Računanje određ. integrala pomoću odsečka prave na y osi

RAČUNANJE ODREĐ. INTEGRALA POMOĆU ODSEČKA PRAVE NA Y OSI

Pravilo integraljenja hiperbola pomoću koeficijenta pravca prave i odsečka prave na y osi
Interval određenog integrala čine presečne tačke prave i krive.
Kriva je hiperbola, a apscise presečnih tačaka su: x₁ , x₂

Metod rada – koeficijenti prave
Bazne funkcije – hiperbole
Kategorija – odnosi između funkcija

                                    Određeni integral na hiperbolama

Formula za određeni integral hiperbole sadrži: koeficijent pravca
prave k_h,1, odsečak n_h,1 prave na y osi, razliku x₁ – x₂ apscisa – donje i gornje granice integraljenja.

Vrednost određenog integrala se dobija množenjem: razlike apscisa, koeficijenta pravca prave k_h,1  i odsečaka n_h,1 prave na y osi.

Izbor zavisi od stepena hiperbole, razlike (x₁ – x₂) množimo brojevima opadajućeg niza:
, – , (1/1)(x₁ – x₂), (1/2)(x₁ – x₂), (1/3)(x₁ – x₂), (1/4)(x₁ – x₂), ………. ,(1/n) (x₁ – x₂).

Nakon ztoga, članove niza množimo : k_h,1 – koeficijentom pravca prave h_1(x) = k_h,1 x + n_h,1 na hiperboli H_1(x),
n_h,1 – odsečkom prave na y osi, ali, na hiperboli dva stepena niže od stepena hiperbole koju integralimo.

Formulu određenog integrala hiperbole H_n(x) i urađeni zadatak videti u dokumentu:
Računanje određ. integrala pomoću odsečka prave na y osi

Autor,
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Nule pravih, koeficijenati i apscise tačaka na hiperbolama

NULE PRAVIH, KOEFICIJENTI I APSCISE TAČAKA NA HIPERBOLAMA
Slobodan član n₁ jednačine prave h₁(x) hiperbole nižeg stepena direkno je proporcionalan koeficijentu pravca k₂ prave h₂(x) hiperbole višeg stepena,

Metod rada – koeficijenti prave,
bazna funkcija – hiperbola.

Hiperbole i njene prave
1. H₁(x) = C₁/x —— hiperbola prvog stepena;
h₁(x) = k₁(x) + n₁ —– prava na hiperboli prvog stepena —- – (1):
2. H₂(x) = C₂/x^2 —— hiperbola drugog stepena;
h₂(x) = k₂(x) + n₂—– prava na hiperboli drugog stepena —- (2):;
3. H₃(x) = C₃/x^3 ——hiperbola trećeg stepena
h₃(x) = k₃(x) + n₃ —– prava na hiperboli trećeg stepena; —— (3)

Odnosi koeficijenata jednačina pravih na hierbolama susednih stepena:
Koeficijent proporcionalnosti – konstanta K = – x₁x₂ ;
x₁ , x₃ – apscise presečnih tačaka pravih i hiperbola.
1. n₁ = K k₂ = – x₁x₃ k₂
2. n₂ = K k₃ = – x₁x₃ k₃
3. n₃ = K k₄ = – x₁x₃ k₄
4. n₄ …
Odnosi nula jednačina pravih
X₀₁ , X₀₂ , X₀₃ – nule pravih h₁(x) , h₂(x) i h₃(x) .
X₀₁ = x₁ + x₃
X₀₂X₀₁ = ——- videti u dokumentu sa zadatkom
X₀₃X₀₂ = ——- videti u dokumentu sa zadatkom

Zadatak
Tri prave seku svoje hiperbole u tačkama: A₁, C₁ ;  A₂ , C₂ ;  A₃ , C₃ . Apscise presečnih tačaka su:
x₁ = x_A1 = x_A2 = x_A3 = – 4 ,
x₃ = x_C1 = x_C2 = x_C3 =.5/2.
Jednačine hiperbola su: H₁(x) =16/x , H₂(x) = 16 / x^2 i H₃(x) = 16/x^3.

Koristeći gornje obasce koeficijenata jednačina pravih i njihovih nula naći:
a) Nule sve tri prave i koeficijente jednačina pravih.
b) Jednačine sve tri prave.

Do kraja urađen zadatak je u dokumentu:
nule-pravih-koeficijenti-i-apscise-tac48daka-na-hiperebolama1

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs

Odnos rastojanja tačaka na grafiku krive i prave linije

ODNOS DUŽINE DUŽI NA PRAVOJ OD NJENE NULE DO NJENE DRUGE PROIZVOLJNE TAČKE I DUŽINE DUŽI IZMEĐU DVE PRESEČNE TAČKE KRIVE I PRAVE
Da bi dobili  odnos rastojanja između presečnih tačaka  krive i prave linije
i  rastojanje iezmeđu dve proizvoljne tačke na pravoj liniji potrebno je:

1. Rastojanje nule prave do njene druge tačke – funkcija od x
2.http://www.bastabalkana.com/2015/11/rastojanje-dve-tacke-na-krivoj-kao-funkcija-promenljive-x/   ,

Metod rada:
Koeficejenti prave.

1. RASTOJANJE NULE PRAVE DO NJENE DRUGE TAČKE –FUNKCIJA OD X

Ratojanje od A₀ – nule prave F_(x) do njene proizvoljne tačke B, direkno je proporcionalno vrednosti funkcije F_{(x )} u toj tački. Faktor proporcionalnosti je konstanta K, a rastojanje je funkcija promenljive x.

U radu koeficijentima jednačine prave važne veličine su konstante x₁ i x₃ na pravoj F_AC(x) = F_{1(x )}, i nezavisno promenljiva x_B =x  na pravoj F_(x) .

U formuli za računanje rastojanja  od nule prave- tačke A₀ do njene proizvoljne tačke B  na pravoj F_(x)  konstantu K definišu: apscise x_{A_0,}  i x_B  tačaka A₀ i B , koeficijent pravca k_{A_0,B} i odsečak prave n_{A_0,B} na y  osi.

U zadatku uzet je slučaj da se prava F_(x) preklapa sa pravom
F_AC(x) = F_{1(x )}, tj biće: F_(x) = F_1(x) .
Odnosno, i proizvoljna prava F_(x) seče proizvoljnu krivu F_2(x) u tačakama
A i C , kao i prava F_AC(x) .

U opštem slučaju radi se o dvema, sasvim priozvoljnim, pravama sa različitim vrednostima koeficijenata pravaca pravih.

Kada je jednačina prave poznata tada apscise presečnih tačaka prave i krive nisu više promenljive već su konstantne veličine; zbog toga će u zadatku oba koeficijenta pravca  imati istu vrednost.

Kao primer primene formule u zadatku uzeće se funkcija drugog stepena F_2(x) , prava F_(x)  i  F_{1(x )}. Iste funkcije su date na slici:

Funkcija drugog stepena
Potrebne formule:
1) F_{2 (x)} = a_ox² + a₁x + a₂      – kvadratna jednačina  ……………………..  (1)
2) F_{1 (x)} = [a_o(x₁ + x₃) + a₁] x + a₂ –  a_ox₁x₃  …………………………………  (2)
–  opšti oblik jednačine prave kroz tačke A i C na krivoj F _{2 (x)}

2.1) F _(x) =  k_{A_0,B} x +n_{A_0,B}…………………………………  (2)
–  opšti oblik jednačine prave F _(x)  kroz A₀ – nulu prave i njenu proizvoljnu
tačku B.
3) D_0(x) = K F_(x)  ————————- (3)
 K —- konstanta rastojanja  D_0(x) .
D_0(x) – funkcija rastojanja na pravoj F_(x)  od A₀ ( nule prave) do njene
proizvoljne tačke B.

ODNOS RASTOJANJA TAČAKA NA GRAFIKU KRIVE I PRAVE LINIJE

Zadatak
Data je funkcija F_{2 (x)} = x² +x -2  i na njoj tačka A sa koordinatom x_A = x₁ =5/2 . Prava F_1(x)   seče krivu F_2(x) u tački A.

Napisati jednačine pravih koje prolaze kroz tačku A uz uslov da svaka prava ima rastojanje od svoje nule –tačke A₀ do prve presečne tačke A isto kao i rastojanje između tačke A i druge presečne tačke C sa krivom F_{2 (x)} , tj. A₀A. = AC; za drugu pravu presečna tačka je tačka D.

Da bi videli ceo zadatak, koji obuhvata oba naslova, otvorite dokument:
odnos-rastojanja-tac48daka-na-grafiku-krive-i-prave-linije1-1

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs

 

 

Odnosi površina trouglova na kvadratnim krivama

JEDNAKOST POVRŠINA TROUGLOVA NA GRAFICIMA RAZLIČITIH KVADRATNIH KRIVIH
Poređenje površine trouglova na graficima različitih polinoma drugog stepena- trouglovi na parabolama

Odnosi površina trouglova na graficima različitih parabola zavise od odnosa-količnika nultih koeficijenata kvadratnog člana svake parabole i odnosa-količnika  razlika odgovarajućih apscisa temena trouglova.

Poređenje površina na parabolama

Da bi sagledali odnos između dve površine na parabolama uzmimo tačke: A, B, C za temena  ∆ ABC na grafiku parabole F_a(x) , a temena ∆ DEF na grafiku kvadratne F_b(x) .
Dole-niže, priložene su i dve slike sa graficima parabola, kao i dva urađena zadatka.
Parabole,  površine P_ABC, P_DEF i apscise njihovih temena prikazani su na slici:

     

Odnosi površina
Mogu postojati dve situacije:
a) -Uslov da površine na parabolama imaju iste vrednosti
b) Da se traži odnos između različitih brojnh vrednosti površina

Teorema:
Dva trougla, na dvema različitim parabolama, imaju iste površine ako je odnos nultih koeficijenata (a_{0 /} b₀) kvadratnih jednačina jednak proizvodu koeficijenata proporcionalnosti razlika apscisa odgovarajućih temena trouglova, tj. količnicima razlika odgovarajućih apcisa: (x₃ – x₁), (x₁ – x₂), (x₂ – x₃) i razlika (x₆ – x₄), (x₄ – x₅), (x₅ – x₆):
(x₃ – x₁) / (x₆ – x₄) , (x₄ – x₅) /(x₁ – x₂),…

U zadatku br. 21 razmatra se odnos dve površine razlićitih brojnih vrednosti,
a u zadatku br. 22 – Traži se jednakost ∆ ABC i  ∆ GHK10,
tj. jednakost:  P_ABC.= P_GHK9  = P_GHK10 .

21. zadatak:
    – Na grafiku funkcije F_{a (x)} = x² – 5x – 2 dat je ∆ ABC sa apscisama :
    x₁ = x_A = -1,  x₂ = x_B = (1/2), x₃ = x_c = (25/4)
    – Na grafiku kvadratne jednačine F_{b (x)} =(1/2)x² – 4x +3 dat je ∆ DEF,
    čije su apscise: x₄, x₅ i x₆ .Naći vrednosti površina oba trougla, uz uslov da su razlike apscisa temena oba trougla međusobno jednake:
    (x₆ – x₄) = (x₃ – x₁) ,   (x₄ – x₅) = (x₁ – x₂)  i   (x₅ – x₆) = (x₂ – x₃).

Iračunati :
a) Površinu ∆ ABC.
b) Odnos površine ∆ ABC i površine ∆ DEF

U zadatku koristim moje omiljene formulu:
P_ABC =(a_{0 /2})(x₃ – x₁)(x₁ – x₂)(x₂ – x₃)
P_DEF =(b_{0 /2})(x₆ – x₄)(x₄ – x₅)(x₅ – x₆)

Potvrda teoreme i nastavak zadatka dat je u prilogu:
jednakost-povrc5a1ina-trouglova-na-graficima-razlic48ditih-kvadratnih-jednac48dina1-1

Parabole i trouglovi jednakih vrednosti površina: P_ABC. = P_DEF9  i apscise njihovih temena prikazani su na slici:

Primer primene uslova jednakosti površina dva trougla, na dvema parabolama, videti u dokumentu:
22-zadatak-e28093-jednakost-povrc5a1-trouglova-na-dvema-parabolama2-1

Autor teoreme i metode:
maš. inž. Mladen Popović
mladenpopo@mts.rs
opetja52@gmail.com

Razlika jednačina krive i prave linije – površina trougla

RAZLIKA JEDNAČINE KRIVE I JEDNAČINE PRAVE LINIJE – POVRŠINA TROUGLA

Površine trougla , sa temenima na krivoj višeg reda, računa se kao proizvod: razlike jednačine krive i jednačine prave, razlike apscisa xA i xC temena osnovne stranice AC trougla ABC.

Znamo da visina trougla stoji normalno na svojoj osnovnoj stranici i da proizvod visine i stranice daje površinu trougla. Pravac razlike ordinata tačaka B i B_1, na grafiku krive i prave, ne stoji normalno na pravac osnovne stranice AC.

U zadatku, dat u prilogu:
Razlika jednačina krive i jednačine prave linije – površina trougla ,
imamo oblik i primenu formule za površinu trougla na grafiku kvadratne jednačine.

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs