Limes koeficijenata prave i L Hospital-Bernoulli

Limes koeficijenata prave i L^| Hospital-Bernoulli
Limes koeficijenata prave na krivoj i njen prelazak u tangentu- primena
L^| Hospital-BernouIlijevog pravila izvoda za neodređeni oblik izraza 0/0

Metod rada – koeficijenti prave.
-Zahvaljujući obliku brojioca i imenioca koeficijenata jednačine prave moguće im je, i ima smisla, pravilom L^| Hospital-BernouIlija naći izvode.

Ovom temom pokazujem da se koeficijenti tangente dobijaju limesom koeficijenata prave na krivoj:
– jednačina krive F(x) ;
– jednačina prave f(x)=kx +n i koeficijenti prave :

Nakon provere limesa za k i n, uz uslov da x₂ → x₁ , uočićemo sledeće limese:

Jasno je da se na izraze koeficijenata prave [ψ(x₂)/ ϕ(x₂)] i [ ω(x₂)/ ϕ(x₂)],   u postupku određivanja limasa, može uvek primeniti L^|Hospital-Bernoullijevo pravilo izvoda:

Zadatak
Data je logaritamska kriva F(x)=ln(x).
Odrediti jednačinu tangente na krivoj primenjujući L^|Hospital-Bernoullijevo pravilo na koeficijente jednačine prave f(x).

Izrada:
– jednačina krive F(x)=ln(x);
– jednačna prave:

– jednačina tangente f_T(x)=k_T x +n_T:

Jednačina tangente:

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
Autor ivođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Limes koeficijenata prave-Prelaz prave u tangentu

         Limes koeficijenata prave-Prelaz prave u tangentu
Limes koeficijenata jednačine prave su koeficijenti jednačine druge prave, tj. prelaz jednačine prave, prava na krivoj, u jednačinu druge prave pri prelasku  apscise jedne presečne tačke u  apscisu druge

Metod rada-koeficijenti prave.

    Pojam limesa koeficijenata prave

Limes koeficijenata jednačine prave daje koeficijente jednačine druge prave na istoj krivoj.
Da bi dobili koeficijente druge prave limesom koeficijenata prve moramo u imeniocu koeficijenata prve prave ukloniti razliku apscisa (x₂ – x₁),
jer je (x₁ – x₁)=0.

Treba prihvatiti da limes koeficijenata jednačine prave utiče na jednačinu i položaj nove prave ; k i n su k(x₂) i n(x₂), tj.   funkcije su promenljive x₂. Tangenta je samo jedan od položaja prave f(x). Predmet razmatranja nije određivanje vrednosti jednačine prave f(x₁)=kx₁+n, ni vrednosti f(x₂)=kx₂+n:

Primeri primene jednačine prave za izvođenje jednačine tangente na krivoj    

Prava i tangeta na paraboli:
F_a(x)=a₀x²+a₀x+a₂ – jednačina  parabole;
f(x)=kx+n=[a₀ (x₁+x₂)+a₁]x+a₂-a₀x₁x₂ –prava na paraboli;
– apscise  x₁ i x₂ presečnih tačaka prave i parabole i koeficijenti prave:
k= a₀ (x₁+x₂)+a₁ , n= a₂-a₀x₁x₂.
-Apscisa x₂ je “parcijalna”tekuća koordinata koeficijenata prave, a promenljiva x  prave  f(x)  miruje.

Jednačina tangente: 


[a₀ (x₁+x₁)+a₁]x+a₂-a₀x₁x₁= (2a₀ x₁+a₁)x+a₂-a₀x₁² – jednačina tangente
na paraboli u tački sa apscisom x₁.

Prava i tangeta na kubnoj:
F_b(x)=b₀x³+b₁x²+b₂x+b₃ – jednačina kubne;
f(x)=[ b₀(x₁²+ x₁x₂+ x₂²)+ b₁(x₁+x₂)+b₂]x+b₃-x₁x₂ [ b₀(x₁+ x₂)+ b₁]–prava na kubnoj.
Jednačina tangente:
-Limesi koeficijenata jednačine prave na kubnoj se prosto dobijaju  zamenom x₂  sa x₁ , dakle isti  postupak daje jednačinu tangente:
f_T(x)=[ b₀(x₁²+ x₁x₁+ x₁²)+ b₁ (x₁+x₁)+b₂]x+b₃-x₁x₁ [b₀(x₁+ x₁)+ b₁]=
(3b₀x₁²+ 2b₁x₁+b₂)x+a₃-x₁² (2b₀x₁+ b₁), dakle
f_T(x)= (3b₀x₁²+ 2b₁x₁+b₂)x+a₃-x₁² (2b₀x₁+ b₁)  je jednačina tangente na kubnoj.

Prava i tangeta na razlomljenoj funkciji:

-jednačina prave f_R(x) na krivoj R(x) je:

– jednačina tangente f_T(x), f_T(x₁) i f_T(x₂), se ivodi iz limesa koeficijenata prave f_R(x):

Jednačina tangete:

-jednačina tangente na razlomljenoj R(x) je:

Prava i tangeta na krugu:

-klasičan Izraz za koeficijent pravca prave na krugu je:
k(x₂-x₁)= F_K(x₂)-F_K(x₁)=

  ………………… (1).

-Potrebno je od klasičnog izraza koeficijenta pravca prave k, datog pod rednim brojem (1),  izvesti novi  izraz za k u kome neće biti (x₂ – x₁):

Tokom izvođenja izrazi sa korenima  dovoljno i tačno je uzeti znak plus ispred oba korena:
za jednačinu prave i tangete znak je bitan, ali za limes koeficijenata nije.
Proširujemo izraz dat pod rednim brojem (1) zbirom korena:

Kao što je proširen izraz za k isto proširimo i izraz za n:
n(x₂-x₁)= x₂ F_K(x₁)-x₁ F_K(x₂)=

Razliku korena  proširujemo zbirom  korena… izvlačimo i skraćujemo razliku (x₂-x₁) i  na kraju sve završava izrazom datim pod rednim brojem (2):


 ……………. (2).

Novi oblici izraza k i n su spremni za limese.

Jednačina tangente

a)– Koeficijent pravca tangente f_T1(x₁):

b)-Koefiijent  n_T1 (x₁) tangente:
– da ne bi stalno pisali lim…, limes koeficijenta n(x₂) prave na krugu  računamo zamenom x₂  sa x₁ , dakle prosta zamena apscisa u izrazu datom pod rednim brojem(2) daće  limese za n, kao što smo dobili i limesa koeficijenta pravca k_T1 (x₂) tangente; na kraju će obrazac za koefiijent  n_T1 (x₁) tangente biti:

– Jednačina tangente f_T1(x) na krugu F_K(x) je:

Napomena za znak ispred korena u jednačini prave i jednačini tangente:
– ako je F_K(x₁)<q<F_K(x₂), ili je F_K(x₂)<q<F_K(x₁), tada ispred odgovarajućih korena treba staviti suprotni znak;
– znak minus se stavlja ispred korena za vrednosti F_K(x)<q.

Zadatak:
Date su apscise x₁= -1  i x₂=2, apcise prve i druge tačke preseka prave  f(x) i kruga F_K(x). Centar kruga je tačka Q(1,-2), a poluprečnik kruga R²=5.
Kroz tačke preseka, apcisa x₁ i x₂ , napisati jednačinu prave f(x) i jednačine tangenti f_T1(x₁) i f_T2(x₂).

Potrebne vrednosti:
p=1, q=-2;   R²– p²=5-1²=4; x₂-p=2-1=1, p-x₁=1-(-1)=2;
bazni izrazi: x₁+x₂=-1+2=1,  x₁x₂=(-1)(2)=-2;

Jednačina prave na krugu:
f_K (x)=kx+n;    F_K (x₁)<q:

Jednačine tangenti na krugu:
a) f_T1(x₂)= k_T1 x+n_T1 ;  F_K (x₁)<q:



b) f_T2(x₂)= k_T2 x+n_T2 ;  F_K (x₂)>q:

-Sa druge slike primećujemo da se mogu napisati još tri prave i njihove tangente; tokom rada samo menjamo znake korena, a apscise i formule ostaju iste.
-Prilagođeni koeficijenti jednačine prave i njihovi limesi se slično nalaze i za  krive: hiperbolu,elipsu…

Srdačan pozdrav i dobro zdravlje.
-Autor izvođenja:
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Šema za pisanje jednačine prave na polinomu n-tog stepena

       Šema za pisanje jednačine prave na polinomu n stepena
Šema pisanja koeficijenata jednačine prave na polinomu, stepena n, pomoću rastavljenog oblika razlika kvadrata apscisa tačaka, razlika kubova…

Metod rada – koeficijenti prave.
                                          Uvodna objašnjenja
Binom razlike dveju apscisa, stepena n, pišemo u rastavljenom obliku:
Bazni izraz je množilac rastavljenog oblika- rastavljenog izraza razlika apscisa n stepena, tj. razlike dva monoma n stepena. U svim slučajevima (x₂ –x₁) je množenik..

Šema br.1- binomi razlika apscisa:
x¹₂ – x¹₁ = (x₂ – x₁ )(1);
x²₂ – x²₁ = (x₂ – x₁ )( x₁+x₂) – razlika apcisa i bazni izraz polinoma F_2(x) drugog stepena;
x³₂ – x³₁ = (x₂ – x₁ )( x₁²+x₁x₂+x₂² ) – razlika apcisa i bazni izraz polinoma F_3(x);
x⁴₂ – x⁴₁ = (x₂ – x₁ )[ x₁³+x₁x₂(x₁+ x₂ ) +x₂³ ] – razlika apcisa i bazni izraz polinoma F_4(x);
x⁵₂ – x⁵₁ = (x₂ – x₁ )[ x₁⁴+x₁x₂(x₁² +x₁x₂+x₂²)+x₂⁴ ] –  razlika apcisa i bazni izraz polinoma F_5(x) ;
.
.
xⁿ₂ – xⁿ₁ = (x₂ – x₁ )[ x₁^n-1 +……………………  +x₂^n-1] :razlika apcisa  bazni izraz polinoma n-tog stepena F_n(x) .
Jednačina prave f_n12(x) je jednačina prave na polinomu F_n(x): f_n12(x) =k_n12x +m_n12.

Koeficijent pravca prave:
-Množenjem baznih izraza iz tabele odgovarajućim koeficijentima a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, . . . . , a_n-1 i njihovim sabiranjem dobija se formula za koeficijent pravca k_n jednačine
prave f_n(x).
Primer: a₀(1);  a₁(1)+a₀(x₁+x₂);  a₂(1)+a₁(x₁+x₂)+a₀(x₁²+x₁x₂+x₂²)…

Slobodni član prave:
Iz jenačine prave f₁₂(x)=k₁₂x+n₁₂ , na krivoj F(x), slobodan član je:
n₁₂= f₁₂(x₁)-k₁₂x₁= F(x₁)-k₁₂x₁ .
Primer:
-za parabolu:
n₁₂= F(x₁)-k₁₂x₁= a₀x₁²+a₁x₁+a₂-[ a₀(x₁+x₂)+a₁(1)]x₁ =a₂–x₁x₂a₀;
 -za kubnu:
n₁₂= F(x₁)-k₁₂x₁= a₀x₁³+a₁x₁²+a₂x₁+a₃-[a₀(x₁²+x₁x₂+x₂²)+a₁(x₁+x₂)+a₂(1)]x₁=
a₃–x₁x₂[a₀(x₁+x₂)+a₁(1)].

Dakle, slobodan član n se dobija kao razlika a₂ ili a₃ ili a₄, a₅  . . .
i poizvoda x₁x₂k_n-1; k_n-1 je za jedinicu nižeg stepena od polinoma  F_n(x) :
n_n= a_n–x₁x₂k_n-1.

Šema pisanja koeficijenata prave i jednačine prave na polinomu četvrtog i petog stepena

Drugi stepen:
F_2(x)=a₀x³+a₁x+a₂;
f_2(x)= k₂ x+n₂ – jednačina prave na polinomu F_2(x):
k₂ =a₀ (x₁+x₂)+a₁(1) – koeficijent pravca prave,
n₂ =a₂–x₁x₂k₁=a₂–x₁x₂a₀  – slobodni član prave:
k₁=a₀ – koeficijent pravca prave na polinomu F1(x)=f(x) = a₀x +a₁.
Konačno, f_2(x)=[a₀(x₁+x₂)+a₁]x+a₂–a₀x₁x₂.

Treći stepen:
F_3(x)=a₀x³+a₁x²+a₂x+a₃;
f_3(x)= k₃ x+n₃ – jednačina prave na polinomu F_3(x):
k₃ = a₀ [x₁² +x₁x₂+x₂²]+a₁(x₁+x₂)+a₂ (1) – koeficijent pravca prave,
n₃ = a₃–x₁x₂k₂ – slobodni član prave:
k₂  – koeficijent pravca prave na polinomu F2(x) = a₀x² +a₁x +a₂.
Konačno, f_3(x)=[a₀(x₁² +x₁x₂+x₂²)+a₁(x₁+x₂)+a₂]x+a₃-x₁x₂[a₀(x₁+x₂)+a₁].

Čevrti stepen:
F_4(x) = a₀x⁴ +a₁x³ +a₂x² + a₃x + a₄;
f_4(x). = k₄x +n₄ – jednačina prave na polinomu F_4(X):

k₄ = a₀[x₁³+x₁x₂(x₁+ x₂ ) +x₂³ ]+a₁[x₁² +x₁x₂+x₂² ]+a₂(x₁+x₂ )+ a₃(1)
– koeficijent pravca prave,
n₄ = a₄ – x₁x₂ k₃ – slobodni član prave:
k₃ – koeficijent pravca prave na polinomu F_3(x) = a₀x³ +a₁x² +a₂x + a₃.

Peti stepen:
F_5(x) = a₀x⁵ +a₁x⁴ +a₂x³ + a₃x² + a₄x + a₅;
f_5(x). = k₅x +n₅ – jednačina prave na polinomu F_5(X):

k₅ = a₀[x₁⁴+x₁x₂(x₁² +x₁x₂+x₂²)+x₂⁴]+a₁[x₁³+x₁x₂(x₁+x₂ )+x₂³ ]+a₂[x₁² +x₁x₂+x₂² ]+a₃(x₁+x₂ )+ a₄ (1)– koeficijent pravca prave;
n₅ = a₅ – x₁x₂ k₄ – slobodni član prave,
k₄  – koeficijent pravca prave na polinomu F_4(X)= a₀x⁴ +a₁x³ +a₂x² + a₃x + a₄ .

N. stepen:
F_n(x) = a₀xⁿ +a₁x^n-1 +a₂x^n-2 +……..+a_n;
f_n(x). = k_nx +n_n– jednačina prave na polinomu Fn(x) :
k_n = a₀[x₁^n-1 +….+x₂^n-1]+a₁[x₁^n-2 +…..+x₂^n-2]+a₂[x₁^n-3 +…..+x₂^n-3]+….+a_n-2(x₁+x₂ )+a_n-1 (1)– koeficijent pravca prave na polinomu n. stepena;
n_n = a_n – x₁x₂ k_n-1 – slobodni član prave na polinomu n. stepena.

Dakle, za pisanje koeficijenta pravca prave koristi se odgovarajući bazni izraz-množitelj rastavljenog oblika razlika apscisa stepena n. Objašnjene šeme za pisanje formula nije potrebno; boja baznih izraza omogućuje čitaocu da lako uoči mesto gde se oni nalaze  u formuli koeficijenta pravca prave.
Primer primene šeme za pisanje jednačine prave na polinomu četvrtog i petog stepena videti u zadatku:

c5a1ema-za-pisanja-jedn-prave-na-polinomu-c48detvrtog-i-petog-stepena

U tabeli br. 1 algebarske izraze: x₁ + x₂;   x₁²+ x₁ x₂ +x₂²;   x₁³+x₁x₂ (x₁+x₂ )+x₂³…. nazivam baznim izrazima jer sadrže samo apscise tačaka.

Neograničen je broj obrazaca u kojima se ovi izrazi pojavljuju: jednačina prave,
jednačina prave i tengente na krivim linijama, formule površine trougla između pravih i između pravih i krivih linija, određeni integral na polinomu…

Inače, ako ne želite da koristite šablon za pisanje jednačine prave, postoje i drugi načini izvođenja jednačine prave i tangete na krivim linijama:
https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/08/12/limes-koeficijenata-prave-i-l-hospital-bernoulli/  , a delimično i u https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2015/06/11/matematika/  i još negde…

Autor metode i formula:
maš. inž. Mladen Popović