Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave

Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave
Rešenje određenog integrala polinoma n. stepena proizvodom razlika apscisa –granica integraljenja, i koeficijenta pravca prave na krivoj polinoma n+1. stepena

Metod rada-koeficijenti jednačine prave.
-Za rešene određenog integrala polinoma uzima se koeficijent pravca jednačine prave na krivoj, prvoj krivoj višeg stepena, tj. na polinomu za stepen viši od polinoma integraljenja-integranda. Koeficijenti prave su dati u tabeli br.1 članka: https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/

                                 Određeni integral prave
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina prave, polinom stepena n=1:  f(x)=a₀x+a₁.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=2:
F_A(x)=A₀x²+A₁x+A₂    ……………………………………….. (1).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_A(x) stepena p=2  su:

– Koeficijent pravca prave f_A(x) na usvojenom polinomu F_A(x):
………. (1.1).

Određeni integral prave f(x) u granicama x₁ i x₂ je:
.

               Određeni integral polinoma drugog stepena- parabola
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=2:  F_a(x)=a₀x²+a₁x+a₂.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=3:
  F_B(x)=B₀x³+B₁x²+B₂x+B₃  ………………………………..  (2).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_B(x) stepena p=3  su:

– Koeficijent pravca prave f_B(x) na polinomu F_B(x):
k_B =B₀ (x₁²+ x₁x₂+x₂²)+B₁(x₁+x₂)+B₂ = …………… (2.1).

Određeni integral parabole F_a(x) u granicama x₁ i x₂ je:

         Određeni integral polinoma trećeg stepena- kubna
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=3:  F_b(x)=b₀x³+ b₁x²+b₂x+b₃.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=4:
F_C(x)=C₀x⁴+ C₁x³+C₂x²+C₃x+C₄  …………………………….. (3).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_C(x) stepena p=4  su:

– Koeficijent pravca prave f_C(x) na polinomu F_C(x):
……..  (3.1)

Određeni integral kubne F_b(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Po istom principu koristimo koeficijent pravca prave na polinomu F(x) stepena
p = n+1 i pišemo rešenje određenog integrala polinoma stepena n.
Bazne izraze (x₁+x₂), (x₁²+ x₁x₂+x₂²), (x₁³+ x₁² x₂ +x₁x₂²+x₂³)… pamtimo još od osmogodišnje škole, kada smo učili rastavljanje na faktore razliku dva monoma istog stepena: binom od dva monoma parnog i neparnog stepena: x₁^2p-x₂^2p, x₁^2p-1-x₂^2p-1.

   Zdatak
Data je apscisa x₁=-(3/2) i x₂=(3/2) – granica integraljenja polinoma

Odrediti određene integrale polinoma.

Potrebne veličine:
a) -Za pravu f(x) =-(5/4) x+3:
a₀=-(5/4)  , a₁=3;
– koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_A(x) stepena p=2:

-usvojen polinom višeg stepena  F_A(x)=A₀x²+A₁x+A₂:
F_A(x)=-(5/8)x²+3x+A₂;
– razlika i zbir apscisa i koeficijent k_A pravca prave f_A(x) na usvojenom polinomu F_A(x):
(x₂– x₁)= (3/2)-(-3/2) =3,    (x₁+ x₂)=-(3/2) + (3/2)=0,
k_A =A₀ (x₁+x₂)+A₁=(-5/8)(0)+3=3,     k_A = 3  …………………………… (1,2).

Integral prave f(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Grafički prikaz:

b) -Za parabolu F_a(x)=(1/2)x²-5x+2:
a₀=(1/2)  , a₁=-5,  a₂=2 ;
 – koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_A(x) stepena p=3:


-usvojen polinom višeg stepena  F_B(x)=B₀x³+B₁x²+B₂x+B₃;
– bazni izrazi i koeficijent k_B pravca prave f_B(x) na usvojenom polinomu F_B(x):

k_B=B₀ (x₁²+ x₁x₂+x₂²)+B₁(x₁+x₂)+B₂=

k_B =(19/8) ……………..  (2,2).

Integral parabole F_a(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Grafički prikaz:

c) -Za kubnu F_b(x)=(1/2) x²-3x+5x-2:
b₀=(1/2) , b₁=-3,  b₂=5,  b₃=-2;
– koeficijenti usvojenog oblika polinoma F_C(x) stepena p=4:

– bazni izrazi i koeficijent k_C pravca prave f_C(x) na usvojenom polinomu F_C(x):
[x₁³+ x₁x₂(x₁+x₂)+x₂³]=[(-3/2)³+(-3/2)(3/2)[-3/2+3/2]+(3/2)³]=0;

k_C=C₀[x₁³+ x₁x₂(x₁+x₂)+x₂³]+C₁(x₁²+ x₁x₂+x₂²)+C₂(x₁+x₂)+C₃=

k_C =(-17/4)   ………………………………  (3,2).
Integral parabole F_a(x) u granicama x₁ i x₂ je:

Grafički prikaz:

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen Popović

Računanje određ. integrala pomoću odsečka prave na y osi

 

Integraljenje hiperbole pomoću koeficijenta pravca prave i odsečka prave na y osi

Interval određenog integrala čine presečne tačke prave i krive.
Kriva je hiperbola, a apscise presečnih tačaka su x₁ i x₂

Metod rada – koeficijenti prave

                                    Određeni integral na hiperbolama

Formula za određeni integral hiperbole sadrži koeficijent pravca
prave k_h,1, odsečak n_h,1 od prave na y osi i razliku x₁ – x₂ donje i gornje granice integraljenja.

Vrednost određenog integrala se dobija množenjem razlike apscisa, koeficijenta pravca prave k_h,1  i odsečaka n_h,1 od prave na y osi.

U zavisnosti od stepena hiperbole, razlike (x₁ – x₂) množimo brojevima opadajućeg niza:
, – , (1/1)(x₁ – x₂), (1/2)(x₁ – x₂), (1/3)(x₁ – x₂), (1/4)(x₁ – x₂), ………. ,(1/n) (x₁ – x₂).

Članove niza množim  koeficijentom pravca k_h,1  i  odsečkom n_h,1 od prave h_1(x)=k_h,1x+n_h,1 na hiperboli H_1(x),
ali na hiperboli dva stepena niže od stepena hiperbole koju integralimo.

Formulu određenog integrala hiperbole H_n(x) i urađeni zadatak videti u dokumentu:
Računanje određ. integrala pomoću odsečka prave na y osi

Autor,
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Nule pravih, koeficijenati i apscise tačaka na hiperbolama

NULE PRAVIH, KOEFICIJENTI I APSCISE TAČAKA NA HIPERBOLAMA
Slobodan član n₁ jednačine prave h₁(x), na hiperboli nižeg stepena, direkno je proporcionalan koeficijentu pravca k₂ prave h₂(x) hiperbole višeg stepena,

Metod rada – koeficijenti prave,

Hiperbole i njene prave:
1. H₁(x) = C₁/x —— hiperbola prvog stepena;
h₁(x) = k₁(x) + n₁ —– prava na hiperboli prvog stepena —- – (1).

2. H₂(x) = C₂/x^2 —— hiperbola drugog stepena;
h₂(x) = k₂(x) + n₂—– prava na hiperboli drugog stepena —- (2).

3. H₃(x) = C₃/x^3 ——hiperbola trećeg stepena;
h₃(x) = k₃(x) + n₃ —– prava na hiperboli trećeg stepena; —— (3).

Odnosi koeficijenata jednačina pravih na susednim hierbolama- hiprerbole susednih stepena:
Koeficijent proporcionalnosti je konstanta K = – x₁x₂ ,
a apscise x₁ , x₂ , x₃  su apscise presečnih tačaka pravih i hiperbola.
1. n₁ = Kk₂ = – x₁x₃ k₂
2. n₂ = K k₃ = – x₁x₃ k₃
3. n₃ = Kk₄ = – x₁x₃ k₄
4. n₄ …
Odnosi nula jednačina pravih:
X₀₁ , X₀₂ , X₀₃ – nule pravih h₁(x) , h₂(x) i h₃(x) ;
X₀₁ = x₁ + x₃,  a proizvod X₀₂X₀₁ i X₀₃X₀₂ videti u dokumentu na zadatku.

Zadatak
Tri prave seku svoje hiperbole u tačkama: A₁, C₁ ;  A₂ , C₂ ;  A₃ , C₃ .
Apscise presečnih tačaka su:
x₁ = x_A1 = x_A2 = x_A3 = – 4 ,
x₃ = x_C1 = x_C2 = x_C3 =.5/2.
Jednačine hiperbola su: H₁(x) =16/x , H₂(x) = 16 / x^2 i H₃(x) = 16/x^3.

Koristeći gornje obasce koeficijenata jednačina pravih i njihovih nula naći:
a) Nule sve tri prave i koeficijente jednačina pravih.
b) Jednačine sve tri prave.

Do kraja urađen zadatak je u dokumentu:
nule-pravih-koeficijenti-i-apscise-tac48daka-na-hiperebolama1

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs

Odnos rastojanja tačaka na grafiku krive i prave linije

 Odnos dužine duži na pravama:
– duž na prvoj pravoj, od nule prave do njene proizvoljne tačke;
– duž na drugoj pravoj, između dve tačaka preseka prave i krive

Da bi dobili  pogodan oblik odnosa rastojanja između tačaka preseka krive i prave
i rastojanja nule druge preve i njene proizvoljne tačke, potrebno je da obe formule rastojanja budu funkija od x

2.http://www.bastabalkana.com/2015/11/rastojanje-dve-tacke-na-krivoj-kao-funkcija-promenljive-x/   ,

Metod rada: koeficijenti prave.

– Rastojanje od nule(Q ) prave f_Q,M (x)(samostalna) do njene proizvoljne tačke M proporcionalno je samoj f_Q,M (x). Faktor proporcionalnosti je konstanta K.
Oblik konstante K  definiše koeficijent pravca k_Q,M

-Za rastojanje d_AB ili d_AC , između prave i krive F(x), važne su x₁ , x₂ preseka prave f_AB(x) i krive F(x) ili x₁, x₃ –apscise tačaka preseka f_AC(X) i krive F(x).

-Za rastojanje od Q do M na pravoj f_Q,M (x) važne su apscise x_Q i x_M=x, naravno da x može biti x_A, x_B ili x_c.

a)-Rastojanje od Q do M na pravoj f_Q,M(x) je:

d_Q,M(x) – funkcija rastojanja duž prave f_QA0,M(x) proizvoljne
tačke M:

b)- Rastojanje između dve tačke d_AC  na krivoj  F_2(x) je:

prava f_AC(X)=k_ACx+n_{AC ,}  dok su x_A  i x_C  apscise preseka prave i krive .

Izvođenje formule za d_AC je obavljeno prema slici:

Pitagorina teorema za pravougli trougao:

Jednačina drugog stepena
Potrebne formule:
1) F(x) =a_ox²+a₁x+a₂      – kvadratna jednačina  ……………………..  (1).
2) f_AC(x)=[a_o(x₁+x₃)+a₁]x+a₂–a_ox₁x₃  …………………………………  (2):
jednačina prave kroz tačku A i C na krivoj F(X).

– Kada je jednačina prave poznata, tada su apscise x₁, x₃ i koeficijent pravca k_AC konstantne veličine.

 Prava koja ne seče parabolu:
f_QM(x) = k_QMx+n_QM –  jednačine prave kroz Q(nulu) i njenu proizvoljnu
tačku M.

U zadatku koji sledi koeficijenti pravca k_AC i k_QM  imaće istu vrednost:
k_AC= k_QM , Q=A₀ , obeležavanja pravih i krive biće druga: parabola F_2(x) , prava na paraboli F_{1(x )}:

D_0(x) –funkcija rastojanja :
D_Q(x) = Kf(x) ————————- (3):
,
 K —- konstanta rastojanja ,

Zadatak br.1
Slika:

Data je kriva F_{2 (x)}=x²+x-2  i na njoj tačka A apscisom x_A = x₁ =5/2 . Prava F_1(x)  seče krivu F_2(x) u tački A.

Napisati jednačine pravih koje prolaze kroz tačku A na krivoj tako da je duž prave od njene nule (tačka A₀) do tačke A jednaka duži od tačke A do tačke C-druge tačke preseka prave i krive , tj. A₀A. = AC.

Kako će rezultat imati dva rešenja, za drugu pravu presečna tačka je tačka D-što se može videti na gornjoj slici.

Rešenje apscisa tačke C i D se dobija iz lednačine:
a_ox² + a₁x -2[ a_o(x₁)² + a₁(x₁)] – a₂ = 0.  …………… (9);
otvori dokument, vidi postupak rešenje zadatka i drugo svojstvo metoda rada:
odnos-rastojanja-tac48daka-na-grafiku-krive-i-prave-linije1-1

Zadatak br.2
Data je prava f(x)=-x-3, parabola F_a(x)=x²-2x-1 i apscise preseka prave f_AB(x) i parabole: x_A=x₁=-1, x_B=x₂=1.

Odrediti apscisu tačke M na pravoj f(x) , tako da duž O₁M na pravoj bude 2/3 duži AB na paraboli.
SLIKA:

Dužine duži:

Odnos duži:

Izrada:

Vrednosti analitičkih veličina:
(x₂-x₁)=(-1-1=-2;
k₁₂=a₀(x₁ +x₂)+a₁ =1(-1+1)-2=-2,  k₁₂²+1=(-2)²+1=5;  k²+1=(-1)²+1=2.

Odnosi:

Autor metoda :
maš.inž.Mladen Popović

Odnosi površina trouglova na parabolama

Jednakost površina trouglova na različitim parabolama
Poređenje površine trouglova na parabolama

Odnos površina trouglova na graficima parabola zavise od količnika koeficijenata kvadratnih članova parabola i količnika odgovarajućih razlika apscisa temena trouglova.

Poređenje površina na parabolama
Da bi sagledali odnos između dve površine na parabolama odredićemo
∆ ABC na paraboli F_a (x) i ∆DEF na paraboli F_b (x).

-Dole su dve slike-  trouglovi na graficima parabola i dva urađena zadatka:
dve parabole,  površine P_ABC, , P_DEF i apscise njihovih temena.     

Odnosi površina
Mogu postojati dve situacije:
-površine istih vrednosti;
–površine različitih brojnih vrednosti.

Dva trougla, na dvema različitim parabolama, imaju iste površine ako je odnos koeficijenata a₀  i b₀ kvadratnih članova parabola jednak količniku proizvoda razlika apscisa temena trouglova, tj. : (x₃–x₁)(x₁–x₂)(x₂–x₃) i (x₆–x₄)(x₄–x₅)(x₅–x₆).

U zadatku br. 22 traži se jednakost ∆ABC i  ∆GHK ,
tj. :  P_ABC.=P_GHK.
U zadatku br. 21 razmatra se odnos dve površine razlićitih brojnih vrednosti,

22. zadatak:
-Na F_a (x)= x² -5x-2 date su apscise temena ∆ ABC:
x₁=x_A=-1,  x₂=x_B=(1/2),  x₃=x_C=(25/4).

– Na F_{b (x)} =x²-4x+3  date su apscise temena ∆ GHK:
x₇ =x_G = 1, x₈ = x_H =4 .

Postavititi jednakost površine ∆ ABC i ∆ GHK na krivama F_a (x) i F_b (x), odrediti
položaj ∆ GHK i računom proveriti jednakost površine ∆ GHK i ∆ ABC.

  Potrebne formule:
Q_a(x₃₎ = x²₃ -(x₁+x₂)x₃+x₁x₂ = –(x₁-x₃)(x₃-x₂) – vrednost bazne funkcija površine
∆ ABC;

Q_b(x₎ =x²-(x₇+x₈)x+x₇x₈=-(x₇ -x)(x-x₈) – bazna funkcija površine ∆ GHK apscisa:
x₇ = x_G = 1, x₈ = x_H =4  apscise ∆ GHK.

Polazne veličine:
F _{a (x)} = x²-5x-2,   F_{b (x)} =x² -4x+3;

x₇=1,  x₈ =4,
x₇ + x₈ = 5,    x₇ x₈ = 4;  (x₇-x₈) = 1-4 = – 3.

Izrada:
a) Q_a(x₃₎=-(x₁-x₃)(x₃-x₂)=
,
izračunata bazna funkcija površine
 ∆ ABC;
Q_a(x₎=x²-(x₇+x₈)x+x₇x₈=x²-(5)x+4 – izračunata bazna funkcija površine ∆ GHK;

Uslov jednakosti površina:

-primena zadnje jednakosti:
  :
x² -5x + 4=→  16x² – 5(16)x + 4(16) – 667= 0.

-Nastavak zadatka videti na:
22-zadatak-e28093-jednakost-povrc5a1-trouglova-na-dvema-parabolama2-1
Položaj traženih trouglova:

Primer dva trougla različitih površina videti na:
TRENUTNO JE ISPRAVAK ZADATKA

Autor:
maš. inž. Mladen Popović

Razlika jednačina krive i prave linije – površina trougla

Površina trougla ABC  je proizvod razlike jednačine krive, jednačine prave i  razlike apscise x_A i x_C temena stranice AC.

Visina trougla stoji normalno na svojoj osnovnoj stranici, a proizvod visine i stranice daje površinu trougla; ovde  razlika ordinate tačke B na krivoj i ordinate tačke B₁ na pravoj ne stoji normalno na pravac osnovne stranice AC.

       Jednačina krive drugog stepena

Potrebne formule:
1) F(x) =a_ox²+a₁x+a₂   – kvadratna jednačina  ………. (1).
2) f₁₃(x)=[a_o(x₁+x₃)+a₁]x +a₂-a_ox₁x₃  ………… (2);

f₁₃(x) –  jednačina prave kroz  A(x₁, y₁)=A(x_A, y_A) i C(x₃, y₃)=C(x_C, y_C)
na  krivoj F(x).

3) 2P_∆ABC =(x₃-x₁)[f₃₁(x)-f₁₂(x)];
f₃₁ (x)- jednačina stranice CA, f₁₂ (x)- jednačina stranice AB.

Stavljam da je x₂=x i da je f₁₂(x)=F(x), pa je
P_ABC(X)=-(1/2)(x₃–x₁)[(f₃₁(x)-F(x)] funkcija površine trougla ….. (3);
(1/2)( x₃ – x₁) = N ———————- konstanta.

Zadatak
Zadate su veličine: F(x)= x² -5x -2 – parabola ,
x_A = x₁ = -1 – apscisa temena A i  x_C=x₃ = – apscisa temena C .
x_A = x₁  i x_C=x₃  definiše stranicu(osnovicu) AC ∆ABC na krivoj F(x).

Izračunati površinu  ∆ ABC koristeći obrazac dat pod rednim brojem (3)  ako je apscisa srednjeg temena  x_B = 3.

Polazne veličine za račun:
F(x) =x²-5x-2   →  a_o=1 ,  a₁ = -5 ,  a₂ = -2 ;  x₁ =-1 , x₃ =(9/2) …
Nastavak zadatka videti na:
razlika-jednac48dina-krive-i-jednac48dine-prave-linije-povrc5a1ina-trougla

                                       Kriva trećeg stepena –Kubna
Potrebne formule:
1) F _{b (X)} = b_ox³ + b₁x² +  b₂x + b₃   – jednačina kubne ……………….. (1).
2) f_{12 (X)}=[b_o(x₁²+x₁x₂+x₂²)+b₁(x₁+x₂)+b₂]x+b₃-x₁x₂[b_o(x₁+x₂)+b₁] …(2);
f₁₂(x) – jednačine prave kroz A(x₁, y₁)=A(x_A, y_A) i B(x₃, y₃)= B(x_B , y_B).

3) 2P_∆ABC = (x₁-x₂)[f₁₂(x)-f₂₃(x)];
f₁₂(x)- jednačina stranice AB ∆ABC , f₂₃ (x)- jednačina stranice BC istog trougla.

Stavljam da je x₃=x i da je f_{23 (}x₃₎ =F_b(x₃),  pa je
2P_∆ABC = (x₁ – x₂)[f₁₂ (x₃)-F_b(x₃)]  površina trougla ABC …… (3).

Zadatak

Dat je ∆ABC  na krivoj F _{b (X)} = (1/3)x³ -3x² +5x +1. Apscise temena trougla na krivoj su:
x₁ = x_A= -1, x₂ = x_b=3, x₃ = x_c= 3/4 . Izračunaj površinu ∆ABC.

Potrebne vrednosti:
x₁²+x₁x₂+x₂²=(-1 )²+(-1)(3)+(3)²=7,   x₁+x₂=-1+3=2,
x₁x₂=(-1)(3)=-3;  x₁-x₂)=-1-3=-4.

Jednačina prave i zamenjivanje:
f_{12 (X)} = [b_o(x₁²+x₁x₂+x₂²)+b₁(x₁+x₂)+b₂] x + b₃ – x₁x₂[b_o(x₁+x₂)+b₁] =
;

Vrednost krive i prave nad istom apscisom x₃ = x_c= x_c1= 3/4 :

;

.

Površina trougla:
2P_∆ABC = (x₁ – x₂)[f₁₂ (x₃)-F_b(x₃)] = (-4)[(-5)-( 205/64)]= (-4)[(-525/64)]= 525/16;
P_∆ABC =525/32=16,40625

                      Opšti slučaj: Površina trougla u ravni xOy

PovršinA trougla je u članku https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/04/26/razlika-jednacina-dveju-pravih-povrsina-trougla/ .
Razlika jednačina dveju pravi je osnova za formulu površine ∆ABC između proizvoljne krive F(x)  i proizvoljne prave f (x):
2P_∆ABC=(x₁–x₂)[f₁₂ (x₃)-f₂₃(x₃)] – —- (a).

-Zamenom f₂₃(x₃)=F (x₃) dobija se obrazac površine trougla između krive
i prave linije:
2P_∆ABC = (x₁ – x₂)[f₁₂(x₃)-F(x₃)] —————– (b);
f₁₂ (x) seče krivu F(x) u tačkama iznad apscisa x₁ i x₂ , a treće teme ∆ABC je iznad apscise x₃.

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović