Category Archives: Odnosi između funkcija

Računanje određ. integrala pomoću odsečka prave na y osi

31 уторак мај 2016

Posted by in Odnosi između funkcija, Određeni integrali

≈ 1 коментар

RAČUNANJE ODREĐ. INTEGRALA POMOĆU ODSEČKA PRAVE NA Y OSI

Pravilo integraljenja hiperbola pomoću koeficijenta pravca prave i odsečka prave na y osi
Interval određenog integrala čine presečne tačke prave i krive.
Kriva je hiperbola, a apscise presečnih tačaka su: x1 , x2

Metod rada – koeficijenti prave
Bazne funkcije – hiperbole
Kategorija – odnosi između funkcija

                                    Određeni integral na hiperbolama

Formula za određeni integral hiperbole sadrži: koeficijent pravca
prave kh,1, odsečak nh,1 prave na y osi, razliku x1 – x2 apscisa – donje i gornje granice integraljenja.
Računanje određ. integrala pomoću odsečka prave na y osi.bmp

Vrednost određenog integrala se dobija množenjem: razlike apscisa, koeficijenta pravca prave kh,1  i odsečaka nh,1 prave na y osi.

Izbor zavisi od stepena hiperbole, razlike (x1 – x2) množimo brojevima opadajućeg niza:
, – , (1/1)(x1 – x2), (1/2)(x1 – x2), (1/3)(x1 – x2), (1/4)(x1 – x2), ………. ,(1/n) (x1 – x2).

Nakon ztoga, članove niza množimo : kh,1 – koeficijentom pravca prave h1(x) = kh,1 x + nh,1 na hiperboli H1(x),
nh,1 – odsečkom prave na y osi, ali, na hiperboli dva stepena niže od stepena hiperbole koju integralimo.

Formulu određenog integrala hiperbole Hn(x) i urađeni zadatak videti u dokumentu:
Računanje određ. integrala pomoću odsečka prave na y osi

Autor,
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Advertisements

Nule pravih, koeficijenati i apscise tačaka na hiperbolama

23 субота апр 2016

Posted by in Odnosi između funkcija

≈ Поставите коментар

NULE PRAVIH, KOEFICIJENTI I APSCISE TAČAKA NA HIPERBOLAMA
Slobodan član n1 jednačine prave h1(x) hiperbole nižeg stepena direkno je proporcionalan koeficijentu pravca k2 prave h2(x) hiperbole višeg stepena,

Metod rada – koeficijenti prave,
bazna funkcija – hiperbola.

Hiperbole i njene prave
1. H1(x) = C1/x —— hiperbola prvog stepena;
h1(x) = k1(x) + n1 —– prava na hiperboli prvog stepena —- – (1):
2. H2(x) = C2/x^2 —— hiperbola drugog stepena;
h2(x) = k2(x) + n2—– prava na hiperboli drugog stepena —- (2):;
3. H3(x) = C3/x^3 ——hiperbola trećeg stepena
h3(x) = k3(x) + n3 —– prava na hiperboli trećeg stepena; —— (3)

Odnosi koeficijenata jednačina pravih na hierbolama susednih stepena:
Koeficijent proporcionalnosti – konstanta K = – x1x2 ;
x1 , x3 – apscise presečnih tačaka pravih i hiperbola.
1. n1 = K k2 = – x1x3 k2
2. n2 = K k3 = – x1x3 k3
3. n3 = K k4 = – x1x3 k4
4. n4 …
Odnosi nula jednačina pravih
X01 , X02 , X03 – nule pravih h1(x) , h2(x) i h3(x) .
X01 = x1 + x3
X02X01 = ——- videti u dokumentu sa zadatkom
X03X02 = ——- videti u dokumentu sa zadatkom

Nule pravih, koeficijentii apscisa tačaka na hiperbolama.bmp
Zadatak
Tri prave seku svoje hiperbole u tačkama: A1, C1 ;  A2 , C2 ;  A3 , C3 . Apscise presečnih tačaka su:
x1 = xA1 = xA2 = xA3 = – 4 ,
x3 = xC1 = xC2 = xC3 =.5/2.
Jednačine hiperbola su: H1(x) =16/x , H2(x) = 16 / x^2 i H3(x) = 16/x^3.

Koristeći gornje obasce koeficijenata jednačina pravih i njihovih nula naći:
a) Nule sve tri prave i koeficijente jednačina pravih.
b) Jednačine sve tri prave.

Do kraja urađen zadatak je u dokumentu:
nule-pravih-koeficijenti-i-apscise-tac48daka-na-hiperebolama1

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs

Odnos rastojanja tačaka na grafiku krive i prave linije

31 четвртак мар 2016

Posted by in Odnosi između funkcija

≈ Поставите коментар

ODNOS DUŽINE DUŽI NA PRAVOJ OD NJENE NULE DO NJENE DRUGE PROIZVOLJNE TAČKE I DUŽINE DUŽI IZMEĐU DVE PRESEČNE TAČKE KRIVE I PRAVE
Da bi dobili  odnos rastojanja između presečnih tačaka  krive i prave linije
i  rastojanje iezmeđu dve proizvoljne tačke na pravoj liniji potrebno je:

1. Rastojanje nule prave do neke proizvoljne tačke na njoj – funkcija od x, i rastojanje izbeđu dve tačke na krivoj.
2.http://www.bastabalkana.com/2015/11/rastojanje-dve-tacke-na-krivoj-kao-funkcija-promenljive-x/   ,

Metod rada:
Koeficejenti prave.

1. RASTOJANJE NULE PRAVE DO NJENE DRUGE TAČKE –FUNKCIJA OD X

Ratojanje od A0 – nula prave F(x), do njene proizvoljne tačke B direkno je proporcionalna funkcija F(x ) . Faktor proporcionalnosti je konstanta K.

U radu koeficijentima jednačine prave važne veličine su: konstanta x1 i x3 na pravoj FAC(x) neke krive i nezavisno promenljiva xB =x  na pravoj F(x) .

U formuli za računanje rastojanja  od nule prave- od A0 do njene proizvoljne tačke B  na pravoj F(x),  konstantu K indirekno definišu: apscise xA_0,  i xB=x, koeficijent pravca kA_0,B i odsečak prave nA_0,B na y  osi.

U zadatku uzet je slučaj da se prava F(x) poklapa sa pravom
FAC(x) na krivoj, tj biće: F(x) =FAC(x) ; na  donjem grafiku FAC(x) = F1(x) .
Odnosno, prava F(x) seče proizvoljnu krivu F2(x) u tačakama
A i C  kao i prava FAC(x) = F1(x) .

U opštem slučaju prava F(x) i prava F1(x) su dve proizvoljne prave  različitih vrednosti koeficijenata pravaca i odsečaka pravih na y osi:

a)-Rastojanje proizvoljne tačke M na pravoj fQM(x) i nule iste prave je dQM :
;
dQM(x) – funkcija tastojanja duž prave  f(x), rastojanje od nule prave do njene proizvoljne tačke M:

b)- Rastojanje između dve tačke dAC  na krivoj  F2(x) je:
;
-F2(x) je bilo koja kriva linija, a prava na njoj je:
fAC(X)=kAC x + nAC ;  apscise xA  i xC  su apscise presečne tačake A i  C na krivoj.

Za bilo koju krivu izvođenje formule je obavljeno prema slici:

Pitagorina teorema za pravougli trougao:

Kada je jednačina prave poznata, tada su apscise x1 i x3 presečnih tačaka prave i krive  konstantne veličine; u zadatku sa pravom F(x) i i pravom F1(x) .  oba koeficijenta pravca pravih  imaju istu vrednost.

Kao primer primene formule u zadatku uzeće se funkcija drugog stepena F2(x) , prava F(x)  i  F1(x ). Iste funkcije su date na slici:

RASTOJANJE NULE PRAVE DO NJENE DRUGE TAČKE –FUNKCIJA OD X

Funkcija drugog stepena
Potrebne formule:
1) F2 (x) = aox2 + a1x + a2      – kvadratna jednačina  ……………………..  (1)
2) F1 (x) =FAC(x)= [ao(x1 + x3) + a1] x + a2 –  aox1x3  …………………………………  (2)
–  opšti oblik jednačine prave kroz tačke A i C na krivoj F 2 (x)

2.1) F (x) =  kA_0,B x +nA_0,B…………………………………  (2)
–  opšti oblik jednačine prave F (x)  kroz A0 – nulu prave i njenu proizvoljnu
tačku B.
3) D0(x) = K F(x)  ————————- (3):
,
 K —- konstanta rastojanja  D0(x) ,
;
D0(x) – funkcija rastojanja na pravoj F(x)  od A0 ( nule prave) do njene
proizvoljne tačke B.

ODNOS RASTOJANJA TAČAKA NA GRAFIKU KRIVE I PRAVE LINIJE
Odnos rastojanja tačaka na grafiku krive i prave

Zadatak
Data je funkcija F2 (x) = x2 +x -2  i na njoj tačka A sa koordinatom xA = x1 =5/2 . Prava F1(x)   seče krivu F2(x) u tački A.

Napisati jednačine pravih koje prolaze kroz tačku A uz uslov da svaka prava ima rastojanje od svoje nule (tačka A0) do prve presečne tačke A isto kao i rastojanje između tačke A i druge presečne tačke C sa krivom F2 (x) , tj. A0A. = AC; kako postoje dva rešenja za drugu pravu presečna tačka je tačka D.

Da bi videli ceo zadatak, koji obuhvata oba naslova, otvorite dokument:
odnos-rastojanja-tac48daka-na-grafiku-krive-i-prave-linije1-1

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs

 

 

Odnosi površina trouglova na kvadratnim krivama

28 недеља феб 2016

Posted by in Odnosi između funkcija

≈ Поставите коментар

JEDNAKOST POVRŠINA TROUGLOVA NA GRAFICIMA RAZLIČITIH KVADRATNIH KRIVIH
Poređenje površine trouglova na graficima različitih polinoma drugog stepena- trouglovi na parabolama

Odnosi površina trouglova na graficima različitih parabola zavise od odnosa-količnika nultih koeficijenata kvadratnog člana svake parabole i odnosa-količnika  razlika odgovarajućih apscisa temena trouglova.

Poređenje površina na parabolama

Da bi sagledali odnos između dve površine na parabolama uzmimo tačke: A, B, C za temena  ∆ ABC na grafiku parabole Fa(x) , a temena ∆ DEF na grafiku kvadratne Fb(x) .
Dole-niže, priložene su i dve slike sa graficima parabola, kao i dva urađena zadatka.
Parabole,  površine PABC, PDEF i apscise njihovih temena prikazani su na slici:

Jednakost površina na graficima kvadratnih krivih
     

Odnosi površina
Mogu postojati dve situacije:
a) -Uslov da površine na parabolama imaju iste vrednosti
b) Da se traži odnos između različitih brojnh vrednosti površina

Teorema:
Dva trougla, na dvema različitim parabolama, imaju iste površine ako je odnos nultih koeficijenata (a0 / b0) kvadratnih jednačina jednak proizvodu koeficijenata proporcionalnosti razlika apscisa odgovarajućih temena trouglova, tj. količnicima razlika odgovarajućih apcisa: (x3 – x1), (x1 – x2), (x2 – x3) i razlika (x6 – x4), (x4 – x5), (x5 – x6):
(x3 – x1) / (x6 – x4) , (x4 – x5) /(x1 – x2),…

U zadatku br. 21 razmatra se odnos dve površine razlićitih brojnih vrednosti,
a u zadatku br. 22 – Traži se jednakost ∆ ABC i  ∆ GHK10,
tj. jednakost:  PABC.= PGHK9  = PGHK10 .


  1. zadatak:
    – Na grafiku funkcije Fa (x) = x2 – 5x – 2 dat je ∆ ABC sa apscisama :
    x1 = xA = -1,  x2 = xB = (1/2), x3 = xc = (25/4)
    – Na grafiku kvadratne jednačine Fb (x) =(1/2)x2 – 4x +3 dat je ∆ DEF,
    čije su apscise: x4, x5 i x6 .Naći vrednosti površina oba trougla, uz uslov da su razlike apscisa temena oba trougla međusobno jednake:
    (x6 – x4) = (x3 – x1) ,   (x4 – x5) = (x1 – x2)  i   (x5 – x6) = (x2 – x3).

Iračunati :
a) Površinu ∆ ABC.
b) Odnos površine ∆ ABC i površine ∆ DEF

U zadatku koristim moje omiljene formulu:
PABC =(a0 /2)(x3 – x1)(x1 – x2)(x2 – x3)
PDEF =(b0 /2)(x6 – x4)(x4 – x5)(x5 – x6)

Potvrda teoreme i nastavak zadatka dat je u prilogu:
jednakost-povrc5a1ina-trouglova-na-graficima-razlic48ditih-kvadratnih-jednac48dina1-1

Parabole i trouglovi jednakih vrednosti površina: PABC. = PDEF9  i apscise njihovih temena prikazani su na slici:

Uslov jednakost površina na parabolama.bmp

Primer primene uslova jednakosti površina dva trougla, na dvema parabolama, videti u dokumentu:
22-zadatak-e28093-jednakost-povrc5a1-trouglova-na-dvema-parabolama2-1

Autor teoreme i metode:
maš. inž. Mladen Popović
mladenpopo@mts.rs
opetja52@gmail.com

Razlika jednačina krive i prave linije – površina trougla

05 петак феб 2016

Posted by in Odnosi između funkcija

≈ Поставите коментар

RAZLIKA JEDNAČINE KRIVE I JEDNAČINE PRAVE LINIJE – POVRŠINA TROUGLA

Površina ∆ABC  sa temenima na krivoj liniji računa se kao proizvod razlike jednačine krive, jednačine prave i  razlike apscise xA i  xC temena stranice AC  ∆ABC ( pogledaj sliku u zadatku za parabolu).

U geometriji se zna da visina trougla stoji normalno na svojoj osnovnoj stranici, a proizvod visine i stranice daje površinu trougla. U zadatku gde se površina trougla računa preko razlike jednačina krive i prave(na prvoj slici ispod), tj. razlike ordinata tačke B na krivoj F(X)  i ordinate tačke B1 nad istom apcisom xB, ordinata ne stoji normalno na osnovnoj stranici AC.

Visina trougla pripadne stranice nije potrebna veličina za računanju površine trougla u analitičkoj geometriji. Za taj posao su potrene apcise i ordinate temena trougla, tačke i koeficijenti jednačina stranica trougla; primer je računanje površine trougla između krive i prave linije, tj. razlika njihovih jednačina. Opšti obrazac  površine trougla je površina trougla između dve proizvoljne prave.

Pokažimo dva primera računanja površine trougla- trougla između krive i prave na krivoj:

                                   Primer-Kvadratna jednačina i prava

Potrebni oblici formula:
1) F 2 (X) = aox2 + a1x + a2        – kvadratna jednačina  …………………… (1).
2) F 1 (X) = [ao(x1 + x3) + a1] x + a2 –  aox1x3   …………………………….. (2);
 F 1 (X) =f31(x) –  opšti oblik jednačine prave kroz  tačku A(x1 , y1) = A(xA , yA)
i  C(x3 , y3) =  C(xC , yC)   na  krivoj  F 2 (x) .

3) 2P∆ABC = (x3 – x1)[f31 (x)-f12(x)];
f31 (x)- jednačina stranice CA, f12 (x)- jednačina stranice AB(vidi prvu sliku).

Ako se stavi da je x2=x i da je f31 (x) =F1(x), sledi da je
PABC(X)=-(1/2)[(x3–x1)(F 2 (x)-F 1 (x))]  funkcija površine trougla ABC ….. (3);
(1/2)( x3 – x1) = N ———————- konstanta.

Zadatak

Data je funkcija F2 (x) = x2 -5x – 2 i vrednost apscisa njenih tačaka:  apscisa xA = x1 = -1 temena A,  apscisa xC = x3 = 9/2  temena C . Apscise: xA = x1  ,  xC = x3 , na grafiku funkcije  F2 (x) definišu početnu stranicu AC  ∆ABC.

Izračunati površinu PABC  ∆ABC koristeći obrazac dat pod rednim brojem (3)  ako je apscisa srednjeg temena  xB = 3.

Izrada zadatka je data u prilogu:razlika-jednac48dina-krive-i-jednac48dine-prave-linije-povrc5a1ina-trougla

                                       Kriva trećeg stepena –Kubna
Potrebni oblici formula:
1) F b (X) = box3 + b1x2 +  b2x + b3        – jednačina kubne ……………….. (1).
2) f12 (X)=[bo(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2]x+b3-x1x2[bo(x1+x2)+b1] …(2);
f12(x) –  opšti oblik jednačine prave kroz  tačku A(x1 , y1) = A(xA , yA) i tačku
B(x3 , y3) =  B(xB , yB)   na  krivoj  Fb (X) .

3) 2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x)-f23(x)];
f12(x)- jednačina stranice AB ∆ABC , f23 (x)- jednačina stranice BC istog trougla(pogledaj sliku).

Ako se stavi da je x3=x i da je f23 (x3) =Fb(x3),  sledi da je
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-Fb(x3)]  površina trougla ABC …… (3).

Zadatak

Dat je ∆ABC  na krivoj F b (X) = (1/3)x3 -3x2 +5x +1. Apscise temena trougla na krivoj su:
x1 = xA= -1, x2 = xb=3, x3 = xc= 3/4 . Izračunaj površinu ∆ABC.

Potrebne vrednosti:
x12+x1x2+x22=(-1 )2+(-1)(3)+(3)2=7,   x1+x2=-1+3=2,   x1x2=(-1)(3)=-3;
(x1-x2)=-1-3=-4.
Potrebna jednačina prave:
f12 (X) = [bo(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2] x + b3 – x1x2[bo(x1+x2)+b1] =
;

Potrebne vrednosti krive i prave nad istom apscisom x3 = xc= xc1= 3/4 :

;

.

Površina trougla:
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-Fb(x3)] = (-4)[(-5)-( 205/64)]= (-4)[(-525/64)]= 525/16;
P∆ABC =525/32=16,40625

                      Opšti slučaj: Površina trougla u ravni xOy

Formula površine trougla između dve proizvoljne prave, pokazana u članku https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/04/26/razlika-jednacina-dveju-pravih-povrsina-trougla/ , je u gornjim zadacima sliži kao osnova formuli površine ∆ABC između proizvoljne krive F(x)  i proizvoljne prave f (x):
2P∆ABC=(x1–x2)[f12 (x3)-f23(x3)] – površina trougla između dve prave —- (a).

-Zamenom f23(x3)=F (x3) dobija se obrazac površine trougla između krive
i prave linije:
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-F(x3)] —————– (b);
f12 (x) je prava koja seče krivu F(x) u tačkama iznad apscisa: x1 ,  x2 , a treće teme ∆ABC ima apscisu x3.
U gornjim zadacima, na paraboli i kubnoj, primenjena  su zadnja dva obrasca- opšti obrazac površine trougla između dve prave.

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs