• Nova referentna svetska valuta-predlog i moguće rešenje
  • Objekti nadzemnog betonskog korita u navodnjavanju
  • Turbine: Nadoknada snage turbine padom nivoa jezera, reke
  • Космички путници и пиле у јајету

gradiuinflaciji

~ gradi danas za sutra

gradiuinflaciji

Category Archives: Тrougао u analitičkoj geometriji

Teorema: Određenost trougla i parabole karakteristikom K

24 уторак мар 2020

Posted by mladenpopovic52 in Тrougао u analitičkoj geometriji

≈ Поставите коментар

Određenost trougla:

1.–Trougao  triju pravih je geometrijski određen ako se znaju koeficijenti pravca pravi(pravci stranica) i apscise preseka pravi:
(k12, x1, x2), (k23, x2 , -), (k31, x1 , -) -karakteristika K triju pravi ili se zna

(n12 , x1, x2), (n23 , x2 , – ), (n31 , x1 , -)- odsečci na y osi od pravi i apscise preseka pravi(karakteristika K trougla triju pravi).

-Trougao je analitički određen ako se zna još  jedno n ili k

Dakle:
n12 ili k12 (k12 je u drugoj grupi) određujem karakteristikom K i njenom pravom fK(x);
– apscisu x3 određujem iz zatvorene petlje karakteristike K trougla triju pravi.

Pošto do sada nisam predstavio pravu fK(x), trougao ću odrediti poznatom(zadatom) pravom f12(x)=k12x+n12.

Dakle:
– Trougao je analitički određen karakteristikom K triju pravih i presekom jedne prave i y ose(odsečak od prave na y osi): k31, k23, k12 , n12 ,  x1, x2 ili
n31, n23, n12 , k12 ,  x1,  x2 .

2. -Parabola je određena ako je analitički određen trougao parabole karakteristike K.
-Koeficijenti parabole su određen karakteristikom K triju pravi i jednačinom jedne prave.

Potrebno je razlikovati geometrijsku određenost trougla od određenosti trougla u ravni xOy(analitička geometrija ili vektori).

Dakle, za analitičku određenost trougla i koeficijenata parabole u ravni xOy treba znati još jedno n ili jedno k.
n i k određujem karakteristikom K trougla triju pravi i njenom pravom(naravno ne u ovom članku)

– Za analitičku određenost trougla, pored zadatih pet veličina( x3 se računa karakteristikom K prvih pet veličina), izračunaće se i sedma; sedmom će biti potvrđena određenost tri koeficijenta parabole a0, a1, a2.

1.zadatak:
-Odrediti trougao ako se na trouglu znaju:
a) k31=(1/2), k23=3, k12=-(2/3)  – koeficijenti pravca tri stranice trougla;
b) x1=-3 x2 =1  -apscise preseka pravca stranica trougla CA,AB i AB,BC.

Na grafiku su koeficijenti pravca i jedinični trigonometijski krug.
Izrada:
1)-Uglovi u trouglu se znaju, zadati su koeficijentima pravca(tangensi..).
2)–Karakteristika K temena C:

k23-k31=3-(1/2)=(5/2),
x2-x1 =1-(-3)=4;

k31-k12=(1/2)-[-(2/3)]=(7/6),  k12-k23=-(2/3)-3=-(11/3).

3)-Određivanje apscise trećeg temena trougla:
(k12-k23)x2+(k23–k31)x3+(k31–k12)x1=0 ———— (10.1),  

Trougao se geometrijski može prikazati bilo gde, ipak ima razloga da se započne na trigonometrijskom krugu:O1(-1,0).
Crtanje trougla:

Na grafiku apscise prikazujem vertikalama, a koeficijente pravca na jediničnom trigonometijskom krugu O1O=1 u xOy koordinatnom sistemu.

Crtanje stranice AB:
— na grafiku pravac k12 (O1K12) produžujem levo do preseka sa apscisom x1 i desno, do preseka sa apscisom x2 . Preseci nam daju teme A i B.

Crtanje stranice AC:

– kroz tačku A povlačimo pravu paralelnu pravcu O1K31: k31=(1/2), sve do x3, gde se dobije teme C..

Crtamo stranicu BC:

-povukao sam kroz tačku B pravu paralelnu pravcu O1K23: k23=3, proverio teme C i završio  ∆ABC.
GRAF:

4)-Određivanje stranica trougla:
-potrebne vrednosti:

-stranice su:


Očitane vrednosti stranice sa grafika i vrednosti stranica dobijene računom se podudaraju, ∆ABC je određen.

5)-Površina trougla:
-2K2P∆ABC=(k12-k23)(k23-k31)(k31-k12)=

Dobijena površina računom se podudara sa očitanom površinom na grafiku.

DAKLE:
-∆ABC je geometrijski definisan, poznate su dužine sve tri stranice.
Za analitičku geometriju(x0y) ∆ABC nije određen, jer nisu određene ordinate njegovih temena niti bilo šta drugo:
A(x1 , – )=(-3,– ), B(x2, – )=(1, – ), C(x3 , – )=[(43/15),– ].

– Da bi trougao bio analitički definisan u ravni xOy potrebno je odrediti jednačinu jedne stranice trougla; jednačina je dobijena pomoću koordinata temena O1(-1,0) i temena K12 [0,(-2/3)], pa se dalje zna: k31, k23, k12 , x1, x2 , n12 ili f12 (x)= k12 x+n12, k31, k23, x1, x2 ,

6)-Analitička određenost trougla:
Postavljanjem jedne stranice trougla na pravac koeficijenta k12 jediničnog kruga, trougao je već analitički određen:
f12(xO1)=k12xO1+n12 ,
0=-(2/3)(-1)+n12 , n12 =-(2/3);
-jednačina stranice AB je: f12(x)=-(2/3)x-(2/3);
-tema A je:
f12(-3)=-(2/3)(-3)-(2/3)=(4/3),
A[-3, (4/3)].

Određenost parabole karakteristikom K
DEFINICIJA:
– Parabola je određena ako je analitički određen trougao parabole
karakteristike K:  k31, k23, k12 , n12 , x1, x2 ili n31, n23, n12 , k12 , x1, x2 .

Da bi odredio parabolu ne moram određivati jednačine svih stranica trougla, kao što bih to gore utadio za trougao; parabola ima svoje prave:
f(x)=[a0(x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2 …..

Zaključak:
– U zadatku sam trougao analitički određio uslovno jediničnim(trigonometrijskim) krugom.
Trougao se stvarno analitički može odrediti karakteristikom K i njenom pravom fK(x), a iza toga i  jednačinu prave jedne stranice trougla.

DAKLE,
sledi članak:“Metod pisanja jednačine proizvoljne prave“; metod pisanja jednačine prave na krivoj sam odavno objavio.

Ovde neću ništa više dodati zbog veličine sadržaja, određenost parabole(njena tri koeficijenta), kubne, hiperbole… ostaviću za naredne članke.

Srdačan pozdrav I dobro zdravlje,
Autor izvođenja:
maš. inž. Mladen Popović

Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла

05 петак апр 2019

Posted by mladenpopovic52 in Тrougао u analitičkoj geometriji

≈ Поставите коментар

            Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла

Косинусна теорема разлика апсциса темена троугла, апсциса тачака пресека правих или прираштаја, ∆f12(x), ∆f23(x), ∆f31(x), od f12(x), f23(x) и f31(x)

Метод рада – коефицијенти праве.
Јеначине правих:
f12(x)=k12x+n12 , f23(x)= k23x+n23 , f31(x)= k31x + n31 .

Косинусна теорема :

(∆f23)2+(∆f31)2-2(∆f23)(∆f31)cos(00)=(∆f12)2————————- (40.б),
∆f23= f23(x3)-f23(x2), ∆f31= f31(x3)-f31(x1), ∆f12= f12(x2)-f12(x1).
Слика:

-Угао између колинеарних, ординатних, праваца је нула.

-Прираштаји правих на страницама ∆АБЦ, дуж ординатног правца су:
∆f23=k23(x3-x2), ∆f31=k31(x3-x1), ∆f31=k12(x2-x1), те косинусна теорема добија облик разлика апсциса:

k232(x3-x2)2+k312(x3-x1)2-2(x3-x2)(x3-x1)k23k31=k122(x2-x1)2—— (40),
k23, k31, k12 – коефицијенти правца страница ∆АБЦ, тј. правих  f23(x), f31(x) и f12(x);
x1 ,  x2 , x3 – апсцисе темена страница ∆АБЦ.

  Три дужине на џ оси су рзлике апсциса (x3-x2), (x3-x1) и (x2-x1) . Усвојимо ли  s23, s31 и s12 за њихове ознаке, тада ће израз бити:
k232(s23)2+k312(s31)2-2(s23)(s31)k23k31=k122(s12)2 ——————- (40.a),
s23= (x3-x2), s31= (x3-x1), s12= (x2-x1).
Слика:

 

                                                Извођење и доказ
Потребне формуле:
– дужине страница ∆AБЦ:

-класичан облик косинусне теорема: a2 +б2 -c2=2aбcos(α23– α31).

Извођење косинусне теорема разлика апсциса темена троугла:
-У израз  a2 +б2 -c2=2aбcos(α23– α31) замењујемо дужине страница ∆AБЦ , косинус разлике угла правца странице а и угла правца странице б:

a2 +б2 -c2=2aбcos(α23– α31),

(x3-x2)2(k232+1)+(x3-x1)2(k312+1)-(x2-x1)2(k122+1) =

2(x3-x2)(x3-x1)(1+k23k31);

(x3-x2)2(k232+1)+(x3-x1)2(k312+1)-(x2-x1)2(k122+1) =2(x3-x2)(x3-x1)(1+k23k31).

Даље, остављам разлике апсциса у заградама и настављам множење осталих чланова :

k232(x3-x2)2+(x3-x2)2+k312(x3-x1)2+(x3-x1)2-k122(x2-x1)2-(x2-x1)2=
2(x3-x2)(x3-x1)+2(x3-x2)(x3-x1)k23k31,
раздвајам променљиве:
k232(x3-x2)2+k312(x3-x1)2-2(x3-x2)(x3-x1)k23k31-k122(x2-x1)2=
– (x3-x2)2-(x3-x1)2+2(x3-x2)(x3-x1)+(x2-x1)2.

Како је деснa странa једнакости једнака нули, – (x3-x2)2-(x3-x1)2+
2(x3-x2)(x3-x1)+(x2-x1)2=0, то ће и израз са леве стране бити нула:
k232(x3-x2)2+k312(x3-x1)2-2(x3-x2)(x3-x1)k23k31-k122(x2-x1)2=0.

[k23(x3-x2)]2+[k31(x3-x1)]2-2[(x3-x2)k23][(x3-x1)k31]=[k12(x2-x1)]2———-(40).

Задатак:
Задате величине:
– дужина s23=(x3-x2)=1 између апсцисе x3 и x2 темена Б И Ц  ∆AБЦ;
– коефицијенти правца страница ∆AБЦ: k12=-(2/3), k23=4, k31=(1/2), истовремено и коефицијенти правца праве f23(x), f31(x) и f12(x).
Одреди:
– дужине s31 и s12;
-прираштаје, ∆f23, ∆f31, ∆f12, на  f23(x), f31(x) и f12(x).

Потребна формула:
s23= (x3-x2),  x3= s23+x2. Апсцису x3 замењујем у
k232(x3-x2)2+k312(x3-x1)2-2(x3-x2)(x3-x1)k23k31=k122(x2-x1)2:

k232(x3-x2)2+k312(s23+x2-x1)2-2(x3-x2)(s23+x2-x1)k23k31=k122(x2-x1)2,
k232(x3-x2)2+k312[(x2-x1)2+2(x2-x1)s23+s232]-2(x3-x2)s23k23k31-2(x3-x2)(x2-x1)k23k31=k122(x2-x1)2,
k232(s23)2+k312(x2-x1)2+2k312(x2-x1)s23+k312s232-2(s23)s23k23k31-2(s23)k23k31(x2-x1)=k122(x2-x1)2;

(k312-k122)(x2-x1)2+[2k312s23-2s23k23k31](x2-x1)+k232(s23)2+k312s232-2s232k23k31+ =0,
(k312-k122)(x2-x1)2-2s23k31(k23-k31)(x2-x1)+s223(k23-k31]2=0.

Бројне вредности:





Једначина:
(k312-k122)(x2-x1)2-2s23k31(k23-k31)(x2-x1)+s223(k23-k31]2=0,

-(x2-x1)2– (9)2(x2-x1)+7(9)=0,

(x2-x1)2+18(x2-x1)-7(9)=0.

Решење:

(x2-x1)1=3,  (x2-x1)2=-21.

a)-Oдређивање разлика апсциса или растојања између њих:
-Из s23=(x3-x2)=1 и (x2-x1)1=3 следи да је (x3-x1)=4, дакле растојања између њих су:
s12=3, s23=1, s31=4.
-Друга решења, са (x2-x1)2=-21, приказаћу други пут.

б) Одређивање ∆f23, ∆f31 и ∆f12:
∆f23=k23(x3-x2)=4(1)=4;

Од аутора метода:
Срдачан поздрав и добро здравље,
маш. инж. Младен Поповић

Правци страница троугла и пречник описане кружнице

15 петак мар 2019

Posted by mladenpopovic52 in Тrougао u analitičkoj geometriji

≈ Поставите коментар

Правци страница троугла и пречник описане кружнице

Коефицијенти правца страница косоуглог троугла, апсцисе темена троугла, формула  пречника описане кружнице и карактеристика К троугла

Метод рада-коефицијенти праве.

Формулe:
  ,
.

к12 ,  к23 , к31 ,  x1 , x3 – коефицијенти правца страница  ∆АБЦ и апсцисе првог и трећег темена троугла,
K –карактеристика трију правих, праве страница ∆АБЦ.

Извођење и доказ

Потребне формуле:
2Р∆АВЦ=(x2-x1)( x2-x3)( k12-k23) – формула површине ∆АБЦ,
4RР∆АВЦ=абц- класична формула површине троугла;
а, б, ц,  R  – странице ∆АБЦ и полупречник R описане кружнице косоуглог троугла.

Дужине страница ∆АБЦ:

Извођење формуле:
4RР∆АВЦ= 2R[2Р∆АВЦ]=[а][б][ц];
2R[2Р∆АВЦ]=2R[(x2-x1)( x2-x3)( k12-k23)]= [а][б][ц]=

Са леве и десне стране знака једнакости скратимо разлике апсциса, те остаје:

Дакле, формула је:
————– (30.а).

Понављање поступка:
2Р∆ВЦА=(x3-x1)( x3-x2)( k23-k31) – формула површине ∆БЦА;
2R[2Р∆ВЦА]=[а][б][ц]:
————– (30.б).

Поредим израз под редним бројем (30.а) и (30.б); следи да је:
—————- (10.а);

И треће, за Р∆ЦАБ је:

-Пошто су леве стране задња три једнаки карактеристици К троугла од три праве,то ће и десна страна бити јенака К.

Дакле, добијена је двострука једнакост:

  …………………. (30).

Задњи израз се може написати и у следећем облику:

                            Страница троугла и пречник описане кружнице

Косоугли троугао:
———— (30.а).

– У формули под редним бројем (30.а), у бројиоцу, имамо израз за дужину странице ЦА:
 и то ћу, једноставно, обележити са б:


добили смо однос полуречника описане кружнице и странице троугла:

Правоугли троугао:
-Ако страница буде б=2R и пролази кроз центар круга, тада постаје пречник круга, а однос два полупречника и странице је једнак јединици:

(k12-k23)2=( k212+1)(k223+1),
k212-2 k12k23+ k223= k212 k223+ k212+k223+1,
-2 k12k23= k212 k223+1,
k212 k223 +2 k12k23+ 1=0,
(k12k23+1)2=0:

Задатак
Дате су следеће аналитичке величине:
–
коефицијенти правца страница троугла;
x1=-1 , x2=2 – апсцисе пресека f12(x)= f31(x) i f23(x)= f31(x) , тј. решења једначина.

На троуглу, дефинисан датим величинама, одредити полупречник описане кружнице.

Бројне вредности аналитичких израза:
x2-x1= 2-(-1)=3;




 

Израда задатка:

Напомена:
Могућнст одређивања положаја троугла у координатној равни:

-Апсциса x3 нам није потребна у задатку, потребна је за слику троугла у координатној равни .
Како су темена свих троуглова  изнад апсциса x1, x2 и x3 , морала се одредити и апсциса x3 :

(k12-k23)x2+(k23–k31)x3+(k31–k12)x1=0,
————– (11):  x3=3.

-Да бих на графику издвојио бар један троугао из скупа, морам имати  познату још једну познату, рецимо:
nАБ =-5/3 – одсечак на у оси правца странице АБ  ∆АБЦ

СЛИКА:

 

  Додатак

Ако изађемо из аналитичке геометрије и одемо у тригонометрију(адиционе формуле), специфичан симбол препознавања полупречника описане кружнице троугла ће бити:

Aутор метода:
-Срдачан поздрав и добро здравље,
дипл. маш. инж. Младен Поповић

Растојање тачке А од праве f(x)

03 недеља феб 2019

Posted by mladenpopovic52 in Тrougао u analitičkoj geometriji

≈ Поставите коментар

                                    Растојање тачке А од праве f23(x)
1)-Растојање тачке А(x1 ,y1) од праве f23(x)= k23x+ n23 рачуна се по формули:

Aналитички елементи у формули су:
ha – растојање тачке А од праве f23(x),
y1 – ордината тачке А,
x1 – апсциса тачке А,
k23=kA1A2 – коефицијент правца праве f23(x),  n23=nA1A2 – одсечак од праве f23(x) на у оси.
Слика:

Извођење растојања тачке А до праве f23(x)= k23x+ n23:

– са горње слике је dAA1= y1-f23(x1) ;
– из правоуглог ∆АA1А2 следи једнакост:

ha = dAA1cos(αA) и αA= α23= β23 ;
α23 je угао нагиба праве f23(x) и x осе,
αA= α23= β23  су углови са нормалним крацима:

Дакле:
dAA1=[y1)-f23(x1)],

Kоначно је:

Растојање тачке А од праве f23(x) може бити и овако:

Произвољна права f12(x)= k12x+ n12 пролази кроз тачку А(x1 ,y1) и сече праву f23(x) у тачки В. Апсциса тачке пресека је х2. Положај тачке
В(X2, – ) није битан.
ГРАФИК:

Са слике је:
dAA1=[f12(x1)-f23(x1)],
ha = dAA1cos(αA)=[f12(x1)-f23(x1)]cos(β23),

Ако ставимо да је f12(x1)=y1, добићемо већ изведен израз:
[f12(x1)-f23(x1)]cos(β23)=[y1-f23(x1)]cos(β23)=

  Закључак

Две формуле за растојање тачке А od праве f23(x):

Задатак:
f23(x)= 3x-1 ;  А(4,6) . Израчунај растојање тачке А од праве f23(x).

Познате вредности и формула:
y1 = 6, x1 =4,  k23=3, n23 =-1 ;

Бројне вредности:
y1 -к23(x1)- n23 = 6-3(4)-(-1)=-5,
k223+1=(3)2 +1=10,

На линку имамо исписан задатак на латиници:
Rastojanje tačke A od prave f23(x)

2) Базни облик висине троугла:
-Формула дата под редним бројем (2) је базни облик. Зашто?

f12(x1)-f23(x1) = (k12x1+ n12)-(k23x1+ n23)=(k12-k23)x1+n12-n23=
(k12-k23)x1+n12-n23=(k12-k23)x1+(k23-k12)x2=(k12-k23)x1-(k12-k23)x2:
f12(x1)-f23(x1) = (k12-k23)(x1-x2);
x2– апсциса тачке пресека праве f12(x) и f23(x) : Б(X2, – ).

-Ако на правој f23(x) имамо трећу тачку Ц( X3 , – ), ha ће добити базни облик:
[f12(x1)-f23(x1)]=(k12-k23)(x1-x2),
,

B(x1) – базни израз површине и висине ha троугла,
K – карактеристика троугла трију правих:
B(x1)=(x1-x2)(x1-x3)=x12-(x2+x3)x1+x2x3
(k12-k23)=K(x1-x3).

Апсцисе x1, x2, x 3 će biti apscise темена троугла.

Свакако да је површина троугла:
2PBCA=aha=

2PBCA=(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23) – основни облик површине троугла

Аутор:
Срдачан поздрав и добро здравље,
маш. инж. Младен Поповић

Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

13 среда јун 2018

Posted by mladenpopovic52 in Тrougао u analitičkoj geometriji

≈ Поставите коментар

Koeficijenti  pravca i rešavanje kosouglog trougla
Određivanje stranica kosouglog trougla koeficijentima pravca jednačina stranica- Uprošćavanje Mallweide-ove formule i formula ostalih teorema trougla u oblasti analitičke geometrije

Metod rada- koeficijenti jednačine prave.
Oblast –analitička geometrija.

Predmet razmatranja:
-Kosougli ∆AB, stranica a,b i c na pravoj f12(x), f23(x) i f31(x).
– Koeficijenti pravca, k12=tg α12 , k23=tg α23 , k31=tg α12 , jednačina pravih.
– Uglovi nagiba pravih prema x osi: α12 , α 23 , α 31;
– Formule za stranice: a, b, c  i koeficijente: k12 , k23  i k31.

Predlog formula:
 .
………… (1);
  ………….. (2).

                                Izvođenje formula

a) –Izvođenje formule, koja sadrži koeficijente pravca pravih i stranice trougla, polazi od:
 – p
ovršina trougla 2P∆ABC =(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23) …………… (3);

  –
razlike apscisa
(dva izrazi za rastojanje između dve tačke) zamenjujemo u formulu pod rednim brojem (3) i dobije se :
  ………………….. (3.1);

c=d12=AB – dužina stranice ∆ABC,   a=d23=BC – dužina druge stranice ∆ABC.

– Od površine trougla P∆BCA =(x3-x2)(x3-x1)(k23-k31)  ………….. (4), na isti način, dobije se oblik:
  …………………… (4.1);

b=d31=CA – dužina stranice ∆ABC.

– Iz P∆CAB =(x1-x3)(x1-x2)(k31-k12)  …………………………………. (5) dobije se oblik:
  ……………………. (5.1).

b) –Jednačenjem  izraza   P∆ABC = P∆CAB , datih pod rednim brojem (3.1) i (5.1) ,  tj. jednog te istog ∆ABC, dobija se :

-iste su površine, ali različito je obeležavanje zbog  matematičkog smera i izbora početnog temena u formuli površinu trougla.
Naravno, nakon skraćivanja dobiće se već viđena formula pod rednim
brojem (1):
 .

P∆ABC = P∆BCA ;

. – Nakon skraćivanja imamo formulu datu pod rednim brojem (2):


Zadatak


sa koeficijentom pravca k23 =(3/2). Dati su koeficijenti pravca ostalih dveju stranica ∆ABC: k12 = -3,  k31 =(1/2).
Odrediti stranice  ∆ABC.
Grafički prikaz datih podataka:

Potrebne formule su već date pod rednim brojem (1) i (2),
a brojne vrenosti veličina za formulu računamo:

 



Izrada:
 ,

 ,

Grafički prikaz rezultata:

Potpuno i preglednije urađen zadatak je u dokumentu:
Koeficijenti pravca i rešavanje kosouglog trougla

Napomena autora:
–Ako se ne izvrši potpuno skraćivanje na jednakostima  P∆ABC = P∆CAB
i  P∆ABC = P∆BCA , tada idemo ka sinusnoj teoremi: asin(β)= bsin(α)… ;
α, β,γ su unutrašnji uglovi ∆ABC.
Cilj članka nije izvođenje klasične sinusne teoreme, cilj su prve dve formule, gde  stranice trougla računamo koeficijentom pravca odgovarajuće jednačine prave:
k12=tg α12 , k23=tg α23 , k31=tg α12  da bi ostali u analičkoj geometriji..

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen   Popović

Razlika jednačina dveju pravih – Površina trougla

26 четвртак апр 2018

Posted by mladenpopovic52 in Тrougао u analitičkoj geometriji

≈ Поставите коментар

                  Razlika jednačina dveju pravi – površina trougla
-Proizvod razlike ordinata jednačina dveju pravi (iznad iste apscise) ili ordinata prave površine trougla i razlike apcisa druga dva temena ∆ABC je površina ∆.
-Razlika jednačina dveju pravi je prava površine trougla.

Metod rada- koeficijenti prave.

Izvođenje formule:
-Prave:
f12(x)=k12x+n12,
f23(x)=k23x+n23,
f31(x)=k31x+n31.

-∆ ABC je trougao triju pravi;

– kosinus ugla prave f(x)=kx+n je:

-osnovica a ∆ABC:

SLIKA:
  ;

– visina osnovice a je(sa slike):
ha =[f12(x1)-f23(x1)] cos(α23)=

-površina trougla osnovice a:
P∆BCA =(1/2)aha=(1/2){
.
2P∆BCA =(x3-x2)[f12 (x1)-f23(x1)]  —————- (2).

Formula 2P∆CAB=(x3-x1)[f31 (x2)-f23(x2)] —————- (3): .

2P∆ABC=(x2-x1)[f31(x3)-f12(x3)]   —————- (1):
.

-Redosled  ispisivanja indeksa na apscisama je matematički pozitivan smer ∆ABC.

– Slika za  formulu datu pod rednim brojem(2):
,

– Slika za  formulu pod rednim brojem(3):
.

      Razlika jednačina dveju pravi – prava površine trougla

Razlika jednačina dveju pravi je prava površine trougla:
-presek pravi:
(k12-k23)x=(n23-n12);

-razlika pravih:
f12(x)-f23(x)=(k12-f23)x+n12-n23)=
(k12-k23)x-(k12-k23)x2=f123(x),
f123(x)=f12(x)-f23(x).

Dakle, prava površine P123(x) je
f123(x)=(k12-k23)x-(k12-k23)x2 ili


Jednačina površine trougla je:
2P123(x)=(x3-x2)f123(x),
2P123(x)=(x3-x2)[(k12-k23)x-(k12-k23)x2]=
2P123(x)=(x3-x2)(k12-k23)x -(x3-x2)(k12-k23)x2 ili

Zadatak
Dat je ∆ ABC apscisom preseka f12(x)=-2x+3=f23(x)=3x-1,
apscisom x1=xA=-1 i apscisom  x3=xc=3.

Odrediti:
a) površinu P∆ABC razlikom jednačina dveju pravi,
b) površinu- vrednost P∆ABC(x) za x=x1=xA=-1.

Izrada
a) -Potrebne veličine:
-apscisu x2 određujem iz f12(x)=-2x+3=f23(x)=3x-1, →  x2= 4/5;

-ordinate jednačina pravi, za x= x3=3, su:
f12(x3)=-2x3 +3 =-2(3) +3=-3,
f23(x3)=3x3 -1 =3(3)-1=8;

-razlike:
f23(x3)-f12(x3)=8-(-3)=11,
(x2-x1)=(4/5)-(-1)=9/5.

-Površina:
2P∆ABC =(x2-x1)[f23 (x3)-f12(x3)] =(9/5)[11] =99/5,
P∆ABC =99:10=9,9.
Preko jednačine je:

b) -Potrebne veličine:
-jednačina razlike jednačina pravi:
f123(x)=f12(x)-f23(x)= -2x+3-(3x-1)=-5x+4;

-vrednost prave f123(x)=-5x+4 za x=x1=xA=-1:
f123(x1)=-5x1+4=-5(-1)+4=9;

-razlika (x3-x2)=[3-(4/5)]=11/5.

-Površina:
2P123(x)=(x3-x2)f123(x)=(11/5)(-5)x+(11/5)(4)=-11x+(44/5), međutim kraće je
2P123(x1)=(x3-x2)f123(x1)=(11/5)(9)=99/5,
P123(x1)=99:10=9,9.

 

Provera
-Potrebne veličine: (x2-x3)=-11/5;   (k12-k23) =(-2-3)=-5.
-Formula:
2P∆BCA=(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23)=(9/5)(-11/5)(-5)= 99/5,
P∆ABC =99:10=9,9.

2P∆BCA = (x2–x1)(x2-x3)(k12-k23)=B(x2)(k12-k23),
B(x2)=(x2-x1)(x2-x3)=(99/25)- bazni izraz,
2P∆ABC=(x2-x1)(x2-x3)(k12-k23)- оsnovna formula površine trougla.

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
maš. inž. Mladen Popović

Пријава

  • Entries (RSS)
  • Comments (RSS)

Архиве

  • мај 2020
  • април 2020
  • март 2020
  • фебруар 2020
  • јул 2019
  • април 2019
  • март 2019
  • фебруар 2019
  • октобар 2018
  • септембар 2018
  • август 2018
  • јун 2018
  • мај 2018
  • април 2018
  • новембар 2017
  • септембар 2017
  • јун 2017
  • мај 2017
  • фебруар 2017
  • децембар 2016
  • септембар 2016
  • јун 2016
  • мај 2016
  • април 2016
  • март 2016
  • фебруар 2016
  • јануар 2016
  • октобар 2015
  • септембар 2015
  • август 2015
  • јун 2015
  • мај 2015

Категорије

  • Графоаналитичко цртање праве,троугла…
  • Здраве биљке-куварство-здравље
  • Karakteristika K triju pravih u analitičkoj geomertiji
  • Koeficijenti prave i apscise tačaka
  • Kubna
  • Matematika
    • Тrougао u analitičkoj geometriji
    • Hiperbola
    • kubna
    • Metod pisanja jednačine prave na krivama
    • Oblici koeficijenata jednačine prave na krivama
    • Odnosi između funkcija
      • Određeni integrali
    • Parabola
    • Površina proizvoljnog trougla- Proizvodi razlika koeficijenata pravih
    • Površina trougla na krivama
  • NAČIN IZGRADNJE ENERGETSKIH POSTROJENJA – EKONOMIJA U INFLACIJI
  • Odbrana od poplava
  • Pesme

Мета

  • Регистрација
  • Пријава

Блог на WordPress.com.

Одустани
Privacy & Cookies: This site uses cookies. By continuing to use this website, you agree to their use.
To find out more, including how to control cookies, see here: Cookie Policy