Category Archives: Metod pisanja jednačine prave na krivama

TEOREMA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG STEPENA

19 недеља апр 2020

Posted by in Metod pisanja jednačine prave na krivama

≈ Поставите коментар

– Teorema oblka koeficijenata jednačine prave i metod(primena metoda) koeficijenata prave i krive omogućuje jednostavniji postupak od klasičnog u postupku pisanja jednačine prave, tangente…

Metod rada-koeficijenti prave.

1)-Pisanje jednačine(a) prave(i) koja nije na krivoj.
Za pisanje jednačine koje nije na krivoj koristim karakteristiku K dveju pravi i pravu fK(x):
-Pošto odredim jednačinu prave f12(x), vrlo lako određujem još dve prave (jednačine). Dobijene prave grade trougao. Temena trougla imaju apscise
x1, x2 i x3.

-Pravu  fK(x)  ispisujem(računam) pomoću podataka koje zadam:
(k12, x1, x2) ,(k23, x2 , -), (k31, x1 , -),
k12 , k23 , k31 – koeficijenti pravca pravi ili:

(n12 , x1, x2) ,(n23 , x2 , – ), (n31 , x1 , -)
n12 , n23 , n31 – odsečci od pravi na y osi,
x1 , x2 –apscise preseka pravih.

2)- Pisanje jednačine prave koja je na krivoj.

Teorema oblika koeficijenata jednačine prave na krivoj višeg stepena u zajedničkim tačkama:

-Oblik koeficijenata jednačine prave kroz dve tačke na krivoj višeg stepena , kojoj će pripasti dve tačke krive, određuju koeficijenti krive višeg stepena i apscise tačaka.

-Teorema važi i za konjugovano kompleksne tačke i pravu van krive.

KRIVA DRUGOG STEPENA
Teorema:
-Jednačina prave kroz dve tačke na krivoj drugog stepena  
 f(2) =a0x2+a1x+a2  ima oblik:
f(1) =[a0(x1+x2 )+a1]x+a2-a0x1x2;
a0  i a1 su koeficijenti krive f(2) , a  x1 i  x2 su apscise pomenutih tačaka.

Pretpostavke :
-jednačina drugog stepena ——— f(2) = a0x2+a1x+a2  —————— (1);
-jednačina prvog stepena(prava)—- f(1)=[a0(x1+x2) +a1]x+a2-a0x1x2 — (2);
A(x1, -), B(x2, -) tačke preseka prave i krive, bez ordinate su , za jednačinu prave nisu ni potrebne.

Dokaz:
Zamenimo x sa x1 u jednačinu prave pod brijem (2) , t.j.  x = x1  :
f(1)=[a0(x1+x2) +a1]x1+a2-a0x1x2=
a0(x1)2+a0x1x2 +a1x1+a2 -a0x1x2 = f(2),x=x1 ,

f(2),x=x1 = a0(x1)2+a1x1+ a2 .

1.zadatak:
Data je jednačina f(2) = 2x2 -5x +3 .
Napisati jednačinu prave kroz dve tačke na f(2)  ako apscise tačaka na  krivoj  imaju vrednost:
x1 = -2  ,  x2 = 3 .
Rešenje:
-Oblik koeficijenata prave na krivoj (parabola) je:
f(1) =[a0(x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2 .
–Vrednosti koeficijenata krive f(2) su: a0 =2 ,  a1=-5 ,  a2 =3.

-Zamena apscisa u koeficijente  jednačine prave:
f(1) = [a0(x1+x2 )+a1]x+a2 -a0x1x2 =
[2(-2+3)-5]x +3-2(-2)3=-3x+15,   tj. ,   f(1) = – 3x+15.

Provera:
-Za  x1 = -2,                             f(1)x1=-2 = –3x1+15 = – 3(-2) +15=21,                                                f(2)x1=-2 = 2(x1)2 -5x1+3=2(-2)2 -5(-2) +3=21.


-Za  x2 = 3,                                 f(1)x2=3 = – 3x2+15 = – 3(3) +15=6,                                                 f(2)x1=3 = 2(x2)2 -5x2 +3=2(3)2 -5(3) +3=6.

Jednačina tangente

Prva tangenta na krivoj f(2) = a0x2 +a1x+a2 , u tački  x = x1 , dobiće se iz jednačine prave kroz dve tačke na krivoj ako stavimo  da je  x2 = x1 :
-Za x2 = x1 ,  fT(1),X1 = [a0(x1+x1)+a1]x+a2 -a0x1x1 = (2 a0x1+a1 )x+a2-a0(x1)2 .
Konačno je  ———- fT(1),X1 =(2a0x1+a1 )x+a2-a0(x1)2 –——— (3).

Druga tangenta;
– Za x1 =  x2 ,  fT(1),X2 =(2a0x2+a1 )x+a2-a0(x2)2 –————–  (4).
Dokaz:
Zamenimo x sa x1 u jednačinu prave pod brojem (3)  i  x = x2 u jednačinu pod brojem(4), obe daju isto:
fT(1),X1 = a0(x1)2 +a1x1+a2   i  fT(12),X2 = a0(x2)2 +a1x2+a2.

2.zadatak:
Napisati jednačine tangenti  dveju tačaka na krivoj f(2) = 2x2 -5x +3
ako su apscise tačaka:
x1 = -2  i  x2 = 3.
Rešenje:
-Opšti oblik tangente  fT(1),X1=(2 a0x1+ a1)x+a2+a0(x1)2 ,
a kroz drugu tačku  ——————– fT(2),X2 =(2 a0x2+a1 )x+a2-a0(x2)2 .
-Vrednosti koeficijenata krive f(2) su: a0 =2 ,  a1=-5 ,  a2 =3.

Prva tangenta  fT(1),X1 =[2 (2)x1 -5 )]x+3 -2(x1)2 ,
t.j.  fT(1),X1 =(4x1 -5 )x+ 3-2(x1)2 .
-Za  x1 = -2,  oblik prave fT(1),X1 =[4(-2) -5 ]x+3-2(-2)2=-13x-5.
fT(1),X1 = -13x-5.

Provera:
-Za  x = x1 =-2, vrednost tangente   ———-   fT(1),X=-2 = -13(-2)-5= 21,                                        f(2)x1=-2 = 2(x1)2 -5x1 +3=2(-2)2 -5(-2) +3= 21.

Druga tangenta fT(2),X2 ==[2 (2)x2 -5 )]x +3-2(x2)2 , tj.,
fT(2),X2 =(4x2 -5 )x+3 -2(x2)2
-Za  x2 = 3,  oblik  ———- fT(2),X2 =[4(3) -5 ]x+3-2(3)2= 7x-15,
                                                                                       fT(2),X2 = 7x-15.

Provera:
-Za  x = x2 =3, vrednost tangente   —————— fT(2),X=3 = 7(3)-15=6,
                                            f(2)x1=-2 = 2(x2)2 -5x2 +3=2(3)2 -5(3) +3=6.

KRIVA TREĆEG STEPENA

Sve što je rečeno za krivu drugog stepena važi i za krivu trećeg stepena.
Kod krive trećeg stepena f(3)  javiće se , pored jednačine prave kroz dve tačke na  f(3) , i jednačina drugog stepena f(.2) .

Oblici koeficijenata jednačine trećeg i prvog stepena(prave) su:
-Trećeg stepena  —–  f(3) = a0x3+a1x2 +a2x + a3  ——–  (5).

-Prvog stepena(prava) f(1) ={a0[(x1)2+x1x2 +(x2)2]+a1(x1+x2 )+a2}x+
a3-x1x2[a0(x1+x2 )+a1]  ——————– (6).

Dokaz:
Zamenimo u jednačinu prave (6)  x  sa  x1, tj.,  x = x1,
tada je f(1) x=x1 = {a0[(x1)2+x1x2 +(x2)2 ]+a1(x1+x2 )+a2 }x+
a3-x1x2 [a0(x1+x2 )+a1] =  a0(x1)3 +a1(x1)2 +a2x1+a3 =f(3),x=x1 .

Jasno je:
-Koeficijenti jednačine f(X) , pod rednim brojem (2) i (6) , u tačkama
x1 = x01 i  x2 = x02 , gde su x01 i x02 rešenja jednačine f(2) i f(3) , jednaki su nuli. Prave f(1)  postoje i imaju oblik:
 f(X) = 0x + 0.

Izvođenje jednačine prave na krivoj(parabola):
Jednačina prave se izvodi iz klasične jednačine prave kroz dve tačke.
-Potrebne jednačine:
F(x) -jednačina krive,
f12(x)=k12x+n12 –jednačina prave na krivoj F(x).

Koeficijenti prave f12(x):
k12(x2-x1)= F(x2)- F(x1)= a0x22 +a1x2+a2-[a0x12 +a1x1+a2 ]=
(x2-x1)[ a0(x1+x2 )+a1],
n12(x2-x1)=x2F(x1)- x1F(x2)= (x2-x1)[ a2-a0x1x2 ].
Naravno, i na desnoj strani jednačina je (x2-x1). Nakon skraćivanja (x2-x1) u izrazima ostaje vrednost
za k i n.

Teorema oblika koeficijenata jednačine prave važi i za prave koje realno ne seku krivu.

3.zadatak:
Napisati jednačinu prave od koeficijenata parabole kroz konjugovano kompleksne tačke:
x1=-1+3i , x2=-1-3i.

-Potebne vadnosti:
x1=a+bi , x2=a-bi,
x1+x2=a+bi+a-bi=2a,  x1x2 = (a+bi)(a-bi)=a2+b2.
f(1) = [a0(x1+x2 )+a1]x+a2 -a0x1x2 =[a0(2a)+a1]x+a2 -a0(a2+b2),
f(1) =(2a0a+a1)x+a2 -a0(a2+b2);

x1+x2=2a=2(-1)=-2 , x1x2=a2+b2.=(-1)2(3)2=10.
Izrada:
f(1) = (2a0a+a1)x+a2 -a0(a2+b2).
[2(1)(-2)+1]x -2-(10 )=-3x-12.

–Članak se postavlja treći put, promenjen je naslov i dodat je novi sadržaj; nisam ni znao da je članak nestao sa bloga.

Ceo tekst članka se nalazi i u dokumentu:
TEOREMA OBLIKA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG STEPENA

Autor teoreme:
maš.inž.Mladen Popović

Presek poznate i “nepoznate prave” – Prave na parabolama

20 уторак јун 2017

Posted by in Matematika, Metod pisanja jednačine prave na krivama

≈ Поставите коментар

                ODREĐIVANJE PRESEKA PRAVE fa(x) I PRAVE fb(x)
Određivanje preseka prave fa(x) parabole Fa(x) i prave fb(x) parabole Fb(x)

Presek dve prave bez određivanja jednačine druge prave

Metod rada-koeficijenti prave.

Pretpostavke:
a) Prava fa(x) seče parabolu Fa(x) u tački A i tački C. Apscise preseka su:
xA=x1 i xC=x2 .

b) Prava fb(x) seče parabolu Fb(x) u tački D i tački E. Apscise preseka su:
xD=x1 i xE=x2.
Odnosno,  xA=xD=x1 i xC=xE=x2 .

c) Poznate su jednačine: Fa(x), Fb(x), fa(x).
Jednačina prave fb(x) nije poznata.
Grafik dve parabole, dve prave i njihov presek P:

Potrebne formule:
a) Fa(x)=a0x2+a1x+a2  – parabola,
fa(x)=[a0(x1+x2)+a1]x+a2 -a0x1x2 = k x+n – prava na paraboli Fa(x);

b) Fb(x)=b0x2+b1x+b2,
fb(x)=b0(x1+x2)+b1]x+b2 -b0x1x2 – prava na paraboli Fb(x) .
Da bi se odredio presek poznate prave fa(x) i “nepoznate prave” fb(x) potrebo je uspostaviti potrebne odnose između apscise xp preseka pravih, koeficijenata jednačina parabola i koeficijenata jednačine poznate prave.

Potrebni odnosi:
c) Potreba smena, pod rednim brojem(3), za eliminaciju apscisa x1 i x2 iz izraza za xp :
k=[a0(x1+x2)+a1] – koef. pravca prave fa(x) , pa je:
   ————–  (1),

n2= a2 – a0x1x2 – slobodan član prave fa(x) , pa je:
    ————–  (2);
d) uslov preseka fa(x) i fb(x):,
[a0(x1+x2)+a1]x+a2 – a0x1x2=[b0(x1+x2)+b1]x+b2 – b0x1x2 .
Rešavajući uslov preseka po x  sledi:
  —–  (3).

Promenimo zadnji izraz za xp  zamenom x1+x2 i  x1x2 vrednostima njihovih izraza pod rednim broj (1) i (2):

    ———–  (4).

U zadnjem izrazu apcisa xp zavisi samo od koeficijenata jednačine prave i koeficijenata jednačina krive Fa(x) i Fb(x)–što i jeste cilj metode :

a0 , a1 , a2  -koeficijenti jednačine parabole Fa(x);
b0 , b1 , b2  -koeficijenti jednačine parabole Fb(x);
k, n su koeficijenti  fa(x)= kx+n – jednačine prave na paraboli Fa(x).

10.zadatak
Zadato:
– Parabola Fa(x)=x2+x-2  i njena prava fa(x)=2x+1.
– Parabola Fb(x)=(1/3)x2+3x+3 i njena prava fb(x)= kbx +nb ,nije poznata, ali se zna da su apscise preseka nje i njene parabole iste– uslov pri izvođenju formule za presek dve prave.

Odrediti presek poznate fa(x) i nepoznate fb(x) prave, bez određivanja nepoznate prave.

Poznate vrednosti:
Fa(x)=x2+x-2  → a0 =1,  a1 =1,  a2 = -2;
Fb(x)=(1/3)x2+3x+3 → b0=,  b1 =3,  b2 =3;
fa(x)=2x+1→  k=2,  n=1;

Izrada:
Iskoristimo formulu rednog broja (4), apscisee xp:



  xp=(-9/4)= -2,25   – izračunata ascisa preseka prave  fa(x) =2x+1  i prave fb(x) =[b0(x1+x2)+b1]x+b2 -b0x1x2  .

Provera:
a)- Definisanje tačke preseka P(xP, yP) = P[(-9/4), yP]:
fa(xp)= yP = 2xp+1,

Preseci parabole i njene prave :
Fa(x) = fa(x) → x2+x-2=2x+1 → x2-x-3= 0 ,

Slede vrednosti:

Presečna tačka je:

, – dokaz završen. 

b)- Određivanje nepoznate prave fb(x):
fb(x) = [b0(x1+x2)+b1]x+b2 -b0x1x2 =

– određivanje preseka dve prave:
fa(x) = fb(x),   2x+1=(10/3)x+4 → 6x+3 =10x+12; →
x=xp =(-9/4)=-2,25 – potvrđen dokaz.

Isti zadatak je urađen u dokumentu:
presek-poznate-i-e2809cnepoznate-pravee2809d-e28093-prave-na-parabolama2

Proces dokazivanja je duži nego sam zadatak; duži je proces jer se dokaz izvodi po ustaljenom postupku računanja  preseka prave i krive…

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
Autor metode:
dip. maš. inž. Mladen Popović

Šema za pisanje jednačine prave na polinomu n-tog stepena

19 недеља јун 2016

Posted by in Matematika, Metod pisanja jednačine prave na krivama, Oblici koeficijenata jednačine prave na krivama

≈ Поставите коментар

       Šema za pisanje jednačine prave na polinomu n stepena
Šema pisanja koeficijenata jednačine prave na polinomu, stepena n, pomoću rastavljenog oblika razlika kvadrata apscisa tačaka, razlika kubova…

Metod rada – koeficijenti prave.
                                          Uvodna objašnjenja
Binom razlike dveju apscisa, stepena n, pišemo u rastavljenom obliku:
Bazni izraz je množilac rastavljenog oblika- rastavljenog izraza razlika apscisa n stepena, tj. razlike dva monoma n stepena. U svim slučajevima (x2 –x1) je množenik..

Šema br.1- binomi razlika apscisa:
x12 – x11 = (x2 – x1 )(1);
x22 – x21 = (x2 – x1 )( x1+x2) – razlika apcisa i bazni izraz polinoma F2(x) drugog stepena;
x32 – x31 = (x2 – x1 )( x12+x1x2+x22 ) – razlika apcisa i bazni izraz polinoma F3(x);
x42 – x41 = (x2 – x1 )[ x13+x1x2(x1+ x2 ) +x23 ] – razlika apcisa i bazni izraz polinoma F4(x);
x52 – x51 = (x2 – x1 )[ x14+x1x2(x12 +x1x2+x22)+x24 ] –  razlika apcisa i bazni izraz polinoma F5(x) ;
.
.
xn2 – xn1 = (x2 – x1 )[ x1n-1 +……………………  +x2n-1] :razlika apcisa  bazni izraz polinoma n-tog stepena Fn(x) .
Jednačina prave fn12(x) je jednačina prave na polinomu Fn(x): fn12(x) =kn12x +mn12.

Koeficijent pravca prave:
-Množenjem baznih izraza iz tabele odgovarajućim koeficijentima a0, a1, a2, a3, a4, a5, . . . . , an-1 i njihovim sabiranjem dobija se formula za koeficijent pravca kn jednačine
prave fn(x).
Primer: a0(1);  a1(1)+a0(x1+x2);  a2(1)+a1(x1+x2)+a0(x12+x1x2+x22)…

Slobodni član prave:
Iz jenačine prave f12(x)=k12x+n12 , na krivoj F(x), slobodan član je:
n12= f12(x1)-k12x1= F(x1)-k12x1 .
Primer:
-za parabolu:
n12= F(x1)-k12x1= a0x12+a1x1+a2-[ a0(x1+x2)+a1(1)]x1 =a2–x1x2a0;
 -za kubnu:
n12= F(x1)-k12x1= a0x13+a1x12+a2x1+a3-[a0(x12+x1x2+x22)+a1(x1+x2)+a2(1)]x1=
a3–x1x2[a0(x1+x2)+a1(1)].

Dakle, slobodan član n se dobija kao razlika a2 ili a3 ili a4, a5  . . .
i poizvoda x1x2kn-1; kn-1 je za jedinicu nižeg stepena od polinoma  Fn(x) :
nn= an–x1x2kn-1.

Šema pisanja koeficijenata prave i jednačine prave na polinomu četvrtog i petog stepena

Drugi stepen:
F2(x)=a0x3+a1x+a2;
f2(x)= k2 x+n2 – jednačina prave na polinomu F2(x):
k2 =a0 (x1+x2)+a1(1) – koeficijent pravca prave,
n2 =a2–x1x2k1=a2–x1x2a0  – slobodni član prave:
k1=a0 – koeficijent pravca prave na polinomu F1(x)=f(x) = a0x +a1.
Konačno, f2(x)=[a0(x1+x2)+a1]x+a2–a0x1x2.

Treći stepen:
F3(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3;
f3(x)= k3 x+n3 – jednačina prave na polinomu F3(x):
k3 = a0 [x12 +x1x2+x22]+a1(x1+x2)+a2 (1) – koeficijent pravca prave,
n3 = a3–x1x2k2 – slobodni član prave:
k2  – koeficijent pravca prave na polinomu F2(x) = a0x2 +a1x +a2.
Konačno, f3(x)=[a0(x12 +x1x2+x22)+a1(x1+x2)+a2]x+a3-x1x2[a0(x1+x2)+a1].

Čevrti stepen:
F4(x) = a0x4 +a1x3 +a2x2 + a3x + a4;
f4(x). = k4x +n4 – jednačina prave na polinomu F4(X):

k4 = a0[x13+x1x2(x1+ x2 ) +x23 ]+a1[x12 +x1x2+x22 ]+a2(x1+x2 )+ a3(1)
– koeficijent pravca prave,
n4 = a4 – x1x2 k3 – slobodni član prave:
k3 – koeficijent pravca prave na polinomu F3(x) = a0x3 +a1x2 +a2x + a3.

Peti stepen:
F5(x) = a0x5 +a1x4 +a2x3 + a3x2 + a4x + a5;
f5(x). = k5x +n5 – jednačina prave na polinomu F5(X):

k5 = a0[x14+x1x2(x12 +x1x2+x22)+x24]+a1[x13+x1x2(x1+x2 )+x23 ]+a2[x12 +x1x2+x22 ]+a3(x1+x2 )+ a4 (1)– koeficijent pravca prave;
n5 = a5 – x1x2 k4 – slobodni član prave,
k4  – koeficijent pravca prave na polinomu F4(X)= a0x4 +a1x3 +a2x2 + a3x + a4 .

Šema pisanja jednačine prave na polinomu n-tog stepena.bmp

N. stepen:
 Fn(x) = a0xn +a1xn-1 +a2xn-2 +……..+an;
fn(x). = knx +nn– jednačina prave na polinomu Fn(x) :
 kn = a0[x1n-1 +….+x2n-1]+a1[x1n-2 +…..+x2n-2]+a2[x1n-3 +…..+x2n-3]+….+an-2(x1+x2 )+an-1 (1)– koeficijent pravca prave na polinomu n. stepena;
 nn = an – x1x2 kn-1 – slobodni član prave na polinomu n. stepena.

Dakle, za pisanje koeficijenta pravca prave koristi se odgovarajući bazni izraz-množitelj rastavljenog oblika razlika apscisa stepena n. Objašnjene šeme za pisanje formula nije potrebno; boja baznih izraza omogućuje čitaocu da lako uoči mesto gde se oni nalaze  u formuli koeficijenta pravca prave.
Primer primene šeme za pisanje jednačine prave na polinomu četvrtog i petog stepena videti u zadatku:

c5a1ema-za-pisanja-jedn-prave-na-polinomu-c48detvrtog-i-petog-stepena

U tabeli br. 1 algebarske izraze: x1 + x2;   x12+ x1 x2 +x22;   x13+x1x2 (x1+x2 )+x23…. nazivam baznim izrazima jer sadrže samo apscise tačaka.

Neograničen je broj obrazaca u kojima se ovi izrazi pojavljuju: jednačina prave,
jednačina prave i tengente na krivim linijama, formule površine trougla između pravih i između pravih i krivih linija, određeni integral na polinomu…

Inače, ako ne želite da koristite šablon za pisanje jednačine prave, postoje i drugi načini izvođenja jednačine prave i tangete na krivim linijama:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/12/limes-koeficijenata-prave-i-l-hospital-bernoulli/  , a delimično i u https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2015/06/11/matematika/  i još negde…

Autor metode i formula:
maš. inž. Mladen Popović

 

Matematika

11 четвртак јун 2015

Posted by in Matematika, Metod pisanja jednačine prave na krivama

≈ Поставите коментар

                                               MATEMATIKA             NOVA TEOREMA I METOD PISANJA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG REDA Nova teorema i metod rada omogućavaju jednostavniji postupak od klasičnog u postupku pisanja jednačine prave,tangente… Kao rezultat primene novоg metoda imamo i nove  formule za površinu trougla( mnogougla), zatim površine na krivama polinoma, nove formule prostornih krivih i formule  mnogi drugih matematičkih veličina; Primena računara, prikaz i izradu matematičkih zadataka, omogućava  izradu komplikovanih i dugih zadataka za kraće vreme. Istovremeno, primenom računara i jednačina novog  matematikog metoda, dodatno se ubrzava proces rešavanja matematičkih zadataka. Novi metod nudi novi oblik koeficijenata jednačine prave, a time  više formula i više novih pojmova iz matematike. Oblik koeficijenata jednačine prave daje nam mogućnost oblikovanja novih formula i oblikovanje novih pojmova. Primer: https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/12/limes-koeficijenata-prave-i-l-hospital-bernoulli/  i prelaz koeficijenata prave u koeficijente jednačine tangente:https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/02/limes-koeficijenata-prave-prelaz-prave-u-tangentu/ ; https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/04/26/razlika-jednacina-dveju-pravih-povrsina-trougla/ ; https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2017/09/09/grupa-formula-za-povrsinu-trougla-na-paraboli-koef-prave/ ; – primer dve bazne formule površine trougla, trougla između tri proizvoljne prave:  , Rešavanje matematičkih problema je olakšano, lakše se rešavaju dugi zadaci i,uglavnom, rad se svodi na posmatranje novih oblika matematičkih formula, svodi se na nalaženje i prepoznavanje istovetnih izraza na različitim formulama, a potom sledi njihova prosta zamena. Današnji i budući računari,verovatno, imaće strukturu i programe, zaduženje i zadatk da udruže i povežu matematiku, logiku  osnovnim psihološkim elemente koje koristi čovek; oduvek  se gajila pretpostavka o modelu, sastavljenog od osnovnih psiholoških elemenata(opažanje, prepoznavanje, zapamćivanje..), simbola, logike- matematičke logike i složenih matematičkih problema. Potrebno je odlučiti se po kom principu se ovo udruživanje i vezivanje može izvršiti. Imam osećaj da bi se moglo naći rešenje: Smatram da bi formiranje jednačina pravih na ogromnom broju poznatih vrsta krivih linija bila osnova na kojoj matematika može da da ono što se od nje u budućnosti očekuje: da od matematičke logike stvori operativniju logiku, veštačku sposobnost-inteligenciju i da se veštačka inteligencija prvo isproba na matematici radi rešavanja matematičkih zadataka. U jednačini prave imamo  keficijente, u njima koeficijente jednačine krive linije… bazni izrazi… dakle imamo situaciju povezivanje simbola, pojmova-preduslov za tok i oblikovanje veštačkog mišljenja. Napisati jednačinu prave nije nova stvar. Međutim, koristiti koeficijente prave pri rešavanju zadataka iz analitčke trigonometrije jeste specifičnost metode. Kako se rešavaju zadaci pomoću koeficijenata jednačine prave? -Najpre treba doći do jednačina prave na nekoj krivoj ili van nje i urediti ih tabelarno, zatim pomoću jednačine prave tražiti rešenje zadatka. Naravno, nije uvek potrebno imati krivu liniju, dovoljno je da postoje dve neparalelne prave u ravni xOy. Izradom zadataka metodom koeficijenata jednačine prave omogućeno je: –lako određivanje veze između matematičkih funkcija; – lako i očigledno utvrđivanje i definisanje veze između koeficijenata sličnih ili različitih funkcija. Veze između koeficijenata mogu biti: a) potpune veze koeficijenata, bez prisustva apscisa x1 , x2 , x3; b) delimične veze koefiijenata preko jedne ili dve apscise. Naravno, u celom poslu imamo odsudstvo ordinata y1 , y2 , y3 … U toku samog rada zadatka procenjuje se korist, pogodnost povremene primene koeficijenata jednačine prave- da li će zadatak biti duži ili kraći? i ,svakako, moramo imati iskustva u radu na ordinatama i apscisama. Odnosi i oblici koeficijenata funkcija nižeg i višeg reda u zajedničkim presečnim tačkama: -Oblik koeficijenata funkcije nižeg reda određuju koeficienti funkcije višeg reda i zajedničke apscise: a0 , a1 , a2 …; x1 , x2 … Recimo, u koeficijentia funkcije nižeg reda: f1(x) = kx + n , F2(x) = a0x2 +a1x + a2 , F3(x) = b0x3 + b1x2 + b2x + b3  … imamo konstantne koeficijente funkcije višeg reda: a) na paraboli F2(x) = a0x2 +a1x + a2  jednačina prave  ima oblik: f1(x) = [a0(x1 + x2) + a1]x + a2  – a0x1x2  = kx +n; b) na kubnoj F3(x) = b0x3 + b1x2 + b2x + b3  jednačina prave ima oblik: f3(x) = [b0(x12 +x1x2+x22)+b1(x1+x2 )+ b2]x + b3 – x1x2[b0(x1 + x2) + b1]. Koeficijenti jednačine prave zavise od krive na kojoj se nalaze; -kod polinoma koeficijent pravca prave gradi se na algebarskom izrazu razlike dva monoma  n stepena, tačnije koristi  drugi prosti čonioc proizvoda  razlika apscisa n-tog stepena. Primer: x12 -x22=(x1 – x2)(x1 + x2);    x1 3 – x2 3=(x1 – x2)(x12 +x1x2+x22)… Slobodan član jednačine prave, njen osdečak na y osi, sastoji se od x1x2( k12,(n-1) ): proizvoda apcisa i koeficijenta pravca prave polinoma nižeg stepena za 1. Primer: n12  = an  – x1x2 ( k12,(n-1) ). Način pisanje jednačine prave na krivama polinoma dat je šematski u Tabela br.1: -Binomi razlika apscisa tačaka n-tog stepena. Razlike apscisa tačaka n-tog stepena date su u šemi za pisanje jednačine prave: https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/ Označavanje elemenata jednačine prave: 1. Klasičan način pisanja jednačine prave je:  y=kx+n , a jednačina prave kroz dve tačke:    ……………. (1), dok je polazni oblik klasične jednačine prave kroz dve tačke namenjen metodu koeficijenata prave:  . 2.Klasičan način pisanja jednačine prave kroz dve tačke na krivoj je:   ….. (2), a polazni oblik jednačine na krivoj, namenjen metodu koeficijenata prave, je: , f(x)  prava na krivoj F(x) sa realnim, ili kompleksnim, tačkama preseka; F(x2) i F(x1) – vrednosti  krive u tačkama krive apcisa x2 i x1 . istovremeno, F(x2) i F(x1), kad zatreba, smatramo funkcije tekuće koordinate x2 ili x1 , fa(x) prava na krivoj Fa(x),  fb(x) prava na krivoj Fb(x)… Primer osnovnog načina izvođenja drugog oblika jednačine prave -jednačina na paraboli: fa(x)=kax+na— jednačina prave: k(x2-x1)= Fa(x2)-Fa(x1), n(x2-x1)= x2 Fa(x1)-x1 Fa(x2). Fa(x)=a0x2+a0x+a2 – jednačina  parabole: Fa(x2)= =a0(x2)2+a1(x2)+a2 ,  Fa(x1) =a0(x1)2+a1(x1)+a2 , Fa(x2)- Fa(x1) =a0(x2)2+a1(x2)+a2 –[ a0(x1)2+a1(x1)+a2 ]= (x2-x1)[a0 (x1+x2)+a1]. fa(x)=kax+na: ka(x2-x1)= Fa(x2)-Fa(x1)= (x2-x1)[a0 (x1+x2)+a1]. Posle skraćivanja (x2-x1) koeficijent pravca prave je: ka= [a0 (x1+x2)+a1]. n(x2-x1)=x2 Fa(x1)-x1 Fa(x2)=x2[a0(x1)2+a1(x1)+a2 ]-x1[a0(x2)2+a1(x1)+a2]= x2a0(x1)2-x1a0(x2)2+ a1(x1)x2– a1(x2)x1+a2(x2-x1)= (x2-x1) [a2-a0x1x2]. Opet isto, posle skraćivanja (x2-x1) koeficijent na prave je: na=[a2-a0x1x2]. Konačno, prava fa(x) je: fa(x)= [a0 (x1+x2)+a1]x+a2-a0x1x2. Karakteristike jednačine: – u jednačini nemamo y2 i y1 , nemamo vrednosti tačaka krive-ordinate na y osi i nemamo fazu određivanja njihovih vrednosti, očigledno postoje brojne vrednosti apscisa x2 i x1 x ose; – u jednačini se prepoznaju dva bazna izraza: x1+x2,  x1x2 , prvi simboli koji ukazuje da se radi o jenačini prave na paraboli…tj. prava koja sadrži oba bazna izraza može da pripada paraboli; oba bazna izraza sa koeficijentima a0, a1 i a2-, vezana matematičkim operantima u formu a0 (x1+x2)+a1 , a2-a0x1x2 , definišu pojam prave na paraboli. Pogledajmo  urađen zadatak vezan za temu oblika jednačine prave na krivoj: TEOREMA PISANJA JEDNAČINE PRAVE NA KRIVAMA VIŠEG REDA Pisanje jednačine prave na krivama.bmp Karakteristike metoda je: – Primena metoda u mastavi marematike na svim nivoima obrazovanja: –  formiranje i oblikovanje koeficijenata jedačine prave paralelno omogućava ponavljanje poznatog gradiva iz algebre. Skoro uvek nas podsećaju da je  prava određena dvema tačkama, tačkama preseka prave i krive, a da su tačke na krivoj definisane svojim apscisama. -U koeficijentima prave apscise  se grupišu u bazne izraze, osnova za prepoznavanje mnogih formula iz matematike: prepoznajemo vrstu krive prema formuli za površinu trougla na njoj, po obliku koeficijenata prave i tangente prepoznajemo vrtu krive kojoj prava pripada… Kriva može biti bilo koja- najednostavnije je vežbavati na polinomima. Kroz ovaj rad zapamćivanje gradiva je vrlo efikasno. – Koeficijenti jednačine prave su prosti izrazi, ne mogu se više rastavljati. Koeficijenate iz tabele br.1-bazne izraze,  možemo naći i u matematičkim uđbencima osmogodišnjeg i srednjoškolskog obrazovanja. – Određivanja ordinata  y1 , y2 , y3 tačaka je izostavljeno i zaobilazi se u toku izrade zadatka. Ordinate sve više dobijaju ulogu rešenja zadatka, a ne parametra u zadatku. – Polazne veličine pri rešavanju svakog zadatka iz analitike su: apscise tačke,  prava i kriva, bazne funkcije, apscise presečnih tačaka pravih i konstantni koeficijenti polinoma. – Bazni izrazi, (x1 + x2), (x12 +x1x2+x22), [x13 +x1x2(x1 + x2)+x23]…,  zovem ih tako, mogu biti osnova programa u račumaru za veštačku inteligenciju: -svaki bazni izraz je jedan simbol: ima oblik , ima svoje značenje,  i neposredno može da definiše jedan pojam; -pojmovi su osnovni elementi u procesu mišljenja: prepoznajemo ih, znamo odakle potiču, gde se pojavljuju, znamo čemu služe i šta tačno znače u  matematikom izrazu; – pomoću velikog broja baznih izraza, kao simbola u definisanju poznatih starih pojmova možemo stvoriti novi pojam i td. -Procesi izračunavalja, izvršavanja zadataka u računaru mogu da teku paralelno: jedan tok je izračunavalje vrednosti baznih izraza, a drugi tok je izračunavanje-povezivanje baznih izraza konstantnim koeficijentima-opštim brojevima, karakteristini za svaku matematičku funkciju, i nakon toga  izvršavanje osnovnih komandi sabiranja, množenja… Naravno mogu se koristiti i gotove vrednosti u bazi-mapi podataka memorije računara. Današnji i budući računari su mesto gde se mogu smestiti  milijarde simbola i pojmova, računar ih povezuje, oblikuje u nove matematičke pomove i zaključke…što sve podseća na početak mišljenja. Princip izvršavanja komandi i operacija može dobiti sasvim novi pristup i novo tumačenje odgovora po prijemu spoljnih informacija. Matematika, danas, ima veliki broj matematičkih oblasti, zadivljujući broj matematičkih modela sa dobro definisanim pojmovima. Matematika se primenjuje, i ima svoje modele, u svim prirodnim i društvenim naukama. Ono što će trebati matematici budućnosti su matematički modeli, algoritmi…za povezivanje  modela iz različitih naučnih oblasti; algoritmi sposobni da u drugim oblastima nađu(prepoznaju) pojmove, matematički izražene  preko  simbola- baznih izraza. Dobro uvežbanom matematičaru matematički tok rešavanja zadatka postaje slikovitija, lakši  i razumljiviji; korisnik metoda lako uočava smer rešavanja zadatka, dolazi do novih formula i novih saznanja u matematici. Metod koeficienata jednačine je moja mala spoljašnja logička alatka. Svako će se uveriti da je da je logička alatka njegova lična tvorevina i odgovara njegovom znanju i iskustvu. Kako zavoleti matematiku? -Metoda koeficijenata je na dohvatu. Autor metode i formula: maš.inž.Mladen Popović mladenpopo@open.telekom.rs