Šema za pisanje jednačine prave na polinomu n-tog stepena

Šema za pisanje jednačine prave na polinomu n-tog stepena
Šema pisanja koeficijenata jednačine prave na polinomu n-tog stepena pomoću razlika kvadrata x²₂ – x²₁ apscisa tačaka, razlika kubova, razlike četvrtih stepena…n-tih stepena

Metod rada – koeficijenti prave
Bazni izrazi – binomne razlike

Šema br.1- binomi razlika apscisa:
x¹₂ – x¹₁ = (x₂ – x₁ )(1);
x²₂ – x²₁ = (x₂ – x₁ )( x₁+x₂) – bazni izraz polinoma F_2(x) drugog stepena;
x³₂ – x³₁ = (x₂ – x₁ )( x₁² +x₁x₂+x₂² ) – bazni izraz polinoma F_3(x);
x⁴₂ – x⁴₁ = (x₂ – x₁ )[ x₁³+x₁x₂(x₁+ x₂ ) +x₂³ ] – bazni izraz polinoma F_4(x);
x⁵₂ – x⁵₁ = (x₂ – x₁ )[ x₁⁴+x₁x₂(x₁² +x₁x₂+x₂²)+x₂⁴ ] – bazni izraz polinoma F_5(x) ;
.
.
xⁿ₂ – xⁿ₁ = (x₂ – x₁ )[ x₁^n-1 +……………………  +x₂^n-1] – bazni izraz polinoma n-tog stepena F_n(x) .
-Jednačina prave f_n(x) je prava polinoma F_n(x):
f_n(x) =kx +n.

-Množenjem baznih izraza iz tabele koeficijentima a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, . . . . , a_n-1 i njihovim sabiranjem dobija se formula za koeficijent pravca k_n jednačine
prave f_n(x).

-Slobodni član n se dobija kao razlika jenog od koeficijenata a₂, a₃, a₄, a₅  . . .
i poizvoda x₁, x₂ i  k_n-1  za jedinicu nižeg stepena polinoma  F_n(x) :
n_n= a_n – x₁x₂k_n-1.

Šema pisanja koeficijenata prave na polinomu četvrtog, petog i n-tog stepena

Čevrti stepen:
F_4(x) = a₀x⁴ +a₁x³ +a₂x² + a₃x + a₄;
f_4(x). = k₄x +n₄ – jednačina prave na polinomu F_{4(x) ;}

k₄ = a₀[x₁³+x₁x₂(x₁+ x₂ ) +x₂³ ]+a₁[x₁² +x₁x₂+x₂² ]+a₂(x₁+x₂ )+ a₃(1)
– koeficijent pravca prave;
n₄ = a₄ – x₁x₂ k₃ – slobodni član prave,
k₃ – koeficijent pravca prave na polinomu F_3(x) = a₀x³ +a₁x² +a₂x + a₃.

Peti stepen:
F_5(x) = a₀x⁵ +a₁x⁴ +a₂x³ + a₃x² + a₄x + a₅;
f_5(x). = k₅x +n₅ – jednačina prave na polinomu F_{4(x) ;}

k₅ = a₀[x₁⁴+x₁x₂(x₁² +x₁x₂+x₂²)+x₂⁴]+a₁[x₁³+x₁x₂(x₁+x₂ )+x₂³ ]+a₂[x₁² +x₁x₂+x₂² ]+a₃(x₁+x₂ )+ a₄ (1)– koeficijent pravca prave;
n₅ = a₅ – x₁x₂ k₄ – slobodni član prave,

N-ti stepen: F_n(x) = a₀xⁿ +a₁x^n-1 +a₂x^n-2 +……..+a_n;
f_n(x). = k_nx +n_n– jednačina prave na polinomu F_{n(x) ;}
k_n = a₀[x₁^n-1 +….+x₂^n-1]+a₁[x₁^n-2 +…..+x₂^n-2]+a₂[x₁^n-3 +…..+x₂^n-3]+….+a_n-2(x₁+x₂ )+a_n-1 (1)– koeficijent pravca prave na polinomu n-tog stepena;
n_n = a_n – x₁x₂ k_n-1 – slobodni član prave na polinomu n-tog stepena.

Za pisanje vrednosti koeficijenata prave koriste se bazni izrazi iz binomnih razlika. Objašnjene šeme za pisanje formula nije potrebno; boja baznih izraza pokazuje po kom redu se oni postavljaju u formulu za koeficijent pravca prave.

Primer primene šeme za pisanje jednačine prave na polinomu četvrtog i petog stepena videti u zadatku:
Šema za pisanja jedn.prave na polinomu četvrtog i petog stepena

Algebarske izraze: x₁ + x₂;   x₁²+ x₁ x₂ +x₂²;   x₁³+x₁x₂ (x₁+x₂ )+x₂³…., u tabeli br. 1 nazivam baznim izrazima; neograničen je broj obrazaca u kojima se ovi izrazi pojavljuju: jednačina prave, zatim jednačina prave i tengente na krivim linijama, formule površine trougla između pravih i između pravih i krivih linija, određeni integral na polinomu…

Autor metode i formula:
maš. inž. Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs

Advertisements