₁²(x₃-x₁)²-2(x₃-x₂)(x₃-x₁)k₂₃k₃₁-k₁₂²(x₂-x₁)²=0.

[k₂₃(x₃-x₂)]²+[k₃₁(x₃-x₁)]²-2[(x₃-x₂)k₂₃][(x₃-x₁)k₃₁]=[k₁₂(x₂-x₁)]²———-(40).

Задатак:
Задате величине:
– дужина s₂₃=(x₃-x₂)=1 између апсцисе x₃ и x₂ темена Б И Ц  ∆AБЦ;
– коефицијенти правца страница ∆AБЦ: k₁₂=-(2/3), k₂₃=4, k₃₁=(1/2), истовремено и коефицијенти правца праве f₂₃(x), f₃₁(x) и f₁₂(x).
Одреди:
– дужине s₃₁ и s_12;
-прираштаје, ∆f₂₃, ∆f₃₁, ∆f₁₂, на  f₂₃(x), f₃₁(x) и f₁₂(x).

Потребна формула:
s₂₃= (x₃-x₂),  x₃= s₂₃+x₂. Апсцису x₃ замењујем у
k₂₃²(x₃-x₂)²+k₃₁²(x₃-x₁)²-2(x₃-x₂)(x₃-x₁)k₂₃k₃₁=k₁₂²(x₂-x₁)²:

k₂₃²(x₃-x₂)²+k₃₁²(s₂₃+x₂-x₁)²-2(x₃-x₂)(s₂₃+x₂-x₁)k₂₃k₃₁=k₁₂²(x₂-x₁)²,
k₂₃²(x₃-x₂)²+k₃₁²[(x₂-x₁)²+2(x₂-x₁)s₂₃+s₂₃²]-2(x₃-x₂)s₂₃k₂₃k₃₁-2(x₃-x₂)(x₂-x₁)k₂₃k₃₁=k₁₂²(x₂-x₁)²,
k₂₃²(s₂₃)²+k₃₁²(x₂-x₁)²+2k₃₁²(x₂-x₁)s₂₃+k₃₁²s₂₃²-2(s₂₃)s₂₃k₂₃k₃₁-2(s₂₃)k₂₃k₃₁(x₂-x₁)=k₁₂²(x₂-x₁)²;

(k₃₁²-k₁₂²)(x₂-x₁)²+[2k₃₁²s₂₃-2s₂₃k₂₃k₃₁](x₂-x₁)+k₂₃²(s₂₃)²+k₃₁²s₂₃²-2s₂₃²k₂₃k₃₁+ =0,
(k₃₁²-k₁₂²)(x₂-x₁)²-2s₂₃k₃₁(k₂₃-k₃₁)(x₂-x₁)+s²₂₃(k₂₃-k₃₁]²=0.

Бројне вредности:





Једначина:
(k₃₁²-k₁₂²)(x₂-x₁)²-2s₂₃k₃₁(k₂₃-k₃₁)(x₂-x₁)+s²₂₃(k₂₃-k₃₁]²=0,

-(x₂-x₁)²– (9)2(x₂-x₁)+7(9)=0,

(x₂-x₁)²+18(x₂-x₁)-7(9)=0.

Решење:

(x₂-x₁)₁=3,  (x₂-x₁)₂=-21.

a)-Oдређивање разлика апсциса или растојања између њих:
-Из s₂₃=(x₃-x₂)=1 и (x₂-x₁)₁=3 следи да је (x₃-x₁)=4, дакле растојања између њих су:
s₁₂=3, s₂₃=1, s₃₁=4.
-Друга решења, са (x₂-x₁)₂=-21, приказаћу други пут.

б) Одређивање ∆f₂₃, ∆f₃₁ и ∆f₁₂:
∆f₂₃=k₂₃(x₃-x₂)=4(1)=4;

Од аутора метода:
Срдачан поздрав и добро здравље,
маш. инж. Младен Поповић

Правци страница троугла и пречник описане кружнице

Правци страница троугла и пречник описане кружнице

Коефицијенти правца страница косоуглог троугла, апсцисе темена троугла, формула  пречника описане кружнице и карактеристика К троугла

Метод рада-коефицијенти праве.

Формулe:
  ,
.

к₁₂ ,  к₂₃ , к₃₁ ,  x₁ , x₃ – коефицијенти правца страница  ∆АБЦ и апсцисе првог и трећег темена троугла,
K –карактеристика трију правих, праве страница ∆АБЦ.

Извођење и доказ

Потребне формуле:
2Р_∆АВЦ=(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃) – формула површине ∆АБЦ,
4RР_∆АВЦ=абц- класична формула површине троугла;
а, б, ц,  R  – странице ∆АБЦ и полупречник R описане кружнице косоуглог троугла.

Дужине страница ∆АБЦ:

Извођење формуле:
4RР_∆АВЦ= 2R[2Р_∆АВЦ]=[а][б][ц];
2R[2Р_∆АВЦ]=2R[(x₂-x₁)( x₂-x₃)( k₁₂-k₂₃)]= [а][б][ц]=

Са леве и десне стране знака једнакости скратимо разлике апсциса, те остаје:

Дакле, формула је:
————– (30.а).

Понављање поступка:
2Р_∆ВЦА=(x₃-x₁)( x₃-x₂)( k₂₃-k₃₁) – формула површине ∆БЦА;
2R[2Р_∆ВЦА]=[а][б][ц]:
————– (30.б).

Поредим израз под редним бројем (30.а) и (30.б); следи да је:
—————- (10.а);

И треће, за Р_∆ЦАБ је:

-Пошто су леве стране задња три једнаки карактеристици К троугла од три праве,то ће и десна страна бити јенака К.

Дакле, добијена је двострука једнакост:

  …………………. (30).

Задњи израз се може написати и у следећем облику:

                            Страница троугла и пречник описане кружнице

Косоугли троугао:
———— (30.а).

– У формули под редним бројем (30.а), у бројиоцу, имамо израз за дужину странице ЦА:
 и то ћу, једноставно, обележити са б:

добили смо однос полуречника описане кружнице и странице троугла:

Правоугли троугао:
-Ако страница буде б=2R и пролази кроз центар круга, тада постаје пречник круга, а однос два полупречника и странице је једнак јединици:

(k₁₂-k₂₃)²=( k²₁₂+1)(k²₂₃+1),
k²₁₂-2 k₁₂k₂₃+ k²₂₃= k²₁₂ k²₂₃+ k²₁₂+k²₂₃+1,
-2 k₁₂k₂₃= k²₁₂ k²₂₃+1,
k²₁₂ k²₂₃ +2 k₁₂k₂₃+ 1=0,
(k₁₂k₂₃+1)²=0:

Задатак
Дате су следеће аналитичке величине:
–коефицијенти правца страница троугла;
x₁=-1 , x₂=2 – апсцисе пресека f₁₂(x)= f₃₁(x) i f₂₃(x)= f₃₁(x) , тј. решења једначина.

На троуглу, дефинисан датим величинама, одредити полупречник описане кружнице.

Бројне вредности аналитичких израза:
x₂-x₁= 2-(-1)=3;

 

Израда задатка:

Напомена:
Могућнст одређивања положаја троугла у координатној равни:
-Апсциса x₃ нам није потребна у задатку, потребна је за слику троугла у координатној равни .
Како су темена свих троуглова  изнад апсциса x1, x2 и x3 , морала се одредити и апсциса x3 :

(k₁₂-k₂₃)x₂+(k₂₃–k₃₁)x₃+(k₃₁–k₁₂)x₁=0,
————– (11):  x₃=3.

-Да бих на графику издвојио бар један троугао из скупа, морам имати  познату још једну познату, рецимо:
n_АБ =-5/3 – одсечак на у оси правца странице АБ  ∆АБЦ

СЛИКА:

 

  Додатак

Ако изађемо из аналитичке геометрије и одемо у тригонометрију(адиционе формуле), специфичан симбол препознавања полупречника описане кружнице троугла ће бити:

Aутор метода:
-Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Растојање тачке А од праве f(x)

                                    Растојање тачке А од праве f₂₃(x)
1)-Растојање тачке А(x₁ ,y₁) од праве f₂₃(x)= k₂₃x+ n₂₃ рачуна се по формули:

Aналитички елементи у формули су:
h_a – растојање тачке А од праве f₂₃(x),
y₁ – ордината тачке А,
x₁ – апсциса тачке А,
k₂₃=k_A1A2 – коефицијент правца праве f₂₃(x),  n₂₃=n_A1A2 – одсечак од праве f₂₃(x) на у оси.
Слика:

Извођење растојања тачке А до праве f₂₃(x)= k₂₃x+ n₂₃:

– са горње слике је d_AA1= y₁-f₂₃(x₁) ;
– из правоуглог ∆АA₁А₂ следи једнакост:

h_a = d_AA1cos(α_A) и α_A= α₂₃= β₂₃ ;
α₂₃ je угао нагиба праве f₂₃(x) и x осе,
α_A= α₂₃= β₂₃  су углови са нормалним крацима:

Дакле:
d_AA1=[y₁)-f₂₃(x₁)],

Kоначно је:

Растојање тачке А од праве f₂₃(x) може бити и овако:

Произвољна права f₁₂(x)= k₁₂x+ n₁₂ пролази кроз тачку А(x₁ ,y₁) и сече праву f₂₃(x) у тачки В. Апсциса тачке пресека је х₂. Положај тачке
В(X₂, – ) није битан.
ГРАФИК:

Са слике је:
d_AA1=[f₁₂(x₁)-f₂₃(x₁)],
h_a = d_AA1cos(α_A)=[f₁₂(x₁)-f₂₃(x₁)]cos(β₂₃),

Ако ставимо да је f₁₂(x₁)=y₁, добићемо већ изведен израз:
[f₁₂(x₁)-f₂₃(x₁)]cos(β₂₃)=[y₁-f₂₃(x₁)]cos(β₂₃)=

  Закључак

Две формуле за растојање тачке А od праве f₂₃(x):

Задатак:
f₂₃(x)= 3x-1 ;  А(4,6) . Израчунај растојање тачке А од праве f₂₃(x).

Познате вредности и формула:
y₁ = 6, x₁ =4,  k₂₃=3, n₂₃ =-1 ;

Бројне вредности:
y₁ -к₂₃(x₁)- n₂₃ = 6-3(4)-(-1)=-5,
k²₂₃+1=(3)² +1=10,

На линку имамо исписан задатак на латиници:
Rastojanje tačke A od prave f23(x)

2) Базни облик висине троугла:
-Формула дата под редним бројем (2) је базни облик. Зашто?

f₁₂(x₁)-f₂₃(x₁) = (k₁₂x₁+ n₁₂)-(k₂₃x₁+ n₂₃)=(k₁₂-k₂₃)x₁+n₁₂-n₂₃=
(k₁₂-k₂₃)x₁+n₁₂-n₂₃=(k₁₂-k₂₃)x₁+(k₂₃-k₁₂)x₂=(k₁₂-k₂₃)x₁-(k₁₂-k₂₃)x₂:
f₁₂(x₁)-f₂₃(x₁) = (k₁₂-k₂₃)(x₁-x₂);
x₂– апсциса тачке пресека праве f₁₂(x) и f₂₃(x) : Б(X₂, – ).

-Ако на правој f₂₃(x) имамо трећу тачку Ц( X₃ , – ), h_a ће добити базни облик:
[f₁₂(x₁)-f₂₃(x₁)]=(k₁₂-k₂₃)(x₁-x₂),
,

B(x₁) – базни израз површине и висине h_a троугла,
K – карактеристика троугла трију правих:
B(x₁)=(x₁-x₂)(x₁-x₃)=x₁²-(x₂+x₃)x₁+x₂x₃
(k₁₂-k₂₃)=K(x₁-x₃).

Апсцисе x₁, x_2, x ₃ će biti apscise темена троугла.

Свакако да је површина троугла:
2P_BCA=ah_a=

2P_BCA=(x₂-x₁)(x₂-x₃)(k₁₂-k₂₃) – основни облик површине троугла

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
маш. инж. Младен Поповић

Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

Koeficijenti  pravca i rešavanje kosouglog trougla
Određivanje stranica kosouglog trougla koeficijentima pravca jednačina stranica- Uprošćavanje Mallweide-ove formule i formula ostalih teorema trougla u oblasti analitičke geometrije

Metod rada- koeficijenti jednačine prave.
Oblast –analitička geometrija.

Predmet razmatranja:
-Kosougli ∆AB, stranica a,b i c na pravoj f₁₂(x), f₂₃(x) i f₃₁(x).
– Koeficijenti pravca, k₁₂=tg α₁₂ , k₂₃=tg α₂₃ , k₃₁=tg α₁₂ , jednačina pravih.
– Uglovi nagiba pravih prema x osi: α₁₂ , α ₂₃ , α ₃₁;
– Formule za stranice: a, b, c  i koeficijente: k₁₂ , k₂₃  i k₃₁.

Predlog formula:
 .………… (1);
  ………….. (2).

                                Izvođenje formula

a) –Izvođenje formule, koja sadrži koeficijente pravca pravih i stranice trougla, polazi od:
 – površina trougla 2P_∆ABC =(x₂-x₁)(x₂-x₃)(k₁₂-k₂₃) …………… (3);

  – razlike apscisa
(dva izrazi za rastojanje između dve tačke) zamenjujemo u formulu pod rednim brojem (3) i dobije se :
  ………………….. (3.1);

c=d₁₂=AB – dužina stranice ∆ABC,   a=d₂₃=BC – dužina druge stranice ∆ABC.

– Od površine trougla P_∆BCA =(x₃-x₂)(x₃-x₁)(k₂₃-k₃₁)  ………….. (4), na isti način, dobije se oblik:
  …………………… (4.1);

b=d₃₁=CA – dužina stranice ∆ABC.

– Iz P_∆CAB =(x₁-x₃)(x₁-x₂)(k₃₁-k₁₂)  …………………………………. (5) dobije se oblik:
  ……………………. (5.1).

b) –Jednačenjem  izraza   P_∆ABC = P_∆CAB , datih pod rednim brojem (3.1) i (5.1) ,  tj. jednog te istog ∆ABC, dobija se :

-iste su površine, ali različito je obeležavanje zbog  matematičkog smera i izbora početnog temena u formuli površinu trougla.
Naravno, nakon skraćivanja dobiće se već viđena formula pod rednim
brojem (1):
 .

P_∆ABC = P_∆BCA ;

. – Nakon skraćivanja imamo formulu datu pod rednim brojem (2):

Zadatak

sa koeficijentom pravca k₂₃ =(3/2). Dati su koeficijenti pravca ostalih dveju stranica ∆ABC: k₁₂ = -3,  k₃₁ =(1/2).
Odrediti stranice  ∆ABC.
Grafički prikaz datih podataka:

Potrebne formule su već date pod rednim brojem (1) i (2),
a brojne vrenosti veličina za formulu računamo:

 

Izrada:
 ,

 ,

Grafički prikaz rezultata:

Potpuno i preglednije urađen zadatak je u dokumentu:
Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

Napomena autora:
–Ako se ne izvrši potpuno skraćivanje na jednakostima  P_∆ABC = P_∆CAB
i  P_∆ABC = P_∆BCA , tada idemo ka sinusnoj teoremi: asin(β)= bsin(α)… ;
α, β,γ su unutrašnji uglovi ∆ABC.
Cilj članka nije izvođenje klasične sinusne teoreme, cilj su prve dve formule, gde  stranice trougla računamo koeficijentom pravca odgovarajuće jednačine prave:
k₁₂=tg α₁₂ , k₂₃=tg α₂₃ , k₃₁=tg α₁₂  da bi ostali u analičkoj geometriji..

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen   Popović

Razlika jednačina dveju pravih – Površina trougla

                  Razlika jednačina dveju pravi – površina trougla
-Proizvod razlike ordinata jednačina dveju pravi (iznad iste apscise) ili ordinata prave površine trougla i razlike apcisa druga dva temena ∆ABC je površina ∆.
-Razlika jednačina dveju pravi je prava površine trougla.

Metod rada- koeficijenti prave.

Izvođenje formule:
-Prave:
f₁₂(x)=k₁₂x+n₁₂,
f₂₃(x)=k₂₃x+n₂₃,
f₃₁(x)=k₃₁x+n₃₁.

-∆ ABC je trougao triju pravi;

– kosinus ugla prave f(x)=kx+n je:

-osnovica a ∆ABC:

SLIKA:
  ;

– visina osnovice a je(sa slike):
h_a =[f₁₂(x₁)-f₂₃(x₁)] cos(α₂₃)=

-površina trougla osnovice a:
P_∆BCA =(1/2)ah_a=(1/2){
.
2P_∆BCA =(x₃-x₂)[f₁₂ (x₁)-f₂₃(x₁)]  —————- (2).

Formula 2P_∆CAB=(x_3-x₁)[f₃₁ (x₂)-f₂₃(x₂)] —————- (3): .

2P_∆ABC=(x₂-x₁)[f₃₁(x₃)-f₁₂(x₃)]   —————- (1):
.

-Redosled  ispisivanja indeksa na apscisama je matematički pozitivan smer ∆ABC.

– Slika za  formulu datu pod rednim brojem(2):
,

– Slika za  formulu pod rednim brojem(3):
.

      Razlika jednačina dveju pravi – prava površine trougla

Razlika jednačina dveju pravi je prava površine trougla:
-presek pravi:
(k₁₂-k₂₃)x=(n₂₃-n₁₂);

-razlika pravih:
f₁₂(x)-f₂₃(x)=(k₁₂-f₂₃)x+n₁₂-n₂₃)=
(k₁₂-k₂₃)x-(k₁₂-k₂₃)x₂=f₁₂₃(x),
f₁₂₃(x)=f₁₂(x)-f₂₃(x).

Dakle, prava površine P₁₂₃(x) je
f₁₂₃(x)=(k₁₂-k₂₃)x-(k₁₂-k₂₃)x₂ ili


Jednačina površine trougla je:
2P₁₂₃(x)=(x₃-x₂)f₁₂₃(x),
2P₁₂₃(x)=(x₃-x₂)[(k₁₂-k₂₃)x-(k₁₂-k₂₃)x₂]=
2P₁₂₃(x)=(x₃-x₂)(k₁₂-k₂₃)x -(x₃-x₂)(k₁₂-k₂₃)x₂ ili

Zadatak
Dat je ∆ ABC apscisom preseka f₁₂(x)=-2x+3=f₂₃(x)=3x-1,
apscisom x₁=x_A=-1 i apscisom  x₃=x_c=3.

Odrediti:
a) površinu P_∆ABC razlikom jednačina dveju pravi,
b) površinu- vrednost P_∆ABC(x) za x=x₁=x_A=-1.

Izrada
a) -Potrebne veličine:
-apscisu x₂ određujem iz f₁₂(x)=-2x+3=f₂₃(x)=3x-1, →  x₂= 4/5;

-ordinate jednačina pravi, za x= x₃=3, su:
f₁₂(x₃)=-2x₃ +3 =-2(3) +3=-3,
f₂₃(x₃)=3x₃ -1 =3(3)-1=8;

-razlike:
f₂₃(x₃)-f₁₂(x₃)=8-(-3)=11,
(x₂-x₁)=(4/5)-(-1)=9/5.

-Površina:
2P_∆ABC =(x₂-x₁)[f₂₃ (x₃)-f₁₂(x₃)] =(9/5)[11] =99/5,
P_∆ABC =99:10=9,9.
Preko jednačine je:

b) -Potrebne veličine:
-jednačina razlike jednačina pravi:
f₁₂₃(x)=f₁₂(x)-f₂₃(x)= -2x+3-(3x-1)=-5x+4;

-vrednost prave f₁₂₃(x)=-5x+4 za x=x₁=x_A=-1:
f₁₂₃(x₁)=-5x₁+4=-5(-1)+4=9;

-razlika (x₃-x₂)=[3-(4/5)]=11/5.

-Površina:
2P₁₂₃(x)=(x₃-x₂)f₁₂₃(x)=(11/5)(-5)x+(11/5)(4)=-11x+(44/5), međutim kraće je
2P₁₂₃(x₁)=(x₃-x₂)f₁₂₃(x₁)=(11/5)(9)=99/5,
P₁₂₃(x₁)=99:10=9,9.

 

Provera
-Potrebne veličine: (x₂-x₃)=-11/5;   (k₁₂-k₂₃) =(-2-3)=-5.
-Formula:
2P_∆BCA=(x₂-x₁)(x₂-x₃)(k₁₂-k₂₃)=(9/5)(-11/5)(-5)= 99/5,
P_∆ABC =99:10=9,9.

2P_∆BCA = (x₂–x₁)(x_2-x₃)(k₁₂-k₂₃)=B(x₂)(k₁₂-k₂₃),
B(x₂)=(x_2-x₁)(x_2-x₃)=(99/25)- bazni izraz,
2P_∆ABC=(x_2-x₁)(x_2-x₃)(k₁₂-k₂₃)- оsnovna formula površine trougla.

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
maš. inž. Mladen Popović