• Nova referentna svetska valuta-predlog i moguće rešenje
  • Objekti nadzemnog betonskog korita u navodnjavanju
  • Turbine: Nadoknada snage turbine padom nivoa jezera, reke
  • Космички путници и пиле у јајету

gradiuinflaciji

~ gradi danas za sutra

gradiuinflaciji

Category Archives: Odnosi između funkcija

Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave

30 субота јун 2018

Posted by mladenpopovic52 in Određeni integrali

≈ Коментари су искључени на Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave

Određeni integral polinoma-koeficijent pravca prave
Rešenje određenog integrala polinoma n. stepena proizvodom razlika apscisa –granica integraljenja, i koeficijenta pravca prave na krivoj polinoma n+1. stepena

Metod rada-koeficijenti jednačine prave.
-Za rešene određenog integrala polinoma uzima se koeficijent pravca jednačine prave na krivoj, prvoj krivoj višeg stepena, tj. na polinomu za stepen viši od polinoma integraljenja-integranda. Koeficijenti prave su dati u tabeli br.1 članka: https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2016/06/19/sema-za-pisanje-jednacine-prave-na-polinomu-n-tog-stepena/

                                 Određeni integral prave
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina prave, polinom stepena n=1:  f(x)=a0x+a1.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=2:
FA(x)=A0x2+A1x+A2    ……………………………………….. (1).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma FA(x) stepena p=2  su:

– Koeficijent pravca prave fA(x) na usvojenom polinomu FA(x):
………. (1.1).

Određeni integral prave f(x) u granicama x1 i x2 je:
.

               Određeni integral polinoma drugog stepena- parabola
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=2:  Fa(x)=a0x2+a1x+a2.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=3:
  FB(x)=B0x3+B1x2+B2x+B3  ………………………………..  (2).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma FB(x) stepena p=3  su:

– Koeficijent pravca prave fB(x) na polinomu FB(x):
kB =B0 (x12+ x1x2+x22)+B1(x1+x2)+B2 = …………… (2.1).

Određeni integral parabole Fa(x) u granicama x1 i x2 je:

         Određeni integral polinoma trećeg stepena- kubna
Potrebni oblici obrazaca:
– Jednačina polinoma stepena n=3:  Fb(x)=b0x3+ b1x2+b2x+b3.
– Usvojen oblik polinoma višeg stepena p=n+1=4:
FC(x)=C0x4+ C1x3+C2x2+C3x+C4  …………………………….. (3).
-Koeficijenti usvojenog oblika polinoma FC(x) stepena p=4  su:

– Koeficijent pravca prave fC(x) na polinomu FC(x):
……..  (3.1)

Određeni integral kubne Fb(x) u granicama x1 i x2 je:

Po istom principu koristimo koeficijent pravca prave na polinomu F(x) stepena
p = n+1 i pišemo rešenje određenog integrala polinoma stepena n.
Bazne izraze (x1+x2), (x12+ x1x2+x22), (x13+ x12 x2 +x1x22+x23)… pamtimo još od osmogodišnje škole, kada smo učili rastavljanje na faktore razliku dva monoma istog stepena: binom od dva monoma parnog i neparnog stepena: x12p-x22p, x12p-1-x22p-1.

   Zdatak
Data je apscisa x1=-(3/2) i x2=(3/2) – granica integraljenja polinoma

Odrediti određene integrale polinoma.

Potrebne veličine:
a) -Za pravu f(x) =-(5/4) x+3:
a0=-(5/4)  , a1=3;

– koeficijenti usvojenog oblika polinoma FA(x) stepena p=2:

-usvojen polinom višeg stepena  FA(x)=A0x2+A1x+A2:
FA(x)=-(5/8)x2+3x+A2;

– razlika i zbir apscisa i koeficijent kA pravca prave fA(x) na usvojenom polinomu FA(x):
(x2– x1)= (3/2)-(-3/2) =3,    (x1+ x2)=-(3/2) + (3/2)=0,
kA =A0 (x1+x2)+A1=(-5/8)(0)+3=3,     kA = 3  …………………………… (1,2).

Integral prave f(x) u granicama x1 i x2 je:

Grafički prikaz:

b) -Za parabolu Fa(x)=(1/2)x2-5x+2:
a0=(1/2)  , a1=-5,  a2=2
;

 – koeficijenti usvojenog oblika polinoma FA(x) stepena p=3:


-usvojen polinom višeg stepena  FB(x)=B0x3+B1x2+B2x+B3;
– bazni izrazi i koeficijent kB pravca prave fB(x) na usvojenom polinomu FB(x):

kB=B0 (x12+ x1x2+x22)+B1(x1+x2)+B2=

kB =(19/8) ……………..  (2,2).

Integral parabole Fa(x) u granicama x1 i x2 je:

Grafički prikaz:

c) -Za kubnu Fb(x)=(1/2) x2-3x+5x-2:
b0=(1/2) , b1=-3,  b2=5,  b3=-2;

– koeficijenti usvojenog oblika polinoma FC(x) stepena p=4:

– bazni izrazi i koeficijent kC pravca prave fC(x) na usvojenom polinomu FC(x):
[x13+ x1x2(x1+x2)+x23]=[(-3/2)3+(-3/2)(3/2)[-3/2+3/2]+(3/2)3]=0;

kC=C0[x13+ x1x2(x1+x2)+x23]+C1(x12+ x1x2+x22)+C2(x1+x2)+C3=

kC =(-17/4)   ………………………………  (3,2).
Integral parabole Fa(x) u granicama x1 i x2 je:

Grafički prikaz:

Autor:
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. Inž. Mladen Popović

Računanje određ. integrala pomoću odsečka prave na y osi

31 уторак мај 2016

Posted by mladenpopovic52 in Odnosi između funkcija, Određeni integrali

≈ 1 коментар

 

Integraljenje hiperbole pomoću koeficijenta pravca prave i odsečka prave na y osi

Interval određenog integrala čine presečne tačke prave i krive.
Kriva je hiperbola, a apscise presečnih tačaka su x1 i x2

Metod rada – koeficijenti prave

                                    Određeni integral na hiperbolama

Formula za određeni integral hiperbole sadrži koeficijent pravca
prave kh,1, odsečak nh,1 od prave na y osi i razliku x1 – x2 donje i gornje granice integraljenja.
Računanje određ. integrala pomoću odsečka prave na y osi.bmp

Vrednost određenog integrala se dobija množenjem razlike apscisa, koeficijenta pravca prave kh,1  i odsečaka nh,1 od prave na y osi.

U zavisnosti od stepena hiperbole, razlike (x1 – x2) množimo brojevima opadajućeg niza:
, – , (1/1)(x1 – x2), (1/2)(x1 – x2), (1/3)(x1 – x2), (1/4)(x1 – x2), ………. ,(1/n) (x1 – x2).

Članove niza množim  koeficijentom pravca kh,1  i  odsečkom nh,1 od prave h1(x)=kh,1x+nh,1 na hiperboli H1(x),
ali na hiperboli dva stepena niže od stepena hiperbole koju integralimo.

Formulu određenog integrala hiperbole Hn(x) i urađeni zadatak videti u dokumentu:
Računanje određ. integrala pomoću odsečka prave na y osi

Autor,
Srdačan pozdrav i dobro zdravlje,
dipl. maš. inž. Mladen Popović

Nule pravih, koeficijenati i apscise tačaka na hiperbolama

23 субота апр 2016

Posted by mladenpopovic52 in Odnosi između funkcija

≈ Поставите коментар

NULE PRAVIH, KOEFICIJENTI I APSCISE TAČAKA NA HIPERBOLAMA
Slobodan član n1 jednačine prave h1(x), na hiperboli nižeg stepena, direkno je proporcionalan koeficijentu pravca k2 prave h2(x) hiperbole višeg stepena,

Metod rada – koeficijenti prave,

Hiperbole i njene prave:
1. H1(x) = C1/x —— hiperbola prvog stepena;
h1(x) = k1(x) + n1 —– prava na hiperboli prvog stepena —- – (1).

2. H2(x) = C2/x^2 —— hiperbola drugog stepena;
h2(x) = k2(x) + n2—– prava na hiperboli drugog stepena —- (2).

3. H3(x) = C3/x^3 ——hiperbola trećeg stepena;
h3(x) = k3(x) + n3 —– prava na hiperboli trećeg stepena; —— (3).

Odnosi koeficijenata jednačina pravih na susednim hierbolama- hiprerbole susednih stepena:
Koeficijent proporcionalnosti je konstanta K = – x1x2 ,
a apscise x1 , x2 , x3  su apscise presečnih tačaka pravih i hiperbola.
1. n1 = Kk2 = – x1x3 k2
2. n2 = K k3 = – x1x3 k3
3. n3 = Kk4 = – x1x3 k4
4. n4 …
Odnosi nula jednačina pravih:
X01 , X02 , X03 – nule pravih h1(x) , h2(x) i h3(x) ;
X01 = x1 + x3,  a proizvod X02X01 i X03X02 videti u dokumentu na zadatku.

Nule pravih, koeficijentii apscisa tačaka na hiperbolama.bmp
Zadatak

Tri prave seku svoje hiperbole u tačkama: A1, C1 ;  A2 , C2 ;  A3 , C3 .
Apscise presečnih tačaka su:
x1 = xA1 = xA2 = xA3 = – 4 ,
x3 = xC1 = xC2 = xC3 =.5/2.
Jednačine hiperbola su: H1(x) =16/x , H2(x) = 16 / x^2 i H3(x) = 16/x^3.

Koristeći gornje obasce koeficijenata jednačina pravih i njihovih nula naći:
a) Nule sve tri prave i koeficijente jednačina pravih.
b) Jednačine sve tri prave.

Do kraja urađen zadatak je u dokumentu:
nule-pravih-koeficijenti-i-apscise-tac48daka-na-hiperebolama1

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović
mladenpopo@open.telekom.rs

Odnos rastojanja tačaka na grafiku krive i prave linije

31 четвртак мар 2016

Posted by mladenpopovic52 in Odnosi između funkcija

≈ Поставите коментар

 Odnos dužine duži na pravama:
– duž na prvoj pravoj, od nule prave do njene proizvoljne tačke;
– duž na drugoj pravoj, između dve tačaka preseka prave i krive

Da bi dobili  pogodan oblik odnosa rastojanja između tačaka preseka krive i prave
i rastojanja nule druge preve i njene proizvoljne tačke, potrebno je da obe formule rastojanja budu funkija od x

2.http://www.bastabalkana.com/2015/11/rastojanje-dve-tacke-na-krivoj-kao-funkcija-promenljive-x/   ,

Metod rada: koeficijenti prave.

– Rastojanje od nule(Q ) prave fQ,M (x)(samostalna) do njene proizvoljne tačke M proporcionalno je samoj fQ,M (x). Faktor proporcionalnosti je konstanta K.
Oblik konstante K  definiše koeficijent pravca kQ,M

-Za rastojanje dAB ili dAC , između prave i krive F(x), važne su x1 , x2 preseka prave fAB(x) i krive F(x) ili x1, x3 –apscise tačaka preseka fAC(X) i krive F(x).

-Za rastojanje od Q do M na pravoj fQ,M (x) važne su apscise xQ i xM=x, naravno da x može biti xA, xB ili xc.

a)-Rastojanje od Q do M na pravoj fQ,M(x) je:

dQ,M(x) – funkcija rastojanja duž prave fQA0,M(x) proizvoljne
tačke M:

b)- Rastojanje između dve tačke dAC  na krivoj  F2(x) je:

prava fAC(X)=kACx+nAC ,  dok su xA  i xC  apscise preseka prave i krive .

Izvođenje formule za dAC je obavljeno prema slici:

Pitagorina teorema za pravougli trougao:

Jednačina drugog stepena
Potrebne formule:
1) F(x) =aox2+a1x+a2      – kvadratna jednačina  ……………………..  (1).
2) fAC(x)=[ao(x1+x3)+a1]x+a2–aox1x3  …………………………………  (2):
jednačina prave kroz tačku A i C na krivoj F(X).

– Kada je jednačina prave poznata, tada su apscise x1, x3 i koeficijent pravca kAC konstantne veličine.

 Prava koja ne seče parabolu:
fQM(x) = kQMx+nQM –  jednačine prave kroz Q(nulu) i njenu proizvoljnu
tačku M.

U zadatku koji sledi koeficijenti pravca kAC i kQM  imaće istu vrednost:
kAC= kQM , Q=A0 , obeležavanja pravih i krive biće druga: parabola F2(x) , prava na paraboli F1(x ):

RASTOJANJE NULE PRAVE DO NJENE DRUGE TAČKE –FUNKCIJA OD X
D0(x) –funkcija rastojanja :
DQ(x) = Kf(x) ————————- (3):
,
 K —- konstanta rastojanja ,


Zadatak br.1
Slika:
Odnos rastojanja tačaka na grafiku krive i prave

Data je kriva F2 (x)=x2+x-2  i na njoj tačka A apscisom xA = x1 =5/2 . Prava F1(x)  seče krivu F2(x) u tački A.

Napisati jednačine pravih koje prolaze kroz tačku A na krivoj tako da je duž prave od njene nule (tačka A0) do tačke A jednaka duži od tačke A do tačke C-druge tačke preseka prave i krive , tj. A0A. = AC.

Kako će rezultat imati dva rešenja, za drugu pravu presečna tačka je tačka D-što se može videti na gornjoj slici.

Rešenje apscisa tačke C i D se dobija iz lednačine:
aox2 + a1x -2[ ao(x1)2 + a1(x1)] – a2 = 0.  …………… (9);
otvori dokument, vidi postupak rešenje zadatka i drugo svojstvo metoda rada:

odnos-rastojanja-tac48daka-na-grafiku-krive-i-prave-linije1-1

Zadatak br.2
Data je prava f(x)=-x-3, parabola Fa(x)=x2-2x-1 i apscise preseka prave fAB(x) i parabole: xA=x1=-1, xB=x2=1.

Odrediti apscisu tačke M na pravoj f(x) , tako da duž O1M na pravoj bude 2/3 duži AB na paraboli.
SLIKA:

Dužine duži:

Odnos duži:

Izrada:

Vrednosti analitičkih veličina:
(x2-x1)=(-1-1=-2;
k12=a0(x1 +x2)+a1 =1(-1+1)-2=-2,  k122+1=(-2)2+1=5;  k2+1=(-1)2+1=2.

Odnosi:


Autor metoda :
maš.inž.Mladen Popović

Odnosi površina trouglova na parabolama

28 недеља феб 2016

Posted by mladenpopovic52 in Odnosi između funkcija, Parabola

≈ Поставите коментар

Jednakost površina trouglova na različitim parabolama
Poređenje površine trouglova na parabolama

Odnos površina trouglova na graficima parabola zavise od količnika koeficijenata kvadratnih članova parabola i količnika odgovarajućih razlika apscisa temena trouglova.

Poređenje površina na parabolama
Da bi sagledali odnos između dve površine na parabolama odredićemo
∆ ABC na paraboli Fa (x) i ∆DEF na paraboli Fb (x).

-Dole su dve slike-  trouglovi na graficima parabola i dva urađena zadatka:
dve parabole,  površine PABC, , PDEF i apscise njihovih temena.     

Odnosi površina
Mogu postojati dve situacije:
-površine istih vrednosti;
–površine različitih brojnih vrednosti.

Dva trougla, na dvema različitim parabolama, imaju iste površine ako je odnos koeficijenata a0  i b0 kvadratnih članova parabola jednak količniku proizvoda razlika apscisa temena trouglova, tj. : (x3–x1)(x1–x2)(x2–x3) i (x6–x4)(x4–x5)(x5–x6).

U zadatku br. 22 traži se jednakost ∆ABC i  ∆GHK ,
tj. :  PABC.=PGHK.
U zadatku br. 21 razmatra se odnos dve površine razlićitih brojnih vrednosti,

22. zadatak:
-Na Fa (x)= x2 -5x-2 date su apscise temena ∆ ABC:
x1=xA=-1,  x2=xB=(1/2),  x3=xC=(25/4).

– Na Fb (x) =x2-4x+3  date su apscise temena ∆ GHK:
x7 =xG = 1, x8 = xH =4 .

Postavititi jednakost površine ∆ ABC i ∆ GHK na krivama Fa (x) i Fb (x), odrediti
položaj ∆ GHK i računom proveriti jednakost površine ∆ GHK i ∆ ABC.

  Potrebne formule:
Qa(x3) = x23 -(x1+x2)x3+x1x2 = –(x1-x3)(x3-x2) – vrednost bazne funkcija površine
∆ ABC;

Qb(x) =x2-(x7+x8)x+x7x8=-(x7 -x)(x-x8) – bazna funkcija površine ∆ GHK apscisa:
x7 = xG = 1, x8 = xH =4  apscise ∆ GHK.

Polazne veličine:
F a (x) = x2-5x-2,   Fb (x) =x2 -4x+3;

x7=1,  x8 =4,
x7 + x8 = 5,    x7 x8 = 4;  (x7-x8) = 1-4 = – 3.

Izrada:
a) Qa(x3)=-(x1-x3)(x3-x2)=
,
izračunata bazna funkcija površine
 ∆ ABC;
Qa(x)=x2-(x7+x8)x+x7x8=x2-(5)x+4 – izračunata bazna funkcija površine ∆ GHK;

Uslov jednakosti površina:


-primena zadnje jednakosti:
  :
x2 -5x + 4=→  16x2 – 5(16)x + 4(16) – 667= 0.

-Nastavak zadatka videti na:
22-zadatak-e28093-jednakost-povrc5a1-trouglova-na-dvema-parabolama2-1
Položaj traženih trouglova:

Primer dva trougla različitih površina videti na:
TRENUTNO JE ISPRAVAK ZADATKA

Autor:
maš. inž. Mladen Popović

Razlika jednačina krive i prave linije – površina trougla

05 петак феб 2016

Posted by mladenpopovic52 in Odnosi između funkcija

≈ Поставите коментар

Površina trougla ABC  je proizvod razlike jednačine krive, jednačine prave i  razlike apscise xA i xC temena stranice AC.

Visina trougla stoji normalno na svojoj osnovnoj stranici, a proizvod visine i stranice daje površinu trougla; ovde  razlika ordinate tačke B na krivoj i ordinate tačke B1 na pravoj ne stoji normalno na pravac osnovne stranice AC.

       Jednačina krive drugog stepena

Potrebne formule:
1) F(x) =aox2+a1x+a2   – kvadratna jednačina  ………. (1).
2) f13(x)=[ao(x1+x3)+a1]x +a2-aox1x3  ………… (2);

f13(x) –  jednačina prave kroz  A(x1, y1)=A(xA, yA) i C(x3, y3)=C(xC, yC)
na  krivoj F(x).

3) 2P∆ABC =(x3-x1)[f31(x)-f12(x)];
f31 (x)- jednačina stranice CA, f12 (x)- jednačina stranice AB.

Stavljam da je x2=x i da je f12(x)=F(x), pa je
PABC(X)=-(1/2)(x3–x1)[(f31(x)-F(x)] funkcija površine trougla ….. (3);
(1/2)( x3 – x1) = N ———————- konstanta.

Zadatak
Zadate su veličine: F(x)= x2 -5x -2 – parabola ,
xA = x1 = -1 – apscisa temena A i  xC=x3 = – apscisa temena C .
xA = x1  i xC=x3  definiše stranicu(osnovicu) AC ∆ABC na krivoj F(x).

Izračunati površinu  ∆ ABC koristeći obrazac dat pod rednim brojem (3)  ako je apscisa srednjeg temena  xB = 3.

Polazne veličine za račun:
F(x) =x2-5x-2   →  ao=1 ,  a1 = -5 ,  a2 = -2 ;  x1 =-1 , x3 =(9/2) …
Nastavak zadatka videti na:
razlika-jednac48dina-krive-i-jednac48dine-prave-linije-povrc5a1ina-trougla

                                       Kriva trećeg stepena –Kubna
Potrebne formule:
1) F b (X) = box3 + b1x2 +  b2x + b3   – jednačina kubne ……………….. (1).
2) f12 (X)=[bo(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2]x+b3-x1x2[bo(x1+x2)+b1] …(2);
f12(x) – jednačine prave kroz A(x1, y1)=A(xA, yA) i B(x3, y3)= B(xB , yB).

3) 2P∆ABC = (x1-x2)[f12(x)-f23(x)];
f12(x)- jednačina stranice AB ∆ABC , f23 (x)- jednačina stranice BC istog trougla.

Stavljam da je x3=x i da je f23 (x3) =Fb(x3),  pa je
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-Fb(x3)]  površina trougla ABC …… (3).

Zadatak

Dat je ∆ABC  na krivoj F b (X) = (1/3)x3 -3x2 +5x +1. Apscise temena trougla na krivoj su:
x1 = xA= -1, x2 = xb=3, x3 = xc= 3/4 . Izračunaj površinu ∆ABC.

Potrebne vrednosti:
x12+x1x2+x22=(-1 )2+(-1)(3)+(3)2=7,   x1+x2=-1+3=2,
x1x2=(-1)(3)=-3;  x1-x2)=-1-3=-4.

Jednačina prave i zamenjivanje:
f12 (X) = [bo(x12+x1x2+x22)+b1(x1+x2)+b2] x + b3 – x1x2[bo(x1+x2)+b1] =
;

Vrednost krive i prave nad istom apscisom x3 = xc= xc1= 3/4 :

;

.

Površina trougla:
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12 (x3)-Fb(x3)] = (-4)[(-5)-( 205/64)]= (-4)[(-525/64)]= 525/16;
P∆ABC =525/32=16,40625

                      Opšti slučaj: Površina trougla u ravni xOy

PovršinA trougla je u članku https://gradiuinflaciji.wordpress.com/2018/04/26/razlika-jednacina-dveju-pravih-povrsina-trougla/ .
Razlika jednačina dveju pravi je osnova za formulu površine ∆ABC između proizvoljne krive F(x)  i proizvoljne prave f (x):
2P∆ABC=(x1–x2)[f12 (x3)-f23(x3)] – —- (a).

-Zamenom f23(x3)=F (x3) dobija se obrazac površine trougla između krive
i prave linije:
2P∆ABC = (x1 – x2)[f12(x3)-F(x3)] —————– (b);
f12 (x) seče krivu F(x) u tačkama iznad apscisa x1 i x2 , a treće teme ∆ABC je iznad apscise x3.

Autor metode i formula:
maš.inž.Mladen Popović

Пријава

  • Entries (RSS)
  • Comments (RSS)

Архиве

  • мај 2020
  • април 2020
  • март 2020
  • фебруар 2020
  • јул 2019
  • април 2019
  • март 2019
  • фебруар 2019
  • октобар 2018
  • септембар 2018
  • август 2018
  • јун 2018
  • мај 2018
  • април 2018
  • новембар 2017
  • септембар 2017
  • јун 2017
  • мај 2017
  • фебруар 2017
  • децембар 2016
  • септембар 2016
  • јун 2016
  • мај 2016
  • април 2016
  • март 2016
  • фебруар 2016
  • јануар 2016
  • октобар 2015
  • септембар 2015
  • август 2015
  • јун 2015
  • мај 2015

Категорије

  • Графоаналитичко цртање праве,троугла…
  • Здраве биљке-куварство-здравље
  • Karakteristika K triju pravih u analitičkoj geomertiji
  • Koeficijenti prave i apscise tačaka
  • Kubna
  • Matematika
    • Тrougао u analitičkoj geometriji
    • Hiperbola
    • kubna
    • Metod pisanja jednačine prave na krivama
    • Oblici koeficijenata jednačine prave na krivama
    • Odnosi između funkcija
      • Određeni integrali
    • Parabola
    • Površina proizvoljnog trougla- Proizvodi razlika koeficijenata pravih
    • Površina trougla na krivama
  • NAČIN IZGRADNJE ENERGETSKIH POSTROJENJA – EKONOMIJA U INFLACIJI
  • Odbrana od poplava
  • Pesme

Мета

  • Регистрација
  • Пријава

Блог на WordPress.com.

Одустани

 
Loading Comments...
Коментар
    ×
    Privacy & Cookies: This site uses cookies. By continuing to use this website, you agree to their use.
    To find out more, including how to control cookies, see here: Cookie Policy